概率與數(shù)理統(tǒng)計第二章2

離散型隨機(jī)變量分布

隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量定義及類型定義設(shè)隨機(jī)試驗E的樣本空間為S，如果對于每一個e∈S，都有唯一的一個實數(shù)X(e)與之對應(yīng)，則稱X(e)為隨機(jī)變量，并簡記為X。eX(e)SX隨機(jī)變量分類離散型隨機(jī)變量（全部可能取到的值是有限個或可列無限個）

連續(xù)型隨機(jī)變量（它的全部可能取值不僅是無窮多的、不可列的，而是充滿某個區(qū)間）

既非離散型也非連續(xù)型的隨機(jī)變量N重貝努利試驗特點每次試驗只有“成功”或“失敗”兩種可能結(jié)果每次試驗“成功”的概率都為p（0<p<1），“失敗”的概率為(1-p)=qn次實驗是相互獨立的思考:n次貝努利實驗“成功”次數(shù)的概率分布特別當(dāng)n=1時，二項分布為二項分布即為0-1分布。定義如果隨機(jī)變量X的概率分布為（k=0，1，2，…，n）

（0＜p＜1,q=1-p)則稱X服從參數(shù)為n，p的二項分布。記作X~B(n,p).例某人獨立地射擊，設(shè)每次射擊的命中率為0.02，射擊400次，求至少擊中目標(biāo)兩次的概率。解每次射擊看成一次試驗，設(shè)擊中次數(shù)為X，則X~B(400,0.02)，X的分布律為所求概率為其中λ＞0是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為λ的泊松分布，記為X~P(λ)查課本附表泊松分布表，對于給定的λ，可查泊松分布（k=0，1，2，…）

定義如果隨機(jī)變量X的概率分布為

泊松(Poisson)定理設(shè)>0，n是正整數(shù)，若npn=，則對任一固定的非負(fù)整數(shù)k，有

即當(dāng)隨機(jī)變量X~B(n,p)，(n＝0,1,2,…)，且n很大，p很小時，記=np，則前例可用泊松定理計算。取=np=400×0.02＝8,近似地有P(X2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)≈1－(1＋8)e－8＝0.996981

常用的離散型隨機(jī)變量分布（0—1）分布-----可視為二項分布的特例二項分布泊松分布其中λ＞0是常數(shù)，記為X~P(λ)（k=0，1，2，…）（k=0，1，2，…，n）

（0＜p＜1,q=1-p)記作X~B(n,p).一部篇幅很大的書籍,每頁書的錯字個數(shù)服從λ=0.1的泊松分布.隨機(jī)翻開一頁檢查,求(1)沒有錯字的概率;(2)至少有一個錯字的概率一電話機(jī)總機(jī)每分鐘收到呼喚的次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布.求(1)某分鐘恰有8次呼喚的概率;(2)某一分鐘呼喚次數(shù)大于3的概率一、分布函數(shù)的定義

1）定義設(shè)X是一個隨機(jī)變量，x是任意實數(shù)，函數(shù)稱為

X的分布函數(shù)．對于任意的實數(shù)x1,x2(x1<x2)，有：x1

x2

xXo0xxX退出前一頁后一頁目錄二、分布函數(shù)的性質(zhì)F(x)是一個單調(diào)不減的函數(shù)．

設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為如右：求X的分布函數(shù).Xpk-212解：當(dāng)x<-2

時，01xX2-2x例1：§3隨機(jī)變量的分布函數(shù)第二章隨機(jī)變量及其分布退出前一頁后一頁目錄滿足Xx的X取值為X=-2,

x1X2-2x滿足Xx的X取值為X=-2,或1，

Xpk

-212同理當(dāng)-2012x1Xpk

-212分布函數(shù)F(x)在x=xk

(k=1,2,…)處有跳躍，其跳躍值為

pk=P{X=xk}.說明：Xpk

-212-2012x1

例2一個靶子是半徑為2米的圓盤，設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點的概率與該圓盤的面積成正比，并設(shè)射擊都能中靶，以X表示彈著點與圓心的距離.試求隨機(jī)變量X的分布函數(shù).解：（1）若x<0,則是不可能事件，于是（2）X第二章隨機(jī)變量及其分布退出前一頁后一頁目錄（3）若,則是必然事件，于是§3隨機(jī)變量的分布函數(shù)第二章隨機(jī)變量及其分布退出前一頁后一頁目錄01231F(x)x第二章隨機(jī)變量及其分布練習(xí):向[0,1]區(qū)間隨機(jī)拋一質(zhì)點，以X表示質(zhì)點坐標(biāo)。假定質(zhì)點落在[0,1]區(qū)間內(nèi)任一子區(qū)間內(nèi)的概率與區(qū)間長成正比，求X的分布函數(shù)。解

F(x)=P(X≤x)

當(dāng)x<0時,F(x)=0;當(dāng)x>1時,F(x)=1當(dāng)0≤x≤1時,特別,F(1)=P(0≤x≤1)=k=1設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過3盞信號燈。每盞信號燈以概率1/2允許汽車通過或禁止汽車通過。以X表示汽車首次停下時，它已通過的信號燈的盞數(shù)(各信號燈工作相互獨立)。求X的分布律、分布函數(shù)以及概率解設(shè)p為每盞信號燈禁止汽車通過的概率，則

P(X=k)=p(1-p)k，k=0,1,2；P(X=3)=(1-p)3，故X的分布律為：X0123P1/21