第二章 數(shù)值變量的描述

第二章計量資料的統(tǒng)計描述第一節(jié)頻數(shù)分布第二節(jié)集中趨勢的描述第三節(jié) 離散趨勢的描述第四節(jié)正態(tài)分布第五節(jié)醫(yī)學參考值范圍的制定第一節(jié)頻數(shù)分布

一、頻數(shù)分布表（frequencytable）

例2-1某醫(yī)院用隨機抽樣方法檢查了138名成年女子的紅細胞數(shù)，其測量結(jié)果如下，試編制頻數(shù)分布表。（1）求極差（range）：即最大值與最小值之差，又稱為全距。R＝5.46–3.07=2.39（2）決定分組組數(shù)、組距：根據(jù)研究目的和樣本含量n確定分組組數(shù)，通常分為10～15個組。組距=極差/組數(shù)，為方便計，組距為極差的十分之一,再略加調(diào)整。i=2.39/12=0.199≈0.2（3）列出組段：第一組段的下限略小于最小值，最后一個組段上限必須包含最大值。（4）劃記計數(shù)：用劃記法將所有數(shù)據(jù)歸納到各組段，得到各組段的頻數(shù)。頻數(shù)表的編制步驟表2-1138名成年女子的紅細胞數(shù)的頻數(shù)分布表N＝∑f二、頻數(shù)分布圖138名成年女子的紅細胞數(shù)的頻數(shù)分布圖三、頻數(shù)表和頻數(shù)分布圖用途1．描述頻數(shù)分布的類型（對稱分布、偏態(tài)分布）

（1）對稱分布：若各組段的頻數(shù)以中心位置左右兩側(cè)大體對稱，就認為該資料是對稱分布是否為對稱分布？是否為對稱分布？（2）偏態(tài)分布：

1）右偏態(tài)分布（正偏態(tài)分布）：右側(cè)的組段數(shù)多于左側(cè)的組段數(shù)，頻數(shù)向右側(cè)拖尾。

表2-3115名正常成年女子血清轉(zhuǎn)氨酶（mmol/L）含量分布

2）左偏態(tài)分布（負偏態(tài)分布）：左側(cè)的組段數(shù)多于右側(cè)的組段數(shù)，頻數(shù)向左側(cè)拖尾。

表2-4101名正常人的血清肌紅蛋白含量分布2．描述頻數(shù)分布的特征表2－1數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布特征：①數(shù)據(jù)變異（離散）的范圍在57~84（次/分）②數(shù)據(jù)集中（平均）的組段在68~73（次/分）之間，尤以組段的人數(shù)71~（次/分）最多。且上下組段的頻數(shù)分布基本對稱。3．便于發(fā)現(xiàn)一些特大或特小的可疑值4．便于進一步做統(tǒng)計分析和處理第二節(jié)集中趨勢的描述

統(tǒng)計上使用平均數(shù)（average）這一指標體系來描述一組變量值的集中位置或平均水平。常用的平均數(shù)有:算術(shù)均數(shù)（均數(shù)）（mean）幾何均數(shù)（geometricmean）中位數(shù)（median）與百分位數(shù)（percentile）眾數(shù)（mode）

一、算術(shù)均數(shù)算術(shù)均數(shù)：簡稱均數(shù)（mean）

可用于反映一組呈對稱分布的變量值在數(shù)量上的平均水平或者說是集中位置的特征值。1、計算方法（1）直接計算法

公式：舉例：試計算4，4，4，6，6，8，8，8，10的均數(shù)？例2-1某醫(yī)院用隨機抽樣方法檢查了138名成年女子的紅細胞數(shù)，其測量結(jié)果如下，試編制頻數(shù)分布表。（2）加權(quán)法(利用頻數(shù)表）：公式：k：頻數(shù)表的組段數(shù)，f：頻數(shù)，X：組中值。表2-1138名成年女子的紅細胞數(shù)的頻數(shù)分布表2、應(yīng)用均數(shù)適用于對稱分布，特別是正態(tài)分布資料。二、幾何均數(shù)（geometricmean）

可用于反映一組經(jīng)對數(shù)轉(zhuǎn)換后呈對稱分布或正態(tài)分布的變量值在數(shù)量上的平均水平。幾何均數(shù)（geometricmean）幾何均數(shù)：變量對數(shù)值的算術(shù)均數(shù)的反對數(shù)。

其他對數(shù)（如自然對數(shù)）變換獲得相同的幾何均數(shù)例2-4某地5例微絲蚴血癥患者治療7年后用間接熒光抗體試驗測得其抗體滴度倒數(shù)分別為10,20,40,40,160，求幾何均數(shù)。（2）加權(quán)法公式：例2-52、應(yīng)用：適用于成等比數(shù)列的資料，特別是服從對數(shù)正態(tài)分布資料。三、

中位數(shù)與百分位數(shù)11個大鼠存活天數(shù)：4，10，7，50，3，15，2，9，13，>60，>60平均存活天數(shù)?（一）中位數(shù)（median）是將每個變量值從小到大排列，位置居于中間的那個變量值。

計算公式:

n為奇數(shù)時

n為偶數(shù)時

例2-67名病人患某病的潛伏期分別為2,3,4,5,6,9,16天，求其中位數(shù)。例2-78名患者食物中毒的潛伏期分別為1,2,2,3,5,8,15,24小時，求其中位數(shù)。頻數(shù)表資料的中位數(shù)下限值L上限值Ui;fm中位數(shù)M例2-10表2-6118名鏈球菌咽喉炎患者的潛伏期應(yīng)用1、各種分布類型的資料2、特別適合大樣本偏態(tài)分布資料或者一端或兩端無確切數(shù)值的資料。

百分位數(shù)示意圖（二）百分位數(shù)（percentile）頻數(shù)表法

公式：

當時，公式（2-9）即為中位數(shù)的計算公式例2-10表2-6118名鏈球菌咽喉炎患者的潛伏期眾數(shù)（mode）眾數(shù)是一組觀察值中出現(xiàn)頻率最高的那個觀察值；若為分組資料，眾數(shù)則是出現(xiàn)頻率最高的那個組段的組中值。適用于大樣本；較粗糙。例有16例高血壓病人的發(fā)病年齡(歲)為：42,45,48,51,52,54,55,55,58,58,58,58,61,61,62,62，試求眾數(shù)。正態(tài)分布時：均數(shù)＝中位數(shù)＝眾數(shù)

正偏態(tài)分布時：均數(shù)>中位數(shù)>眾數(shù)

負偏態(tài)分布時：均數(shù)<中位數(shù)<眾數(shù)設(shè)有甲、乙、丙三名醫(yī)生，分別對相同的5份血樣進行紅細胞計數(shù)（萬/mm3），甲得出了560、540、500、460、440，乙得出了520、510、500、490、480，丙得出了510、505、500、495、490，見下圖2，三名醫(yī)生的計數(shù)結(jié)果得到的均數(shù)均為500，5個數(shù)值之和均為2500。第三節(jié)離散趨勢的描述甲醫(yī)生得出的5個觀察值間的差異（離散程度）較大，而丙醫(yī)生得出的5個觀察值間的差異（離散程度）較小。常用統(tǒng)計指標：極差、四分位數(shù)間距、方差、標準差和變異系數(shù)。一、極差（Range）極差，用R表示：即一組變量值最大值與最小值之差。對于書中例2-1數(shù)據(jù)，有簡單，但僅利用了兩端點值，穩(wěn)定性差。R＝5.46–3.07=2.39二、四分位數(shù)間距

（quartilerange）

四分位數(shù)間距，用Q表示：下四分位數(shù)：上四分位數(shù)：118名鏈球菌咽喉炎患者的潛伏期的四分位數(shù)間距三、方差與標準差1.方差（variance）也稱均方差（meansquaredeviation），反映一組數(shù)據(jù)的平均離散水平。

總體方差

樣本方差

離均差平方和SS

2、總體標準差用σ表示公式：樣本標準差用表示，其度量單位與均數(shù)一致，所以最常用。公式：離均差平方和SS

標準差的公式還可以寫成：利用頻數(shù)表計算標準差的公式為甲醫(yī)生，的5份血樣進行紅細胞計數(shù)560、540、500、460、440，其標準差為50.99（萬/mm3）同理，乙醫(yī)生5份血樣進行紅細胞計數(shù)其標準差為31.14（萬/mm3），丙醫(yī)生5份血樣進行紅細胞計數(shù)其標準差為7.91（萬/mm3），例2-14計算表2-1中138名成年女子的紅細胞數(shù)的標準差。（1）直接計算法：表2-1138名成年女子的紅細胞數(shù)的頻數(shù)分布表（2）頻數(shù)表法：標準差的意義和用途說明資料的離散趨勢(或變異程度)，標準差的值越大，說明變異程度越大，均數(shù)的代表性越差;...。標準差與原始數(shù)據(jù)的單位一致，在科技論文報告中，均數(shù)與標準差經(jīng)常被同時用來描述資料的集中趨勢與離散趨勢。用于計算變異系數(shù)用于計算標準誤(見第四章)結(jié)合均值與正態(tài)分布的規(guī)律，估計參考值的范圍(見第五節(jié))。四、變異系數(shù)變異系數(shù)(coefficientofvariation，CV)常用于比較度量單位不同或均數(shù)相差懸殊的兩組(或多組)資料的變異程度。某地7歲男孩身高的均數(shù)為123.10cm，標準差為4.71；體重均數(shù)為22.59kg，標準差為2.26kg,比較其變異度？身高體重第四節(jié)正態(tài)分布正態(tài)曲線（normalcurve）的發(fā)現(xiàn)

deMoivre（1667-1754），publishedin1733

Laplace（1749-1827）

Gauss（1777-1855）正態(tài)分布:又稱高斯分布（Gaussiandistribution）

一、正態(tài)分布的概念和特征

1．正態(tài)分布曲線的數(shù)學表達式(概率密度函數(shù)，probabilitydensityfunction，pdf

)

2．正態(tài)分布的特征正態(tài)曲線下面積分布有一定的規(guī)律，總面積=1。累積面積可通過對概率密度函數(shù)f(X)積分求得（累積）分布函數(shù)：圖2-7正態(tài)曲線面積分布示意圖

二、標準正態(tài)分布見P695，u~N(0，12)1.u值是原變量值（x）離均數(shù)差的相對值（標準化得分）。2.不同總體的μ、σ不同，但x值的u值可以相同。3.在相同的u值情況下，其u值對應(yīng)曲線下的面積（概率）相同。標準正態(tài)變量的特征：例2-15138名成年女子的紅細胞數(shù)的均數(shù)、標準差分別為：4.23與0.45;問在正態(tài)分布假定下，試估計該醫(yī)院所抽查成年女子的紅細胞數(shù)：①在4.00以下者占成年女子總?cè)藬?shù)的百分比；②在4.00~5.00之間者占成年女子總?cè)藬?shù)的百分比；③在5.00以上者占成年女子總?cè)藬?shù)的百分比。①在4.00以下者占成年女子總?cè)藬?shù)的百分比查附表1：Φ(-0.51)=0.3050，故在4.00以下者占成年女子總?cè)藬?shù)的30.50%③在5.00以上者占成年女子總?cè)藬?shù)的百分比。查附表1：Φ(-1.71)=0.0436，故在5.00以上者占成年女子總?cè)藬?shù)的4.36%②在4.00~5.00之間者占成年女子總?cè)藬?shù)的百分比100%-（4.36%+30.50%）=65.14%

正態(tài)分布

標準正態(tài)分布-0.511.71一、基本概念第五節(jié)醫(yī)學參考值范圍的制定1.意義：醫(yī)學參考值（referencevalue）是指包括絕大多數(shù)正常人的人體形態(tài)、機能和代謝產(chǎn)物等各種生理及生化指標常數(shù)，也稱正常值。由于存在個體差異，生物醫(yī)學數(shù)據(jù)并非常數(shù)而是在一定范圍內(nèi)波動，故采用醫(yī)學參考值范圍作為判定正常和異常的參考標準，但不是“金標準”。2.單、雙側(cè)問題，常依據(jù)醫(yī)學專業(yè)知識而定

雙側(cè):如：血清總膽固醇、血液白細胞數(shù)無論過低或過高均屬異常單側(cè)上限:如：血清轉(zhuǎn)氨酶、體內(nèi)有毒物質(zhì)過高異常（越低越好,<P95）單側(cè)下限:如：肺活量過低異常（越高越好,>P5）

3.有90%、95%、99%等醫(yī)學參考值范圍，最常用的是95%。計算醫(yī)學參考值范圍的常用方法：1、正態(tài)分布法2、百分位數(shù)法二、正態(tài)分布法公式：單側(cè)下限單側(cè)上限Z利用例2-1資料求正常成年女子的紅細胞數(shù)的95%參考值范圍。圖2-1顯示資料近似服從正態(tài)分布，因紅細胞數(shù)過