單自由度強(qiáng)迫振動(dòng)

第3章單自由度系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)系統(tǒng)在外部激勵(lì)作用下的振動(dòng)稱為受迫振動(dòng)或強(qiáng)迫振動(dòng)。自由振動(dòng)只是系統(tǒng)對(duì)初始擾動(dòng)(初始條件)的響應(yīng)。由于阻尼的存在,振動(dòng)現(xiàn)象很快就會(huì)消失。要使振動(dòng)持續(xù)進(jìn)行，必須有外界激勵(lì)輸入給系統(tǒng),以補(bǔ)充阻尼消耗的能量。所謂諧和激勵(lì)就是正弦或余弦激勵(lì)。3.1單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強(qiáng)迫振動(dòng)3.1單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強(qiáng)迫振動(dòng)設(shè)激勵(lì)為F(t)=F0sinwt，這里w為激振頻率，利用牛頓定律并引入阻尼比x可得到齊次方程的通解上章已經(jīng)給出。設(shè)其特解為:代入方程確定系數(shù)X0和f為：其中：為頻率比。3.1單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強(qiáng)迫振動(dòng)3.1.1非齊次方程的特解（P33-34）的全解為：3.1單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強(qiáng)迫振動(dòng)3.1.2非齊次方程的通解——

瞬態(tài)振動(dòng)和穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的疊加(P39-40)方程系數(shù)A1和A2由初始條件確定。設(shè)t＝0時(shí),則：3.1單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強(qiáng)迫振動(dòng)所以線性阻尼振動(dòng)系統(tǒng)在正弦激勵(lì)作用下的響應(yīng)（解）最終表示為:3.1單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強(qiáng)迫振動(dòng)上述解的第一部分代表由初始條件引起的自由振動(dòng);3.1單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強(qiáng)迫振動(dòng)第二部分代表由干擾力引起的自由振動(dòng)。這兩部分都是衰減振動(dòng)，隨時(shí)間的推移而消失，稱為瞬態(tài)響應(yīng)或暫態(tài)響應(yīng)；最后只剩下第三部分，代表與激振力同形式的等幅的強(qiáng)迫振動(dòng)，稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，這才是我們最關(guān)心的。若為余弦激勵(lì),則響應(yīng)（解）為：3.1單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強(qiáng)迫振動(dòng)系數(shù)X0和f與正弦激勵(lì)相同。

無(wú)阻尼系統(tǒng)的響應(yīng)（解）3.1單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強(qiáng)迫振動(dòng)余弦激勵(lì)正弦激勵(lì)3.1.3頻率域研究方法——

頻率響應(yīng)函數(shù)和復(fù)參數(shù)（P42-45）將振動(dòng)方程寫為復(fù)數(shù)形式其實(shí)部和虛部分別分別代表余弦和正弦激勵(lì)。令其特解為3.1單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強(qiáng)迫振動(dòng)代入方程得到令

H(w)稱為復(fù)頻率響應(yīng)函數(shù)，是系統(tǒng)對(duì)頻率為w的單位諧干擾力的復(fù)響應(yīng)的振幅。3.1單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強(qiáng)迫振動(dòng)則令求得C和f為比較系數(shù)得3.1單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強(qiáng)迫振動(dòng)由此得到3.1單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強(qiáng)迫振動(dòng)這里的X0與f和前面方法給出的結(jié)果一樣，即分別取z*式的實(shí)部和虛部就是對(duì)應(yīng)于余弦和正弦激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。3.1單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強(qiáng)迫振動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分析(P34-39)1.穩(wěn)態(tài)響應(yīng)xp=X0sin(wt－f)的性質(zhì)(P34)（1）在諧和激振條件下,響應(yīng)也是諧和的,其頻率與激振頻率相同;（2）諧和激勵(lì)強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅X0和相位角φ決定于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)和激振力的大小與頻率，與初始條件無(wú)關(guān);3.1單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強(qiáng)迫振動(dòng)（3）強(qiáng)迫振動(dòng)振幅X0的大小，在工程實(shí)際中具有重要的意義。如果振幅超過(guò)允許的限度，構(gòu)件就會(huì)產(chǎn)生過(guò)大的交變應(yīng)力而導(dǎo)致疲勞破壞，或影響機(jī)械加工或儀表的測(cè)量精度。因此在振動(dòng)工程中必需控制振幅的大小。3.1單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強(qiáng)迫振動(dòng)2.幅頻特性曲線（P35）對(duì)于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，定義動(dòng)力放大系數(shù)R為響應(yīng)的振幅X0與最大干擾力F0所引起的靜位移的比值：以x為參數(shù)，畫出R-r

曲線即幅頻特性曲線，表明了阻尼和激振頻率對(duì)響應(yīng)幅值的影響。3.1單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強(qiáng)迫振動(dòng)3.1單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強(qiáng)迫振動(dòng)Rr討論：

r<<1時(shí)(近似靜載),R≈1。即響應(yīng)幅值近似等于激振力幅值F0所引起的靜位移F0/k;

r

>>1時(shí)3.1單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強(qiáng)迫振動(dòng)振幅的大小主要決定于系統(tǒng)的慣性。這就是高速旋轉(zhuǎn)的機(jī)器正常工作時(shí)運(yùn)轉(zhuǎn)非常平穩(wěn)的原因。Rr

r≈1（激振頻率接近固有頻率）時(shí)，R迅速增大，振幅很大，這種現(xiàn)象稱為共振;3.1單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強(qiáng)迫振動(dòng)阻尼比x的影響:阻尼越小，共振越厲害。因此加大阻尼可以有效降低共振振幅。共振位置：將R對(duì)r求導(dǎo)數(shù)Rr令其等于0得3.1單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強(qiáng)迫振動(dòng)而r＝1時(shí)由此看出：當(dāng)x很小時(shí)的R和Rmax相差很小，所以在工程中通常認(rèn)為當(dāng)w＝wn時(shí)發(fā)生共振。以x為參數(shù),畫出f-r曲線即相頻特性曲線,表明了阻尼和激振頻率對(duì)相位差的影響。3.1單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強(qiáng)迫振動(dòng)f3.相頻特性曲線（P37）討論：從圖中可以看出,無(wú)阻尼情況下的曲線是由f＝0和f＝p的半直線段組成,在r＝1處發(fā)生間斷;3.1單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強(qiáng)迫振動(dòng)f有阻尼時(shí)f為在0～p之間變化的光滑曲線,并且不論f

取值多少,當(dāng)r＝1時(shí)都有f＝p/2,即曲線都交于(1,p/2)這一點(diǎn)。這一現(xiàn)象可以用來(lái)測(cè)定系統(tǒng)的固有頻率;

r

→∞時(shí),f→p,激振力與位移反相,系統(tǒng)平穩(wěn)運(yùn)行;

r

→0時(shí),f→0,激振力與位移同相,近似靜位移.4.品質(zhì)因子（P36)

工程上通常把共振時(shí)的動(dòng)力放大系數(shù)稱為品質(zhì)因子，記為Q：在頻率響應(yīng)曲線上用的一條水平直線在共振區(qū)附近截出兩點(diǎn)q1、q2，對(duì)應(yīng)于這兩點(diǎn)的激振頻率為w1、w2，q1、q2

稱為半功率點(diǎn)，w1、w2

之差稱為系統(tǒng)的半功率帶寬。3.1單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強(qiáng)迫振動(dòng)3.1單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強(qiáng)迫振動(dòng)w1/wn1

w2/wnrRq2q1求出動(dòng)力放大系數(shù)對(duì)應(yīng)于兩點(diǎn)q1、q2的兩個(gè)用x表示的根。由得當(dāng)x<<1時(shí),略去x

2以上小量得3.1單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強(qiáng)迫振動(dòng)則則3.1單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強(qiáng)迫振動(dòng)級(jí)數(shù)展開后近似為所以利用上式可以估算系統(tǒng)的阻尼比x，當(dāng)Q>5或x<0.1時(shí)其誤差不超過(guò)3％。通常把共振區(qū)取為共振區(qū)內(nèi)的頻率響應(yīng)曲線稱為共振峰。3.1單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強(qiáng)迫振動(dòng)

【例】總質(zhì)量為M的振動(dòng)機(jī)支承在彈簧k和阻尼器c上,兩個(gè)偏心質(zhì)量m/2繞相反方向以等角速度w轉(zhuǎn)動(dòng)。試討論振動(dòng)機(jī)在其平衡位置附近的運(yùn)動(dòng)。舉例解：用動(dòng)量定理求振動(dòng)方程。x方向的動(dòng)量為代入公式求得響應(yīng)為利用動(dòng)量定理得舉例討論：r→∞時(shí),則：MX→ml，sin(wt－f)→－sinwt舉例由于

sin(wt－f)→－sinwt,MX→ml，則：xC→0。這表明：當(dāng)r→∞（即高速旋轉(zhuǎn)）時(shí),振動(dòng)機(jī)的質(zhì)心幾乎保持靜止。即機(jī)器運(yùn)行非常平穩(wěn)。舉例而振動(dòng)機(jī)質(zhì)心的位移為的全解3.1單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強(qiáng)迫振動(dòng)諧和激勵(lì)作用下的共振響應(yīng)分析(P40)前面已經(jīng)得出的方程共振時(shí)：r＝1，wn＝w，且3.1單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強(qiáng)迫振動(dòng)則共振響應(yīng)變?yōu)?.1單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強(qiáng)迫振動(dòng)若為余弦激勵(lì),則共振響應(yīng)（解）為對(duì)于無(wú)阻尼振動(dòng)系統(tǒng)，根據(jù)前面得到的正弦激勵(lì)響應(yīng)3.1單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強(qiáng)迫振動(dòng)共振時(shí)后面項(xiàng)無(wú)意義，這時(shí)將sinwt在wn處進(jìn)行級(jí)數(shù)展開，忽略高次項(xiàng)得代入后面兩項(xiàng)3.1單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強(qiáng)迫振動(dòng)所以無(wú)阻尼系統(tǒng)正弦激勵(lì)下的共振響應(yīng)為3.1單自由度系統(tǒng)在諧和激振下的強(qiáng)迫振動(dòng)同理求得無(wú)阻尼系統(tǒng)余弦激勵(lì)下的共振響應(yīng)為

題3.15

求圖示系統(tǒng)在位移激勵(lì)下系統(tǒng)的響應(yīng)。解：以順時(shí)針轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)建立振動(dòng)方程為即：代入公式即可求出穩(wěn)態(tài)響應(yīng)……舉例

題3.16圖示系統(tǒng)，假定缸體與活塞桿之間的阻尼系數(shù)為c，求缸體振幅與y的關(guān)系。解：振動(dòng)方程為即：代公式即可求出振幅……舉例題3.20求圖示系統(tǒng)質(zhì)量塊的振幅。解：取靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)建立振動(dòng)方程則：代公式即可求出振幅…而：舉例補(bǔ)充例題…假設(shè)F(t)是周期為T的函數(shù)，表示為

F(t±nT)=F(t)，n＝0,1,2,…

設(shè)函數(shù)F(t)在一個(gè)周期內(nèi)分段光滑，則可以表示為傅里葉（Fourier）級(jí)數(shù):3.2.1傅里葉級(jí)數(shù)(P45-46)3.2單自由度系統(tǒng)在周期激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)3.2周期激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)其中各個(gè)系數(shù)計(jì)算分為兩種情況：當(dāng)F(t)定義在[－T/2,T/2]上時(shí)3.2周期激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)若F(t)為奇函數(shù)則an＝0，若F(t)為偶函數(shù)則bn＝0，且可分別寫為：3.2周期激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)當(dāng)F(t)定義在[0,T]上時(shí)3.2周期激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)周期激勵(lì)下的振動(dòng)方程3.2.2系統(tǒng)對(duì)周期激勵(lì)的響應(yīng)(P47-50)變?yōu)?.2周期激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)利用上節(jié)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)可得到其中3.2周期激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)無(wú)阻尼系統(tǒng)在周期激勵(lì)作用下的響應(yīng)其中3.2周期激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)題3.27求無(wú)阻尼系統(tǒng)在圖示周期激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解：激振力函數(shù)為3.2周期激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)

F為奇函數(shù)，可以只在半周期內(nèi)積分，也可以在0～T積分，而an＝0。在0～T積分時(shí)：3.2周期激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)在半周期內(nèi)積分時(shí)：最終結(jié)果均為：代入公式即可得出響應(yīng)。3.2周期激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)任意激振力作用下的響應(yīng)利用數(shù)學(xué)的卷積分方法求解。其基本思想是將任意激振力表示為無(wú)限多個(gè)常力之和，通過(guò)積分計(jì)算響應(yīng)。3.3瞬態(tài)振動(dòng)

（任意激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)）3.3任意激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)1.階躍函數(shù)定義階躍函數(shù)或稱單位臺(tái)階函數(shù)為3.3.1沖擊響應(yīng)H0(t)tO1此函數(shù)無(wú)量剛，在t＝0處有跳躍。3.3任意激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)類似地，若在t＝a處有跳躍，函數(shù)可寫為H0(t－a)。H0(t-a)tO1a3.3任意激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)d-函數(shù)（Dirac函數(shù)）或稱單位脈沖函數(shù),數(shù)學(xué)定義為2.d-函數(shù)(P52)OtOt13.3任意激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)同樣可定義t＝a時(shí)的單位脈沖函數(shù)Ota3.3任意激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)單位脈沖函數(shù)的重要性質(zhì)：3.3任意激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)單位脈沖激勵(lì)下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為3.單位脈沖響應(yīng)函數(shù)(P52-53)設(shè)初始條件為0，在Dt＝e內(nèi)對(duì)方程兩端積分得3.3任意激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)而（動(dòng)量的突變）（時(shí)間極短，位移無(wú)變化）因此3.3任意激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)說(shuō)明系統(tǒng)受到脈沖激勵(lì)后速度發(fā)生突變，而位置不變。即獲得了初始速度，然后作自由衰減振動(dòng)。利用上章的公式計(jì)算振幅和相位3.3任意激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)于是得到系統(tǒng)對(duì)單位脈沖激勵(lì)的響應(yīng)為顯然對(duì)t＝t處的單位脈沖激勵(lì)的響應(yīng)為

h(t)和h(t－t)稱為單位脈沖響應(yīng)函數(shù)，或簡(jiǎn)稱脈沖響應(yīng)函數(shù)。3.3任意激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)無(wú)阻尼系統(tǒng)對(duì)單位脈沖激勵(lì)的響應(yīng)為對(duì)t＝t處的單位脈沖激勵(lì)的響應(yīng)為3.3任意激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)設(shè)有圖示任意激勵(lì)F(t)，在時(shí)間區(qū)間[0,t]內(nèi)的作用可視為一系列脈沖F(t)dt

連續(xù)作用疊加而成。3.3.2褶積積分（卷積積分）

——任意激勵(lì)的響應(yīng)(P53-57)3.3任意激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)F(t)tdtttF(t)F(t)在任意瞬時(shí)t=t處，大小為F(t)dt的脈沖可用d-函數(shù)表示為F(t)dtd(t-t)，相應(yīng)的響應(yīng)為dx=F(t)dth(t-t)。因而系統(tǒng)對(duì)F(t)的總響應(yīng)為

這就是系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)F(t)的零初值響應(yīng)。稱為杜哈美（Duhamel）積分。3.3任意激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)1.階躍激勵(lì)（例3-3-1）幾種常見(jiàn)激勵(lì)的響應(yīng)利用杜哈美積分可求得3.3任意激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)

特別地，若F0＝1，則上式就成為單位臺(tái)階函數(shù)H0(t)的零初值響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)函數(shù)h(t)和單位臺(tái)階函數(shù)的響應(yīng)g(t)之間有下面的關(guān)系3.3任意激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)2.斜坡載荷激勵(lì)

F(t)＝at3.3任意激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)3.指數(shù)衰減函數(shù)激勵(lì)

F(t)＝F0e-at3.3任意激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)無(wú)阻尼系統(tǒng)的任意激勵(lì)零初值響應(yīng)杜哈美積分階躍激勵(lì)斜坡激勵(lì)指數(shù)激勵(lì)3.3任意激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)

【題3.28】

圖示系統(tǒng)，質(zhì)量為m1的物體從高h(yuǎn)處自由落下，與懸掛在彈簧k下的質(zhì)量m2碰撞后一起作微幅振動(dòng)，求振動(dòng)的固有頻率和響應(yīng)。3.3任意激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)

分析：碰撞前系統(tǒng)靜止，碰撞后兩個(gè)質(zhì)量一起振動(dòng)。

解：以碰撞前靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)建立方程而則固有頻率3.3任意激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)利用動(dòng)量定理計(jì)算碰撞后的初始速度即開始振動(dòng)時(shí)的初始條件為因此初始條件引起的響應(yīng)為3.3任意激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)利用杜哈美積分計(jì)算m1g引起的響應(yīng)（即階躍函數(shù)的響應(yīng)）則總響應(yīng)為3.3任意激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)

解法2：以碰撞后靜平衡位置（兩質(zhì)量一起振動(dòng)時(shí)的靜平衡位置）為坐標(biāo)原點(diǎn)建立方程而則固有頻率3.3任意激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)顯然為自由振動(dòng)。初始條件為

x0為由m1引起的靜變形。因此由初始條件引起的響應(yīng)得到3.3任意激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)

與解法1的響應(yīng)相差由m1引起的靜變形。這與數(shù)學(xué)概念完全吻合。

P81例4.6.1

求無(wú)阻尼振動(dòng)系統(tǒng)在圖示矩形脈沖激勵(lì)作用的零初值響應(yīng)。

解：激振力函數(shù)為F(t)tOF0T直接利用杜哈美積分。

t在[0,T]內(nèi)就是階躍函數(shù)的響應(yīng)3.3任意激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)t

在[T,∞)內(nèi)：3.3任意激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)因而響應(yīng)為：3.3任意激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)例：求無(wú)阻尼振動(dòng)系統(tǒng)在圖示三角形波干擾力作用下的零初值響應(yīng)。3.3任意激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)

解：激振力函數(shù)為3.3任意激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)直接利用杜哈美積分。在[0,t1]內(nèi)：3.3任意激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)在[t1,t2]內(nèi)：3.3任意激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)在t2

以后：3.3任意激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)

振動(dòng)理論的應(yīng)用設(shè)基礎(chǔ)的位移為x1，質(zhì)量的位移為x基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)(P75-81)x1(t)基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)則系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程為若令相對(duì)位移u=x－x1

，則用x表示的方程適用于基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)以位移形式給出;而用u表示的方程適用于基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)以速度或加速度形式給出，這時(shí)求出的是相對(duì)運(yùn)動(dòng)u。x1基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)例

求系統(tǒng)受y=Ysinwt

的基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)引起的響應(yīng)。解:方程為代公式求出由kYsinwt和cwYcoswt引起的響應(yīng)總振幅為基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)題3-10:車輛上裝一重為Q的物塊,某瞬時(shí)(t=0)車輪由水平路面進(jìn)入曲線路面,并繼續(xù)以等速v行駛。該曲線路面按

的規(guī)律起伏。設(shè)彈簧的剛性系數(shù)為k。求:(1)車輪進(jìn)入曲線路面時(shí)物塊的強(qiáng)迫振動(dòng)方程;(2)輪的臨界速度。題3-10圖yxvldQ基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)解:（1）系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程為振幅相位f=0，所以xvdQly基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)（2）不能發(fā)生共振.

共振時(shí)w=wn，即：所以臨界速度為基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)題3-32:圖示鋼梁,I=1.46×10-5m4,E＝210GPa,A端支座有脈動(dòng)力矩M＝1000(sin0.9wnt)Nm作用，物塊重量為60kN，梁質(zhì)量不計(jì)，求物塊穩(wěn)態(tài)振動(dòng)振幅。題3-10圖基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)【解法1】利用材料力學(xué)撓度計(jì)算公式則設(shè)梁中間位置相對(duì)靜平衡位置振動(dòng)的位移為y（向下）

，則：基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)(yM不引起彈性力)其中：

l＝3m，代公式求得振幅：即基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)【解法2】設(shè)梁中間位置相對(duì)靜平衡位置振動(dòng)的位移為y1（向下,不含M引起的撓度yM）

，則：基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)其中：

l＝3m，代公式求得振幅：即因此總振幅為：Y＝Y(jié)1＋yMmax＝0.966mm基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)

【解法3】將力偶M引起梁中點(diǎn)的位移等效為作用于在梁中點(diǎn)的集中力F引起的位移，則有所以等效集中力基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)設(shè)梁中間位置相對(duì)靜平衡位置振動(dòng)的位移為y（向下）

,則:代公式求得振幅：即基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)基礎(chǔ)的運(yùn)動(dòng)不但對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)有影響,而且系統(tǒng)也同樣將力通過(guò)彈簧和阻尼傳遞給基礎(chǔ)。振動(dòng)向基礎(chǔ)的傳遞(P72-75)對(duì)諧和振動(dòng)系統(tǒng)，傳遞到基礎(chǔ)上的力表示為振動(dòng)向基礎(chǔ)的傳遞其最大值為將其與激振力幅值的比值定義為力傳遞系數(shù)，或稱力傳遞率振動(dòng)向基礎(chǔ)的傳遞畫出傳遞率與頻率比的關(guān)系圖TR振動(dòng)向基礎(chǔ)的傳遞由關(guān)系圖和傳遞率的公式得知:（1）當(dāng)r→0即w→0和r→1.414時(shí),傳遞率為1,與