地圖與遙感第二章

新編地圖學(xué)教程電子教案第2章地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第2章地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)§1地球體§2地球坐標(biāo)系與大地定位§3地圖投影的基本知識§4地圖投影的分類§5方位投影§6圓柱投影§7圓錐投影§8其它投影§9地圖投影的辨認和選擇§1地球體1.1地球的自然表面浩瀚宇宙之中:

地球是一個表面光滑、藍色美麗的正球體。機艙窗口俯視大地:

地表是一個有些微起伏、極其復(fù)雜的表面。

——

珠穆朗瑪峰與太平洋的馬里亞納海溝之間高差近20km。事實是：

地球不是一個正球體，而是一個極半徑略短、赤道半徑略長，北極略突出、南極略扁平，近于梨形的橢球體。1.2地球的物理表面

當(dāng)海洋靜止時，自由水面與該面上各點的重力方向（鉛垂線）成正交，這個面叫水準面。 大地水準面:假定海水靜止不動,將海水面無限延伸,穿出大陸包圍地球的球體。它實際是一個起伏不平的重力等位面——地球物理表面。大地體:大地水準面包圍的形體。

大地水準面的意義1.地球形體的一級逼近__大地體： 對地球形狀的很好近似，其面上高出與面下缺少的相當(dāng)。2.起伏波動在制圖學(xué)中可忽略：

對大地測量和地球物理學(xué)有研究價值，但在制圖業(yè)務(wù)中，均把地球當(dāng)作正球體。3.實質(zhì)是重力等位面： 可使用儀器測得海拔高程（某點到大地水準面的高度）。1.3地球的數(shù)學(xué)表面

在測量和制圖中就用旋轉(zhuǎn)橢球體來代替大地球體，這個旋轉(zhuǎn)橢球體通常稱為地球橢球體，簡稱橢球體。

它是一個規(guī)則的數(shù)學(xué)表面，所以人們視其為地球體的數(shù)學(xué)表面，也是對地球形體的二級逼近，用于測量計算的基準面。橢球體三要素:

長軸a（赤道半徑）、短軸b（極半徑）和橢球的扁率fEquatorialAxisPolarAxisNorthPoleSouthPoleEquatorabWGS[worldgeodeticsystem]84ellipsoid:a=6378137m

b=6356752.3m

equatorialdiameter=12756.3km

polardiameter=12713.5km

equatorialcircumference=40075.1km

surfacearea=510064500km2

a-b6378137-6356752.3f=——=————————

a63781371—=298.257f對

a，b，f

的具體測定就是近代大地測量的一項重要工作。

對地球形狀

a，b，f

測定后，還必須確定大地水準面與橢球體面的相對關(guān)系。即確定與局部地區(qū)大地水準面符合最好的一個地球橢球體——參考橢球體，這項工作就是參考橢球體定位。

通過數(shù)學(xué)方法將地球橢球體擺到與大地水準面最貼近的位置上，并求出兩者各點間的偏差，從數(shù)學(xué)上給出對地球形狀的三級逼近——參考橢球體。

由于國際上在推求年代、方法及測定的地區(qū)不同，故地球橢球體的元素值有很多種。地球表面上的定位問題，是與人類的生產(chǎn)活動、科學(xué)研究及軍事國防等密切相關(guān)的重大問題。具體而言，就是球面坐標(biāo)系統(tǒng)的建立。§2地球坐標(biāo)系與大地定位2.1地理坐標(biāo)

——用經(jīng)緯度表示地面點位的球面坐標(biāo)。天文經(jīng)緯度大地經(jīng)緯度地心經(jīng)緯度①天文經(jīng)緯度：表示地面點在大地水準面上的位置，用天文經(jīng)度和天文緯度表示。天文經(jīng)度：觀測點天頂子午面與格林尼治天頂子午面間的兩面角。在地球上定義為本初子午面與觀測點之間的兩面角。天文緯度：在地球上定義為鉛垂線與赤道平面間的夾角。②

大地經(jīng)緯度：表示地面點在參考橢球面上的位置，用大地經(jīng)度l

、大地緯度

和大地高

h

表示。大地經(jīng)度l

：指參考橢球面上某點的大地子午面與本初子午面間的兩面角。東經(jīng)為正，西經(jīng)為負。大地緯度

：指參考橢球面上某點的垂直線（法線）與赤道平面的夾角。北緯為正，南緯為負。③

地心經(jīng)緯度：即以地球橢球體質(zhì)量中心為基點，地心經(jīng)度同大地經(jīng)度l

，地心緯度是指參考橢球面上某點和橢球中心連線與赤道面之間的夾角y

。

在大地測量學(xué)中，常以天文經(jīng)緯度定義地理坐標(biāo)。在地圖學(xué)中，以大地經(jīng)緯度定義地理坐標(biāo)更好。在地理學(xué)研究及地圖學(xué)的小比例尺制圖中，通常將橢球體當(dāng)成正球體看，采用地心經(jīng)緯度。2.2中國的大地坐標(biāo)系統(tǒng)1.中國的大地坐標(biāo)系ICA-75橢球參數(shù)

a=6378140mb=6356755mf=1/298.257

中國1952年前采用海福特（Hayford）橢球體；1953—1980年采用克拉索夫斯基橢球體（坐標(biāo)原點是前蘇聯(lián)玻爾可夫天文臺）；自1980年開始采用GRS1975（國際大地測量與地球物理學(xué)聯(lián)合會IUGG1975推薦）新參考橢球體系，并確定陜西涇陽縣永樂鎮(zhèn)北洪流村為“1980西安坐標(biāo)系”大地坐標(biāo)的起算點。陜西省涇陽縣永樂鎮(zhèn)北洪流村為“1980西安坐標(biāo)系”大地坐標(biāo)的起算點——大地原點。2.中國的大地控制網(wǎng)平面控制網(wǎng):按統(tǒng)一規(guī)范，由精確測定地理坐標(biāo)的地面點組成，由三角測量或?qū)Ь€測量完成，依精度不同，分為一等三角鎖、二等三角網(wǎng)、三等三角網(wǎng)、四等三角網(wǎng)四等。三角測量：在全國范圍內(nèi)將控制點組成一系列的三角形，通過測定所有三角形的內(nèi)角，推算出各控制點的坐標(biāo)。導(dǎo)線測量：把各個控制點連接成連續(xù)的折線，然后測定這些折線的邊長和轉(zhuǎn)角，最后根據(jù)起算點的坐標(biāo)和方位角推算其他各點坐標(biāo)。包括閉合導(dǎo)線、附合導(dǎo)線、支導(dǎo)線。布設(shè)原則：由高級到低級，由整體到局部，步步有檢核。由平面控制網(wǎng)和高程控制網(wǎng)組成，控制點遍布全國各地。等級邊長分布密度分布方向一等三角鎖20~25km鎖與鎖間距200km沿經(jīng)緯線分布二等三角網(wǎng)13km150km2有一控制點（1：10萬，1：5萬》3點）在一等加密三等三角網(wǎng)8km50km2有一控制點（1：5萬2~3點）在二等加密四等三角網(wǎng)4km20km2有一控制點（1：1萬~2點）在三等加密高程控制網(wǎng)

:

按統(tǒng)一規(guī)范，由精確測定高程的地面點組成，以水準測量或三角高程測量完成。依精度不同，分為四等。中國高程起算面是黃海平均海水面。1956年在青島觀象山設(shè)立了水準原點（72.289m)，其他各控制點的絕對高程均是據(jù)此推算，稱為1956年黃海高程系。1987年國家測繪局公布：啟用《1985國家高程基準》取代《黃海平均海水面》，其比《黃海平均海水面》上升29毫米。（72.260m)

青島觀象山水準原點絕對高程（海拔）：地面點到大地水準面的垂直距離。相對高程：地面點到任一水準面的垂直距離。高差：某兩點的高程之差。國家測繪局國家測繪局國家測繪局國家測繪局2.3全球定位系統(tǒng)-GPS

授時與測距導(dǎo)航系統(tǒng)/全球定位系統(tǒng)(NavigationSatelliteTimingandRanging/GlobalPositioningSystem--GPS)：是以人造衛(wèi)星為基礎(chǔ)的無線電導(dǎo)航系統(tǒng)，可提供高精度、全天候、實時動態(tài)定位、定時及導(dǎo)航服務(wù)。

GPS系統(tǒng)的組成部分:空間部分：21顆工作衛(wèi)星，3顆備用衛(wèi)星（白色）。它們在高度20200km的近圓形軌道上運行，分布在六個軌道面上，軌道傾角55°，兩個軌道面之間在經(jīng)度上相隔60°，每個軌道面上布放四顆衛(wèi)星。衛(wèi)星在空間的這種配置，保障了在地球上任意地點，任意時刻，至少同時可見到四顆衛(wèi)星。

地面支撐系統(tǒng)：1個主控站，3個注入站，5個監(jiān)測站。它向GPS導(dǎo)航衛(wèi)星提供一系列描述衛(wèi)星運動及其軌道的參數(shù)；監(jiān)控衛(wèi)星沿著預(yù)定軌道運行；保持各顆衛(wèi)星處于GPS時間系統(tǒng)及監(jiān)控衛(wèi)星上各種設(shè)備是否正常工作等。

用戶設(shè)備部分：GPS接收機——接收衛(wèi)星信號，經(jīng)數(shù)據(jù)處理得到接收機所在點位的導(dǎo)航和定位信息。通常會顯示出用戶的位置、速度和時間。還可顯示一些附加數(shù)據(jù)，如到航路點的距離和航向或提供圖示?！?地圖投影的基本知識

地圖投影是地圖學(xué)重要組成部分之一，是構(gòu)成地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，在地圖學(xué)中的地位是相當(dāng)重要的。地圖投影研究的對象就是如何將地球體表面描寫到平面上，也就是研究建立地圖投影的理論和方法，地圖投影的產(chǎn)生、發(fā)展、直到現(xiàn)在，已有一千多年的歷史，研究的領(lǐng)域也相當(dāng)廣泛，實際上它已經(jīng)形成了一門獨立的學(xué)科。我們學(xué)習(xí)投影的目的主要是了解和掌握最常用、最基本的投影性質(zhì)和特點以及他們的變形分布規(guī)律，從而能夠正確的辨認使用各種常用的投影。

研究各種投影的變形規(guī)律是通過把投影后的經(jīng)緯線網(wǎng)與地球儀上經(jīng)緯線網(wǎng)格比較而實現(xiàn)的。地球儀是地球的真實縮小。通過比較就會發(fā)現(xiàn)地球儀上的經(jīng)緯網(wǎng)形狀與投影后經(jīng)緯網(wǎng)的形狀是不相同的。為了研究變形，首先讓我們分析一下地球儀上經(jīng)緯網(wǎng)的特點：1.所有經(jīng)線都是通過兩極的半圓且長度相等；所有緯線都是圓，圓半徑由赤道向兩極遞減，極地成為一點。2.經(jīng)線表示南北方向；緯線表示東西方向。3.經(jīng)線和緯線是相互垂直的。4.緯差相等的經(jīng)線弧長相等；同一條緯線上經(jīng)差相等的緯線弧長相等，在不同的緯線上，經(jīng)差相等的緯線弧長不等，由赤道向兩極遞減。5.同一緯度帶內(nèi)，經(jīng)差相同的經(jīng)緯線網(wǎng)格面積相等，同一經(jīng)度帶內(nèi)，緯差相同的經(jīng)緯線網(wǎng)格面積不等，緯度越高，梯形面積越?。ㄓ傻途曄蚋呔曋饾u縮?。?。3.1地圖表面和地球球面的矛盾

地圖通常是繪在平面介質(zhì)上的，而地球體表面是曲面，因此制圖時首先需要把曲面展成平面，然而，球面是個不可展的曲面，要把球面直接展成平面，必然要發(fā)生斷裂或褶皺。無論是將球面沿經(jīng)線切開，或是沿緯線切開，或是在極點結(jié)合，或是在赤道結(jié)合，他們都是有裂隙的。

3.2地圖投影的定義

地球橢球體表面是不可展曲面，要將曲面上的客觀事物表示在有限的平面圖紙上，必須經(jīng)過由曲面到平面的轉(zhuǎn)換。

地圖投影：在地球橢球面和平面之間建立點與點之間函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)方法。

地圖投影的實質(zhì)：是將地球橢球面上的經(jīng)緯線網(wǎng)按照一定的數(shù)學(xué)法則轉(zhuǎn)移到平面上。3.3地圖投影變形1.投影變形的概念把地圖上和地球儀上的經(jīng)緯線網(wǎng)進行比較，可以發(fā)現(xiàn)變形表現(xiàn)在長度、面積和角度三個方面。2.變形橢圓 取地面上一個微分圓（小到可忽略地球曲面的影響，把它當(dāng)作平面看待），它投影到平面上通常會變?yōu)闄E圓，通過對這個橢圓的研究，分析地圖投影的變形狀況。這種圖解方法就叫變形橢圓。為經(jīng)線長度比；為緯線長度比微小圓→變形橢圓

該方程證明:地球面上的微小圓，投影后通常會變?yōu)闄E圓，即：

以O(shè)'為原點，以相交成q角的兩共軛直徑為坐標(biāo)軸的橢圓方程式。代入：X2+Y2=1，得特別方向：變形橢圓上相互垂直的兩個方向及經(jīng)向和緯向.長軸方向(長度比)a短軸方向(長度比)b經(jīng)線方向(長度比)m

緯線方向(長度比)n統(tǒng)稱主方向阿波隆尼定理(Apollonius):

橢圓內(nèi)兩共軛半徑的平方和等于其長短半徑的平方和；兩個共軛半徑與它們的交角正弦的乘積等于其長短半徑的乘積。根據(jù)阿波隆尼定理有:m2+n2=a2+b2m·n·sinq=a·b

橢圓共軛直徑:過橢圓內(nèi)任一條直徑(圖中LL)的平行弦中點的軌跡(圖中KK)。KKLOθabmnL

3.4地圖比例尺

1.含義

比例尺：地圖上一直線段長度與地面相應(yīng)直線段長度之比。即比例尺=圖上距離/實地距離可表達為（d為圖上距離，D為實地距離）

根據(jù)地圖投影變形情況，比例尺分為：主比例尺：在投影面上沒有變形的點或線上的比例尺。局部比例尺：在投影面上有變形處的比例尺。2.比例尺的表示

①

數(shù)字式比例尺

如1:10000

②

文字式比例尺

如百萬分之一

③

圖解式比例尺

直線比例尺 斜分比例尺 復(fù)式比例尺

④特殊比例尺

變比例尺 無級別比例尺3.5投影變形的相關(guān)概念

1.長度比和長度變形：

長度比(m):投影面上一微小線段dS′（變形橢圓半徑）和球面上相應(yīng)微小線段dS（球面上微小圓半徑，已按規(guī)定的比例縮小）之比。>0變大=0不變<0變小長度比是變量，隨位置和方向的變化而變化。長度變形(V

m):長度比與1的差。2.面積比和面積變形

面積比（P

）:投影面上微小面積（變形橢圓面積）dF′與球面上相應(yīng)的微小面積（小圓面積）dF之比。面積變形（Vp

）:面積比與1的差。>0變大=0不變<0變小P=a·b=m

·

n(q=90)P=m

·

n

·

sinq

(q≠90)面積比是變量，隨位置的不同而變化。3.角度變形

角度變形：投影面上任意兩方向線夾角與球面上相應(yīng)兩方向線夾角之差。以ω表示角度最大變形。

設(shè)A點的坐標(biāo)為（x、y），A′點的坐標(biāo)為(x

′、y

′)，則將兩式相除，得：顯然當(dāng)（a+a

′）=90°時，右端取最大值，則最大方向變形：以w表示角度最大變形：若已知

m,n,q，則：4.主比例尺和局部比例尺

地圖上注記的比例尺，稱之為主比例尺，它是運用地圖投影方法繪制經(jīng)緯線網(wǎng)時，首先把地球橢球體按規(guī)定比例尺縮小，如制1：100萬地圖，首先將地球縮小100萬倍，而后將其投影到平面上，那么1：100萬就是地圖的主比例尺。由于投影后有變形，所以主比例尺僅能保留在投影后沒有變形的點或線上，而其他地方不是比主比例尺大，就是比主比例尺小。所以大于或小于主比例尺的叫局部比例尺。

注意長度比、長度變形與地圖比例尺的區(qū)別。5.等變形線在各種投影圖上，都存在著誤差或變形。并且各不同點的變形數(shù)量常常是不一樣的，為了便于觀察和了解繪制區(qū)域變形的分布。常用等變形線來表示制圖區(qū)域的變形分布特征。等變形線就是變形值相等各點的連線。它是根據(jù)計算的各種變形的數(shù)值（如p,w）繪于經(jīng)緯線網(wǎng)格內(nèi)的，如面積等變形線。

等變形線在不同的投影圖上，具有不同的形狀，在方位投影中，因投影中心點無變形，從投影中心向外變形逐漸增大，等變形線成同心圓狀分布。等變形線通常是用點虛線來表示的?！?地圖投影的分類

地圖投影的種類很多，由于分類的標(biāo)志不同，分類的方法也不同。4.1按變形性質(zhì)分類

地球球面投影到平面時，產(chǎn)生的變形有長度、角度和面積三種，根據(jù)變形特征可分為：等角投影、等積投影和任意投影三種。1.等角投影（正形投影）①定義:投影以后角度沒有變形的投影。②投影條件：w=0或a=b，m=n③變形橢圓見右圖④投影特點：面積變形大。等角投影在同一點任何方向的長度比都相等，但在不同地點長度比是不同的。⑤用途：多用于編制航海圖、洋流圖、風(fēng)向圖等地形圖。2.等積投影

①定義:投影以后面積沒有變形的投影。②投影條件：Vp=p―１＝０p=1或a=1/b或b=1/a③變形橢圓見右圖④投影特點：角度變形大。這類投影可以保持面積沒有變形，故有利于在圖上進行面積對比。⑤用途：一般用于繪制對面積精度要求較高的自然地圖和經(jīng)濟地圖。3.任意投影①定義:既不等角也不等積的投影。在任意投影中，有一種特殊的投影，叫做等距投影。②投影條件：a=1或b=1或m=1③變形橢圓見右圖④投影特點：面積變形、角度變形都不大（面積變形小于等角投影，角度變形小于等積投影）。⑤用途：用于教學(xué)地圖、交通地圖。

等角投影等積投影等距投影任意投影

如圖表示各種變形性質(zhì)不同的地圖投影中變形橢圓的形狀。通過比較可以看出：①等積投影不能保持等角特性，等角投影不能保持等積特性。②任意投影不能保持等積、等角特性。③等積投影的形狀變化比較大，等角投影的面積變形比較大。4.2按構(gòu)成方法分類1.幾何投影幾何投影是把地球球面上的經(jīng)緯線網(wǎng)投影到幾何面上，然后將幾何面展為平面而得到的，根據(jù)幾何面的形狀，可進一步分為如下幾類：⑴方位投影以平面作為投影面，使平面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到平面上而成。⑵圓柱投影以圓柱面作為投影面，使圓柱面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓柱面上，然后將圓柱面展為平面而成。⑶圓錐投影以圓錐面作為投影面，使圓錐面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓錐面上，然后將圓錐面展為平面而成。2.非幾何投影：

根據(jù)某些條件，用數(shù)學(xué)解析法確定球面與平面之間點與點的函數(shù)關(guān)系。 偽方位投影：在方位投影的基礎(chǔ)上，根據(jù)某些條件改變經(jīng)線形狀而成，除中央經(jīng)線為直線外，其余均投影為對稱中央經(jīng)線的曲線。 偽圓柱投影：在圓柱投影基礎(chǔ)上，根據(jù)某些條件改變經(jīng)線形狀而成，無等角投影。除中央經(jīng)線為直線外，其余均投影為對稱中央經(jīng)線的曲線。 偽圓錐投影：在圓錐投影基礎(chǔ)上，根據(jù)某些條件改變經(jīng)線形狀而成，無等角投影。除中央經(jīng)線為直線外，其余均投影為對稱中央經(jīng)線的曲線。 多圓錐投影：設(shè)想有更多的圓錐面與球面相切，投影后沿一母線剪開展平。緯線投影為同軸圓弧，其圓心都在中央經(jīng)線的延長線上。中央經(jīng)線為直線，其余經(jīng)線投影為對稱于中央經(jīng)線的曲線。§5方位投影5.1方位投影的概念和種類

方位投影是以平面作為投影面，使平面與地球表面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到平面上所得到的圖形。本節(jié)只介紹常用的切方位投影，將地球半徑視為R的球體。方位投影可分為透視方位投影和非透視方位投影兩類。1.透視方位投影

利用透視法把地球表面投影到平面上的方法稱為透視投影。透視方位投影的點光源或視點位于垂直于投影面的地球直徑及其延長線上，由于視點位置不同，因而有不同的透視方位投影。①當(dāng)視點（光源）位于地球球心時，即視點距投影面距離為R時，稱為中心射方位投影或球心投影。②當(dāng)視點或光源位于地球表面時，即視點到投影面距離為2R時，稱為平射方位投影或球面投影。③當(dāng)視點或光源位于無限遠時，投影線（光線）成為平行線，稱為正射投影。

根據(jù)投影面和地球球面相切位置的不同，透視投影可分為三類：①當(dāng)投影面切于地球極點時，稱為正軸方位投影。②當(dāng)投影面切于赤道時，稱為橫軸方位投影。③當(dāng)投影面切于既不在極點也不在赤道時，稱為斜軸方位投影。2.非透視方位投影

非透視方位投影是借助于透視投影的方式，而附加上一定的條件，如加上等積、等距等條件所構(gòu)成的投影。在這類投影中有等距方位投影和等積方位投影。5.2正軸方位投影

投影中心為極點，緯線為同心圓，經(jīng)線為同心圓的半徑，兩條經(jīng)線間的夾角與實地相等。等變形線都是以投影中心為圓心的同心圓。包括等角、等積、等距三種變形性質(zhì)，主要用于制作兩極地區(qū)圖。等角正軸方位投影①投影條件：投影面---平面w=0Ψ0=90o

②投影公式：μ1=sec2（z/2）μ2=sec2（z/2

）

③經(jīng)緯線形式：緯線是以極點為圓心的同心圓，經(jīng)線是同心圓的半徑。在中央經(jīng)線上緯線間隔自投影中心向外逐漸增大。經(jīng)線夾角等于相應(yīng)的經(jīng)差.

④變形分布規(guī)律：ⅰ

投影中心無變形，離開投影中心愈遠面積、長度變形增大。ⅱ

w=0ⅲμ1=μ2μ11→2

μ21→2p1→4ⅳ沒有角度變形，但面積變形較大。ⅴ角度、面積等變形線為以投影中心為圓心的同心圓。2.等積正軸方位投影

①投影條件：投影面---平面

p=1Ψ0=90o

②投影公式：μ1=cos（z/2）μ2=sec（z/2

）

③經(jīng)緯線形式：緯線是以極點為圓心的同心圓，經(jīng)線是同心圓的半徑。在中央經(jīng)線上緯線間隔自投影中心向外逐漸減小。

④變形分布規(guī)律：ⅰ投影中心無變形，離開投影中心愈遠角度、長度變形增大。ⅱp=1ⅲμ1<1μ11→0.707

μ2>1

μ21→1.414ⅳ沒有面積變形，但角度變形較大。ⅴ角度、面積等變形線為以投影中心為圓心的同心圓。3.等距正軸方位投影

①投影條件：投影面---平面

μ1=1Ψ0=90o

②投影公式：μ1=1μ2=z/sinz

③經(jīng)緯線形式：緯線是以極點為圓心的同心圓，經(jīng)線是同心圓的半徑。在中央經(jīng)線上緯線間隔自投影中心向外不變即相等。

④變形分布規(guī)律：ⅰ投影中心無變形，離開投影中心愈遠角度、長度變形增大。ⅱμ1=1μ2>1

μ21→1.57ⅲ角度、面積等變形線為以投影中心為圓心的同心圓。ⅳ面積變形、角度變形都不大。

5.3橫軸方位投影

平面與球面相切，其切點位于赤道上。特點：通過投影中心的中央經(jīng)線和赤道為直線，其他經(jīng)緯線投影后都是對稱于中央經(jīng)線和赤道的曲線。1.等角橫軸方位投影

①投影條件：投影面---平面w=0Ψ0=0o

②投影公式：μ1=sec2（z/2）μ2=sec2（z/2）

③經(jīng)緯線形式：中央經(jīng)線為直線，其它經(jīng)線是對稱于中央經(jīng)線的曲線。中央緯線為直線，其它緯線是對稱于中央緯線的曲線。在中央經(jīng)線上緯線間隔自投影中心向外逐漸增大。在中央緯線上經(jīng)線間隔自投影中心向東、向西方向逐漸增大。④變形分布規(guī)律：ⅰ投影中心無變形，離開投影中心愈遠面積、長度變形增大。ⅱw=0ⅲμ1=μ2μ11→2μ21→2p1→4ⅳ沒有角度變形，但面積變形較大。ⅴ面積等變形線與緯圈一致。2.等積橫軸方位投影①投影條件：投影面---平面p=1Ψ0=0o

②投影公式：μ1=cos（z/2）μ2=sec（z/2）

③經(jīng)緯線形式：中央經(jīng)線為直線，其它經(jīng)線是對稱于中央經(jīng)線的曲線。中央緯線為直線，其它緯線是對稱于中央緯線的曲線。在中央經(jīng)線上緯線間隔自投影中心向外逐漸減小。在中央緯線上經(jīng)線間隔自投影中心向東、向西方向逐漸增大。④變形分布規(guī)律：ⅰ投影中心無變形，離開投影中心愈遠角度、長度變形增大。ⅱp=1ⅲμ1<1μ11→0.707μ2>1

μ21→1.414ⅳ沒有面積變形，但角度變形較大。ⅴ角度等變形線與等高圈一致。3.等距橫軸方位投影

①投影條件：投影面---平面μ1=1Ψ0=0o

②投影公式：μ1=1μ2=z/sinz

③經(jīng)緯線形式：中央經(jīng)線為直線，其它經(jīng)線是對稱于中央經(jīng)線的曲線。中央緯線為直線，其它緯線是對稱于中央緯線的曲線。在中央經(jīng)線上緯線間隔相等。在中央緯線上經(jīng)線間隔自投影中心向東、向西方向逐漸增大。④變形分布規(guī)律：ⅰ投影中心無變形，離開投影中心愈遠角度、長度變形增大。ⅱμ1=1μ2>1

μ21→1.57ⅲ角度、面積等變形線與等高圈一致。ⅳ面積變形、角度變形都不大。

5.4斜軸方位投影投影面切于兩極和赤道間的任意一點上。在這種投影中，中央經(jīng)線投影為直線，其他經(jīng)線投影為對稱于中央經(jīng)線的曲線，緯線投影為曲線。1.等角斜軸方位投影①投影條件：投影面---平面

w=00o<Ψ0<

90o

②投影公式：μ1=sec2（z/2）μ2=sec2（z/2）

③經(jīng)緯線形式：中央經(jīng)線為直線，其它經(jīng)緯線均是曲線。在中央經(jīng)線上緯線間隔自投影中心向外逐漸增大。④變形分布規(guī)律：ⅰ投影中心無變形，離開投影中心愈遠面積、長度變形增大。ⅱw=0ⅲμ1=μ2μ11→2μ21→2p1→4ⅳ沒有角度變形，但面積變形較大。ⅴ面積等變形線與等高圈一致。2.等積斜軸方位投影①投影條件：投影面---平面

p=10o<Ψ0<

90o

②投影公式：μ1=cos（z/2）μ2=sec（z/2）

③經(jīng)緯線形式：中央經(jīng)線為直線，其它經(jīng)緯線均是曲線。在中央經(jīng)線上緯線間隔自投影中心向外逐漸減小。④變形分布規(guī)律：ⅰ投影中心無變形，離開投影中心愈遠角度、長度變形增大。ⅱp=1ⅲμ1<1μ11→0.707μ2>1

μ21→1.414ⅳ沒有面積變形，但角度變形較大。ⅴ角度等變形線與等高圈一致。3.等距斜軸方位投影等距方位投影屬于任意投影，它既不等積也不等角。①投影條件：投影面---平面μ1=1

0o<Ψ0<

90o

②投影公式：μ1=1μ2=z/sinz

③經(jīng)緯線形式：中央經(jīng)線為直線，其它經(jīng)緯線均是曲線。在中央經(jīng)線上緯線間隔相等。④變形分布規(guī)律：ⅰ投影中心無變形，離開投影中心愈遠角度、長度變形增大。ⅱμ1=1μ2>1

μ21→1.57ⅲ角度、面積等變形線與等高圈一致。ⅳ面積變形、角度變形都不大。5.5橫軸和斜軸方位投影的變形分布規(guī)律橫軸和斜軸方位投影的變形大小和分布規(guī)律與正軸投影完全一致，在橫軸和斜軸投影中，由于投影面的中心點不在地理坐標(biāo)的極點上，如果仍用地理坐標(biāo)決定地面點的位置，而將這一點投影到平面上，就變得復(fù)雜了。但是如果我們在地球表面上重新建立一種新的坐標(biāo)系，使新坐標(biāo)系的極點在投影面的中心點上，這樣對于橫軸和斜軸投影來說，投影面與新極點的關(guān)系，也就和正軸投影的投影面與地理極的關(guān)系一樣了，這樣問題就簡單多了，正軸的公式就可以應(yīng)用到橫軸和斜軸投影中去，而只是地面上點的位置用不同的坐標(biāo)系表示而異。先介紹建立這種球面坐標(biāo)系的方法，設(shè)在地球球面上選擇一點p作為球面坐標(biāo)系的極。投影面在p點與地球面相切，過新極點p可做許多大圓，命名為垂直圈，再作垂直于垂直圈的各圈，命名為等高圈。這樣垂直圈相當(dāng)于地理坐標(biāo)系的經(jīng)線圈，等高圈相當(dāng)于緯線圈，這樣等高圈和垂直圈投影后的形式和變形分布規(guī)律和正軸方位投影時，情況完全一致。

無論是正軸方位投影還是橫軸方位投影或是斜軸方位投影，他們的誤差分布規(guī)律是一致的。他們的等變形線都是以投影中心為圓心的同心圓，所不同的是在橫軸和斜軸方位投影中，主方向和等高圈、垂直圈一致，而經(jīng)緯線方向不是主方向。

5.6幾種方位投影變形性質(zhì)的圖形判別①方位投影經(jīng)緯線形式具有共同的特征，判別時先看構(gòu)成形式（經(jīng)緯線網(wǎng)），判別是正軸、橫軸、斜軸方位投影。正軸投影，其緯線為以投影中心為圓心的同心圓，經(jīng)線為交于投影中心的放射狀直線，夾角相等。橫軸投影，赤道與中央經(jīng)線為垂直的直線，其他經(jīng)緯線為曲線。斜軸投影，除中央經(jīng)線為直線外，其余的經(jīng)緯線均為曲線。

②然后根據(jù)中央經(jīng)線上經(jīng)緯線間隔的變化，判別變形性質(zhì)。等角方位投影，在中央經(jīng)線上，緯線間隔從投影中心向外逐漸增大；等積方位投影，逐漸縮?。坏染喾轿煌队?，間隔相等。如上可判斷方位投影的變形性質(zhì)及推斷出投影的名稱。§6圓柱投影6.1圓柱投影的概念和種類

假定以圓柱面作為投影面，把地球面上的經(jīng)緯線網(wǎng)投影到圓柱面上，然后沿圓柱面的母線把圓柱切開展成平面，就得到圓柱投影。當(dāng)圓柱面和地球體相切時，稱為切圓柱投影，和地球體相割時稱為割圓柱投影。由于圓柱和地球體相切相割的位置不同，圓柱投影又分為正軸、橫軸和斜軸圓柱投影三種。正軸圓柱投影——圓柱的軸和地球的地軸一致；橫軸圓柱投影——圓柱的軸和地軸垂直并通過地心；斜軸圓柱投影——圓柱的軸通過地心，和地軸不垂直不重合。

1、經(jīng)線投影為平行直線，平行線間的距離和經(jīng)差成正比。2、緯線投影成為一組與經(jīng)線正交的平行直線，平行線間的距離視投影條件而異。3、和圓柱面相切的赤道弧長或相隔的兩條緯線的弧長為正長無變形。圓柱投影按變形性質(zhì)可分為等角圓柱投影、等積圓柱投影和任意圓柱投影。在上述三種投影方式中，最常用的是正軸圓柱投影，假定視點在球心，正軸圓柱投影中，經(jīng)緯線網(wǎng)的特點是：6.2等角正軸切圓柱投影（墨卡托投影）

等角正軸切圓柱投影是荷蘭地圖學(xué)家墨卡托于1569年所創(chuàng)，所以又稱墨卡托投影。

1.投影條件：投影面---圓柱面

w=0

nψ0=1

其它n>1

2.投影公式：m=n=secψp=sec2ψx=Rlgtan(45o+ψ/2)

/0.43429y=Rλ

3.經(jīng)緯線形式：經(jīng)線是一組間隔相等的平行線，緯線是與經(jīng)線垂直的一組平行線，且在中央經(jīng)線上緯線間隔自投影中心向南北兩極逐漸增大。4.投影特點：①在墨卡托投影中，面積變形最大。在緯度60度地區(qū)，經(jīng)線和緯線比都擴大了2倍，面積比P=m*n=2*2=4，擴大了4倍，愈接近兩極，經(jīng)緯線擴大的越多，在φ=80度時，經(jīng)緯線都擴大了近6倍，面積比擴大了33倍，所以墨卡托投影在80度以上高緯地區(qū)通常就不繪出來了。②在墨卡托投影上等角航線表現(xiàn)為直線（在球心投影上大圓航線表現(xiàn)為直線。

等角航線：就是指地球表面上與經(jīng)線交角都相同的曲線，或者說是地球上兩點間的一條等方位線。就是說船只要按照等角航向航行，不用改變方位角就能從起點到達終點。由于經(jīng)線是收斂于兩極的，所以地球表面上的等角航線是除經(jīng)線和緯線以外，以極點為漸近點的螺旋曲線。因墨卡托投影是等角投影，而且經(jīng)線投影為平行直線，那末兩點間的那條等方位螺旋線在投影中只能是連接該兩點的一條直線。

大圓航線：地球面上兩點間最短距離是通過兩點間的大圓弧，也稱為大圓航線。

等角航線在墨卡托投影圖上表現(xiàn)為直線，這一點對于航海航空具有重要意義。因為有這個特征，航行時，在墨卡托投影圖上只要將出發(fā)地和目的地連一直線，用量角器測出直線與經(jīng)線的夾角，船上的航海羅盤按照這個角度指示船只航行，就能達到目的地。但是等角航線不是地球上兩點間的最短距離，地球上兩點間的最短距離是通過兩點的大圓弧，（又稱大圓航線或正航線）。大圓航線與各經(jīng)線的夾角是不等的，因此它在墨卡托投影圖上為曲線。5.用途及意義：遠航時，完全沿著等角航線航行，走的是一條較遠路線，是不經(jīng)濟的，但船只不必時常改變方向，大圓航線是一條最近的路線，但船只航行時要不斷改變方向，如從非洲的好望角到澳大利亞的墨爾本，沿等角航線航行，航程是6020海里，沿大圓航線航行5450海里，二者相差570海里（約1000公里）。實際上在遠洋航行時，一般把大圓航線展繪到墨卡托投影的海圖上，然后把大圓航線分成幾段，每一段連成直線，就是等角航線。船只航行時，總的情況來說，大致是沿大圓航線航行。因而走的是一條較近路線，但就每一段來說，走的又是等角航線，不用隨時改變航向，從而領(lǐng)航十分方便。6.3等距正軸切圓柱投影

1、投影條件圓柱面切于赤道，故赤道的投影為正長，經(jīng)線投影后的長度為正長。2、特點及誤差分析赤道投影后為正長無變形，緯線投影后，均變成與赤道等長的平行線段，因此離赤道越遠，緯線投影后產(chǎn)生的誤差也就越大，經(jīng)線投影后為正長，為垂直于緯線的一組平行線，經(jīng)線方向長度比為1，經(jīng)線上緯線間隔相等，該投影的主方向就是經(jīng)緯線方向。

用誤差橢圓來分析等距正軸切圓柱投影誤差規(guī)律和特點，是誤差橢圓的短半徑和經(jīng)線方向一致，且等于球面微圓的半徑，長半徑和緯線方向一致，且離開赤道越遠伸長的就越多，誤差越大。面積變形、角度變形是離開赤道逐漸增大的。當(dāng)規(guī)定的經(jīng)差和緯差相等時，經(jīng)緯線網(wǎng)投影呈正方形網(wǎng)格，因此等距正軸切圓柱投影又簡稱圓柱投影或方格投影。

6.4高斯-克呂格投影（等角橫切橢圓柱投影）

1.定義：以橢圓柱為投影面，使地球橢球體的某一經(jīng)線與橢圓柱相切，然后按等角條件，將中央經(jīng)線兩側(cè)各一定范圍內(nèi)的地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將其展成平面而得。

由德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家高斯（C.F.Gauss，1777—1855）及大地測量學(xué)家克呂格（J.Krüger，1857—1923）共同創(chuàng)建。2.經(jīng)緯線形式：中央經(jīng)線為直線，其他經(jīng)線是對稱于中央經(jīng)線的曲線，中央緯線為直線，其他緯線是對稱于中央緯線的曲線。在中央經(jīng)線上緯線間隔相等，在赤道上經(jīng)線間隔自投影中心向東、向西逐漸增大。3.變形分布規(guī)律：此投影無角度變形，中央經(jīng)線無長度變形，其他經(jīng)線長度比大于1。中央經(jīng)線附近變形小，向東、向西方向變形逐漸增大。長度、面積變形均不大，其中長度變形≤0.14%，面積變形≤0.27%為保證精度，采用分帶投影方法：按經(jīng)差6°或3°進行分帶。我國規(guī)定1∶2.5萬、1∶5萬、1∶10萬、1∶25萬、1∶50萬采用6°分帶投影，從0°子午線起，自西向東每隔經(jīng)差6°分成一帶，全球共60帶。（13~23）

我國規(guī)定1∶1萬采用3°分帶投影，從E1°30′子午線起，每隔經(jīng)差3°分成一帶，全球共120帶。（25~45）高斯-克呂格直角坐標(biāo)yA=245863.7myB

=-168474.8myA通=20745863.7myB通=20331525.2m6.5通用橫軸墨卡托投影——UTM投影

以橫軸橢圓柱面割于地球橢球體的兩條等高圈，按等角條件，將中央經(jīng)線兩側(cè)各一定范圍內(nèi)的地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將其展成平面而得。又稱UniversalTransverseMercator——UTM投影。

此投影無角度變形，中央經(jīng)線長度比為0.9996，距中央經(jīng)線約±180km處的兩條割線上無變形。亦采用分帶投影方法：經(jīng)差6°或3°分帶。長度變形<0.04%§7圓錐投影7.1圓錐投影的概念和種類

1.概念：

圓錐投影：是假定以圓錐面作為投影面，使圓錐面和地球體相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓錐面上，然后把圓錐面沿一條母線剪開展為平面而成。（當(dāng)圓錐面與地球相切時，稱為切圓錐投影，當(dāng)圓錐面與地球相割時，稱為割圓錐投影。）

2.種類：①按圓錐面與地球相對位置的不同，可分正軸、橫軸、斜軸圓錐投影，但橫軸、斜軸圓錐投影實際上很少應(yīng)用。所以凡在地圖上注明是圓錐投影的，一般都是正軸圓錐投影。

②

按標(biāo)準緯線分為切圓錐投影和割圓錐投影

切圓錐投影，視點在球心，緯線投影到圓錐面上仍是圓，不同的緯線投影為不同的圓，這些圓是互相平行的，經(jīng)線投影為相交于圓錐頂點的一束直線，如果將圓錐沿一條母線剪開展為平面，則呈扇形，其頂角小于360度。在平面上緯線不再是圓，而是以圓錐頂點為圓心的同心圓弧，經(jīng)線成為由圓錐頂點向外放射的直線束，經(jīng)線間的夾角與相應(yīng)的經(jīng)差成正比，但比經(jīng)差小。在切圓錐投影上，圓錐面與球面相切的一條緯線投影后是不變形的線。叫做標(biāo)準緯線。它符合主比例尺，這條緯線通常位于制圖區(qū)域的中間部位。從切線向南向北，變形逐漸增大。

在割圓錐投影上，兩條緯線投影后沒有變形，是雙標(biāo)準緯線，兩條割線符合主比例尺，離開這兩條標(biāo)準緯線向外投影變形逐漸增大，離開這兩條標(biāo)準緯線向里投影變形逐漸減小，凡是距標(biāo)準緯線相等距離的地方，變形數(shù)量相等，因此圓錐投影上等變形線與緯線平行。③圓錐投影按變形性質(zhì)分為等角、等積和等距圓錐投影三種.

構(gòu)成圓錐投影需確定畫緯線的半徑ρ和經(jīng)線間的夾角δ，ρ是緯度的函數(shù)用公式表示為ρ=f(ф)。δ是經(jīng)差λ的函數(shù)。用公式表示為δ=сλ..с對于不同的圓錐投影它是不同的。但對于某一具體的圓錐投影（0<c<1），它的值是相同的。當(dāng)с=1時（圓錐頂角為180度），為方位投影；с=0時（圓錐體的頂角小到0度），為圓柱投影。方位投影和圓柱投影都可看成是圓錐投影的特例。7.2等角圓錐投影投影條件：w=0或m=n投影面—圓錐面1.等角切圓錐投影

nψ0=1其它n>1

即相切緯線（標(biāo)準緯線）沒有變形，長度比為1。其他緯線投影后為擴大的同心圓弧并且離開標(biāo)準緯線越遠，這種擴大的變形程度也就越大，標(biāo)準線以北變形增加的要比以南快些。經(jīng)線為過緯線圓心的一束直線。由于m=n所以在緯線方向上擴大多少，就在經(jīng)線上擴大多少。這樣才能使經(jīng)緯線方向上的長度比相等。所以在等角圓錐投影上緯線間隔從標(biāo)準緯線向南向北是逐漸增大的。2.等角割圓錐投影

nψ1=1nψ2=1在ψ1、ψ2之間：n

<1，m<1在ψ1、ψ2之外：n>1，m>1

即相割的兩條緯線為標(biāo)準緯線，其長度比為1，沒有變形。兩條標(biāo)準緯線之間緯線長度比小于1，即投影后的緯線長比圓面上相應(yīng)緯線縮短了，便形成離開標(biāo)準緯線向里成負的方向增大。兩條標(biāo)準緯線之外，緯線長度比大于1，即離開標(biāo)準緯線長度變形逐漸增大。經(jīng)線的變形長度也是如此。所以在等角割圓錐投影上從兩條標(biāo)準緯線向外，緯線間距是逐漸增大的。從兩條標(biāo)準緯線逐漸向里，緯線距離是縮小的。等角圓錐投影面積變形大.雙標(biāo)準緯線等角圓錐投影，廣泛應(yīng)用于中緯度地區(qū)的分國地圖和地區(qū)圖。例如“中國地圖集”各分省圖就是用的這種投影。“世界地圖集”大部分分國地圖采用該投影。世界上有些國家如法國、比利時、西班牙也都采用此投影作為地形圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。此外西方國家出版的許多掛圖和地圖集中已廣泛采用等角圓錐投影。相割緯線：1=25°

；

2=45°

7.3等積圓錐投影等積投影條件：p=1或mn=1投影面—圓錐面

1等積切圓錐投影nψ0=1其它n>1

即相切的緯線沒有變形，其長度比為1，其他緯線投影后均擴大并且離開標(biāo)準緯線越遠，這種變形也就越大。所以投影后要保持面積相等，在緯線方向上變形擴大多少倍，那么在經(jīng)線方向上就得縮小多少倍。所以在等積切圓錐投影圖上，緯線間隔從標(biāo)準緯線向南向北是逐漸縮小的。

等積圓錐投影常用以編制行政區(qū)劃圖，人口密度圖。及社會經(jīng)濟地圖或自然圖。當(dāng)制圖區(qū)域所跨緯度較大時，常采用雙標(biāo)準緯線等積圓錐投影。等積割圓錐投影nψ1=1nψ2=1在ψ1、ψ2之間：n

<1，m>1在ψ1、ψ2之外：n>1，m<1

即兩條緯線為標(biāo)準緯線，其長度比等于1，兩條標(biāo)準緯線之間，緯線長度比小于1。要保持面積不變，因此經(jīng)線長度比要相應(yīng)擴大，所以在兩條標(biāo)準緯線之間，緯線間隔愈向中間就越大。在兩條標(biāo)準緯線之外緯線長度比大于1。要保持等積，經(jīng)線長度比要相應(yīng)的縮小。并且經(jīng)線方向上縮小的程度和相應(yīng)緯線上擴大的程度相等。因此在兩條標(biāo)準緯線向外，緯線間是逐漸縮小的。等積圓錐投影上面積沒有變形，但角度變形比較大，離開標(biāo)準緯線越遠角度變形也就越大。當(dāng)制圖區(qū)域所跨緯度較小時，常采用切等積圓錐投影。

7.4等距圓錐投影

投影條件：u1=1或m=1投影面—圓錐面

1等距切圓錐投影nψ0=1其它n>1

從標(biāo)準緯線向南向北緯線長度比大于1，離開標(biāo)準緯線越遠緯線長度變形、面積變形、角度變形也越大。

2等距割圓錐投影nψ1=1nψ2=1在ψ1、ψ2之間：n

<1，m<1在ψ1、ψ2之外：n>1，m>1

兩條標(biāo)準緯線內(nèi)緯線長度比小于1，面積變形向負方向增大，兩條標(biāo)準緯線之外，緯線長度比大于1，面積變形向正方向增加。角度變形離標(biāo)準線越遠變形越大。等距圓錐投影，在面積變形方面比等角圓錐投影要小，在角度變形上比等積圓錐投影要小，這種投影圖上最明顯的特點是：緯線間隔相等。這種投影變形均勻常用于編制各種教學(xué)用圖和中國大陸交通圖。

§8其它投影8.1多圓錐投影1概念在切圓錐投影中，離開標(biāo)準緯線越遠，變形越大。如果制圖區(qū)域包含緯差較大時，則在邊遠部分會產(chǎn)生相當(dāng)大的變形，因此采用雙標(biāo)準緯線圓錐投影比單標(biāo)準緯線圓錐投影變形要小些。如果有更多的標(biāo)準緯線則變形會更小些，多圓錐投影就是由這樣的設(shè)想建立的。

假設(shè)有許多圓錐與球面上的緯線相切，將球面上的經(jīng)緯線投影到這些圓錐面上，然后沿同一母線方向?qū)A錐面剪開展平，并在中央經(jīng)線上排接起來就得到了所謂多圓錐投影。在多圓錐投影中，由于圓錐頂點不是一個，所以緯線投影為同軸圓弧。圓心在中央經(jīng)線上，中央經(jīng)線投影為直線。其他經(jīng)線投影為對稱中央經(jīng)線的曲線。

由于多圓錐投影的經(jīng)緯線系彎曲的曲線，具有良好的球形感，所以它經(jīng)常用于編制世界地圖。

2.普通多圓錐投影①投影條件：m0=1其它m>1n=1②經(jīng)緯線形式：中央經(jīng)線為直線，其他經(jīng)線是對稱于中央經(jīng)線的曲線，赤道為直線，其他緯線是對稱于赤道的同軸圓弧。在中央經(jīng)線上緯線間隔相等，在每一條緯線上經(jīng)線間隔相等。普通多圓錐投影屬于任意投影，中央經(jīng)線是一條沒有變形的線，離開中央經(jīng)線越遠變形越大。③用途：適于做南北方向延伸地區(qū)的地圖。美國海岸測量局曾用此投影做美國海岸附近地區(qū)的地圖。普通多圓錐投影的另一個用途就是繪制地球儀用的圖形。把整個地球按一定經(jīng)差分為若干帶，每帶中央經(jīng)線都投影為直線，各帶的投影圖在赤道相接，將這樣的投影圖貼在預(yù)制的球胎上，就是一個地球儀。3.等差分緯線多圓錐投影這個投影是由我國地圖出版社于1963年設(shè)計的一種不等分緯線的多圓錐投影。是我國編制“世界地圖”常用的一種投影。①投影特點：ⅰ中央經(jīng)線取E150°，以突出我國在圖幅中央的位置。ⅱ全球大陸不產(chǎn)生目視變形，同緯度帶面積變形近似相等，以利于比較我國與同緯度國家面積的對比。ⅲ太平洋保持完整，利于顯示我國與鄰近國家的水陸聯(lián)系。②經(jīng)緯線形式：赤道和中央緯線是互相垂直的直線，其他緯線是對稱于赤道的同軸圓弧，其圓心均在中央經(jīng)線上，其他經(jīng)線為對稱于中央經(jīng)線的曲線，每一條緯線上各經(jīng)線間的間隔，隨離中央經(jīng)線距離的增大而逐漸縮小，按等差級數(shù)遞減。極點為圓弧，其長度為赤道的1/2。

③變形分布規(guī)律：這種投影的變形性質(zhì)屬任意投影。我國絕大部分地區(qū)的面積變形在10%以內(nèi)，面積比等于1的等變形線自東向西橫貫我國中部，中央經(jīng)線和緯線44度的交點處沒有角度變形。我國境內(nèi)絕大部分地區(qū)的角度變形在10度以內(nèi)，少數(shù)地區(qū)在13度左右。變形最小地區(qū)在南北緯45°東西經(jīng)30°之間。地圖出版社用這一投影編制過數(shù)種比例尺的世界政區(qū)圖和其他類型的世界地圖。8.2偽圓柱投影

偽圓柱投影是在圓柱投影經(jīng)緯線形狀的基礎(chǔ)上，規(guī)定其緯線投影的形狀與圓柱投影相似即緯線為平行直線，但經(jīng)線則不同，除中央經(jīng)線為直線外，其余的經(jīng)線均為對稱與中央經(jīng)線的曲線。經(jīng)線的形狀是任意曲線，但通常選擇為正弦曲線或橢圓曲線。按變形性質(zhì)，偽圓柱投影沒有等角投影。因為投影后經(jīng)緯線不正交。只有等積和任意投影兩種。1.桑遜（Sanson-Flamsteed）投影它是一種經(jīng)線為正弦曲線的等積偽圓柱投影。是法國人桑遜于1650年所創(chuàng)。①投影條件：m0=1其它m>1n=1p=1

②經(jīng)緯線形式：緯線為間隔相等的平行線，中央經(jīng)線為直線，其他經(jīng)線為對稱于中央經(jīng)線的正弦曲線。

在中央經(jīng)線上緯線間隔相等，在中央緯線上經(jīng)線間隔相等。③變形分布規(guī)律：所有緯線長度比均等于1。緯線長度無變形，中央經(jīng)線長度比等于1，其他經(jīng)線長度比均大于1，而且離中央經(jīng)線越遠，其數(shù)值越大。赤道和中央經(jīng)線是兩條沒有變形的線，離開這兩條線越遠變形越大。④用途：適合于作赤道附近南北延伸的地區(qū)地圖。2.摩爾魏特（Mollweide）投影是一種經(jīng)線為橢圓曲線的等積偽圓柱投影。由德國人摩爾魏特于1805年設(shè)計而得名。①投影條件：n

40°44′11.8″=1p=1

②經(jīng)緯線形式：緯線為間隔不等的平行線，中央經(jīng)線為直線，其他經(jīng)線為對稱與中央經(jīng)線的同中心的橢圓，在離中央經(jīng)線的經(jīng)差正負90度的經(jīng)線為一個圓，圓的面積等于地球面積的一半。赤道長度=中央經(jīng)線×2在中央經(jīng)線上緯線間隔從赤道向南、北方向逐漸縮??；在赤道上經(jīng)線間隔相等。③變形分布規(guī)律：在這種投影上沒有面積變形。長度和角度都有變形，赤道長度比等于0.9，中央經(jīng)線和南北緯40度的兩交點是沒有變形的點，從這兩點向外變形逐漸增大。S90=Searth

/240°44′11.8″④用