抽樣分布和點(diǎn)估計(jì)

統(tǒng)計(jì)的第三種方法——統(tǒng)計(jì)推斷0、概率理論(Probabilitytheory)1、抽樣分布(Samplingdistribution)2、參數(shù)估計(jì)(Parameterestimation)3、假設(shè)檢驗(yàn)(Hypothesistesting)統(tǒng)計(jì)方法描述統(tǒng)計(jì)推斷統(tǒng)計(jì)抽樣理論假設(shè)檢驗(yàn)參數(shù)估計(jì)概率理論統(tǒng)計(jì)推斷的過程樣本總體樣本統(tǒng)計(jì)量例如：樣本均值、比例、方差總體均值、比例、方差抽樣分布：依據(jù)總體的信息來確定樣本的分布2010年上海城鎮(zhèn)家庭人均農(nóng)村家庭人均可支配收入31838元可支配收入13746元

N城鎮(zhèn)=1254.95萬人N農(nóng)村=154.37萬人

？

R城鎮(zhèn)=49000戶R農(nóng)村=2100戶

代表性有多大？誤差多大？2010年上海糧食產(chǎn)量為118.40萬噸

代表性有多大？誤差多大？抽樣得到單位面積產(chǎn)量上海糧食的種植面積推算抽樣估計(jì)的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用例1一汽車輪胎制造商生產(chǎn)一種被認(rèn)為壽命更長(zhǎng)的新型輪胎。120個(gè)樣本測(cè)試平均里程：36,500公里推斷新輪胎平均壽命:36,500公里400個(gè)樣本

支持人數(shù)：160推斷支持該候選人的選民占全部選民的比例：160/400=40%例2：某黨派想支持某一候選人參選美國(guó)某州議員，為了決定是否支持該候選人，該黨派領(lǐng)導(dǎo)需要估計(jì)支持該候選人的民眾占全部登記投票人總數(shù)的比例。由于時(shí)間及財(cái)力的限制：第五章參數(shù)估計(jì)第一節(jié)統(tǒng)計(jì)推斷的基本問題和概念第二節(jié)總體參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)*第三節(jié)正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)*第四節(jié)一般總體均值的大樣本區(qū)間估計(jì)第五節(jié)正態(tài)總體方差的區(qū)間估計(jì)第六節(jié)樣本容量的確定*第一節(jié)統(tǒng)計(jì)推斷的基本問題和概念一、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和抽樣誤差二、統(tǒng)計(jì)量和抽樣分布三、參數(shù)估計(jì)的主要內(nèi)容統(tǒng)計(jì)推斷的起點(diǎn)樣本和總體1.總體(populations)：又稱全及總體、母體，指所要研究對(duì)象的全體，由許多客觀存在的具有某種共同性質(zhì)的單位構(gòu)成?？傮w單位數(shù)用N

表示。2.樣本(samples)：又稱子樣，來自總體，是從總體中按隨機(jī)原則抽選出來的部分，由抽選的單位構(gòu)成。樣本單位數(shù)用

n

表示。3.總體是唯一的、確定的，而樣本是不確定的、可變的、隨機(jī)的*。

總體參數(shù)樣本統(tǒng)計(jì)量樣本統(tǒng)計(jì)量公式總體平均數(shù)樣本平均數(shù)總體成數(shù)樣本成數(shù)總體方差樣本方差總體標(biāo)準(zhǔn)差樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本統(tǒng)計(jì)量—描述樣本數(shù)量特征的指標(biāo)，由樣本計(jì)算而得。由于樣本是隨機(jī)的，所以樣本統(tǒng)計(jì)量是隨機(jī)變量。NEXT總體參數(shù)—描述總體數(shù)量特征的指標(biāo)?？傮w是惟一的，所以參數(shù)也是惟一的；調(diào)查誤差（三）抽樣誤差抽樣誤差：由于隨機(jī)性帶來的偶然的代表性誤差不能避免，但是可以計(jì)算和控制。主要有抽樣相對(duì)誤差和抽樣絕對(duì)誤差。非抽樣誤差非隨機(jī)因素引起的系統(tǒng)性偏差登記性誤差

2002年4月15日，中國(guó)正式加入國(guó)際貨幣基金組織數(shù)據(jù)公布通用系統(tǒng)（GDDS），這標(biāo)志著中國(guó)統(tǒng)計(jì)系統(tǒng)的發(fā)展邁出了重要的一步。這些國(guó)家必須在基金組織公布標(biāo)準(zhǔn)公告欄網(wǎng)頁http:///gddsindex.htm）上向公眾發(fā)布其當(dāng)前的統(tǒng)計(jì)結(jié)果、進(jìn)一步改進(jìn)的計(jì)劃和技援的需求。目前，有42個(gè)國(guó)家參加了GDDS

。抽樣誤差(Samplingerror)2、抽樣誤差是指在遵循隨機(jī)的原則下，樣本統(tǒng)計(jì)量和總體參數(shù)之間差別。是由隨機(jī)因素、偶然因素等引起的。測(cè)量指標(biāo)：抽樣平均誤差

抽樣極限誤差1、總誤差、抽樣誤差、非抽樣誤差關(guān)系：總誤差=抽樣誤差+非抽樣誤差例：某銀行審計(jì)員想了解某類用戶的平均存款余額，對(duì)其中10個(gè)可能賬戶作為樣本，觀測(cè)賬戶余額分別如下(元):由此估計(jì)該類賬戶的平均余額，并計(jì)算其抽樣平均誤差。因此該類賬戶平均余額可能為4109元，抽樣平均誤差為181元3342321652814365407441564045436239824267抽樣平均誤差*概念：樣本統(tǒng)計(jì)量對(duì)總體參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差。計(jì)算公式：作用：用來衡量總體參數(shù)估計(jì)的精確度。樣本均值的抽樣平均誤差計(jì)算公式放回不放回如何理解樣本均值的抽樣分布*1、樣本均值分布和總體分布之間的關(guān)系大樣本(N>30)小樣本(N<30)正態(tài)總體正態(tài)分布正態(tài)分布非正態(tài)總體正態(tài)分布（中心極限定理）

非正態(tài)分布2、樣本均值的均值等于總體均值3.樣本均值方差：放回不放回統(tǒng)計(jì)中常用的三種分布一、2—分布

統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布。數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常用到如下三個(gè)分布：

2—分布、t—分布和F—分布。

2.2—分布的密度函數(shù)f(y)曲線

3.分位點(diǎn)

設(shè)X

~2(n)，若對(duì)于：0<<1，存在滿足則稱為分布的上分位點(diǎn)。4.性質(zhì)：a.分布可加性若X

~2(n1)，Y~2(n2)，X，Y獨(dú)立，則

X

+

Y

~2(n1+n2)b.期望與方差若X~2(n)，則E(X)=n，D(X)=2n1.構(gòu)造若X~N(0,1),Y~2(n),X與Y獨(dú)立，則t(n)稱為自由度為n的t—分布。二、t—分布t(n)的概率密度為2.基本性質(zhì):(1)f(t)關(guān)于t=0(縱軸)對(duì)稱。

(2)f(t)的極限為N(0，1)的密度函數(shù)，即

3.分位點(diǎn)

設(shè)T～t(n)，若對(duì):0<<1,存在t(n)>0，滿足P{Tt(n)}=，則稱t(n)為t(n)的上側(cè)分位點(diǎn)注:三、F—分布

1.構(gòu)造若U

~2(n1)，V~2(n2)，U，V獨(dú)立，則

稱為第一自由度為n1

，第二自由度為n2的F—分布,其概率密度為2.F—分布的分位點(diǎn)對(duì)于：0<<1，若存在F(n1,n2)>0，滿足P{FF(n1,n2)}=，則稱F(n1,n2)為F(n1,n2)的上側(cè)分位點(diǎn)；證明:設(shè)F~F(n1,n2),則注：得證!4.3抽樣分布證明:是n個(gè)獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合,故服從正態(tài)分布(3)證明:且U與V獨(dú)立,根據(jù)t分布的構(gòu)造得證!例1：設(shè)總體X~N(10,32),X1，…，Xn是它的一個(gè)樣本 (1)寫出Z所服從的分布;(2)求P(Z>11).例2：設(shè)X1，…，X10是取自N（0，0.32)的樣本,求例3：設(shè)X1，…，Xn是取自N（,2)的樣本,求樣本方差S2的期望與方差。中心極限定理棣莫佛－拉普拉斯中心極限定理設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,p)的，那么當(dāng)n→∞時(shí)，X服從均值為np、方差為np(1-p)的正態(tài)分布，即：

或：

n很大，np

和

np(1－p)也都不太小時(shí)，二項(xiàng)分布可以用正態(tài)分布去近似。列維一林德伯格定理設(shè)X1,X2,…是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,且存在有限的μ和方差σ2（i=1,2,…），當(dāng)n→∞時(shí)，或

不論總體服從何種分布，只要其數(shù)學(xué)期望和方差存在，對(duì)這一總體進(jìn)行重復(fù)抽樣時(shí)，當(dāng)樣本量n充分大，均值分布就趨于正態(tài)分布。該定理為均值的抽樣推斷奠定了理論基礎(chǔ)。

中心極限定理（圖示）當(dāng)樣本容量足夠大時(shí)(n

30)，樣本均值的抽樣分布逐漸趨于正態(tài)分布中心極限定理：設(shè)從均值為，方差為

2的一個(gè)任意總體中抽取容量為n的樣本，當(dāng)n充分大時(shí)，樣本均值的抽樣分布近似服從均值為μ、方差為σ2/n的正態(tài)分布一個(gè)任意分布的總體X中心極限定理x的分布趨于正態(tài)分布的過程中心極限定理模擬過程抽樣分布與總體分布的關(guān)系總體分布正態(tài)分布非正態(tài)分布大樣本小樣本正態(tài)分布正態(tài)分布非正態(tài)分布應(yīng)用

（一）一個(gè)正態(tài)總體時(shí)的抽樣分布*如果有放回地抽取一個(gè)均值為，方差為的正態(tài)總體，則不管樣本容量如何，樣本均值都服從正態(tài)分布且：樣本平均數(shù)分布應(yīng)用舉例（求概率）

1、總體服從正態(tài)分布，則樣本平均數(shù)也服從正態(tài)分布

假設(shè)銀行某類存款賬戶余額是個(gè)近似服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。平均值為2800元,標(biāo)準(zhǔn)差為120元。現(xiàn)從這一總體抽選了1個(gè)容量為n=16的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，試問：這些樣本的平均余額不超過2770元的概率有多大？

（三）、總體不是正態(tài)分布時(shí)的樣本均值的抽樣分布根據(jù)中心極限定理，不管總體服從何種分布形態(tài)，當(dāng)樣本容量足夠大時(shí)，（N>30）,樣本均值都服從正態(tài)分布：

假設(shè)銀行某類存款賬戶余額是個(gè)隨機(jī)變量。平均值為2800元,標(biāo)準(zhǔn)差為120元?，F(xiàn)從這一總體抽選了1個(gè)容量為n=36的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，試問：這些樣本的平均余額不超過2770元的概率有多大？

2、雖然總體分布未知，但如果樣本是大樣本，則根據(jù)中心極限定理，樣本均值將服從正態(tài)分布。在江蘇沛縣調(diào)查336個(gè)m2小地老虎蟲危害情況的結(jié)果，

=4.73頭，=2.63，試問樣本容量n=30時(shí)，由于隨機(jī)抽樣得到樣本平均數(shù)等于或小于4.37的概率為多少？查附表，P(u≤－0.75)=0.2266，即概率為22.66%(屬一尾概率)。因所得概率較大，說明差數(shù)－0.36是隨機(jī)誤差，從而證明這樣本平均數(shù)4.37是有代表性的。考慮修正系數(shù)情形

不重復(fù)取樣，而且n/N<5%,就要考慮修正系數(shù)，只要將樣本均值的方差乘上修正系數(shù)就可以

假設(shè)銀行某類存款賬戶（N=200）余額是一個(gè)近似服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。平均值為2800元,標(biāo)準(zhǔn)差為120元。現(xiàn)從這一總體不重復(fù)抽選了1個(gè)容量為n=16的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，試問：這些樣本的平均余額不超過2770元的概率有多大？

3、n/N>5%,計(jì)算均值方差時(shí)要考慮修正系數(shù)。n/N=8%>5%,計(jì)算均值方差時(shí)要考慮修正系數(shù)。

假設(shè)銀行某類存款賬戶（N=500）余額是一個(gè)近似服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。平均值為2800元,標(biāo)準(zhǔn)差為120元。現(xiàn)從這一總體抽選了1個(gè)容量為n=16的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，試問：這些樣本的平均余額不超過2770元的概率有多大？

4、n/N<5%,計(jì)算均值方差時(shí)不需要考慮修正系數(shù)。n/N=3.2%<5%,計(jì)算均值方差時(shí)不需要考慮修正系數(shù)。（二）、兩個(gè)正態(tài)總體時(shí)的抽樣分布*抽樣總體樣本X1,(N1)x1,(n1)抽樣總體樣本X2,(N2)x2,(n2)估計(jì)應(yīng)用：1）比較兩種管理方法的效率2）比較兩種工藝的優(yōu)劣3）比較兩種方法的好壞兩個(gè)樣本均值之差的抽樣分布（1）1、如果總體是正態(tài)分布，而且方差已知，即：服從正態(tài)分布。兩個(gè)樣本均值之差的抽樣分布（1）標(biāo)準(zhǔn)化：

為了調(diào)查甲、乙兩家銀行的戶均存款數(shù)，獨(dú)立從兩家銀行個(gè)抽取一個(gè)由25個(gè)存戶組成的隨機(jī)樣本。假設(shè)兩個(gè)總體服從正態(tài)分布，兩個(gè)總體均值分別為4500元和4000元，標(biāo)準(zhǔn)差分別為900元和800元。求甲、乙兩銀行戶均存款數(shù)之差絕對(duì)值不超過800元的概率為多少？

兩個(gè)樣本均值之差的抽樣分布（2）2.兩個(gè)總體都是非正態(tài)分布，但都是大樣本，那么根據(jù)中心極限定理，有：兩個(gè)總體X1，X2分布未知，但是樣本容量為大樣本且相互獨(dú)立，也就是樣本數(shù)都大于等于30，那么根據(jù)中心極限定理有：

要比較甲乙兩城市某類消費(fèi)的支出水平。甲城市隨機(jī)調(diào)查100人，平均消費(fèi)支出為1300元，標(biāo)準(zhǔn)差為80元；乙城市隨機(jī)調(diào)查120人，平均消費(fèi)支出為1320元，標(biāo)準(zhǔn)差為100元。求甲、乙兩城市消費(fèi)支出之差絕對(duì)值不超過30元的概率為多少？

樣本方差的抽樣分布用于離散程度的統(tǒng)計(jì)推斷，估計(jì)收入差距的離散程度，產(chǎn)品質(zhì)量的穩(wěn)定性對(duì)于來自正態(tài)總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則比值的抽樣分布服從自由度為(n-1)的2分布，即2、兩個(gè)樣本方差比的抽樣分布

設(shè)X1，X2，…，Xn1是來自正態(tài)總體N~(μ1,σ12)的一個(gè)樣本，Y1，Y2，…，Yn2是來自正態(tài)總體N~(μ2,σ22)的一個(gè)樣本，且Xi(i=1,2,…，n1)，Yi(i=1,2,…，n2)相互獨(dú)立，則將F(n1-1,n2-1)稱為第一自由度為(n1-1)，第二自由度為(n2-1)的F分布五、樣本比例的抽樣分布比率是指總體(或樣本)中具有某種屬性的單位與全部單位總數(shù)之比種子的合格率，犯罪率，發(fā)芽率，考試的及格率等。總體比例可表示為樣本比例可表示為

樣本比例的抽樣分布比率P可以看成為交替標(biāo)志（或是非標(biāo)志）的平均值。交替標(biāo)志Xi設(shè)總體N中有N0個(gè)單位取“是”，那么其平均值1是0非因此樣本比率的分布和樣本均值的分布類似。而總體的交替標(biāo)志實(shí)際上就是一個(gè)二項(xiàng)分布，期望值為P,方差為P(1-P)樣本比例的抽樣分布樣本比例的數(shù)學(xué)期望樣本比例的方差重復(fù)抽樣不重復(fù)抽樣當(dāng)np和n(1-p)都大于5時(shí)，以及樣本足夠大時(shí)候，可以將正態(tài)分布來代替二項(xiàng)分布，將統(tǒng)計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)化。例：一個(gè)釘子制造商憑經(jīng)驗(yàn)確定了所生產(chǎn)釘子的不合格率為3%,如果檢查一個(gè)由300個(gè)釘子組成的隨機(jī)樣本,不合格率為0.025，求抽樣平均誤差。因此該類商品不合格率可能為2.5%，平均誤差為0.98%例：一個(gè)釘子制造商憑經(jīng)驗(yàn)確定了所生產(chǎn)釘子的不合格率為3%,如果檢查一個(gè)由300個(gè)釘子組成的隨機(jī)樣本,不合格率介于0.02和0.035之間的概率有多大?＝0.5411。

七、樣本方差的抽樣分布用于離散程度的統(tǒng)計(jì)推斷，估計(jì)收入差距的離散程度，產(chǎn)品質(zhì)量的穩(wěn)定性對(duì)于來自正態(tài)總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則比值的抽樣分布服從自由度為(n-1)的2分布，即2、兩個(gè)樣本方差比的抽樣分布

設(shè)X1，X2，…，Xn1是來自正態(tài)總體N~(μ1,σ12)的一個(gè)樣本，Y1，Y2，…，Yn2是來自正態(tài)總體N~(μ2,σ22)的一個(gè)樣本，且Xi(i=1,2,…，n1)，Yi(i=1,2,…，n2)相互獨(dú)立，則將F(n1-1,n2-1)稱為第一自由度為(n1-1)，第二自由度為(n2-1)的F分布三、參數(shù)估計(jì)的主要內(nèi)容數(shù)字特征最小二乘法最大似然法順序統(tǒng)計(jì)量法估計(jì)內(nèi)容點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)統(tǒng)計(jì)方法描述統(tǒng)計(jì)推斷統(tǒng)計(jì)抽樣理論假設(shè)檢驗(yàn)參數(shù)估計(jì)概率理論參數(shù)估計(jì)在統(tǒng)計(jì)方法中的地位估計(jì)量：用于估計(jì)總體參數(shù)的隨機(jī)變量，估計(jì)的規(guī)則，如樣本均值，樣本比率、樣本方差等參數(shù)用表示，估計(jì)量用表示總體參數(shù)符號(hào)表示用于估計(jì)的樣本統(tǒng)計(jì)量一個(gè)總體均值比例方差兩個(gè)總體均值之差比例之差方差比三、點(diǎn)估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

1.無偏性

2.一致性

3.有效性

1、無偏性(unbiasedness)：估計(jì)量抽樣分布的數(shù)學(xué)期望等于被估計(jì)的總體參數(shù).P(

)BA無偏有偏總體均值的無偏估計(jì)為：總體比率的無偏估計(jì)為:總體方差的無偏估計(jì)為：不為總體方差的無偏估計(jì).2、一致性（consistency）：隨著樣本容量的增大，估計(jì)量的值越來越接近被估計(jì)的總體參數(shù)AB較小的樣本容量較大的樣本容量P(

)總體均值的一致估計(jì)為：總體比率的一致估計(jì)為:總體方差的一致估計(jì)為：3、有效性(efficiency)：對(duì)同一總體參數(shù)的兩個(gè)無偏點(diǎn)估計(jì)量，有更小標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量更有效.AB

的抽樣分布的抽樣分布P(

)算術(shù)平均數(shù)估計(jì)更有效。第七節(jié)幾種重要的分布**1、卡方分布2、t分布3、F分布4、大數(shù)定律5、中心極限定理1、分布的概念2、分布的期望和方差3、分布的圖像4、分布的用途一、t分布（學(xué)生氏分布）Gosset，179頁

概念：設(shè)隨機(jī)變量X~N(0，1)，，且相互獨(dú)立，則隨機(jī)變量所服從的分布稱為自由度為n的t分布，記為：t分布的期望和方差：

用途：t分布可用于總體方差未知時(shí)總體均值的估計(jì)與檢驗(yàn)，以及線性回歸模型中回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)等。圖像：均值為0，對(duì)稱分布，隨n的增大趨向于正態(tài)分布t分布

t分布是類似正態(tài)分布的一種對(duì)稱分布，它通常要比正態(tài)分布平坦和分散。一個(gè)特定的t分布依賴于稱之為自由度的參數(shù)。隨著自由度的增大，t分布也逐漸趨于正態(tài)分布

Xt

分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的比較t分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t不同自由度的t分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t(df=13)t(df=5)Z二、卡方（）分布181頁

概念：設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn

服從N(0，1)，且相互獨(dú)立，則隨機(jī)變量所服從的分布稱為卡方分布，記為：。其中，n稱為自由度。分布的期望和方差：用途：卡方分布用于方差估計(jì)和檢驗(yàn)，以及非參數(shù)統(tǒng)計(jì)中的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)和獨(dú)立性檢驗(yàn)。圖像特征：正偏分布，隨n增大，趨向于對(duì)稱和正態(tài)分布數(shù)字特征：

服從自由度為的分布。記?。盒拚臉颖痉讲钊?、F分布

概念：設(shè)隨機(jī)變量

，

，且相互獨(dú)立，則隨機(jī)變量所服從的分布稱為自由度為（n，m）的F分布，記為：F分布的期望和方差：

用途：F分布可用于兩個(gè)正態(tài)總體方差的比較檢驗(yàn)、方差分析和線性回歸模型的檢驗(yàn)等。圖像：非對(duì)稱，注意其特點(diǎn)和臨界值的換算

F

分布用途：在實(shí)際的統(tǒng)計(jì)分析工作中，我們常常遇到討論兩個(gè)總體的方差是否相等的問題。比如某個(gè)工廠采用兩種不同的工藝生產(chǎn)某種產(chǎn)品，欲了解哪一種工藝的質(zhì)量穩(wěn)定，則需要討論起質(zhì)量指標(biāo)的方差是否相等。

課堂作業(yè)1、樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差（）估計(jì)誤差

A、大于B、等于C、小于D、可能大于、等于或小于2、在其他條件不變的情況下，如果重復(fù)抽樣的允許誤差縮小為原來的1/2，則樣本容量（）

A、擴(kuò)大為原來的4倍B、擴(kuò)大為原來的2倍

C、縮小為原來的1/2