版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡介
2.1拉普拉斯變換的概念
由上章可知,需進(jìn)行傅氏變換的函數(shù)應(yīng)滿足傅氏積分存在定理的兩個(gè)條件,即(1)在任一有限區(qū)間上滿足狄利克雷條件;(2)在無限區(qū)間上絕對(duì)可積.而傅氏變換存在兩個(gè)缺點(diǎn).缺點(diǎn)1:條件(2)過強(qiáng).在實(shí)際應(yīng)用中,許多函數(shù)不能滿足條件(2).
[案例]單位階躍函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)等,雖滿足狄利克雷條件,但非絕對(duì)可積.因此,對(duì)這些函數(shù)就不能進(jìn)行古典意義下的傅氏變換.盡管在上一節(jié)里,通過引入δ函數(shù),在廣義下對(duì)非絕對(duì)可積函數(shù)進(jìn)行了傅氏變換,但δ函數(shù)使用很不方便.2.1.1拉普拉斯積分1.拉普拉斯積分
缺點(diǎn)2:進(jìn)行傅氏變換的函數(shù)須在上有定義.
[案例]在物理、無線電技術(shù)、機(jī)械工程等實(shí)際應(yīng)用中,許多以時(shí)間t為自變量的函數(shù)在t<0時(shí)是無意義的或者是無需考慮的.因此,對(duì)這些函數(shù)也不能進(jìn)行傅氏變換.
由此可見,傅氏變換的應(yīng)用范圍受到了極大的限制,必須對(duì)傅里葉變換進(jìn)行改造.
基本想法使得函數(shù)在t<
0的部分補(bǔ)零(或者充零);使得函數(shù)在t>
0的部分盡快地衰減下來。(1)將函數(shù)乘以一個(gè)單位階躍函數(shù)
,(2)將函數(shù)再乘上一個(gè)衰減指數(shù)函數(shù)
,這樣,就有希望使得函數(shù)滿足
Fourier變換的條件,從而對(duì)它進(jìn)行
Fourier
變換。如何對(duì)
Fourier
變換進(jìn)行改造?
將上式中的記為
s,就得到了一種新的積分:實(shí)施結(jié)果拉普拉斯積分復(fù)頻函數(shù)復(fù)頻率
可以預(yù)見,上述積分是收斂的。例2.1求單位階躍函數(shù)的拉普拉斯積分解積分在b→+∞時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)Re(s)>0才有極限,因此例2.2
求的拉普拉斯積分根據(jù)定義解(其中α為任意復(fù)數(shù))例2.3
求正弦函數(shù)
的復(fù)頻函數(shù)
解
定理2.1
若函數(shù)f(t)滿足:2.拉普拉斯積分存在定理1,在t0的任一有限區(qū)間上分段連續(xù)2,當(dāng)t時(shí),
f(t)的增長速度不超過某一指數(shù)函數(shù),即存在常數(shù)M>0及c0,使得
|f(t)|Mect,0t<則f(t)的拉普拉斯積分在半平面Re(s)>c上一定存在,右端的積分在Re(s)c1>c上絕對(duì)收斂而且一致收斂,并且在Re(s)>c的半平面內(nèi),
F(s)為解析函數(shù).2.拉普拉斯積分存在定理則象函數(shù)在半平面上一定存在且解析。(1)在任何有限區(qū)間上分段連續(xù);(2)具有有限的增長性,即存在常數(shù)
c
及,使得,設(shè)函數(shù)當(dāng)時(shí),滿足:定理(其中,c
稱為函數(shù)的“增長”指數(shù))。證明(略)
兩點(diǎn)說明(1)像函數(shù)的存在域一般是一個(gè)右半平面
,即只要復(fù)數(shù)s的實(shí)部足夠大就可以了。只有在非常必要時(shí)才特別注明。因此在進(jìn)行Laplace變換時(shí),常常略去存在域,即函數(shù)等價(jià)于函數(shù)(2)在
Laplace
變換中的函數(shù)一般均約定在t<0時(shí)為零,比如定義2.1
設(shè)函數(shù)當(dāng)時(shí)有定義,且廣義積分?jǐn)?shù)為s的函數(shù)在s的某一區(qū)域內(nèi)收斂,則由此積分確定的參
(2-3)叫做函數(shù)的拉普拉斯變換,記作
函數(shù)
叫做變換的像原函數(shù).2.1.2拉普拉斯變換函數(shù)F(s)也可叫做的像函數(shù).例2.4求函數(shù)的拉普拉斯積分解
例2.5
求函數(shù)的拉普拉斯變換因?yàn)?/p>
解(其中k為任意復(fù)數(shù))所以
采用同樣的方法我們可得由前面的例題,我們可得拉普拉斯變換公式:(G函數(shù)簡介)
例2.6
求狄立克雷函數(shù)
的拉氏變換。
在具體求解運(yùn)算之前,先把拉普拉斯變換中積分下限的問題加以澄清。
若函數(shù)f(t)滿足拉普拉斯積分存在定理,在t=0處有界,此時(shí)積分中的下限取0+或0-不會(huì)影響其結(jié)果,但當(dāng)f(t)在t=0處為δ函數(shù),或包含了δ函數(shù)時(shí),拉氏積分的下限就必須明確指出是0+還是0-,因?yàn)榉Q為0+系統(tǒng),在電路上0+表示換路后的初始時(shí)刻;解稱為0-系統(tǒng),在電路上0-表示換路后的初始時(shí)刻;可以證明,當(dāng)f(t)在t=0附近有界時(shí),則即當(dāng)f(t)在t=0處包含一個(gè)δ函數(shù)時(shí)即
為此,將進(jìn)行拉氏變換的函數(shù)f(t),當(dāng)t≥0時(shí)的定義擴(kuò)大到當(dāng)t>0及t=0的任意一個(gè)領(lǐng)域。這樣拉氏變換的定義應(yīng)為為書寫方便,該定義仍寫為原來的形式。即同理
解
先對(duì)作拉氏變換的拉氏變換為用羅必達(dá)法則計(jì)算此極限,得所以
方法2:同理
例2.7
求函數(shù)的拉普拉斯變換解δ函數(shù)的篩選性質(zhì)G-
函數(shù)
(
gamma函數(shù))
簡介附:G-
函數(shù)定義為定義性質(zhì)證明特別地,當(dāng)m
為正整數(shù)時(shí),有(返回)關(guān)于含沖激函數(shù)的
Laplace
變換問題附:
當(dāng)函數(shù)在附近有界時(shí),的取值將不會(huì)影響其
Laplace
變換的結(jié)果。對(duì)積分下限分別取和可得到下面兩種形式的
L
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 合資股合同模板
- 商務(wù)小禮品采購合同模板
- 買土地合同是合同模板
- 丙綸防水施工合同模板
- 個(gè)人蔬菜轉(zhuǎn)讓合同模板
- 刺梨干果采購合同模板
- 回收涉案車輛合同模板
- 關(guān)于社保補(bǔ)充合同模板
- 不給乙方合同模板
- 古建材料合同模板
- 04-危險(xiǎn)化學(xué)品生產(chǎn)建設(shè)項(xiàng)目安全設(shè)施“三同時(shí)”和試生產(chǎn)方案重點(diǎn)內(nèi)容核查表解讀
- 幼兒園安全我會(huì)保護(hù)自己
- 2024年河南資本集團(tuán)招聘筆試參考題庫附帶答案詳解
- 生物藥物研究進(jìn)展
- 學(xué)生心理健康一生一策檔案模板
- 人教版化學(xué)九年級(jí)下冊(cè) 第十單元《酸的化學(xué)性質(zhì)專題復(fù)習(xí)》導(dǎo)學(xué)案
- 運(yùn)作管理提高供應(yīng)鏈效率與透明度
- 沉浸式朗讀直播話術(shù)
- 翻轉(zhuǎn)課堂講解課件
- 中國視神經(jīng)脊髓炎譜系疾病診斷與治療指南
- 氣胸皮下氣腫的護(hù)理的護(hù)理
評(píng)論
0/150
提交評(píng)論