比賽排名數(shù)學(xué)建模

足球比賽排名問題

報告人：龔珣一、問題引入二、問題分析三、合理假設(shè)四、建模與求解模型1：總積分法模型2：平均積分法模型3：特征向量法模型3’：得分矩陣法模型4：參數(shù)法模型5：概率法一、問題引入

眾所周知，足球界對同一賽事中比賽結(jié)果的排名有現(xiàn)成的算法，例如，循環(huán)比賽結(jié)果的排名，按二分制（或三分制）計算總積分，以總積分的高低來決定名次的先后（總積分相同者，再比凈勝球的多少、總進(jìn)球的多少，再相同就抽簽決定）。但是，這一算法著眼于排出比賽的勝負(fù)名次，并不能合理反映出各隊真實水平的高低。比賽名次當(dāng)然主要決定于各隊的真實水平，但各隊在比賽場次安排中“運氣”的好壞也有相當(dāng)?shù)挠绊?，比如某隊在比賽中避開了強隊而大勝弱隊，就是由于“運氣”好而得分高的例子。我們不能完全排除這一類因素，但應(yīng)盡可能合理的考慮并處理它。

我們的目標(biāo)就是針對這種不規(guī)則的比賽數(shù)據(jù)提出一種算法，盡可能合理地反映各隊真實水平。二、問題分析

本問題討論的難度，即足球隊之間比賽結(jié)果不具有傳遞性。如甲隊勝乙隊，乙隊勝丙隊，然而丙隊可以平甚至勝甲隊。再有甲隊該場勝乙隊，而另一場比賽可能乙隊勝甲隊，即便兩場都是甲隊勝了，也可能第一場3：2勝，第二場卻是2：0勝了。然而數(shù)學(xué)上任何排序問題都應(yīng)具有傳遞性，嚴(yán)格地將不具有傳遞性就無法排序。

總體實力與一次比賽中所體現(xiàn)的實力并不總是相等，每次比賽的勝負(fù)并不取決于總體實力，而取決于比賽中所體現(xiàn)的實力。各隊在每次比賽中所體現(xiàn)的實力并不一樣強，有發(fā)揮失常也有超常發(fā)揮。雖然比賽結(jié)果不具傳遞性，并不妨礙我們比較實力。

確定這一問題是一個隨機模型。某隊在比賽中的表現(xiàn)是一個隨機變量，有均值也有方差，服從一定的分布。每場比賽實際上是兩個球隊分別獨立抽樣，比賽的結(jié)果實際上是比較樣品的大小。正是由于抽樣的隨機性，各種不同的結(jié)果分別按不同的概率發(fā)生，因而造成比賽結(jié)果的不可傳遞性。所以足球隊進(jìn)行排序應(yīng)理解為是對均值的排序。變量是隨機，但均值卻是不變的，從道理上講，是不受某場比賽結(jié)果所左右的。因此，對均值進(jìn)行排序從數(shù)學(xué)上看是合理的。

那么問題來了：隨機問題要能用較為準(zhǔn)確的結(jié)論，應(yīng)該有豐富的觀測數(shù)據(jù)。根據(jù)根據(jù)大數(shù)定律頻率代替概率可得到較為可靠結(jié)果，然而實際很多球隊之間根本沒有比賽過，“無米之炊”的感覺。三、合理假設(shè)簡化問題，先作如下假設(shè)：比賽是確定型的，或者每個隊方差均為0，抽樣結(jié)果就是均值；比賽的結(jié)果是可以精確反映相對實力的，沒有誤差；比賽的場次是完全的，任意兩個隊之間都有比賽成績。例子A、B、C、D四個球隊循環(huán)賽，比賽結(jié)果如下：積分如下：排名：C>A=D>B（A、D比凈勝球D>A）C>D>A>BABCDA3:21:21:1B1:35:1C2:4D勝（2分）平（1分）負(fù)（0分）總積分A1113B1022C2014D1113四、建模與求解模型1總積分法按兩分制（或三分制），即勝一場得兩分或三分，平一場的一分，負(fù)一場不得分。計算各隊在所有比賽中的總積分，按總積分的高低排出名次。優(yōu)點:綜合考慮比賽的情況，也設(shè)法多利用一些結(jié)果信息。缺點（1）沒有考慮對手的情況，勝第二名和勝最后一名是一樣看待；

（2）沒有考慮勝負(fù)的程度，9：0與5：4沒有差別；

（3）沒有考慮比賽場次的多少，顯然多參加比賽有利。結(jié)論：只適用于循環(huán)賽。比賽場次少的隊吃虧。模型2平均積分法將每個隊的總積分除以該隊參加比賽場次，得出每場平均積分。按各隊平均積分的高低來排名。一區(qū)：A、B、C、D二區(qū)：E、F、G、H、I勝（2分）平（1分）負(fù)（0分）總積分E3107F1214G1032H0222I2024ABCDEFGHI總積分324374224平均積分10.671.3311.7510.50.51按各隊平均積分的高低排名（相同則比較平均凈勝球）

特征向量法

勝（2分）平（1分）負(fù)（0分）總積分A1113B1022C2014D1113

n=1x1=0.25000.16670.3333

0.2500n=2x1=0.20590.17650.29410.3235n=3x1=0.23470.22450.26530.2755n=4x1=0.24480.18620.31030.2586n=5x1=0.21940.17990.29980.3010n=6x1=0.22940.20900.27730.2843n=7x1=0.23960.19400.29910.2674n=8x1=0.22640.18470.29950.2894n=9x1=0.22830.20060.28500.2861n=10x1=0.23570.19620.29420.2738n=11x1=0.22960.18870.29770.2840n=12x1=0.22880.19650.28940.2854n=13x1=0.23330.19630.2926

0.2778n=14x1=0.23090.19130.2959

0.2819n=15x1=0.22950.19470.29160.2842模型3’得分矩陣法

模型4參數(shù)法

模型五概率法

一場比賽兩場比賽三場比賽積分積分積分20.67~140.8~160.86~110.33~0.6730.6~0.850.71~0.8600~0.3320.4~0.640.5