第三章力系簡化的基礎(chǔ)知識

基本概念力系：作用在物體上的一組力系。合力：如果某力與一力系等效，則稱此力為力系的合力第三章力系簡化的基礎(chǔ)知識2/6/20231力系分類平面力系空間力系平面特殊力系平面任意力系（平面一般力系）平面匯交力系平面力偶系平面平行力系空間特殊力系空間任意力系空間匯交力系空間力偶系空間平行力系解決的問題：力系的合成與平衡問題2/6/20232第三章力系簡化的基礎(chǔ)知識§3-1平面匯交力系的合成與平衡條件§3-2力對點(diǎn)之矩§3-3力偶·力偶矩§3-4平面力偶系的合成與平衡條件§3-5力的等效平移力系簡化的基礎(chǔ)知識2/6/20233（一）匯交力系：作用在物體上的各個(gè)力，如果其作用線交匯于同一點(diǎn)，則稱該力系為匯交力系。平面匯交力系：作用在剛體上的各個(gè)力，其作用線位于同平面內(nèi)，且交匯于同一點(diǎn)，則稱該力系為平面匯交力系。F1F2F3A§3-1平面匯交力系的合成與平衡條件力系簡化的基礎(chǔ)知識2/6/20234

1、二力匯交的合成(幾何法)：

平行四邊形法則（三角形法則）：作用在物體上同一點(diǎn)的二個(gè)力可以合成為一個(gè)合力；反之，一個(gè)合力可以分解成任意二個(gè)方向的分力。只要知道一個(gè)分力的大小、方向，即可根據(jù)平形四邊形法則確定另一個(gè)分力的大小方向。三角形法則：將兩分力按其方向及大小首尾相連，則始點(diǎn)到終點(diǎn)的連線即為合力。該法則也稱為三角形法則。力系簡化的基礎(chǔ)知識2/6/20235圖示平行四邊形法則(三角形法則)YXF1F2RRF1F2RF1F2力系簡化的基礎(chǔ)知識2/6/202362、平面匯交力系的合成―力多邊形法則（幾何法）各分力的矢量和為合力矢R

力系簡化的基礎(chǔ)知識FRFRF12F23F1F2F3F4F1F2F3F4力的平行四邊形法則：匯交力系的幾何法合成：力的多邊形法則2/6/202372/6/20238力系簡化的基礎(chǔ)知識2/6/20239結(jié)論平面匯交力系合成的結(jié)果是一個(gè)合力，它等于原力系中各力的矢量和，合力的作用線通過各力的匯交點(diǎn)。2.1.1幾何法返回首頁2/6/202310平面匯交力系平衡的幾何條件是：該力系的力多邊形是自身封閉的力多邊形。F1F2FiFn力系簡化的基礎(chǔ)知識2/6/202311幾點(diǎn)討論

合力矢FR與各分力矢的作圖順序無關(guān)。各分力矢必須首尾相接。合力從第一個(gè)力矢的始端指向最后一個(gè)力矢的末端。按力的比例尺準(zhǔn)確地畫各力的大小和方向。2.1.1幾何法返回首頁2/6/2023123、力的投影：力在軸上的投影（一般在X、Y方向），來源于平行光照射下物體影子的概念。為了便于代數(shù)運(yùn)算，一般選擇正交的坐標(biāo)軸X、Y方向投影。力的投影是代數(shù)量，與坐標(biāo)軸正方向相同為正。xx’ABab力系簡化的基礎(chǔ)知識2/6/202313力在坐標(biāo)軸上的投影的定義：線段ab的長度并冠以適當(dāng)?shù)姆?，稱為力在軸上的投影，記為Fx。投影為正：從a到b的指向與投影軸x正向一致。投影為負(fù)：從a到b的指向與投影軸x正向相反。關(guān)于投影的數(shù)學(xué)定義：

Fx=F·nx（X=Fcos）

nx：是軸x的方向矢量合力投影定理：力系的合力在任一軸上的投影等于力系中各力在同一軸上的投影的代數(shù)和。這個(gè)定理可以由力的多邊形法則直接導(dǎo)出（教材圖3－7）可證：F1、F2、F3、F4的矢量和為AE，分別的投影為ab、bc、cd、de，其代數(shù)和為AE的投影ae。力系簡化的基礎(chǔ)知識2/6/202314力系簡化的基礎(chǔ)知識2/6/202315xyF1FnF2FixyRyRxRαβ4、平面匯交力系的合成與平衡，解析法：

（1）合成：平面匯交力系可以合成為一個(gè)合力，合力作用在該力系的匯交點(diǎn)上，合力的大小和方向由各個(gè)分力分別在兩個(gè)不平行方向上（x軸與y軸）投影的代數(shù)和來確定。

Rx=∑Fix

=∑Xi

Ry=∑Fiy

=∑Yi

力系簡化的基礎(chǔ)知識2/6/202316R=Rx2+Ry2=（∑Fix

）2+（∑Fiy

）2COS=——————COS=—————RxRRRy（2）平衡（解析法）：平面匯交力系平衡的必要與充分條件是：該力系的合力為零，即力系的矢量和為零。合力在任意兩個(gè)不平行方向上投影同時(shí)為零，或各力矢量分別在該二方向上的投影的代數(shù)和同時(shí)為零。

力系簡化的基礎(chǔ)知識平面匯交力系平衡Fx=0Fy=0R=Fi=02/6/202317平面匯交力系有兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程，可以求解兩個(gè)未知量。平面匯交力系平衡的幾何條件是：該力系的力多邊形是自身封閉的力多邊形。例題3-1、3-2P22-23F1F2FiFn力系簡化的基礎(chǔ)知識2/6/202318例3-1求圖示平面匯交力系的合力。(大小和方向)已知：F1=3kN，F(xiàn)2=5kN，F(xiàn)3=6kN，F(xiàn)4=4kN。xyF145°F230°F4F360°Rx=3cos45°+5cos30°-6cos60°-4=-0.549kNRy=3sin45°-5sin30°-6sin60°-0=-3.379kNR=(-0.549)2+(-3.379)2=3.423kN=arccos[(-0.549)/3.423]=260.8°(R指向第三象限）力系簡化的基礎(chǔ)知識2/6/202319例圖示門式剛架，已知：P=20KN，不計(jì)剛架自重，求：支座A、D的約束反力。PBACDPBAC8m4mFDFAPFDFA解：1選取研究對象：“剛架”畫受力圖

2選取適當(dāng)?shù)谋壤?，作封閉的力多邊形10KNabc3求解未知量：可由圖中直接量取:FA

=22.5KN,FD=10KN；亦可由幾何關(guān)系計(jì)算出未知量：tg=1/2，cos=2/√5FD=Ptg=20/2=10kN，F(xiàn)A=P/cos=20/（2/√5）=22.4kN力系簡化的基礎(chǔ)知識D2/6/202320PBACDFDFA選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)軸列平衡方程Fx=0P-FA·cos=0

Fy=0FD-FA·sin=0DPBAC8m4m注意：應(yīng)使所選坐標(biāo)軸與盡可能多的未知量相垂直，若所選坐標(biāo)軸為水平或鉛直方向，則在受力圖中不用畫出，否則，一定要畫出。力系簡化的基礎(chǔ)知識2/6/202321例連桿機(jī)構(gòu)OABC受鉛直力P和水平力F作用而在圖示位置平衡。已知P=4kN，不計(jì)連桿自重，求力F的大小。AFPBOC6001200AFPB解：“B”FABBFBCBFABAFAOAyFy=0FABB=P“A”Fx=0F

=FABA·cos300F=P·cos300P

·cos600-FABB·cos600=0FABA·cos300-

F=0=

FABB·cos300XX力系簡化的基礎(chǔ)知識2/6/202322力系簡化的基礎(chǔ)知識§3-2力對點(diǎn)的矩：GF2/6/202323力F對O點(diǎn)的矩：d為O點(diǎn)到力F作用線的（垂直）距離：記為

mO（F）=Fd，單位：N·m（牛頓·米）；矩心O力臂dαABF力系簡化的基礎(chǔ)知識2/6/202324矩心O力臂d位矢rαABF力矩的性質(zhì)：

?力通過矩心，其矩為零；

?力沿作用線移動(dòng)，不改變其矩；

?等值、反向、共線的兩力對同一點(diǎn)矩之和為零；

?相對于矩心作逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的力矩為正；反之為負(fù)。

?力矩的數(shù)學(xué)定義：

m

O（F）=d×F

?m

O（F）=±2⊿OAB面積力系簡化的基礎(chǔ)知識2/6/202325合力矩定理：平面匯交力系的合力對力系平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩，等于力系中各分力對同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和。數(shù)學(xué)形式：

例：按圖中給定的條件，計(jì)算力F對A點(diǎn)的矩。

FAabmA（F）=Fasin-Fbcos力系簡化的基礎(chǔ)知識平面：MO(R)=MO(Fi)2/6/202326力偶定義：由大小相等、方向相反且不共線的兩個(gè)平行力組成力偶。對物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，為一新物理量。如司機(jī)兩手轉(zhuǎn)動(dòng)方向盤，產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)的作用。記號：m（F，F(xiàn)’）=mFF’d力系簡化的基礎(chǔ)知識§3-3力偶與力偶矩2/6/202327性質(zhì)1：①無合力，故不能與一個(gè)力等效——在任一軸上投影的代數(shù)和均為零；②非平衡力系，不共線的相反平行力產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效果。所以，力偶與力分別是力學(xué)中的兩個(gè)基本要素。力偶矩——力偶對物體轉(zhuǎn)動(dòng)效果度量，平面力偶為一個(gè)代數(shù)量，其絕對值等于力與力偶臂的乘積；其正負(fù)號表示力偶的轉(zhuǎn)向，規(guī)定逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)?/p>

正，反之為負(fù)。m=±F*d力偶的作用效果取決于三個(gè)因素：構(gòu)成力偶的力、力偶臂的大小、力偶的轉(zhuǎn)向。對應(yīng)于式中的：F、d（二力作用線的矩）、號（定義逆時(shí)針轉(zhuǎn)為正）力系簡化的基礎(chǔ)知識2/6/202328性質(zhì)2.：力偶作用的轉(zhuǎn)動(dòng)效果與矩心位置無關(guān)，完全由力偶矩確定。mo（F）+mo（F’）=F*（d+x）-F*x=F*d=m推論1：力偶可以在其作用面內(nèi)任意移動(dòng)，不會改變它對剛體的作用效果。力偶矩的大小及轉(zhuǎn)向：大小等于組成力偶的兩個(gè)力對任一點(diǎn)之矩的代數(shù)和；轉(zhuǎn)向由代數(shù)值的符號確定，逆時(shí)針為正。FFdOx力系簡化的基礎(chǔ)知識2/6/202329推論2：力偶矩大小只與乘積Fd有關(guān)，按比例任意改為nF*d/n=F·d，乘積不變。教材圖3－17中的三種力偶表示，均為相同的力偶作用——力偶矩相等。10N1m=2m5N=m=10N·m力系簡化的基礎(chǔ)知識2/6/202330性質(zhì)3.只要保持力偶矩不變，力偶可在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，且可以同時(shí)改變力偶中力的大小與力臂的長短，對剛體的作用效果不變.===2/6/202331平面力偶系的合成：平面力偶系可合成為合力偶，合力偶矩等于平面各分力偶矩的代數(shù)和。M1+m2+﹍+mn=∑mi=m力系簡化的基礎(chǔ)知識§3-4平面力偶系合成與平衡條件2/6/202332力偶系平衡條件與匯交力系平衡相類似，力偶系的平衡即為力偶系的作用不能使物體發(fā)生變速轉(zhuǎn)動(dòng)，物體處于平衡狀態(tài)，其合力偶矩等于零，即力偶系中各力偶的代數(shù)和等于零。m=mi=0平面力偶系平衡的充要條件：各力偶的力偶矩代數(shù)和等于零。mi=0力系簡化的基礎(chǔ)知識2/6/202333力系簡化的基礎(chǔ)知識2/6/202334力系簡化的基礎(chǔ)知識2/6/202335力系簡化的基礎(chǔ)知識2/6/2023362/6/202337例5：已知:

結(jié)構(gòu)受力如圖所示,圖中M,r均為已知,且l=2r.試:畫出AB和BDC桿的受力圖;求A,C二處的約束力.力系簡化的基礎(chǔ)知識2/6/202338

受力分析:1.AB桿為二力桿;討論

怎樣確定B、C二處的約束力

2.BDC桿的B、C二處受力必形成有力偶，才能和主動(dòng)力偶相平衡。力系簡化的基礎(chǔ)知識2/6/202339已知桿AB和桿CD的自重不計(jì)，且在C處光滑接觸，若作用在桿AB上的力偶的矩為m1

，則欲使系統(tǒng)保持平衡，作用在CD桿上的力偶的矩的m2轉(zhuǎn)向如圖示，其矩為

。A：m2=m1;B：m2=4m1/3;C：m2=2m1。am1ADB600Cm2aA力系簡化的基礎(chǔ)知識2/6/202340ABCDEamaa3-14.圖示結(jié)構(gòu)受一已知力偶的作用，試求鉸A和鉸E的約束反力。解（1）取EC和CD為分離體CDEmNE45°

ND45°

∑mi=0，NEacos45°-m=0ND=NE=√2m/a（2）取整體為分離體∑mi=0，NA*2a-m=0NA=NB=m/（2a）NANB力系簡化的基礎(chǔ)知識2/6/202341力的等效平移定理是力系簡化的基礎(chǔ)。力的平移定理：P30

在同一剛體上A點(diǎn)的力F可以等效地平移到任意一點(diǎn)B。但必須附加一個(gè)力偶，其力偶矩等于F對作用點(diǎn)B的之矩。如圖所示：

力系簡化的基礎(chǔ)知識§3-5力的等效平移2/6/202342F′

附加力偶m作用在剛體上A點(diǎn)的力F可以等效地平移到此剛體上的任意一點(diǎn)B，但必須附加一個(gè)力偶m，且：m=MB(F)=Fd。FA剛體BA剛體Bd力系簡化的基礎(chǔ)知識2/6/2023432/6/2023442/6/2023452/6/202346例3圖示門式剛架，已知：P=20KN，不計(jì)剛架自重，求：支座A、D的約束反力。PBACDPBAC8m4mFDFAPFDFA解：1選取研究對象：“剛架”畫受力圖

2選取適當(dāng)?shù)谋壤?，作封閉的力多邊形10KNabc3求解未知量：可由圖中直接量取:FA

=22.5KN,FD=10KN；亦可由幾何關(guān)系計(jì)算出未知量：tg=1/2，cos=2/√5FD=Ptg=20/2=10kN，F(xiàn)A=P/cos=20/（2/√5）=22.4kN力系簡化的基礎(chǔ)知識D2/6/202347例4連桿機(jī)構(gòu)OABC受鉛直力P和水平力F作用而在圖示位置平衡。已知P=4kN，不計(jì)連桿自重，求力F的大小。AFPBOC6001200AFPB解：“B”FABBFBCBFABAFAOAyFy=0FABB=P“A”Fx=0F

=FABA·cos300F=P·cos300P

·cos600-FABB·cos600=0FABA·cos300-

F=0=

FABB·cos300XX力系簡化的基礎(chǔ)知識2/6/202348PBACDFDFA選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)軸列平衡方程Fx=0P-FA·cos=0

Fy=0FD-FA·sin=0DPBAC8m4m注意：應(yīng)使所選坐標(biāo)軸與盡可能多的未知量相垂直，若所選坐標(biāo)軸為水平或鉛直方向，則在受力圖中不用畫出，否則，一定要畫出。力系簡化的基礎(chǔ)知識2/6/2023490.6m0.4mCBAF300例4、已知：機(jī)構(gòu)如圖，F(xiàn)=10kN，求：MA(F)=?dFxFy解:方法一:MA(F)=-F?d=-100.6

sin600方法二:MA(F)=-F?cos300?0.6+0=-100.6

cos300Fx

=Fcos300

MA(Fx)Fy

=-Fsin300

MA(Fy)=0MA(F)=MA(Fx)+MA(Fy)力系簡化的基礎(chǔ)知識2/6/202350M=0M1

-FB·0-M=0M

=M1ABCDEMM1450aFBFA槽力系簡化的基礎(chǔ)知識2/6/202351已知桿AB和桿CD的自重不計(jì)，且在C處光滑接觸，若作用在桿AB上的力偶的矩為m1

，則欲使系統(tǒng)保持平衡，作用在CD桿上的力偶的矩的m2轉(zhuǎn)向如圖示，其矩為

。A：m2=m1;B：m2=4m1/3;C：m2=2m1。am1ADB600Cm2aA力系簡化的基礎(chǔ)知識2/6/202352鉸接四連桿機(jī)構(gòu)O1ABO2在圖示位置平衡。已知O1A=40cm,O2B=60cm，作用在桿O1A上的力偶的力偶矩m1=1Nm。試求桿AB所受的力S和力偶矩m2的大小。各桿重量不計(jì)。BAm1O1O2m2300力系簡化的基礎(chǔ)知識