理論力學(xué)-第3章1上

本章將討論力系平衡的充分與必要條件，在此基礎(chǔ)上導(dǎo)出一般情形下力系的平衡方程。并且將力系的平衡方程應(yīng)用于各種特殊情形，特別是各力作用線(xiàn)位于同一平面被稱(chēng)為平面力系的情形。第3章力系的平衡

剛體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題是所有機(jī)械和結(jié)構(gòu)靜力學(xué)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。分析和解決剛體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題，必須綜合應(yīng)用第1、2章中的基本概念、原理與基本方法，包括：約束、等效、簡(jiǎn)化、平衡以及受力分析等等。本章還將對(duì)桁架桿件的受力分析以及考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題作簡(jiǎn)單介紹。平面力系平衡方程及其在剛體與簡(jiǎn)單剛體系統(tǒng)中的應(yīng)用，是本章的重點(diǎn)。第3章力系的平衡

平衡與平衡條件任意力系的平衡方程平面力系的平衡方程

平衡方程的應(yīng)用剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題平面靜定桁架的靜力分析

考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題平衡的概念物體相對(duì)慣性參考系靜止或作等速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，這種狀態(tài)稱(chēng)為平衡。平衡是運(yùn)動(dòng)的一種特殊情形。平衡是相對(duì)于確定的參考系而言的。例如，地球上平衡的物體是相對(duì)于地球上固定參考系的，相對(duì)于太陽(yáng)系的參考系則是不平衡的。本章所討論的平衡問(wèn)題是以地球（將固聯(lián)其上的參考系視為慣性參考系）作為參考系的。工程靜力學(xué)所討論的平衡問(wèn)題，可以是單個(gè)剛體，也可能是由若干個(gè)剛體組成的系統(tǒng)，這種系統(tǒng)稱(chēng)為剛體系統(tǒng)。剛體或剛體系統(tǒng)的平衡與否，取決于作用在其上的力系。

整體

對(duì)于剛體：由二個(gè)或二個(gè)以上剛體組成的系統(tǒng)。重要概念：

整體平衡，局部必然平衡整體平衡與局部平衡CFR2FR1平衡與平衡條件平衡的概念FR1

′FRAxFRCxFRAyFRAy局部對(duì)于剛體：組成系統(tǒng)的單個(gè)剛體或幾個(gè)剛體組成的子系統(tǒng)。

整體

對(duì)于變形體：?jiǎn)蝹€(gè)物體，或者由二個(gè)以及二個(gè)以上物體組成的系統(tǒng)平衡與平衡條件平衡的概念FP1FP2FP3M1q(x)xFP6FP5FP4dxM2局部

對(duì)于變形體：組成物體的任意一部分。FP1FP2FP3M1q(x)x平衡與平衡條件平衡的概念平衡與平衡條件平衡的概念FP1FP2FP3M1q(x)xFP6FP5FP4dxM2dxq(x)FQ(x)M(x)局部

對(duì)于變形體：組成物體的任意一部分。平衡與平衡條件平衡的概念局部

對(duì)于變形體：組成物體的任意一部分。力系的平衡是剛體和剛體系統(tǒng)平衡的必要條件。力系平衡的條件是，力系的主矢和力系對(duì)任一點(diǎn)的主矩都等于零。因此，如果剛體或剛體系統(tǒng)保持平衡，則作用在剛體或剛體系統(tǒng)的力系主矢和和力系對(duì)任一點(diǎn)的主矩都等于零。平衡的必要條件FR

—主矢；MO—對(duì)任意點(diǎn)的主矩空間任意力系平衡條件對(duì)于一般力系，由平衡的充要條件，可以得到主矢和主矩在X、Y、Z方向的分量都等于零。

空間任意力系的有6個(gè)平衡方程，可求6個(gè)未知力。根據(jù)平衡的充要條件,主矢和主矩都為零。對(duì)于作用在剛體或剛體系統(tǒng)上的任意力系，平衡條件的投影形式為yzxOF1FnF2M2M1Mn平衡力系中的所有力在直角坐標(biāo)系各軸上投影的代數(shù)和都等于零；平衡力系中的所有力對(duì)各軸之矩的代數(shù)和也分別等于零。上述6個(gè)平衡方程是互相獨(dú)立的。這些平衡方程適用于任意力系。對(duì)于不同的特殊情形，其中某些平衡方程是自然滿(mǎn)足的，因此，獨(dú)立的平衡方程數(shù)目會(huì)有所不同?？臻g力系的特殊情形對(duì)于力系中所有力的作用線(xiàn)都相交于一點(diǎn)的空間匯交力系，上述平衡方程中三個(gè)力矩方程自然滿(mǎn)足，因此，平衡方程為：任意力系的平衡方程空間力系的特殊情形對(duì)于力偶作用面位于不同平面的空間力偶系，平衡方程中的三個(gè)力的投影式自然滿(mǎn)足，其平衡方程為：空間力偶系任意力系的平衡方程空間力系的特殊情形對(duì)于力系中所有力的作用線(xiàn)相互平行的空間平行力系,若坐標(biāo)系的軸與各力平行，則上述6個(gè)平衡方程中自然滿(mǎn)足。于是,平衡方程為：第3章力系的平衡

平面力系的平衡方程

返回平面力系平衡方程的一般形式平面力系平衡方程的其他形式平面力系平衡方程的一般形式所有力的作用線(xiàn)都位于同一平面的力系稱(chēng)為平面任意力系（arbitraryforcesysteminaplane）。這時(shí)，若坐標(biāo)平面與力系的作用面相一致，則任意力系的6個(gè)平衡方程中，自然滿(mǎn)足，且yxzOFx

=0,MO=0

Fy

=0,平面力系平衡方程的一般形式為：其中矩心O為力系作用面內(nèi)的任意點(diǎn)。yxzO上述平面力系的3個(gè)平衡方程中的可以一個(gè)或兩個(gè)都用力矩式平衡方程代替，但所選的投影軸與取矩點(diǎn)之間應(yīng)滿(mǎn)足一定的條件。Fx

=0

Fy

=0平面一般力系平衡方程的其他形式A、B連線(xiàn)不垂直于x軸A、B、C三點(diǎn)不在同一直線(xiàn)上二矩式三矩式FRFR求固定端A處的約束力。解：畫(huà)受力圖

MA的負(fù)號(hào)表示MA實(shí)際方向與圖示相反。負(fù)號(hào)表示和假設(shè)方向相反。

平面剛架的所有外力的作用線(xiàn)都位于剛架平面內(nèi)。A處為固定端約束。若圖中q、FP、M、l等均為已知，試求:A處的約束力。

平衡方程的應(yīng)用解：1.選擇平衡對(duì)象

本例中只有折桿ABCD一個(gè)剛體，因而是惟一的平衡對(duì)象。

解：2.受力分析剛架A處為固定端約束，又因?yàn)槭瞧矫媸芰?，故?個(gè)同處于剛架平面內(nèi)的約束力FAx、FAy和MA。剛架的隔離體受力圖如圖示。qlFAxFAyMA其中作用在CD部分的均布載荷已簡(jiǎn)化為一集中力ql作用在CD的中點(diǎn)。解：3.建立平衡方程求解未知力,應(yīng)用平衡方程

Fx

=0,MA=0

Fy

=0,由此解得:qlFAxFAyMA平衡方程的應(yīng)用解：4.驗(yàn)證所得結(jié)果的正確性為了驗(yàn)證上述結(jié)果的正確性，可以將作用在平衡對(duì)象上的所有力（包括已經(jīng)求得的約束力），對(duì)任意點(diǎn)（包括剛架上的點(diǎn)和剛架外的點(diǎn)）取矩。若這些力矩的代數(shù)和為零，則表示所得結(jié)果是正確的，否則就是不正確的。qlFAxFAyMA解：在水平梁上作用載荷，已知F＝10KN，F(xiàn)D＝20KN，q＝20KN/m，a＝10m。試求支座A和B的約束力。例題:折桿AB的三種支承方式如圖所示，設(shè)有一力偶矩?cái)?shù)值為M的力偶作用在曲桿AB上。試求支承處的約束力。解：對(duì)于(a)、(b)兩種情形，在輥軸支座A處，其約束力都垂直支承面，所以方向是確定的。但是，固定鉸鏈支座B處卻有方向不確定的約束力。因?yàn)?，折桿上只作用有外加力偶，所以A、B二處的約束力，必須組成一個(gè)力偶與外加力偶平衡。FAFAFBFBFBFA因?yàn)?，折桿上只作用有外加力偶，所以A、B二處的約束力，必須組成一個(gè)力偶與外加力偶平衡。FAFB例題折桿AB的三種支承方式如圖所示，設(shè)有一力偶矩?cái)?shù)值為M的力偶作用在曲桿AB上。試求支承處的約束力。例題折桿AB的三種支承方式如圖所示，設(shè)有一力偶矩?cái)?shù)值為M的力偶作用在曲桿AB上。試求支承處的約束力。因?yàn)椋蹢U上只作用有外加力偶，所以A、B二處的約束力，必須組成一個(gè)力偶與外加力偶平衡。FAFB對(duì)于情形(c)，D處繩索的約束力FD不僅作用線(xiàn)方向確定，而且指向也確定。FDFE

A、B二處的約束力FA和FB作用線(xiàn)方向可以確定，但指向不能確定。將A、B二處的約束力FA和FB沿其作用線(xiàn)方向滑移，相交于E點(diǎn)。約束力FA和FB指向雖然不能確定，但是其合力FE必須與D處的繩索拉力FD

組成一個(gè)力偶與外加力偶相平衡。E例題折桿AB的三種支承方式如圖所示，設(shè)有一力偶矩?cái)?shù)值為M的力偶作用在曲桿AB上。試求支承處的約束力。FBFAEFDFEEd根據(jù)力偶平衡理論，可以求得FE與D處的繩索拉力FD：例題折桿AB的三種支承方式如圖所示，設(shè)有一力偶矩?cái)?shù)值為M的力偶作用在曲桿AB上。試求支承處的約束力。EFDFEEFBFA45°將FE沿水平與鉛垂方向分解，便得到A、B二處約束力FA、FB例題折桿AB的三種支承方式如圖所示，設(shè)有一力偶矩?cái)?shù)值為M的力偶作用在曲桿AB上。試求支承處的約束力。FBFA例題作用在水力渦輪發(fā)電機(jī)主軸上的力：水力推動(dòng)渦輪轉(zhuǎn)動(dòng)的力偶矩Mz=1200N.m。錐齒輪B處受到的力分解為三個(gè)分力：圓周力Ft，軸向力Fa和徑向力Fr。三者大小的比例為Ft:Fa

:Fr=1:0.32:0.17。

已知渦輪連同軸和錐齒輪的總重量為W=12kN，其作用線(xiàn)沿軸Cz；錐齒輪的平均半徑OB=0.6m。試求：止推軸承C和軸承A處的約束力。

解：以“軸－錐齒輪－渦輪”組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象。先求錐齒輪B處三個(gè)分力大小。根據(jù)所有力對(duì)z軸的力矩平衡方程，有由此解得作用在錐齒輪上的圓周力FCxFAyFAxFCzFCy滑動(dòng)軸承A處有2個(gè)約束力；止推軸承C處有3個(gè)約束力；

Ft:Fa

:Fr=1:0.32:0.17?？傊亓繛閃=12kN，OB=0.6m。力偶矩Mz=1200N.m,FCxFAyFAxFCzFCy

Ft:Fa

:Fr=1:0.32:0.17,W=12kN，OB=0.6m。由此解得圓周力Ft

再由三個(gè)力的數(shù)值比，得到最后應(yīng)用空間力系的平衡方程，可以寫(xiě)出FCxFAyFAxFCzFCy需要注意的是：在空間力系平衡問(wèn)題的六個(gè)平衡方程中，應(yīng)使每個(gè)方程的未知數(shù)盡可能的少，以避免解聯(lián)立方程。列寫(xiě)六個(gè)方程的先后順序也應(yīng)靈活選取。已知：F=12kN,并與鉛垂方向成75度角，P=4.2kN，求：A、B的約束力及力偶矩M。解：畫(huà)受力圖，空間力系平衡。故只有5個(gè)獨(dú)立平衡方程。求：D、B處的約束力。解：畫(huà)受力圖，列平衡方程求：三桿對(duì)邊長(zhǎng)為a的三角板的約束力。解：畫(huà)受力圖A、B、C三點(diǎn)不共線(xiàn)，三力矩平衡方程是獨(dú)立的。列平衡方程第3章力系的平衡

剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題靜定和靜不定問(wèn)題的概念剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題的解法靜定和靜不定問(wèn)題的概念剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題未知力的個(gè)數(shù)正好等于獨(dú)立平衡方程的數(shù)目，由平衡方程可以解出全部未知數(shù)。這類(lèi)問(wèn)題，稱(chēng)為靜定問(wèn)題，相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱(chēng)為靜定結(jié)構(gòu)。工程上，為了提高結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和剛度等工程要求，常常在靜定結(jié)構(gòu)上再附加一個(gè)或幾個(gè)約束，從而使未知約束力的個(gè)數(shù)大于獨(dú)立平衡方程的數(shù)目。這時(shí)，僅僅由靜力學(xué)平衡方程無(wú)法求得全部未知約束力。這類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)為靜不定問(wèn)題或超靜定問(wèn)題，相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱(chēng)為靜不定結(jié)構(gòu)或超靜不定結(jié)構(gòu)。靜不定問(wèn)題中，未知量的個(gè)數(shù)Nr與獨(dú)立的平衡方程數(shù)目Ne之差，稱(chēng)為靜不定次數(shù)（degreeofstaticallyindeterminateproblem）。與靜不定次數(shù)對(duì)應(yīng)的約束對(duì)于結(jié)構(gòu)保持靜定是多余的，因而稱(chēng)為多余約束。靜不定次數(shù)或多余約束個(gè)數(shù)用i表示，由下式確定：i=Nr－Ne

靜定和靜不定問(wèn)題的概念剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題Nr:未知量的個(gè)數(shù)Ne:平衡方程數(shù)目剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題的解法由兩個(gè)或兩個(gè)以上的剛體所組成的系統(tǒng)，稱(chēng)為剛體系統(tǒng)（rigidmultibodysystem）。剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題的特點(diǎn)是：僅僅考察系統(tǒng)的整體或某個(gè)局部（單個(gè)剛體或局部剛體系統(tǒng)），不能確定全部未知力。為了解決剛體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題，需將平衡的概念加以擴(kuò)展，即：系統(tǒng)若整體是平衡的，則組成系統(tǒng)的每一個(gè)局部以及每一個(gè)剛體也必然是平衡的。根據(jù)這一重要概念，只要正確理解整體平衡與局部平衡的概念，全面地考慮整體平衡和局部平衡，就可以解出全部未知力。剛體系：由兩個(gè)或兩個(gè)以上的剛體用約束聯(lián)結(jié)起來(lái)系統(tǒng)。稱(chēng)為剛體系統(tǒng)（rigidmultibodysystem）。剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題的特點(diǎn)是：僅僅考察系統(tǒng)整體平衡，無(wú)法求得全部未知力。當(dāng)然，僅僅考慮整體平衡是可以求出一部分約束力的。

剛體系統(tǒng)平衡，則組成這一系統(tǒng)的每個(gè)剛體也必然是平衡的。因此，只要正確理解整體平衡與局部平衡的概念，全面地考慮整體平衡和局部平衡，就可以解出全部未知力。

重要概念整體平衡，局部必然平衡剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題的解法求解剛體系平衡問(wèn)題的基本途徑：1、分別考慮每一剛體的受力情況，建立平衡方程，然后聯(lián)立求解。這一方法叫做“單體加單體”的方法。2、考慮整個(gè)系統(tǒng)和其中某些單個(gè)剛體的平衡條件，求出未知量。這種方法叫做“整體與單體結(jié)合”的方法。

具體選擇哪一種方法，要根據(jù)題意，靈活應(yīng)用。盡量避免解聯(lián)立方程。剛體系統(tǒng)平衡問(wèn)題的解法例題1圖示結(jié)構(gòu)，若FP

和

l

已知，確定四種情形下的約束力lACBllFPllACBl第一種情形第二種情形M=FPl平衡方程的應(yīng)用lllFPACBD第三種情形第四種情形lllACBDM=FPl圖示結(jié)構(gòu)，若FP

和l

已知，確定四種情形下的約束力第一種情形

dDBlACllFPFAyFAxFBC平衡方程的應(yīng)用ABDFAxFByFBxFAyCB'M=FPlFBy′FBx′FCxFCyllACBl第二種情形DM=FPl圖示結(jié)構(gòu)，若FP

和l已知，確定圖示情形下的約束力分析BC

和

ABD桿受力ABDFAxFByFBxFAy考察ABD桿

的平衡MB(F)=0:MA(F)=0:FBy=0FAy=0Fx

=0:FBx+

FAx=0

FBx=

-FAxCB'M=FPlFBy′FBx′FCxFCy考察BC桿的平衡Fx

=0:

FBx′

-

FCx=0

FCx=FBx′=

FBxFy

=0:

FBy′-

FCy=0

FCy=FBy′=FBy=0MB'

(F)=0:

FCx

l+M=0FCx=FBx′=

-FP更簡(jiǎn)單的方法（分析BC和ABD桿受力）這個(gè)問(wèn)題是否有更簡(jiǎn)單的方法？比如說(shuō)，B、C兩處的約束力是水平方向的，這樣就能直接把它求出來(lái)，這種想法是否正確？?關(guān)于平衡對(duì)象的選擇關(guān)于平衡對(duì)象選擇的問(wèn)題，剛才我們選擇了兩個(gè)平衡對(duì)象，能不能就以整體為平衡對(duì)象呢？請(qǐng)思考這個(gè)問(wèn)題。能不能以整體為研究對(duì)象?第三種情形

A處有一個(gè)約束力，C處有兩個(gè)約束力，考慮整體平衡，ACBDllFPlFCyFAFCx第三種情形:圖示結(jié)構(gòu)，若FP

和l已知，確定的約束力第四種情形MC(F)=0:

FA=FPFA×l-M=0Fx=0

FA=-

FC=FPlM=FPlllACBDFAFC例題:第一種情形，如圖結(jié)構(gòu)，求A、D處的約束力，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，畫(huà)出如圖受力簡(jiǎn)圖。如果考慮整體平衡，能求出幾個(gè)約束力？要求出所有約束力，還必須考慮什么？已知：FP、l、r

求

：A、D二處約束力以整體作為平衡對(duì)象，用平面問(wèn)題的三個(gè)平衡方程能求出A端的三個(gè)約束力，但無(wú)法求出D處的約束力；因此還要考察其它剛體，DE是二力桿，兩端約束力都未知，因此考慮BEC桿，B處有兩個(gè)約束力，E處有一個(gè)約束力，能通過(guò)三個(gè)平衡方程求出，從而求得D處的約束力。第二種情形如圖結(jié)構(gòu)，繩子的固定與第一種情形不同，因此外加的約束力也不同，但是考慮整體平衡，還是能把A端的三個(gè)約束力求出來(lái)。和第一種情形一樣，再單獨(dú)考慮BEC桿，不同之處在于C端多了一個(gè)水平力，其它并沒(méi)有什么差別。第三種情形如圖，在BEC桿上增加了均勻分布的載荷，只要把均勻分布載荷簡(jiǎn)化為一個(gè)集中力，即如圖所示，以下的所有分析都是和第二種情形相似的。q—載荷集度分析過(guò)程

結(jié)構(gòu)由桿AB與BC在B處鉸接而成。結(jié)構(gòu)A處為固定端，C處為輥軸支座。結(jié)構(gòu)在DE段承受均布載荷作用，載荷集度為q；E處作用有外加力偶，其力偶矩為M。若q、l、M等均為已知，試求A、C二處的約束力。例題

解：1.受力分析，選擇平衡對(duì)象

考察結(jié)構(gòu)整體，在固定端處有3個(gè)約束力，設(shè)為FAx、FAy和MA；在輥軸支座處有1個(gè)豎直方向的約束力FRC。FAxFAyMAFRC

這些約束力稱(chēng)為系統(tǒng)的外約束力（externalconstraintforce）。僅僅根據(jù)整體的3個(gè)平衡方程，無(wú)法確定所要求的4個(gè)未知力。因而，除了整體外，還需要其他的平衡對(duì)象。為此，必須將系統(tǒng)拆開(kāi)。

B將結(jié)構(gòu)從B處拆開(kāi)，則鉸鏈B處的約束力可以用相互垂直的兩個(gè)分量表示，但作用在兩個(gè)剛體AB和BC上同一處B的約束力，互為作用與反作用力。這種約束力稱(chēng)為系統(tǒng)的內(nèi)約束力（internalconstraintforce）。內(nèi)約束力在考察結(jié)構(gòu)整體平衡時(shí)并不出現(xiàn)。受力圖中ql為均布載荷簡(jiǎn)化的結(jié)果。MAFRCFAxFAyFBxFByF'BxF'ByFAxFAyMAFRC解：2.整體平衡根據(jù)整體結(jié)構(gòu)的受力圖(為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，當(dāng)取整體為研究對(duì)象時(shí)，可以在原圖上畫(huà)受力圖)，由平衡方程FAxFAy