2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 三定問題及最值（精講）（解析版）

9.6三定問題及最值（精講）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖常見考法常見考法考法一定點(diǎn)【例1】（2021·貴州貴陽市·貴陽一中高三月考（理））已知橢圓：的離心率為，且過橢圓的右焦點(diǎn)有且僅有一條直線與圓：相切.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)圓與軸的正半軸交于點(diǎn).已知直線斜率存在且不為0，與橢圓交于，兩點(diǎn)，滿足(為坐標(biāo)原點(diǎn))，證明：直線過定點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）因過橢圓的右焦點(diǎn)有且僅有一條直線與圓：相切，則點(diǎn)在圓：上，即，而橢圓的離心率，解得，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）圓：與軸的正半軸交于點(diǎn)，依題意，設(shè)直線的方程為，，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，由知直線AP，BP斜率與互為相反數(shù)，又，，即，化簡整理得：，又，，于是得，由消去y得：，則，，從而有，即，解得，此時(shí)直線的方程為，所以直線恒過定點(diǎn).【一隅三反】1．（2021·海口中學(xué)高三月考）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，右頂點(diǎn)為，已知，其中為原點(diǎn)，為橢圓的離心率.（1）求橢圓的方程；（2）若過的直線與坐標(biāo)軸不垂直，它與橢圓交于，兩點(diǎn)，是點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，試判斷直線是否過定點(diǎn)，如果過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，如果不過定點(diǎn)，請說明理由.【答案】（1）；（2）過定點(diǎn)，且定點(diǎn)為.【解析】（1）依題意，，即，，所以橢圓的方程為.（2），依題意可知直線的斜率存在且不為，設(shè)直線的方程為，設(shè)，消去并化簡得，，直線的方程為，根據(jù)橢圓的對稱性可知，若直線過定點(diǎn)，則定點(diǎn)在軸上，由此令得，即，所以定點(diǎn)為.2．（2021·九龍坡區(qū)·重慶市育才中學(xué)）阿基米德(公元前287年---公元前212年，古希臘)不僅是著名的哲學(xué)家、物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的面積等于，且橢圓的焦距為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)是軸上的定點(diǎn)，直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，已知A關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，已知三點(diǎn)共線，試探究直線是否過定點(diǎn).若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由.【答案】（1）；（2）直線恒過定點(diǎn).【解析】（1）橢圓的面積等于，，，橢圓的焦距為，，，橢圓方程為（2）設(shè)直線，，則，，三點(diǎn)共線，得，直線與橢圓交于兩點(diǎn),,，，由，得，，，代入中，，，當(dāng)，直線方程為，則重合，不符合題意；當(dāng)時(shí)，直線,所以直線恒過定點(diǎn).3．（2021·湖北）已知橢圓T：經(jīng)過以下四個(gè)不同點(diǎn)中的某三個(gè)點(diǎn)：，，，．（1）求橢圓T的方程；（2）將橢圓T上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短為原來的倍，橫坐標(biāo)不變，得到橢圓E．已知M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，點(diǎn)F是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線，分別交橢圓E于G，H（G，H分別異于M，N點(diǎn)）兩點(diǎn)，試判斷直線是否恒過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．【答案】（1）；（2）直線恒過定點(diǎn).【解析】（1）由題意可得A，C一定在橢圓上，即①，若B在橢圓上，則②，由①②可得，不存在，所以D在橢圓上，可得③，由①③可得，，所以橢圓的方程為：；（2）將橢圓T上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短為原來的倍，橫坐標(biāo)不變，設(shè)E上的點(diǎn)為：，對應(yīng)的點(diǎn)，由題意可得，，所以，，所以E的方程，設(shè)，，，，所以直線的方程為：，直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程整理可得，所以，，即，聯(lián)立直線NF與橢圓的方程：整理可得，所以，即，所以直線的斜率為：，所以直線的方程為：，整理可得，當(dāng)，.所以直線恒過定點(diǎn)．考法二定值【例2】（2021·河南高三月考（文））已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，離心率為，過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為.（1）求橢圓的方程；（2）已知點(diǎn)，過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，證明：直線的斜率與直線的斜率之和為定值.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，則解得所以橢圓的方程為.（2）由題意知直線斜率存在，設(shè)其方程為，，，聯(lián)立方程組代入消元并整理得：，，則，.，將，代入，整理得：，，將韋達(dá)定理代入化簡得：.因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，代入，得.【一隅三反】1．（2021·重慶高三月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：的離心率為，且C過點(diǎn).點(diǎn)P，Q在C上，且直線PQ不與坐標(biāo)軸垂直.（1）求C的方程；（2）若直線MP，MQ的斜率存在，分別記為，，證明：PQ過O點(diǎn)的充要條件是.【答案】（1）（2）證明見解析.【解析】（1）由題意：所以橢圓C：代入得：，所以橢圓C：（2）設(shè)直線PQ為：的斜率分別為，聯(lián)立得：必要性：若PQ過原點(diǎn)時(shí)，，則充分性：若時(shí)，，化簡得：或，若，則過點(diǎn)，直線MP，MQ只有一條存在，故舍去.,則直線PQ過原點(diǎn).2．（2021·全國高三（理））已知橢圓的離心率為，兩焦點(diǎn)與短軸兩頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）我們稱圓心在橢圓上運(yùn)動(dòng)，半徑為的圓是橢圓的“衛(wèi)星圓”，過原點(diǎn)作橢圓的“衛(wèi)星圓”的兩條切線，分別交橢圓于，兩點(diǎn)，若直線，的斜率存在，記為，．①求證：為定值；②試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．【答案】（1）；（2）①，②．【解析】（1）依題意得，，，解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）①直線，的方程分別為，設(shè)橢圓的“衛(wèi)星圓”的圓心為因?yàn)橹本€，為“衛(wèi)星圓”的兩條切線，則，化簡得，所以，為方程的兩根，故又因?yàn)?，所以，故為定值；②設(shè)，由，則由于，所以，得所以為定值．3（2021·福建高三月考）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，直線的傾斜角為60°，原點(diǎn)到直線的距離是．（1）求的方程；（2）過上任一點(diǎn)作直線，分別交于，（異于的兩點(diǎn)），且，，探究是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由．【答案】（1）；（2）是定值，定值為6．【解析】（1）由題意，點(diǎn)，直線的傾斜角為60°，所以，在中，求得點(diǎn)到直線的距離是，又由原點(diǎn)到直線的距離是，則，所以，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）①當(dāng)點(diǎn)為橢圓右頂點(diǎn)時(shí)，，，所以；②當(dāng)點(diǎn)為橢圓左頂點(diǎn)時(shí)，同理可得；③當(dāng)點(diǎn)不為橢圓頂點(diǎn)，即直線，的斜率均不為零時(shí)，設(shè)直線的方程是，直線的方程是，分別代入橢圓方程，可得和，設(shè)，，，則，，由，可得，則，由直線的方程，可得，所以，由，同理可得，所以為定值．綜上所述，為定值6．4（2021·沙坪壩區(qū)·重慶八中）與橢圓（，且）相關(guān)的兩條直線稱為橢圓的準(zhǔn)線，擁有豐富的幾何性質(zhì).已知直線是位于橢圓右側(cè)的一條準(zhǔn)線，橢圓上的點(diǎn)到的距離的最大值為，最小值為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及直線的方程；（2）設(shè)橢圓的左右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，且不在軸上，與的另一個(gè)交點(diǎn)為，與的另一個(gè)交點(diǎn)為，為橢圓的左焦點(diǎn)，求證：的周長為定值.【答案】（1），；（2）證明見解析.【解析】（1）由題知，即，解得：又因?yàn)?，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，直線的方程為.（2）證明：題意可知，，，，設(shè)，，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立方程組可得，可得，所以，則，故，由可得，可得，所以，則，故，故直線的方程為，化簡得，即，故直線過定點(diǎn)，所以的周長為定值8.當(dāng)時(shí)，，或，，可知是橢圓的通徑，經(jīng)過焦點(diǎn)，此時(shí)的周長為定值，綜上可得，的周長為定值8.考法三定直線【例3】（2021·全國高三月考（理））在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)曲線與軸交于、兩點(diǎn)，過定點(diǎn)的直線與曲線交于、兩點(diǎn)（與、不重合），證明：直線，的交點(diǎn)在定直線上．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）設(shè)，根據(jù)題意，，整理得所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓，方程為．（2）由題意知，直線的斜率不為，設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，代入橢圓的方程，整理得，因?yàn)?，所以設(shè)，，，則，①，由（1）得，，則直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立兩直線方程，消去整理得，②將，代入②整理得，③把①式代入③，整理得，即直線與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)恒等于所以直線，的交點(diǎn)恒在定直線上．【一隅三反】1．（2021·安徽高三（理））已知橢圓過點(diǎn)，離心率為，拋物線的準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線交橢圓于，．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)，是直線上關(guān)于軸對稱的兩點(diǎn)，問：直線與的交點(diǎn)是否在一條定直線上？請說明你的理由．【答案】（1）；；（2）定直線，理由見解析.【解析】（1）由題意可得解得，即橢圓的方程為：，又由拋物線，可得準(zhǔn)線方程為，所以．（2）設(shè)，，，，由，整理得，所以，，則即，直線為，即①，直線為，即②，②-①得：，即所以，解得：，所以直線與的交點(diǎn)恒在定直線上．2．（2021·福建莆田·高三）曲線C上任意一點(diǎn)P到點(diǎn)F(2,0)的距離與它到直線x=4的距離之比等于22，過點(diǎn)M(4,0)且與x軸不重合的直線l與C交于不同的兩點(diǎn)A,B（1）求C的方程；（2）求證：△ABF內(nèi)切圓的圓心在定直線上．【答案】（1）x2【解析】（1）設(shè)Px,y，由題意：x?2化簡得：x28+y2（2）設(shè)直線l:x=my+4，Ax1,y1,Bx∴Δ=64設(shè)直線AF與BF的斜率分別為k1,=2m∴k1=?k2，則∠BFM=π?∠AFM，∴直線x=2平分∠AFB，而三角形內(nèi)心在∠AFB的角平分線上，∴3（2021·江蘇泰州市·高三）已知橢圓的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上異于的一點(diǎn)，軸于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過動(dòng)點(diǎn)的直線與直線交于點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求證：直線l與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；（2）求證：點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng)．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【解析】(1)不妨設(shè)，當(dāng)時(shí)，由得，所以直線l方程為，即，由，解得，故直線l與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以直線l與橢圓P只有一個(gè)公共點(diǎn)．(2)因?yàn)檩S，B是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，所以直線的方程為，即，聯(lián)立，得，又因?yàn)?，所以，因此，即，所以，所以點(diǎn)C在定直線上運(yùn)動(dòng).考法四最值（范圍）【例4】（2021·河南高三月考（文））已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，當(dāng)，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同時(shí)，.（1）求拋物線的方程；（2）若，為拋物線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，為的中點(diǎn)，求點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值.【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值為；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值為.【解析】（1）當(dāng)，兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相同時(shí)，，的縱坐標(biāo)均為，由拋物線的定義知.因?yàn)?，所以，所以拋物線的方程為.（2）由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消去并整理，得，，設(shè)，，則，，，所以，符合，所以，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)，令，則.當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在時(shí)取得最小值，，綜上所述：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值為；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值為.【一隅三反】1．（2021·云南玉溪·高三月考（理））已知拋物線：，過點(diǎn)的直線交拋物線于，，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．（1）求拋物線的方程；（2）過作與直線垂直的直線交拋物線于，．求四邊形面積的最小值．【答案】（1）；（2）64.【解析】（1）設(shè)直線為代入整理得設(shè)所以又所以由得綜上：所求拋物線的方程為（2）由（1）得因?yàn)樗粤?，有故?dāng)時(shí)，四邊形面積有最小值2（2021·長沙市·湖南師大附中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，動(dòng)點(diǎn)到直線的距離等于.動(dòng)點(diǎn)的軌跡記為曲線.（1）求曲線的方程；（2）已知，過點(diǎn)的動(dòng)直線與曲線交于，兩點(diǎn)，記和的面積分別為和，求的最大值.【答案】（1）；（2）最大值為3.【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，到直線的距離顯然小于，故不滿足題意；故（），即，整理得，即，故曲線的方程為；（2）由題意可知直線的斜率不為0，則可設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，整理得，顯然成立，所以，，所以，故，設(shè)，，則，則，因?yàn)椋裕?/p>