土力學三++土中應力和地基應力分布

第三章土中應力1、土中一點的應力狀態(tài)2、自重應力3、附加應力或荷載應力

垂直均布荷載、垂直集中荷載、垂直線狀荷載、條形荷載（均布、三角形分布）、局部面積荷載——

圓形均布荷載、矩形荷載（均布、三角形分布）、

不規(guī)則面積任意分布荷載；非均質各向異性土中的附加應力分布

；4、基底壓力、基底附加壓力（基底凈壓力）地基中自重應力、附加應力分布規(guī)律；小結土中一點的應力狀態(tài)在自然界中理想的彈性材料和塑性材料是沒有的，為了簡化設計計算，在一定條件下，把一般材料當成理想材料，在計算中引用彈性理論或塑性理論。對于土也是這樣，近似地當成理想均勻彈性或塑性體，采用相應的計算理論。假定地基土是連續(xù)的、均質各向同性的、半無限彈性體從工程角度看，主要研究宏觀土體的受力問題，工程上可以把土顆粒和孔隙混在一起，把土體當作連續(xù)介質來分析，從平均應力的概念出發(fā)，用一般材料力學的方法來定義土中的應力。當土層性質變化不大時，這樣假定對豎直應力分布引起的誤差，通常也在容許范圍之內。當然，如果土層性質變化較大時，就要考慮非均質或各向異性的影響，進行必要的修正?？紤]到一般建構筑物荷載在地基中引起的應力增量Δσ不是很大，地基中產(chǎn)生的塑性區(qū)基本沒有或相對較小，因此，對一般工程而言，可以將土考慮為線彈性介質，以便直接用彈性理論求土中的應力分布。但對于一些十分重要且對沉降有特殊要求的建構筑物，用彈性理論進行土體中的應力分析其精度是不夠的，必須借助土的彈塑性理論才能得到比較符合實際的應力與變形解答。

當土體受到外力作用而處于靜力平衡狀態(tài)時，土中一點的應力狀態(tài)：1.可由6個獨立應力分量表示σx、σy、σz、τxy、τxz、τyz

2.確定主應力方向，由主應力σ1、σ2、σ3表示土中一點的應力狀態(tài)。

3.該點任一方向切面上的σ、τ都可確定（公式略）xzyσxσyσzτxyτyxτxzτzxτyzτzyσ2σ3σ1τxy=τyxτxz=

τzxτyz=

τzyzx0σxσzτxzτzx

二維平面問題：沿某一坐標軸向（假設y軸），隨一點位置的改變其應力沒有變化。

στ這種情況土中一點的應力狀態(tài)：1.可由3個獨立應力分量表示σx、σz、τxz2.確定主應力方向，由主應力σ1、σ3表示3.該點任一方向切面上的σ、τ都確定

σ1σ3Z由靜力平衡條件：Fx=0Fy=0x0σxσz

τxzτzxστ

ABCσ=σ1或σ3zx0σxσzτxzτzxσ1(3)

σ1σ3τ=0

zx0σxσzτxzτzx

σ1σ3平面問題，土中一點的應力狀態(tài)：1.可由3個獨立應力分量表示σx、σz、τxz

2.確定主應力方向，由主應力σ1、σ3表示3.該點任一方向切面上的σ、τ都確定4、用摩爾應力圓表示

用摩爾應力圓表示土中一點的應力狀態(tài)：

規(guī)定：法向應力以壓為正，剪應力以逆時針方向旋轉為正0στσ1σ3

0`σ1σ30στ

(σz,τzx)(σx,τxz)0`

zx0σxσzτxzτzx

0`0στ

σ1σ3

圓上任一點P坐標值表示土中一點某一方向切面上的法向應力和剪應力（該切面與大主應力作用面夾角為）P(σ,τ)σ1σ3

zx0σ1σ30`0στ

(σz,τzx)(σx,τxz)大主應力作用面飽和土的有效壓力和孔隙水壓力土體在外力作用下，土中應力由各相介質（土粒、水、氣）分別承擔，由于各介質的力學性能不同，從而影響到整個土體的變形和強度。飽和土體在外力作用下，土顆粒骨架和孔隙水分別承擔了部分外力。

有效壓力σ`：通過土顆粒傳遞的應力，即:使土骨架產(chǎn)生變形的壓力（顆粒之間產(chǎn)生錯動和壓縮，造成土中孔隙的減小，導致土骨架收縮。假定固體顆粒本身的體積不變）孔隙水壓力（孔隙壓力）u：由孔隙水承擔的壓力(因為土顆粒四周受到同等水壓,土骨架不會發(fā)生變形)。由外力引起的附加孔隙水壓力，稱為超靜水壓力（區(qū)別靜水壓力）

飽和土體上的總壓力σ=σ`+u

能使土骨架產(chǎn)生變形的有效壓力除了外力引起的，還有土的自重，土在自重作用下也能逐漸壓密（在水面以上土的容重或在水面以下土的浮容重，為有效力），另外，水在土中的滲流也會產(chǎn)生有效力，對土骨架變形產(chǎn)生影響。h1h2土ab無滲流土的自重浮重度σ=？u=？土abh1h2h土的自重、水的滲流浮重度+滲透力σ=？u=？孔隙水向下滲流水力坡度i=？a土土abh1h2h土的自重、水的滲流浮重度-滲透力σ=？u=？孔隙水向上滲流水力坡度i=？

部分飽和土的孔隙壓力和有效壓力習題3-3外力引起的基礎飽和土體：σ=σ`+u部分飽和土：孔隙壓力系數(shù)在不同應力條件作用下，在不排水土體中引起多大的孔隙壓力和有效壓力，Skempton提出孔隙壓力系數(shù)方法。σ=σ`+u影響土骨架變形，不易直接確定易確定σ`=σ-u孔隙壓力系數(shù)u孔隙壓力系數(shù)Bσ1σ2σ3u0σ2+Δσ3

σ3+Δσ3

σ1+Δσ3

u0+Δu3

01.01.0

BSrΔu3=BΔσ3

=

(公式推導略）Δσ3Sr=1時，B=1試驗方法測Bσ1σ2σ3u0σ2+Δσ3

σ3+Δσ3

σ1+Δσ3

=u0+Δu3

=u0+BΔσ3

u=？

將公式改寫成：Δu1=ABΔσ1

孔隙壓力系數(shù)Aσ2

σ3

σ1+Δσ1u0+Δu1

推導出理論公式：

(公式推導略）σ2σ3u0σ1試驗方法測B、A

σ2

σ3

σ1+Δσ1u=？σ2σ3u0σ1=u0+Δu1

=u0+ABΔσ1

σ2+Δσ3

σ3+Δσ3

σ1+Δσ1u0+Δu

σ2σ3u0Δu=BΔσ3+AB（Δσ1-Δσ3）σ1σ2+Δσ3

σ3+Δσ3

σ1+Δσ3

σ2

σ3σ1+（Δσ1-Δσ3）

習題3-2地基中應力大小，主要決定于上覆土層的自重壓力和作用于地面上的外加荷載。分析地基中的應力，假定地基土為彈性半無限體。（滲透力）

=總壓力-孔隙壓力=γzγ：為有效容重有效容重的確定：1）水面以上的土取天然容重2）水面以下的粗粒土和透水粘性土，受浮力作用，用浮容重；不透水的飽和粘土，不受浮力作用，用飽和容重Z土中垂直自重有效應力粘性土→液性指數(shù)

對于成層土：Z自重應力分布曲線εx=εy=0例題3一1

：第一層土為粉砂，厚度6m，1=18.5kN/m3，1sat=21.4kN/m3；第二層土為粘土，厚度4m，2=16.8kN/m3,2sat=19.7kN/m3，w=50%，wL=48%，wP=25%，地下水位距地表3m，求：(1)土中自重應力；(2)如果地下水位下降1.0m，不考慮毛細現(xiàn)象，土自重應力出現(xiàn)怎樣變化？

(a)地下水位下降(b)地下水位上升(c)填土圖3-6由于填土或地下水位升降引起自重應力的變化（實線：變化前自重應力；虛線：變化后自重應力）當?shù)叵滤幌陆禃r或土層為新近沉積或地面有大面積的人工填土時，土中的自重應力會增大新增加的自重應力會引起土體本身產(chǎn)生壓縮變形，進而引起地面沉降。

若考慮毛細作用，土層中由于毛細水位的上升（高度為hc)，上升的水柱重量通過水膜張力傳遞到土骨架上，形成有效力，因此毛細作用將會提高土層的有效自重應力。

由于水膜的提升作用，使孔隙水中產(chǎn)生一負孔隙水壓力u毛=–γwhc，它相當于把高出地下水面hc的水柱懸掛起來的拉力。

考慮毛細作用的垂直自重有效應力

例題：現(xiàn)有一由兩層土組成之地基，上層為粉砂，厚6米，下層為軟塑粉質粘土，地下水面深3米，水面以上土的天然容重為17kN/m3，而飽和容重為19kN/m3，粉質粘土的飽和容重為20kN/m3，試計算10米深范圍內的自重壓力的分布。粉砂軟塑粉質粘土6米3米4米z5178.6119.4

hhc

σ`=σ–u=σσ`=σ–u=σ-0-u毛=σ+γwhcσ`=σ–u=σ-u靜水壓力-u毛=σ-γwh1+γwhch1σ`=σ–u=σ-u靜水壓力-u毛=σ-γwh2+γwhc=σσ`=σ–u=σ-γwh3+γwhch2h3

例題：現(xiàn)有一由兩層土組成之地基，上層為粉砂，厚6米，下層為軟塑粉質粘土，地下水面深3米，水面以上土的天然容重為17kN/m3，而飽和容重為19kN/m3，粉質粘土的飽和容重為20kN/m3，試計算10米深范圍內的自重壓力的分布。（砂土中出現(xiàn)毛細水，毛細水面上升1.0m。）6米3米4米qzz3480.6121.4粉砂軟塑粉質粘土43.853粉砂軟塑粉質粘土6米3米4米qzz5178.6119.4qzz3480.6121.443.853粉砂軟塑粉質粘土不考慮毛細水作用考慮毛細水作用習題3-4

基底的接觸應力在計算地基應力之前，首先要知道地表荷載的分布和規(guī)律。實際地表荷載多為局部不規(guī)則荷載，比較復雜。且建筑物荷載是通過基礎傳遞給地基的。因此要知道基礎底部與地基之間的接觸應力（基底壓力）。

影響基底壓力的因素很多，實際基底的接觸應力分布復雜。1.影響因素：

基礎的剛柔度（剛性基礎、柔性基礎）、基礎埋深、基礎面積；

荷載大小、分布；

地基土種類等

剛性基礎基底壓力簡化算法計算基底壓力若考慮所有影響因素，那太復雜，實際也不可能辦到。目前在進行地基基礎設計中，常采用簡化計算法。

假定剛性基礎基底壓力總是成直線分布

中心荷載（基底上荷載合力通過基底形心）

P中心荷載下基底壓力均勻分布：形心位置----G—p76(a)中心荷載(b)雙向偏心荷載(c)單向偏心荷載

二.偏心荷載1.單軸偏心:基底壓力為不均勻直線分布(討論矩形基礎)PPM=P*ep1p2y×

eX

W為截面模量

I為基礎底面對y軸的慣性矩為核心半徑p1p2×

eac1c2b矩形基礎b——力矩M作用方向的基礎邊長

e>b/6P2=0p1e>b/6P2

p1e<b/6p1P2

P2=0p1e=b/6？？L=?P1=?

p1eL=3(b/2-e)矩形基礎(3-9)(其他形狀基礎)PM=Pep1p2

o×

eyc1c2xP——AP——AP——AP——A

2.雙軸向偏心:基底壓力為不均勻直線分布1234p1p4p3p21234yxexey基底附加壓力基底附加壓力:作用于基底上的平均壓力減去基（基底凈壓力）底處原先存在于土中的自重應力。

地基土在自重應力的長期作用下變形已完成挖去土重

d

d

d

基底壓力為p，但能引起地基土產(chǎn)生壓縮變形的為新增加的壓力p-d

，即基底附加壓力000例題3一2某外墻柱下獨立基礎底面尺寸為3m×2.4m，柱傳給基礎頂部的豎向荷載標準值F=900kN，彎矩M=150kN·m，求基礎底部的壓力p、pmax、pmin和基底附加壓力p0。例題：有一條形剛性基礎，寬b=4.0m，作用著均布線狀中心荷載P=1000kN/m（包括基礎自重），(基礎埋深d=1.5m，地基土容重=17.4kN/m3，)試求基礎中點下6m處及基礎邊沿下6m處的豎向荷載應力。習題：有一矩形剛性基礎，長a=6.0m,寬b=4.0m，作用著中心荷載P=1000kN（不包括基礎自重），(基礎埋深d

=1.5m，地基土容重=17.4kN/m3，)試求基礎中點下6m處的豎向荷載應力。

例題有一圓環(huán)形基礎，圓環(huán)外徑為12m，內徑為8m，離基礎中心點2m處作用有合力為9000kN的垂直荷載，試求基底最大和最小壓應力？9000kN

附加應力(荷載應力）：由外加荷載引起的應力。區(qū)別于土的自重應力。垂直方向附加應力表示為地面上作用有垂直均勻滿布荷載qqz垂直附加應力：其它方向附加應力：自重應力地基中附加應力擴散示意圖新增加的荷載產(chǎn)生應力擴散，附加應力隨深度的增加平面分布范圍增大，但數(shù)值減小。同一深度表現(xiàn)為中部應力大，向兩側漸小。

地面上作用有垂直集中荷載P,計算土中的附加應力

zPrRzrK查表3-1Boussinesq解出：采用彈性理論解答三維問題：其余應力分量同樣解出

（采用直角坐標）

zPrzr（采用圓柱坐標）X、Y、Z軸方向的位移

垂直線狀荷載下，土中的附加應力積分：rxzxyzp0RdyP0dy二維平面問題：其余應力分量同樣解出

rxzxyzp0RdyP0dy

條形荷載下，土中的附加應力積分：NrdxP(x)xx1x2

條形均布荷載p0zx0bNxz積分結果：（應力系數(shù)，與x,z,b有關,可查表注意：坐標原點在荷載的中點二維平面問題：其余應力分量同樣解出：

NPx大小主應力：P166(6-1)

條形三角形分布荷載p0xzN0bxz積分結果：（應力系數(shù)，與x,z,b有關,可查表）注意：坐標原點在三角形頂點上，x軸的方向以荷載增長的方向為正二維平面問題：其余應力分量同樣解出

pxzN0bxz例題3-5

局部面積荷載下，土中的附加應力

取一微分面積dxdy，將作用在這一微分面積上的荷載p(x，y)

dxdy作為一集中荷載，利用集中荷載下的公式求附加壓力：然后對此附加壓力進行面積積分：

坐標原點設在荷載圓心，求z軸上一點N的垂直應力zNz

R積分結果：對任一點的垂直應力也可推出解析解，其結果不能用初等函數(shù)表示，不再介紹。圓形均布荷載p0查表

矩形均布荷載角點下的應力系數(shù)查表矩形均布荷載推導出計算公式比較復雜，可用下式查表計算：m=l/b，n=z/b

b為荷載面的短邊寬度(3-14)角點下矩形均布荷載下任一點處的垂直附加應力計算：

用疊加原理，轉為角點下，查表計算矩形內一點下矩形邊點下矩形外一點下

矩形線性分布荷載在荷載為零的角點下的應力系數(shù)查表矩形三角形分布荷載推導出計算公式比較復雜，可用下式查表計算：m=l/b和n=z/b

b是沿三角形分布荷載方向的邊長。角點下矩形線性分布荷載下任一點處的垂直附加應力計算：用疊加原理，查表計算

矩形角點下矩形邊點下矩形內一點下矩形外一點下例題3一3例題3一4

例題：有一矩形均布面積荷載，平面尺寸為34，單位面上壓力p=300kPa，如圖所示。試計算在矩形短邊延長線上，離角點外側1m，地面下4m處A點之（采用角點法之應力系數(shù)表）4m3mA1m4mA

不規(guī)則面積任意分布的荷載

采用近似方法求解：把荷載面積分成許多小塊，求每一小塊面積上的合力pi，作為集中荷載，計算地面下一點由此集中荷載產(chǎn)生的附加應力，然后通過疊加，求總的附加應力

Newmark感應圖通過感應圖求均布面積荷載作用下，彈性地基中任一點上的附加應力。ABNN比例尺AB長度等于N點的深度感應圖中每個小感應面在N點引起垂直應力為0.005p

地基中附加應力分布曲線及分布規(guī)律

附加應力分布規(guī)律：（1）在荷載面以下同一深度的水平面上，沿荷載軸線上的附加應力最大，向兩邊逐漸減