ch06第六章多元函數(shù)微積分-04第四節(jié)全微分

第四節(jié)微對(duì)另一個(gè)自變量的變化率.根據(jù)一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系，可得f(xx,y)f(x,y)f(x,yy)f(x,y)

fx(x,fy(x,xy的偏增量x的偏微分即所謂全增量的問(wèn)題.下面以二元函數(shù)為例進(jìn)行討論.zf(x,yP(x,yP(xx,yy

f(xx,yy)f(x,P對(duì)應(yīng)于自變量增量xy的全增量，記為zz

f(xx,yy)f(x,

一般來(lái)說(shuō)，計(jì)算全增量比較復(fù)雜.與一元函數(shù)的情形類似，我們也希望利用關(guān)于自變量增量xy的線性函數(shù)來(lái)近似地代替函數(shù)的全增量z義分布圖★★★★★ ★例★全微分在近似計(jì)算中的應(yīng) ★例★絕對(duì)誤差與相對(duì)誤 ★例★內(nèi)容小 ★課堂練6-內(nèi)容要一、1z

f(x,y在點(diǎn)(x,yzf(xx,yy)f(x,

zAxBy

A,B不依賴于xyx,y有關(guān)

(x)2y)2z

f(x,y(x,y可微分

AxByz

f(x,y在點(diǎn)(x,y的全微分,記為dz,dzAxBy 二、定理1(必要條件)z

f(x,y)在點(diǎn)(x,y處可微分,則該函數(shù)在點(diǎn)(x,yzz必存在,zf(xy在點(diǎn)(xyxdzzxzy .但對(duì)于多元函數(shù)則不然.1的結(jié)論表明，二元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在只是全微分存在的必要條件而不是充分條件.函數(shù)在一點(diǎn)處沿坐標(biāo)軸的變化率，而全微分描述了函數(shù)沿各個(gè)方向的變化情況.但如果對(duì)偏導(dǎo)數(shù)再加些條件，就可以保證函數(shù)的可微性.一般地，我們有：2(充分條件)z

f(xy的偏導(dǎo)數(shù)zz在點(diǎn)(x,y連續(xù),點(diǎn)處可微分三、

x習(xí)慣上，常將自變量的增量x、y分別記為dx、dy，并分別稱為自變量的微分.z

f(x,ydzzdxz

上的多元函數(shù)中去.例如，三元函數(shù)uf(x,yz)的全微分可表為duudxudyu

四、設(shè)二元函數(shù)z

f(x,y)在點(diǎn)P(xy)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)fx(x

fy(xy)連續(xù),|x|,|y|都較小時(shí),z z

fx(x,y)xfy(x,由zf(xx,yyf(x,yf(xx,yy)

f(x,y)fx(x,y)xfy(x,

例題選例1（E01）求函數(shù)z4xy35x2y6的全微分. z4y310xy6,z12xy230x2y5 dz(4y310xy6)dx(12xy230x2y52（E02）zxy在點(diǎn)(2,1)處的全微分xy解f(xy)yxy1,f(xy)xylnxxydzdx2ln3E03)求函數(shù)解由

uxsinyeyz的全微分2uu1cosyzeyz uyeyzdudx(2

yzeyz)dyyeyzdz.4求函數(shù)uxyz的偏導(dǎo)數(shù)和全微分z uyzxyz1z

x zuxyzzyz1lnxzz

uxyzlnxyzlnyxyzyzlnxln

yz

yzln duxdxydyzdz

dyy

lnxlnydz5E04)計(jì)算(1.04)2.02的近似值解設(shè)函數(shù)f(xyxy.x1y2x0.04y

fy(x,y)xyln

(1.04)202120.0400.02675cm60cm40cm0.2cm.試解xyz為邊長(zhǎng)的矩形盒的體積為V所以dVVdxVdyV

|x|0.2,|y|0.2,|z|0.2為了求體積的最大誤差,取dxdydzx75y60z40VdV60400.27540