2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 平面向量的線性運算及基本定理（精練）（解析版）

10.1平面向量的線性運算及基本定理（精練）【題組一基本概念的辨析】1．（2021·上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)高三月考）下列說法中正確的是（）A．；B．若、非零向量且，則；C．若且，則；D．若，則有且只有一個實數(shù)，使得.【答案】B【解析】左邊是向量的加法，結(jié)果是零向量，用表示，故A錯誤；由、非零向量且，兩邊平方可得，即，所以，故B正確；當(dāng)時也有且，故C錯誤；若，，不存在實數(shù)，使得，故D錯誤．故選：B．2．（2021·廣東深圳市·深圳外國語學(xué)校高三月考）（多選）下列說法錯誤的是（）A．若，則 B．若，則存在唯一實數(shù)使得C．若，，則 D．與非零向量共線的單位向量為【答案】ABC【解析】對于A，若，則，無法得到，A錯誤；對于B，若，，則，此時不存在滿足的實數(shù)，B錯誤；對于C，若，則，，無法得到，C錯誤；對于D，，由單位向量和共線向量定義可知與共線的單位向量為，D正確.故選：ABC.3．（2021·東莞高級中學(xué)高三月考）（多選）關(guān)于平面向量，下列說法中錯誤的是（）A．若且，則 B．C．若，且，則 D．【答案】ACD【解析】A.若向量，則不一定平行，故錯誤；B.根據(jù)向量的運算律可知，B正確；C.，且，所以或，故錯誤；D.表示與向量共線的向量，表示與向量共線的向量，與不一定相等，故錯誤.故選：ACD4．（2021·全國高三專題練習(xí)（理））（多選）已知是三個平面向量，則下列敘述錯誤的是（）A．若，則B．若，且，則C．若∥，∥，則∥D．若，則【答案】ABC【解析】對A，不一定共線，故A錯誤；對B，平面向量的數(shù)量積沒有消去律，故B錯誤；對C，若，則的方向是任意的，故C錯誤；對D，，故D正確.故選：ABC.5．（2021·全國（文））（多選）下列說法正確的是（）A．若為平面向量，，則B．若為平面向量，，則C．若，，則在方向上的投影為D．在中，M是AB的中點，＝3，BN與CM交于點P，＝+，則λ＝2μ【答案】CD【解析】A，若，則與任意向量共線，所以與不一定平行，故A錯誤；B，若，則，，當(dāng)共面時，，若不共面時，與不平行，故B錯誤；C，若，則，所以，在方向上的投影為，故C正確；D，，設(shè),則，設(shè)，則，即，①，設(shè)，，，即，②由①②可得，，即，故D正確.故選：CD6．（2021·全國高三專題練習(xí)（理））（多選）下列命題中正確的是（）A．若，則B．C．若向量是非零向量，則與方向相同D．向量與共線的充要條件是：存在唯一的實數(shù)，使【答案】CD【解析】向量不等比較大小，故A選項錯誤.向量加法、減法的結(jié)果仍為向量，故B選項錯誤.與方向相同，C選項正確.根據(jù)向量共線的知識可知D選項正確.故選：CD7．（2021·全國高三專題練習(xí)（文））（多選）下列命題中，其中錯誤命題有（）A．所有單位向量都相等 B．若，則C．存在兩個不能成為基底的單位向量 D．若，則【答案】ABD【解析】單位向量的模都相等，并不是單位向量都相等，故A錯誤；若，滿足，但不成立，故B錯誤;如單位向量共線時，不能成為基底，故C正確；若時，顯然不一定滿足，故D錯誤.故選：ABD【題組二線性運算】1．（2021·全國高三專題練習(xí)（理））在平行四邊形ABCD中，點E為CD的中點，BE與AC的交點為F，設(shè)，，則向量等于（）A．＋ B．--C．-＋ D．-【答案】C【解析】平行四邊形ABCD中，點E為CD的中點，BE與AC的交點為F，則有，如圖，所以＝＝(＋)＝＝-＋.故選：C2．（2021·武功縣普集高級中學(xué)高三開學(xué)考試（文））如圖所示，已知，，，，則（）A． B．C． D．【答案】A【解析】，故選：A3．（2021·安徽高三（理））我國東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示.在“趙爽弦圖”中，若，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，即，解得，即．故選：B．4．（2021·山東高考真題）如下圖，是線段的中點，設(shè)向量，，那么能夠表示為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意，．故選：B5．（2021·安徽（文））已知，且四邊形ABCD為平行四邊形，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由四邊形ABCD為平行四邊形，所以，即，故.故選：B.【題組三共線問題】1．（2021·全國高三）已知向量和不共線，向量，，，若??三點共線，則（）A．3 B．2 C．1 D．【答案】A【解析】因為??三點共線，所以存在實數(shù)λ，使得，，所以，∴，解得.故選：A.2．（2021·遼寧葫蘆島·高三）在中，點滿足，過點的直線與，所在的直線分別交于點，，若，，則的最小值為（）A．3 B． C．1 D．【答案】A【解析】由題設(shè)，如下圖示：，又，，∴，由三點共線，有，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故選：A3．（2021·全國）設(shè)與是兩個不共線向量，，，.若A，B，D三點共線，則的值為________．【答案】【解析】因為A，B，D三點共線，所以必存在一個實數(shù)λ，使得.又，，，所以，化簡為，所以，又與不共線，所以解得.故答案為：4．（2021·上海民辦南模中學(xué)高三）已知正六邊形，?分別是對角線?上的點，使得，當(dāng)___________時，??三點共線.【答案】【解析】連結(jié)AD，交EC于G點，設(shè)正六邊形邊長為a，由正六邊形的性質(zhì)知，，，G點為EC的中點，且，則，又，（），則，，故，即若B、M、N三點共線，由共線定理知，，解得或（舍）故答案為：5．（2021·浙江高三期末）設(shè)是不共線的向量，若三點共線，則的值為__________．【答案】【解析】：因為是不共線的向量，所以可以作為平面內(nèi)一組基底，因為，所以，因為三點共線，所以，所以，解得故答案為：6．（2021·山西臨汾·高三（理））在中，，是線段上除去端點外的一動點，設(shè)，則的最小值為____________.【答案】4【解析】因為可得：，所以，又因為C，E，D三點共線，則所以4當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時的最小值為4.故答案為：4.7．（2021·全國高三專題練習(xí)）設(shè)向量，不共線．若，，．若，，三點共線，求實數(shù)的值．【答案】.【解析】由，不共線且，，三點共線存在實數(shù)，使得又，，，則故答案為：8．（2021·全國）設(shè)兩個非零向量與不共線，（1）若，，，求證：A，B，D三點共線；（2）試確定實數(shù)k，使和共線．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證明：，，，，共線，又∵它們有公共點B，∴A，B，D三點共線．（2）和共線，∴存在實數(shù)λ，使，即，.，是兩個不共線的非零向量，，.【題組四基本定理】1．（2021·對外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)附屬中學(xué)（北京市第九十四中學(xué)）高三月考）在中，，，設(shè)，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】在三角形中，，，可得,因為，所以，所以.故選：C.2．（2021·甘肅蘭州·蘭大附中高三月考（理））.如圖，在中，，是線段上一點，若，則實數(shù)的值為（）A． B．C．2 D．【答案】A【解析】設(shè)，因為，所以，則，又因為，所以，解得.故選：A.3．（2021·全國高三月考（理））如圖所示，是的中線.是上的一點，且，若，其中，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為是的中線，是上的一點，且，所以是的重心，則，又因為，所以，，可得，故選：C.4．（2021·重慶北碚區(qū)·西南大學(xué)附中高三月考）在△ABC中，M為邊BC上任意一點，N為AM中點，且滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．1【答案】C【解析】在△ABC中，M為邊BC上任意一點，則，于是得，而，且與不共線，則，即有，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，此時M為BC中點，所以的最小值為.故選：C5．（2021·東莞市東方明珠學(xué)校高三）已知是的邊的中點，點在上，且滿足，則與的面積之比為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，由得，即，即，故，故與以為底，其高的比為，故．故選：C．6．（2021·上海市民辦揚波中學(xué)）已知，則與的面積之比為_______【答案】【解析】【解析】，點在的邊上：有，．故答案為：．7．（2021·全國）設(shè)為所在平面上一點，且滿足，若的面積為2，則面積為_______________．【答案】3【解析】因為，所以，令，則，所以，所以為上靠近的三等分點，因為，所以∥,所以，所以，故答案為：38．（2021·全國（文））已知點為所在平面內(nèi)一點，滿足，，，則______．【答案】7【解析】解：如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，由，所以，所以，，由，所以，所以，又所以，解得或，因為，所以故答案為：9．（2021·全國高三（文））在中，，分別為邊，上的點，，，與交于點，設(shè)，，則___________.（用，表示）【答案】【解析】如圖，在中，依題意，，，因與交于點，則，于是得，，，，因，而與不共線，從而有，解得，所以.故答案為：10．（2021·安徽（文））在中，已知點D滿足，若，則____________．【答案】【解析】∵，∴．故答案為：11．（2021·全國高三專題練習(xí)）如圖，在中，點是上