物質(zhì)結(jié)構(gòu)第一章課件

——多媒體課件1按照經(jīng)典物理學(xué)，原子是不穩(wěn)定的。但事實(shí)上，原子是穩(wěn)定的，如下示意圖：表明:

在原子內(nèi)，電子與核之間的各種吸引與排斥作用，與宏觀質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)有本質(zhì)上的差異，單用經(jīng)典物理學(xué)的規(guī)律無法說明，必須用一種新的力學(xué)理論（量子力學(xué)）來加以研究。第一章量子力學(xué)基礎(chǔ)和原子結(jié)構(gòu)2§1-1經(jīng)典物理學(xué)的困難和量子論的誕生§1-2實(shí)物微粒運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的表示法及態(tài)疊加原理§1-3實(shí)物微粒的運(yùn)動(dòng)規(guī)律——薛定諤方程§1-4定態(tài)薛定諤方程的算符表達(dá)式§1-5氫原子與類氫離子的定態(tài)薛定諤方程及其解章節(jié)目錄3重點(diǎn)公式：第一節(jié)經(jīng)典物理學(xué)的困難和量子論的誕生本節(jié)重點(diǎn)：1、三個(gè)著名實(shí)驗(yàn)導(dǎo)致“量子”概念的引入和應(yīng)用2、舊量子論的局限性要求對(duì)實(shí)物微粒本性的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)3、物質(zhì)波的實(shí)驗(yàn)證明及其統(tǒng)計(jì)解釋4、波粒二象性的必然結(jié)果——“不確定關(guān)系”

5第一個(gè)實(shí)驗(yàn)——黑體輻射:swf

一、三個(gè)著名實(shí)驗(yàn)導(dǎo)致“量子”概念的引入和應(yīng)用黑體：指能全部吸收各種波長入射光線輻射的物體。帶有一個(gè)微孔的空心金屬球，非常接近于黑體，進(jìn)入金屬小孔的輻射，經(jīng)過多次吸收、反射，使射入的輻射完全被吸收。當(dāng)空腔受熱時(shí)，又能發(fā)射出各種波長的電磁波。6Wien曲線黑體輻射在單位波長間隔的能量密度曲線實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象：能量密度按頻率（波長）分布7(光源打開后,電流表指針偏轉(zhuǎn))

“光子說”表明了——光不僅有波動(dòng)性，且有微粒性，通過Planck常數(shù)，將代表波動(dòng)性的概念和與代表粒子性的概念和p聯(lián)系在一起，將光的波粒二象性統(tǒng)一起來，這就是光的波粒二象性思想。

第二個(gè)實(shí)驗(yàn)——光電效應(yīng)：為了解釋光電子的動(dòng)能只與入射光的頻率有關(guān)，而與光的強(qiáng)度無關(guān)的實(shí)驗(yàn)事實(shí)。

1905年，愛因斯坦提出光子說：（1）光的能量是不連續(xù)的，也是量子化的。（2）光為一束以光速c行進(jìn)的光子流。（3）光子不但有能量，還有質(zhì)量M。（4）既然光子有質(zhì)量，就必有動(dòng)量。（5）光子與電子碰撞時(shí)服從能量守恒與動(dòng)量守恒定律。

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Einstein的光量子理論于1916年被密立根從實(shí)驗(yàn)上證實(shí)，1921年獲諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。Einstein以相對(duì)論聞名于世，卻不是以相對(duì)論獲得諾貝爾獎(jiǎng)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)有些著名的物理學(xué)家拒不接受相對(duì)論，甚至有人說，如果為相對(duì)論頒發(fā)諾貝爾獎(jiǎng)，他們就要退回已獲的諾貝爾獎(jiǎng)！盡管Einstein以光量子理論解釋光電效應(yīng)獲得諾貝爾獎(jiǎng)當(dāng)之無愧，但科學(xué)史上這一段舊事卻為人們留下許多值得思考的問題。更令人困惑的是：量子論創(chuàng)始人Planck對(duì)愛因斯坦的相對(duì)論很早就給予高度評(píng)價(jià)，對(duì)光量子理論卻持否定態(tài)度。然而，這似乎又不奇怪，正是Planck本人在多年中都試圖用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論來解釋他自己提出的量子數(shù)h，以便將量子論納入經(jīng)典物理學(xué)范疇。當(dāng)然，這是不可能成功的?？茖W(xué)史上的前車之鑒10Planck說過：“新理論的創(chuàng)造者，不知是由于惰性還是其他感情作用，對(duì)于引導(dǎo)他們得出新發(fā)現(xiàn)的那一群觀念往往不愿多作更動(dòng)，他們往往運(yùn)用自己全部現(xiàn)有的權(quán)威來維護(hù)原來的觀點(diǎn)，因此，我們很容易理解阻礙理論健康發(fā)展的困難是什么?！盤lanck看出了這一點(diǎn)，但他自己也未能完全避免犯同樣的錯(cuò)誤?？茖W(xué)的先驅(qū)們是一群勇敢的探索者，他們常常在黑暗中摸索前進(jìn)。他們的精神值得我們敬佩。后人不應(yīng)對(duì)他們過分苛求，但應(yīng)該從中汲取經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)。11玻爾理論（3）各態(tài)能量一定，角動(dòng)量也一定(M=nh/2π)，并且是量子化的，大小為h/2π的整數(shù)倍。（軌道量子化假設(shè)）（1）原子中有一些確定能量的穩(wěn)定態(tài)（簡稱定態(tài)），原子處于定態(tài)，不輻射能量。能量最低叫基態(tài)，其余叫激發(fā)態(tài)（定態(tài)假設(shè)）（2）原子從一定態(tài)（E2）躍遷到另一定態(tài)（E1），才發(fā)射或吸收能量。（躍遷假設(shè)）E=E2-E1=hv為了解釋以上結(jié)果，玻爾綜合了普朗克的量子論、愛因斯坦的光子說以及盧瑟福的原子有核模型，1913年提出著名的玻爾理論：13庫侖引力離心力角動(dòng)量總能量動(dòng)能勢能（R=13.6eV）+e-erv計(jì)算的R/hc與前面提到的里德堡常數(shù)吻合較好14評(píng)價(jià)：

一方面把微觀粒子看作經(jīng)典力學(xué)中的粒子，用坐標(biāo)軌道來描述，同時(shí)還遵守牛頓定律等；另一方面又加上量子化條件來限定穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的軌道。即玻爾氫原子理論是經(jīng)典理論與量子化條件的混合物。它既不與經(jīng)典理論相容，又沒有新的理論體系來支持。但玻爾理論的定態(tài)能級(jí)、量子化躍遷等概念在量子力學(xué)中始終占有重要地位。

15幾個(gè)世紀(jì)以來，在光學(xué)方面，人們過于重視波動(dòng)的研究方法，而過于忽視粒子的研究方法；在實(shí)物的理論方面，是否犯了相反的錯(cuò)誤呢？是否我們過多地圍繞著粒子的圖像作思考，卻過分地忽視了波的圖像？17

德布羅意假設(shè):物質(zhì)波的實(shí)驗(yàn)證明：(1)戴維遜—革末實(shí)驗(yàn)

(2)湯姆遜電子衍射實(shí)驗(yàn)一般被看成物質(zhì)微粒的電子等實(shí)物微粒,其實(shí)也具有波動(dòng)性的特點(diǎn),并且服從光的兩個(gè)關(guān)系式:（德布羅意關(guān)系式）宏觀物體的波長短！18衍射束的方向性d=0.91?=50°入射束衍射束晶體戴維遜—革末實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)當(dāng)一束54eV的電子垂直地射在鎳單晶的表面上時(shí)，在和入射束成50度角的方向上表現(xiàn)有反射出來最多的電子數(shù)。且實(shí)驗(yàn)結(jié)果（波長）與德布羅意關(guān)系式得出的結(jié)論符合很好。

三.物質(zhì)波的實(shí)驗(yàn)證明及其統(tǒng)計(jì)解釋19

deBroglie波不僅對(duì)建立量子力學(xué)和原子、分子結(jié)構(gòu)理論有重要意義，而且在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)上有重要應(yīng)用。使用deBroglie波的電子顯微鏡分辨率達(dá)到光學(xué)顯微鏡的千倍,為我們打開了微觀世界的大門（掃描隧道顯微鏡達(dá)原子級(jí)分辨率）。二者的分辨率與波長成反比，后者通過提高電壓即可。21

被電壓為U的電場加速的電子束,若取U的單位為V，可以算出deBroglie波長為:

λ=h/mv=h(2meV)-1/2=1225/(U1/2)pm

雙擊下列電子表格,打開后將加速電壓填入下列藍(lán)色數(shù)字單元格，看看電子的deBroglie波長是多少：22IBM公司用STM操縱Xe寫的IBM字樣23deBroglie波的提出是類比法的成功典范從科學(xué)方法論的角度講，由光的波粒二象性到實(shí)物微粒的波粒二象性是一種類比推理。類比是由兩個(gè)或兩類對(duì)象之間在某些方面的相似或相同，推出它們?cè)谄渌矫嬉部赡芟嗨苹蛳嗤乃枷敕椒?，是一種由特殊到特殊、由此類及彼類的過程。類比可以提供重要線索，啟迪思想，是發(fā)展科學(xué)知識(shí)的一種有效的試探方法。我們?cè)谘芯抗ぷ髦行枰匾曔@種方法。然而，它是一種或然性推理，而不是必然性推理，因而有局限性，其結(jié)論的正確與否必須由實(shí)踐來檢驗(yàn)。25

值得一提的是，路易斯?德布羅意本來是學(xué)歷史的，受其兄——實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家莫里斯?德布羅意的影響改行攻讀物理學(xué)，結(jié)果他的成就和名聲遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了其兄。類似的故事不少，例如:奧地利建筑師魯?shù)婪蚩灯辗鸺{對(duì)電子學(xué)產(chǎn)生了興趣,后來發(fā)明功率增益高達(dá)百萬倍、放大頻帶極寬、工作異常穩(wěn)定的行波管；圣彼得堡帝國銀行總裁亨利希?史利曼醉心于考古學(xué),在邁錫尼、太林斯考古上取得了巨大成就……那些成功者獨(dú)辟蹊境的勇氣和見識(shí)令人贊嘆，其中可能有種種原因，不知這是否與他們跨學(xué)科的經(jīng)歷有某些關(guān)系？是否可以給人們某些啟發(fā)呢？26實(shí)物微粒的波粒二象性描述實(shí)物粒子與光子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的有關(guān)計(jì)算公式：

實(shí)物粒子

光子

主要差別：

1.光子的=c/，c既是光的傳播速度，又是光子的運(yùn)動(dòng)速度；實(shí)物粒子=u/，u是德布羅意波的傳播速度（又稱相速度），它不等于粒子的運(yùn)動(dòng)速度（又稱群速度），=2u。

2.光子：p=mc，E=pc≠p2/2m；實(shí)物粒子：p=mv，E=p2/2m≠p。注意：27具有波動(dòng)性（統(tǒng)計(jì)性質(zhì)）的粒子不能同時(shí)有精確的坐標(biāo)和動(dòng)量（同一方向上）。當(dāng)粒子的某個(gè)坐標(biāo)被確定得愈精確，則其相應(yīng)的動(dòng)量則愈不精確；反之亦然。但是，其位置偏差(△x)和動(dòng)量偏差(△p)的積恒定，即有以下關(guān)系:波粒二象性的必然結(jié)果——“不確定關(guān)系”

（測不準(zhǔn)關(guān)系式，1927年海森堡提出）同時(shí)精確確定微觀粒子的位置和動(dòng)量是不可能的注：坐標(biāo)與同一方向上的動(dòng)量分量不能同時(shí)確定，x與py之間不存在上述關(guān)系。通過電子的單縫衍射可以說明這種“不確定”的確存在。29例如：子彈（質(zhì)量0.01kg，速度1000m·s-1）、塵埃（質(zhì)量10-9kg，速度10m·s-1）、作布朗運(yùn)動(dòng)的花粉（質(zhì)量10-13kg，速度1m·s-1）、原子中電子（質(zhì)量9.109×10-31kg，速度1000m·s-1），速度的不確定度均為速度的10%，判斷在確定這些質(zhì)點(diǎn)位置時(shí)，測不準(zhǔn)關(guān)系是否有實(shí)際意義？利用公式x=h/(mv)，求得其坐標(biāo)的不確定度分別為6.63×10-34m，6.63×10-25m，6.63×10-20m，7.27×10-6m，對(duì)于電子而言，其測不準(zhǔn)關(guān)系具有實(shí)際意義。30微觀粒子和宏觀物體的特征比較宏觀物體同時(shí)有確定的坐標(biāo)和動(dòng)量，可用牛頓力學(xué)描述；而微觀粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量不能同時(shí)確定，需用量子力學(xué)描述。宏觀物體有連續(xù)可測的運(yùn)動(dòng)軌道，可追蹤各個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)軌跡加以分辨；微觀粒子具有概率分布的特征，不可能分辨出各個(gè)粒子的軌跡。宏觀物體可處于任意的能量狀態(tài)，體系的能量可以為任意的、連續(xù)變化的數(shù)值；微觀粒子只能處于某些確定的能量狀態(tài)，能量的改變量不能取任意的、連續(xù)的數(shù)值，只能是分立的，即量子化的。測不準(zhǔn)關(guān)系對(duì)宏觀物體沒有實(shí)際意義（h可視為0）；微觀粒子遵循測不準(zhǔn)關(guān)系，h不能看做零。所以可用測不準(zhǔn)關(guān)系作為宏觀物體與微觀粒子的判別標(biāo)準(zhǔn)。31第二節(jié)實(shí)物微粒運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的表示法及態(tài)疊加原理主要內(nèi)容：波函數(shù)的基本概念波函數(shù)的性質(zhì)自由粒子波函數(shù)－德布羅意波函數(shù)量子力學(xué)態(tài)疊加原理321、波函數(shù)(Ψ)由于微觀粒子具有波粒二象性，且受不確定關(guān)系的限制，不能同時(shí)具有確定的位置和速度，也不能確定粒子何時(shí)出現(xiàn)于何地，但可以知道粒子在空間某處出現(xiàn)的可能性，即：概率大小，用|Ψ|2表示粒子出現(xiàn)的概率密度。概率大小正比于波強(qiáng)度。因此，可用描述波的方法對(duì)微觀粒子的運(yùn)動(dòng)加以描述。我們用波函數(shù)（Ψ）概念來代替“軌跡”，以此來表示任何微觀體系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。定態(tài)波函數(shù)：不隨時(shí)間變化的波函數(shù)含時(shí)波函數(shù)：隨時(shí)間變化的波函數(shù)33關(guān)于Ψ的物理意義，目前流行的是M.Born的解釋：Ψ*Ψ代表時(shí)刻t在空間q點(diǎn)發(fā)現(xiàn)粒子的概率密度；Ψ*Ψdt是時(shí)刻t在空間q點(diǎn)附近微體積元dt內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒

子的概率。

玻恩為此獲1954年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。34波函數(shù)、概率密度等概念，對(duì)于推動(dòng)化學(xué)由純經(jīng)驗(yàn)學(xué)科向理論學(xué)科發(fā)展起著極為重要的作用?，F(xiàn)代化學(xué)中廣泛使用的原子軌道、分子軌道,就是描述原子、分子中電子運(yùn)動(dòng)的單電子波函數(shù):35而“電子云”就是相應(yīng)的概率密度:按照哥本哈根學(xué)派的觀點(diǎn)，概率在量子力學(xué)中是原則性的、基本的概念，原因在于微觀世界中不確定原理起著明顯的作用。36

2、波函數(shù)的性質(zhì)（1）合格(品優(yōu))波函數(shù)的條件

ψ必須是連續(xù)的粒子在空間各處出現(xiàn)的概率是連續(xù)變化的，因此ψ本身以及隨坐標(biāo)的變化都應(yīng)是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)。

ψ必須是單值的

|ψ|2表示概率密度，在某空間每一點(diǎn)出現(xiàn)的概率應(yīng)該只有一個(gè)值。

ψ必須是有限的，且平方可積

|ψ|2代表了粒子的概率密度，概率是一個(gè)有限值，因此波函數(shù)應(yīng)該是有限的。由于波函數(shù)模的平方乘體積元在空間的積分（*d）是粒子在空間出現(xiàn)的概率，因此波函數(shù)必須是平方可積的。

37由于在全空間找到一個(gè)粒子的概率恒等于1，即滿足：此時(shí)Ψ(x,y,z)稱為歸一化的波函數(shù)，|Ψ(x,y,z)|2則為概率密度。注：一般所給品優(yōu)波函數(shù)不一定歸一化！當(dāng)用波函數(shù)的絕對(duì)值平方描述體系狀態(tài)時(shí)，必須將波函數(shù)歸一化，否則可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果。38歸一化過程39在經(jīng)典力學(xué)中，一個(gè)波函數(shù)乘以k后，它的強(qiáng)度增大k2倍。但在量子力學(xué)中，k(x,y,z)與(x,y,z)雖然相差一個(gè)常數(shù)，但不改變其物理意義，描述的仍然是原來的狀態(tài)。即它們?cè)诳臻g各點(diǎn)出現(xiàn)的概率密度之比不變，故粒子所處的物理狀態(tài)也不會(huì)改變。因?yàn)槲覀冴P(guān)心的是各點(diǎn)概率密度的相對(duì)大小，而不是波函數(shù)本身數(shù)值的大小，由于：40例題(2)下列三個(gè)函數(shù)是否符合合格化條件？解：均不符合，1.多值；2.一階微分不連續(xù)；3.不連續(xù)413．自由粒子波函數(shù)－德布羅意波函數(shù)后者稱為德布羅意波函數(shù)（描述自由粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)）將德布羅意關(guān)系式（l=h/p，e=hv）代入上式，得：自由粒子：不受任何外界力場作用的粒子。其表現(xiàn)的波動(dòng)，是波長和頻率都為確定值的簡諧波。424．量子力學(xué)態(tài)疊加原理（公設(shè)）如果用ψ1,ψ2,ψ3……ψn描寫一個(gè)微觀體系的n個(gè)可能狀態(tài)，則由它們的線性疊加所得波函數(shù)：也是描寫這個(gè)體系的一個(gè)可能狀態(tài)。描述狀態(tài)的波函數(shù)不是唯一的！43第三節(jié)實(shí)物微粒的運(yùn)動(dòng)規(guī)律——薛定諤方程主要問題：1、定態(tài)及含時(shí)薛定諤方程的表達(dá)形式2、薛定諤方程的應(yīng)用實(shí)例－－－在勢箱中運(yùn)動(dòng)的粒子44奧地利物理學(xué)家，在德布羅意思想的基礎(chǔ)上，于1926年在《量子化就是本征值問題》的論文中，提出氫原子中電子所遵循的波動(dòng)方程，人們稱之為薛定諤方程。

薛定諤還是現(xiàn)代分子生物學(xué)的奠基人，1944年，他發(fā)表一本名叫《什么是生命》的書，試圖用熱力學(xué)、量子力學(xué)和化學(xué)理論來解釋生命的本性；從能量、遺傳和信息方面來探討生命的奧秘，對(duì)分子生物學(xué)的建立產(chǎn)生過重大影響。E.Schr?dinger

(1887―1961)（1933年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)得主）45薛定諤于1926年提出其波動(dòng)方程時(shí)已39歲，比起量子力學(xué)史上的其他英雄們，可謂是大器晚成。發(fā)表第一篇成名論文時(shí)，愛因斯坦26歲，玻爾28歲，海森伯24歲，泡利25歲，狄拉克24歲，約當(dāng)23歲，烏倫貝克和戈德斯密特分別為25和23歲。46定態(tài)薛定諤方程及含時(shí)薛定諤方程說明：該運(yùn)動(dòng)方程可由狀態(tài)疊加原理結(jié)合自由粒子的波函數(shù)，運(yùn)用傅立葉變換的數(shù)學(xué)方法加以嚴(yán)格推導(dǎo)。限于本教材要求，我們僅以簡潔的方法就簡單的特例加以引出，著重闡明其物理意義。其中px、py、pz根據(jù)自由粒子的定義為常數(shù)為滿足歸一化的要求：（具體推導(dǎo)見附錄）47為簡潔地引出所需要的運(yùn)動(dòng)方程，分別對(duì)x、y、z進(jìn)行兩次求偏導(dǎo)，得：三式相加，并乘以1/(2m)

量子力學(xué)認(rèn)為牛頓力學(xué)中粒子的動(dòng)能Ekin=p2/2m仍成立Laplace算符帶入上式48考慮到能量除動(dòng)能外，還有勢能V(x,y,z)，則：（定態(tài)薛定諤方程：與時(shí)間無關(guān)）（含時(shí)薛定諤方程：與時(shí)間有關(guān)）49含時(shí)的Schr?dinger方程：不含時(shí)的Schr?dinger方程：50Schr?dinger方程的物理意義對(duì)于一個(gè)質(zhì)量為m，在勢能為V的場中運(yùn)動(dòng)的微粒來說，其每一個(gè)定態(tài)可以用滿足這個(gè)方程合理解的波函數(shù)來描述，與每一個(gè)波函數(shù)相應(yīng)的常數(shù)E就是微粒處在該定態(tài)時(shí)的總能量。51實(shí)例——在勢箱中運(yùn)動(dòng)的粒子應(yīng)用范圍：

金屬體內(nèi)電子的運(yùn)動(dòng)。當(dāng)勢箱中運(yùn)動(dòng)的粒子模型被用于研究金屬中電子的能級(jí)時(shí)，就稱為自由電子模型。

長鏈烯烴共軛分子中電子的運(yùn)動(dòng)。52V(x)V=0X=0X=lΨ=0VΨ=0V一維勢箱模型V(x)=0由于勢箱外=0，因此箱內(nèi)的薛定諤方程為：（二階常系數(shù)線性齊次方程）53通解為：根據(jù)ψ(x)必須連續(xù)化的要求，箱外ψ=0，則有兩個(gè)重要的邊界條件：x=0時(shí)，ψ(x)=0,A=0B≠0x=l時(shí)，ψ(x)=0,n為正整數(shù)故波函數(shù)為：n為正整數(shù)帶回通式并進(jìn)行歸一化能量量子化54(1)邊界條件左右55(2)Ψ歸一化條件56幾點(diǎn)推論:1、對(duì)于金屬內(nèi)部自由電子而言，有無窮個(gè)定態(tài)Ψn(x)，每一個(gè)定態(tài)由一特征能量En標(biāo)志，并且是量子化的，n稱為量子數(shù)，En的全體稱為體系的能量譜，概括了體系所有可能的能量值。有別于經(jīng)典理論中設(shè)想的能量具有連續(xù)值。n為正整數(shù)572、當(dāng)粒子變重和箱子更大時(shí)，能級(jí)間隔變小，以至于相鄰n所對(duì)應(yīng)的En間隔可以當(dāng)作零看待，可與宏觀物體的運(yùn)動(dòng)聯(lián)系起來。只有ml2足夠小時(shí)，才表現(xiàn)出微觀物體運(yùn)動(dòng)的特征。583、En=n2h2/(8ml2)表明：對(duì)于給定的n，En與l2成反比,即粒子運(yùn)動(dòng)范圍增大，能量降低，體系越穩(wěn)定。這正是化學(xué)中大π鍵離域能的來源(下圖分別是苯和丁二烯大π軌道中能量最低的軌道,都具有離域化特征)。由于粒子的活動(dòng)范圍擴(kuò)大而產(chǎn)生的能量降低的效應(yīng)，稱為“離域效應(yīng)”。594、由于粒子在全空間出現(xiàn)的概率不能為零，即Ψ(x)≠0，因此，n≠0，表明體系的能量不能為零（不確定關(guān)系的必然結(jié)果），最低的能量稱為零點(diǎn)能（對(duì)應(yīng)n=1）。除去x＝0和l時(shí)Ψ(x)＝0外，波函數(shù)為零的點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)，如n=2（第一激發(fā)態(tài)，其它以此類推），在x=l/2處有一個(gè)節(jié)點(diǎn)，n狀態(tài)時(shí)有n-1個(gè)節(jié)點(diǎn)。n為正整數(shù)若最低能量為零，其勢能和動(dòng)能均將為零。零動(dòng)能意味著動(dòng)量確切為零，所以px為零。零勢能意味著粒子總是局限在原點(diǎn)，所以x為零。但是不能有x與px兩者皆為零。605、在箱的長度范圍內(nèi)，節(jié)點(diǎn)數(shù)越多，波長越短，粒子的能量和動(dòng)量也將越大，這與德布羅意關(guān)系式是一致的。對(duì)于能量最低的基態(tài)，其波函數(shù)是沒有節(jié)點(diǎn)的。n為正整數(shù)61++--n=4n=3n=2n=1n=3n=2n=1++++--E1E2E3E4ψ1(x)ψ2(x)ψ32(x)ψ4(x)ψ42(x)ψ22(x)ψ12(x)ψ3(x)一維勢箱中粒子的波函數(shù)、能級(jí)、概率密度和能級(jí)間隔n增大，能量增大，波長變短，節(jié)點(diǎn)數(shù)(n-1)增多，概率密度具有n個(gè)最大值，且均勻分布，能級(jí)間隔變大。正弦函數(shù)62

波函數(shù)的正交歸一性：此外，由不同能量En和Em表征的波函數(shù)ψn和ψm還滿足：63三維勢箱a,b,c為三維勢箱中的三個(gè)長度，需要三個(gè)量子數(shù)(nx,ny,nz)來同時(shí)描述一個(gè)狀態(tài)。意味著對(duì)于核外電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)也需要三個(gè)量子數(shù)才能確定其狀態(tài)。由于實(shí)際問題往往是三維空間中運(yùn)動(dòng)的粒子，需要把薛定諤方程用變數(shù)分離法先分解成三個(gè)一維的微分方程，分別求解，再帶入下式，即可求得體系的完全波函數(shù)和能級(jí)：64立方勢箱定義：像這樣一個(gè)能級(jí)有兩個(gè)或兩個(gè)以上的狀態(tài)與之對(duì)應(yīng)，則稱此能級(jí)為簡并能級(jí)，相應(yīng)的狀態(tài)（波函數(shù)）為簡并態(tài)，簡并態(tài)的數(shù)目為簡并度。（上述簡并度為？）65三維無限深立方勢阱中粒子的簡并態(tài)66定性模擬共軛體系中π電子的運(yùn)動(dòng)，將共軛分子中的所有參加共軛的C=C和C-C鍵長相加，再額外加一個(gè)C-C鍵長（每一端π電子的運(yùn)動(dòng)超出半個(gè)C-C鍵長），即為勢箱長度。注意：（1）共軛體系中的π電子的數(shù)目；（2）每個(gè)n（1個(gè)軌道）最多與2個(gè)電子相對(duì)應(yīng)；（3）吸收光譜對(duì)應(yīng)的躍遷過程。一維勢箱的重要應(yīng)用67lll4l(a)定域(b)離域E11/9E14/9E1丁二烯分子中π電子的能級(jí)（b）中離域效應(yīng)使體系π電子的能量比定域（a）中能量要低，所以離域效應(yīng)擴(kuò)大了π電子的活動(dòng)范圍，即增加一維勢箱的長度使得分子能量降低，穩(wěn)定性增加。n=1n=2n=168計(jì)算波數(shù)公式69例題計(jì)算波長公式70例題顯示互補(bǔ)色71例：鏈型共軛分子CH2(CH)6CH2，在長波方向460nm處出現(xiàn)第一強(qiáng)吸收峰，試按一維勢箱模型估算該分子的長度。（l=1120pm）提示：離域鍵（8中心8電子），當(dāng)分子處于基態(tài)時(shí)，占據(jù)4個(gè)分子軌道。躍遷：從n=4到n=5，E=E5-E4，對(duì)應(yīng)波長=460nm。72答案：3，3，6，4，11731.根據(jù)體系的物理?xiàng)l件，寫出它的勢能函數(shù)，進(jìn)一步寫出能量算符（Hamilton）及Schrodinger方程。2.解Schrodinger方程，并根據(jù)邊界條件求ψn和En。3.描繪出ψn、|ψn|2等的圖形，并討論其分布特點(diǎn)。4.進(jìn)一步求出各個(gè)對(duì)應(yīng)狀態(tài)的各種力學(xué)量的數(shù)值，從中了解體系的性質(zhì)。5.聯(lián)系實(shí)際問題，對(duì)求得的結(jié)果加以應(yīng)用。量子力學(xué)處理微觀體系的一般步驟：74一維無限深勢阱中看不到的一種量子現(xiàn)象是隧道效應(yīng)。當(dāng)勢壘為有限高度(V0)

和厚度時(shí)，入射到勢壘上的粒子能量E即使小于V0，也仍有一定的概率穿透勢壘，似乎是從隧道中鉆出來的。知識(shí)擴(kuò)展75這種奇妙的量子現(xiàn)象是經(jīng)典物理無法解釋的！76量子力學(xué)隧道效應(yīng)是許多物理現(xiàn)象和物理器件的核心，如隧道二極管、α衰變現(xiàn)象。某些質(zhì)子轉(zhuǎn)移反應(yīng)也與隧道效應(yīng)有關(guān)。對(duì)于化學(xué)來講，意義最大的恐怕是基于隧道效應(yīng)發(fā)明的掃描隧道顯微鏡（ScanningTunnelingMicroscope：STM），放大倍數(shù)3千萬倍，分辨率達(dá)0.01nm，它使人類第一次真實(shí)地“看見”了單個(gè)原子！這是20世紀(jì)80年代世界重大科技成就之一。77第四節(jié)定態(tài)薛定諤方程的算符表達(dá)式算符和力學(xué)量的算符表示力學(xué)量的算符化規(guī)則力學(xué)量算符的用途本節(jié)重點(diǎn)：78在特殊情況下，若上式中f2等于一個(gè)常數(shù)a乘以f1本身，即：?f1=af1，則稱f1為?的本征函數(shù)，常數(shù)a稱為與f1對(duì)應(yīng)的本征值。?f1=af1為算符?的本征方程。一個(gè)算符?（如：d/dx）作用于一個(gè)函數(shù)f1，得到的將是另一函數(shù)f2，如：力學(xué)量:

力學(xué)中能用實(shí)驗(yàn)儀器觀察得到的物理量，如：E、P、M，它們都是坐標(biāo)和動(dòng)量的函數(shù)。1、算符和力學(xué)量的算符表示：算符:

指對(duì)一個(gè)函數(shù)施行某種運(yùn)算（或動(dòng)作）的符號(hào)，如：+、-、×、÷、√、繞某軸旋轉(zhuǎn)等。79本征函數(shù)本征值算符原函數(shù)原函數(shù)80稱為薛定諤方程的算符表達(dá)式薛定諤方程的算符表達(dá)式：81Schr?dinger方程——能量算符的本征方程，是決定體系能量算符的本征值（體系中某狀態(tài)的能量E）和本征函數(shù)（定態(tài)波函數(shù)，本征態(tài)給出的概率密度不隨時(shí)間而改變）的方程，是量子力學(xué)中一個(gè)基本方程。該方程沒有考慮粒子的自旋！822.力學(xué)量的算符化規(guī)則：⑴時(shí)空坐標(biāo)的算符就是它們本身⑵動(dòng)量算符定義為：(4)其它物理量Q的算符表示法：先將它寫成關(guān)于坐標(biāo)、時(shí)間和動(dòng)量的函數(shù)，再一一代換。(3)位能V(x.y.z)的算符和它原來形式完全一樣。83動(dòng)能算符的求法角動(dòng)量算符的求法見教材49頁84注：微觀體系中，有些力學(xué)量并不存在對(duì)應(yīng)的經(jīng)典力學(xué)量，如自旋，此時(shí)就不能用上述規(guī)則“造”算符，而只能以實(shí)驗(yàn)新發(fā)現(xiàn)的力學(xué)量性質(zhì)為依據(jù)去“造”算符。853.力學(xué)量算符的用途：例：一維勢箱中電子的動(dòng)能值：∴A、如果某個(gè)力學(xué)量算符作用到波函數(shù)上，得到的新函數(shù)是一個(gè)常數(shù)與原來函數(shù)之積，那么該力學(xué)量有確定值。算符的提取功能86例如：根據(jù)氫原子1s態(tài)的波函數(shù)表達(dá)式ψ1s，就可求得其平均半徑為：B、如果函數(shù)不是某算符的本征函數(shù)，那么可以根據(jù)：a0為玻爾半徑=0.529?=52.9pm87例題88例：一粒子在一維無限深勢阱中運(yùn)動(dòng)，求x2的平均值。解：波函數(shù)為：x2的平均值為：89作業(yè)P145---20P146---25P146---26要求：寫上學(xué)號(hào)，交作業(yè)時(shí)按照學(xué)號(hào)排列順序。補(bǔ)充：求解一維勢箱的薛定諤方程90第五節(jié)氫原子與類氫離子的定態(tài)薛定諤方程及其解類氫離子：原子核外只有一個(gè)電子的體系，如Li+、He2+、Be3+等用量子力學(xué)研究原子結(jié)構(gòu)時(shí)，氫原子（及類氫離子）是能夠精確求解其Schr?dinger方程的原子，正是從它們身上，科學(xué)家揭開了原子中電子結(jié)構(gòu)的奧秘。

現(xiàn)在，讓我們跟隨著科學(xué)先驅(qū)的腳印，進(jìn)入氫原子內(nèi)部……91主要內(nèi)容：1、氫原子或類氫離子薛定諤方程的直角坐標(biāo)表達(dá)式2、氫原子或類氫離子薛定諤方程的球坐標(biāo)表達(dá)式3、基態(tài)的解4、變數(shù)分離法求解氫原子或類氫離子的薛定諤方程5、Φ(φ)方程的解6、Θ(θ)方程的解7、R(r)方程的解8、氫原子或類氫離子的完全波函數(shù)92A:氫原子和類氫離子中有兩個(gè)粒子，其哈密頓算符為：1、氫原子和類氫離子薛定諤方程的直角坐標(biāo)表達(dá)式核的動(dòng)能核對(duì)電子的吸引能電子的動(dòng)能r很難進(jìn)一步分解，給求解薛定諤方程帶來困難！能否簡化？(x,y,z)—電子坐標(biāo)(X,Y,Z)—核坐標(biāo)93由于原子核的質(zhì)量要比電子大幾千倍，而電子繞核運(yùn)動(dòng)速度又很大，所以當(dāng)電子“繞核一周”，核只動(dòng)了10-13m。因此，有理由假定在研究電子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)，核固定不動(dòng)。于是就可以把核放在坐標(biāo)的原點(diǎn)，不考慮氫核的動(dòng)能部分。這個(gè)近似方法，稱為核固定近似，是玻恩-奧本海默于1927年提出的。核固定近似94C:在核固定近似條件下，以原子核的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，氫原子和類氫離子薛定諤方程的直角坐標(biāo)表示式為：B:根據(jù)玻恩-奧本海默近似，哈密頓算符簡化為：952、氫原子和類氫離子薛定諤方程的球極坐標(biāo)表達(dá)式為了進(jìn)行變數(shù)分離，便于直接求解方程式，要進(jìn)行直角坐標(biāo)與球極坐標(biāo)之間的變換。坐標(biāo)變換詳見附錄A-3XYZ球極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系prMo（0≤r<∞；0≤θ≤π；0≤φ≤2π）96因此，球坐標(biāo)系中薛定諤方程形式為：（0≤r<∞；0≤θ≤；0≤φ≤2）97因此，可以簡化為：由于氫原子及類氫離子中核電場是球形對(duì)稱的，故有可能使得?的某些本征函數(shù)是球形對(duì)稱的，即：即在這些狀態(tài)中，動(dòng)能部分只是r的函數(shù)，與q和f無關(guān)，于是上述定態(tài)薛定諤方程可以簡化為：3、基態(tài)的解該方程的具體求解過程見教材P57-59利用待定系數(shù)法和歸一化求解98歸一化的單電子原子的基態(tài)波函數(shù)和能量表達(dá)式為：對(duì)H原子來說，Z=1，E1s=13.6eV，負(fù)值表明電子處于束縛狀態(tài)，若將這個(gè)核外電子電離，就需要提供13.6eV的能量。由于實(shí)際電子運(yùn)動(dòng)的可能狀態(tài)除與r有關(guān)外，往往同時(shí)和、f有關(guān)。為此，我們需要進(jìn)一步討論方程的一般解，以期得出具有普遍適用性的結(jié)論。99球坐標(biāo)系中薛定諤方程形式為：（0≤r<∞；0≤q≤p；0≤φ≤2p）4、變數(shù)分離法求解氫原子或類氫離子的薛定諤方程含三個(gè)變量的偏微分方程，一般采用變量分離的方法求解由于是彼此獨(dú)立的三個(gè)坐標(biāo)變量r、q、f的函數(shù)，所以可以將看作由三個(gè)變量R(r)、Θ(q)

、Φ(f)分別形成的函數(shù)所組成的。100將該式代入薛定諤方程的球極坐標(biāo)形式中，于是有：式中等號(hào)左邊只與r有關(guān)，右邊只與θ和φ有關(guān)。要使得兩邊恒等，必須分別等于同一常數(shù)，設(shè)此常數(shù)為k，則：其中第一項(xiàng)相當(dāng)于波函數(shù)的徑向部分，后兩項(xiàng)相當(dāng)于角度部分。101——勒讓德方程對(duì)于勒讓德方程，形式上，如把左端分母上的Y(q,φ)移到等式右端，它也符合本征方程的形式，則k就是[括號(hào)內(nèi)]所代表的某個(gè)算符的本征值，Y(q,φ)就是相應(yīng)的本征函數(shù)，要解勒讓德方程，需要進(jìn)一步分離變量。帶入上述方程。全式乘以sin2q，移項(xiàng)整理得：(1)102上述(1)(2)(3)三個(gè)方程分別叫做R(r)方程、Θ(q)方程和Φ(?)方程。這樣，利用變量分離的方法，就可以將含有三個(gè)變量的一個(gè)偏微分方程，分解為三個(gè)含有一個(gè)獨(dú)立變量的微分方程，分別求解，再把它們相乘，就得原波函數(shù)。注意三個(gè)方程變量的變化范圍?！?2)………(3)類似地，要使得此式恒等，令兩邊分別等于m2，即：103其通解為：常數(shù)A可通過歸一化條件求得：5、Φ(φ)方程的解………(3)由于只含有一個(gè)變量，故可以將偏微分換成全微分，即：上式為常系數(shù)二階線性齊次方程，特征方程：p2+m2=0104因此：這就是Φ(φ)方程解的復(fù)數(shù)形式。由于φ是循環(huán)坐標(biāo)，為了保證Φm是φ的單值函數(shù)，必須在φ變化一周后，保持Φ的函數(shù)值不變，即：Φm(φ)＝Φm(φ+2π)，因此：105Φ(φ)方程的兩個(gè)獨(dú)立特解為（m不等于0時(shí)）：它們的任意線性組合也是方程的解，如：因此，Φ(φ)方程除了復(fù)數(shù)解形式外，還有實(shí)函數(shù)的解：106復(fù)函數(shù)（1）與實(shí)函數(shù)（2）是兩兩對(duì)應(yīng)、線性組合的關(guān)系，并非一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。復(fù)函數(shù)形式的波函數(shù)是角動(dòng)量在z軸方向分量算符的本征函數(shù)，實(shí)函數(shù)不是。（1）（2）注意：107表1-5.1注：前面的系數(shù)即為m。108根據(jù)二階線性微分方程解法要求：k=l(l+1),l=0,1,2,…≥|m|；對(duì)于確定的l，可取(2l+1)個(gè)m值；當(dāng)對(duì)k值進(jìn)行這種限制后，可得方程的收斂解，其形式為：6、Θ(θ)方程的解

將上式兩邊同時(shí)乘以，整理得：………(2)為使該方程得到收斂解，必須對(duì)k值加以限制。109其中系數(shù)C由歸一化條件得：聯(lián)屬勒讓德函數(shù)110注：三角函數(shù)的冪次方即為l的取值。111當(dāng)將k=l(l+1)代入R(r)方程后，再兩邊同時(shí)乘以R/r2，整理得：——聯(lián)屬拉蓋爾方程為得到收斂的確定解，能量需取負(fù)值（相當(dāng)于原子中電子處于“束縛態(tài)”的情形），且為下列特殊值時(shí)：7、R(r)方程的解（n稱為主量子數(shù)，決定著氫原子及類氫離子各軌道的能量）112對(duì)于每一個(gè)n值均有相應(yīng)的徑向波函數(shù)：其中聯(lián)屬拉蓋爾函數(shù)對(duì)于n和l的關(guān)系，必須滿足n≥l+1。113決定n的取值1148、氫原子或類氫離子的完全波函數(shù)上述各函數(shù)均已歸一化，滿足歸一化公式：115116氫原子和類氫離子的狀態(tài)（實(shí)函數(shù)）117氫原子和類氫離子的狀態(tài)（實(shí)函數(shù)）118主要內(nèi)容：第六節(jié)氫原子及類氫離子的解的討論

量子數(shù)及其意義實(shí)波函數(shù)和復(fù)波函數(shù)

波函數(shù)的特點(diǎn)

1191、量子數(shù):正如在三維勢箱中需要用三個(gè)量子數(shù)來描述其中粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)一樣，對(duì)于類氫離子的一個(gè)電子也需要三個(gè)量子數(shù)n、l、m來完全確定它的狀態(tài)。磁量子數(shù)m,m=0,±1,±2,…±l角量子數(shù)l,

l=0,1,2,…,n-1主量子數(shù)n,n=1,2,3,…120（1）主量子數(shù)n：主要決定能量E及電子離核遠(yuǎn)近對(duì)單電子體系，在相同n，而l、m不同的狀態(tài)時(shí)，其能量是相同的，這些狀態(tài)互稱簡并態(tài)。對(duì)于一個(gè)給定的n，可以有n個(gè)不同的l值，對(duì)各個(gè)l值，又有(2l+1)個(gè)不同的m值。所以具有相同能量的狀態(tài)的總數(shù)（即簡并度）g為：121應(yīng)用光譜學(xué)的習(xí)慣表示：l=0123…

spdf不同的n值，對(duì)應(yīng)于不同的電子層n=１２３４５……..

KLMNO……...122注意上式僅限于在類氫粒子的情況，如n＝2，一個(gè)2s和三個(gè)2p態(tài)的能量是相同的。當(dāng)位能變到非對(duì)稱形式，如多電子原子中同時(shí)存在電子間相互排斥作用，則能量就同時(shí)依賴于n和l，如果進(jìn)一步在外加磁場的作用下，位能的球?qū)ΨQ性完全消失時(shí)，則能量還將依賴于m。此外，n也決定原子狀態(tài)波函數(shù)的總節(jié)面數(shù)（包括徑向和角度節(jié)面），為n-1個(gè)。123根據(jù)角動(dòng)量平方算符（P49式1-4.11）,轉(zhuǎn)化為球極坐標(biāo)：與勒讓德方程相比，方括號(hào)內(nèi)的部分正好與勒讓德方程式中括號(hào)部分一樣,且令k=l(l+1)（2）角量子數(shù)（副量子數(shù)）l:

決定角動(dòng)量大小——勒讓德方程124根據(jù)經(jīng)典電磁學(xué)觀點(diǎn)，帶電質(zhì)點(diǎn)的定向圓周運(yùn)動(dòng)，除了有角動(dòng)量外，還會(huì)產(chǎn)生磁矩，該磁矩正比于軌道運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量：上式對(duì)量子力學(xué)來說，仍然成立，因此：因此，角量子數(shù)l不僅決定電子軌道運(yùn)動(dòng)角動(dòng)量，或“軌道”的形狀，也決定著軌道磁矩的大小，在多電子原子中也決定著軌道的能量。125(3)磁量子數(shù)m:決定核外電子角動(dòng)量在z方向上分量的大小

角動(dòng)量在z方向上分量算符的球坐標(biāo)形式為：作用于波函數(shù)n,l,m上，有:塞曼效應(yīng)是原子的光譜線在外磁場中出現(xiàn)分裂的現(xiàn)象。表明角動(dòng)量在z方向的分量具有確定值，也是量子化的，這在原子光譜中已被“塞曼（Zeeman）效應(yīng)”所證實(shí)。由于是常數(shù)，這又是一個(gè)本征方程，本征值為。實(shí)驗(yàn)表明，在磁場中z方向就是磁場的方向，因此，m就稱為磁量子數(shù)。126從m的取值范圍可以看出，對(duì)于同一個(gè)角動(dòng)量大?。╨一定），角動(dòng)量在外磁場方向可有（2l+1）種取向，稱為角動(dòng)量的方向量子化。如當(dāng)l=2（相對(duì)于d軌道狀態(tài)，角動(dòng)量矢量的長度為。但它在空間可有5種取向，這5種取向在z軸上的投影分別為，所以對(duì)應(yīng)于l=2的d軌道可以有5種不同的形式。127d軌道角動(dòng)量的方向量子化Zm=0對(duì)應(yīng)的平面應(yīng)為xy平面128軌道角動(dòng)量與Z軸夾角的關(guān)系129由上可見，由三個(gè)量子數(shù)n，l，m決定的波函數(shù)可以描述原子中電子的運(yùn)動(dòng)，習(xí)慣上稱為軌道運(yùn)動(dòng)。原子放在磁場中，相當(dāng)于一塊小磁鐵在磁場中。磁矩與磁場方向不同時(shí)，原子的能量也將不同，如果以無磁場時(shí)能量為零點(diǎn)，則由于軌道磁矩的方向量子化，能量E為：同樣，有軌道角動(dòng)量在磁場方向上的分量Mz，則必有磁矩在磁場方向上的分量：表明：m值不同，外加磁場附加的能量也不同。因此，對(duì)氫原子n、l相同，m不同的各個(gè)狀態(tài)，在無外加磁場時(shí)，能量本來是相同的。有外加磁場時(shí)，能量就不同了，從而導(dǎo)致了譜線的分裂（Zeeman效應(yīng)）。130徑向部分：關(guān)于r的多項(xiàng)式，最高次數(shù)為n-1次，最低次數(shù)為l次，故除去r=∞處及r=0（l≠0）處R(r)=0外，應(yīng)有n-l-1個(gè)徑向節(jié)面（球面）。2、波函數(shù)的特點(diǎn)：完全波函數(shù)包括徑向部分Rn,l(r)和角度部分Yl,m(,)，首先從它們的函數(shù)形式來分析節(jié)面數(shù)和能量的問題。角度部分的節(jié)面數(shù)，與角量子數(shù)l是相等的。應(yīng)有n-l個(gè)徑向極值。131

總節(jié)面數(shù)：共有n-1個(gè)。（僅與主量子數(shù)n有關(guān)）對(duì)于能量，只隨主量子數(shù)n而變，故對(duì)同一個(gè)氫原子或類氫離子來說，2s和三個(gè)2p軌道能量都是相等的，總節(jié)面數(shù)也相同。節(jié)面數(shù)越多，能量越高。1323、實(shí)波函數(shù)和復(fù)波函數(shù)由于Φ(φ)具有實(shí)函數(shù)和復(fù)函數(shù)兩種形式的解，因此波函數(shù)也就有實(shí)函數(shù)和復(fù)函數(shù)之分。需要注意：1)化學(xué)中常用實(shí)波函數(shù)的形式，如1s，2px等。通過簡單的坐標(biāo)變換，就可以用x、y和z來叫出習(xí)慣的軌道名稱，如ψ2,1,0=ψ2pz（m=0與pz對(duì)應(yīng)），但是m=1或-1并不與px和py存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。（教材75-77）2)二者均為薛定諤方程的合理解，但函數(shù)形式和圖像有所差別（具體見教材77頁）3)角動(dòng)量在z方向上的分量，除去m=0外，只有復(fù)波函數(shù)所描述的態(tài)才具有確定值，實(shí)函數(shù)形式不是的本征函數(shù)。133例題134ψ2pz一1353.求氫原子分別屬于能級(jí)：(1)-R，(2)-R/9，(3)-R/25的簡并度。4.已知He+處于狀態(tài)ψ311，則下列結(jié)論何者正確？------()(A)E=-R/9（B）簡并度為1(C)徑向分布函數(shù)的峰只有一個(gè)(D)以上三個(gè)答案都不正確5.3d軌道有幾個(gè)徑向節(jié)面？角度節(jié)面？總節(jié)面數(shù)？軌道徑向節(jié)面數(shù)為n-l-1，對(duì)3d軌道為0個(gè)。角度分布節(jié)面數(shù)l=2個(gè)總節(jié)面數(shù)為n-1=2個(gè)6.氫原子3d軌道角動(dòng)量沿磁場方向分量的最大值和最小值分別為（a）和（b）。n=1，3，5，所以簡并度為1，9，25（a）h/π和（b）0（取決于m值的大小）D136

為進(jìn)一步了解原子、分子的電子結(jié)構(gòu)以及化學(xué)反應(yīng)中電子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變或電子云的重新分布的情況，有必要來專門討論一下波函數(shù)和電子運(yùn)動(dòng)的圖像問題。

氫原子基態(tài)圖示徑向分布圖角度分布圖空間分布圖第七節(jié)波函數(shù)和電子云的圖形表示137歸一化的單電子原子的基態(tài)波函數(shù)表達(dá)式為：1、氫原子基態(tài)的各種圖示Ψ1s和Ψ21s都是隨著r的增大而呈指數(shù)衰減，不依賴于角度的變化，為球面對(duì)稱，并且無節(jié)面。對(duì)r作圖，可以得到：rΨ1s或Ψ21s138電子云示意圖用小黑點(diǎn)的疏密程度來表示空間各點(diǎn)的概率密度ψ21s的大小。黑點(diǎn)密度大的地方表示電子出現(xiàn)的概率密度大，稀少則ψ21s小。由于小黑點(diǎn)形象的描繪了電子在空間的概率密度分布，所以叫做“電子云”。注意小黑點(diǎn)不是電子電子云139等密度面1.00.750.60.50.4將電子云概率密度分布相等的各點(diǎn)連起來,就形成了空間的曲面，實(shí)際上為一球面。140它表明在半徑為r的球面上單位厚度(dr=1)球殼內(nèi)電子出現(xiàn)的概率?？疾榘霃綖閞、厚度為dr的球殼內(nèi)電子出現(xiàn)的概率?？亢私帲怕拭芏群艽?，但球面太小，電子出現(xiàn)的概率未必大；離核遠(yuǎn)的地方球面很大，但概率密度較小，