2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 分布列（精講）（原卷版）

8.6分布列（精講）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖常見考法常見考法考點一超幾何分布【例1】（2021·重慶高三開學(xué)考試）北京冬季奧運會將于2022年2月4日至2022年2月20日在中華人民共和國北京市和河北省張家口市聯(lián)合舉行.這是中國歷史上第一次舉辦冬季奧運會，北京、張家口同為主辦城市，也是中國繼北京奧運會、南京青奧會之后第三次舉辦奧運賽事.北京冬奧組委對報名參加北京冬奧會志愿者的人員開展冬奧會志愿者的培訓(xùn)活動，并在培訓(xùn)結(jié)束后進行了一次考核.為了解本次培訓(xùn)活動的效果，從中隨機抽取80名志愿者的考核成績，根據(jù)這80名志愿者的考核成績，得到的統(tǒng)計圖表如下所示.若參加這次考核的志愿者考核成績在內(nèi)，則考核等級為優(yōu)秀.（1）分別求這次培訓(xùn)考核等級為優(yōu)秀的男、女志愿者人數(shù)；（2）若從樣本中考核等級為優(yōu)秀的志愿者中隨機抽取3人進行學(xué)習(xí)心得分享，記抽到女志愿者的人數(shù)為X，求X的分布列及期望.【一隅三反】1．（2021·貴州省思南中學(xué)高三月考）某班利用課外活動時間舉行了一次“函數(shù)求導(dǎo)比賽”活動，為了解本次比賽中學(xué)生的總體情況，從中抽取了甲、乙兩個小組的樣本分數(shù)的莖葉圖如圖所示.（1）分別求出甲、乙兩個小組成績的平均數(shù)與方差，并判斷哪個小組的成績更穩(wěn)定？（2）從甲組同學(xué)成績不低于70分的人中任意抽取3人，設(shè)表示所抽取的3名同學(xué)的得分在的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.2．（2021·廣西柳州）為慶祝2021年中國共產(chǎn)黨成立100周年，某校高二年級舉行“黨史知識你我答”活動，共有10個班，每班選5名選手參加了預(yù)賽，預(yù)賽滿分為150分，現(xiàn)預(yù)賽成績?nèi)拷橛?0分到140分之間.將成績結(jié)果按如下方式分成五組：第一組，第二組，…，第五組.按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）若成績大于或等于100分且小于120分認為是良好的，求參賽學(xué)生在這次活動中成績良好的人數(shù)；（2）若從第一?五組中共隨機取出兩個成績，記X為取得第一組成績的個數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.考點二二項分布【例2】（2021·渤海大學(xué)附屬高級中學(xué)高三月考）隨著我國國民消費水平的不斷提升，進口水果也受到了人們的喜愛，世界各地鮮果紛紛從空中、海上匯聚中國：泰國的榴蓮、山竹、椰青，厄瓜多爾的香蕉，智利的車厘子，新西蘭的金果獼猴桃等水果走進了千家萬戶，某種水果按照果徑大小可分為五個等級：特等、一等、二等、三等和等外，某水果進口商從采購的一批水果中隨機抽取500個，利用水果的等級分類標準得到的數(shù)據(jù)如下：等級特等一等二等三等等外個數(shù)501002506040（1）若將樣本頻率視為概率，從這批水果中隨機抽取6個，求恰好有3個水果是二等級別的概率．（2）若水果進口商進口時將特等級別與一等級別的水果標注為優(yōu)級水果，則用分層抽樣的方法從這500個水果中抽取10個，再從抽取的10個水果中隨機抽取3個，表示抽取的優(yōu)級水果的數(shù)量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【一隅三反】1．（2021·天水市第一中學(xué)高三開學(xué)考試）電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調(diào)查.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖；將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”.（1）根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否有的把握認為“體育迷”與性別有關(guān)？非體育迷體育迷合計男女1055合計（2）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為.若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求的分布列，期望和方差.附：，0.050.013.8416.6352．（2021·北京新農(nóng)村中學(xué)高三開學(xué)考試）已知表1和表2是某年部分日期天安門升旗時刻表表1：某年部分日期的天安門廣場升旗時刻表日期升旗時刻日期升旗時刻日期升旗時刻日期升旗時刻1月1日7:364月9日5:467月9日4:5310月8日6:171月21日7:314月28日5:197月27日5:0710月26日6:362月10日7:145月16日4:598月14日5:2411月13日6:563月2日6:476月3日4:479月2日5:4212月1日7:163月22日6:166月22日4:469月20日5:5912月20日7:31表2：某年2月部分日期的天安門廣場升旗時刻表日期升旗時刻日期升旗時刻日期升旗時刻2月1日7:232月11日7:132月21日6:592月3日7:222月13日7:112月23日6:572月5日7:202月15日7:082月25日6:552月7日7:172月17日7:052月27日6:522月9日7:152月19日7:022月28日6:49（1）從表1的日期中隨機選出一天，試估計這一天的升旗時刻早于7:00的概率；（2）甲，乙兩人各自從表2的日期中隨機選擇一天觀看升旗，且兩人的選擇相互獨立.記為這兩個人中觀看升旗的時刻早于7:00的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）將表1和表2中的升旗時刻華為分數(shù)后作為樣本數(shù)據(jù)（如7:31化為）.記表2中所有升旗時刻對應(yīng)數(shù)據(jù)的方差為，表1和表2中所有升旗時刻對應(yīng)數(shù)據(jù)的方差為，判斷與的大小.（只需寫出結(jié)論）3．（2021·廣東高三月考）某地為了解高三學(xué)生運動量是否達標，隨機抽取了200名同學(xué)進行調(diào)查，得到數(shù)據(jù)如下：在120名男生中，運動量達標的有60人；在80名女生中，運動量未達標的有50人.（1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為運動量達標與性別有關(guān).運動量達標運動量未達標合計男生人數(shù)女生人數(shù)合計（2）以上述數(shù)據(jù)樣本來估計總體，現(xiàn)從該地的所有高三學(xué)生（人數(shù)眾多）中逐一隨機抽取3人，記這3人中運動量達標的男生人數(shù)為隨機變量X，若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式與數(shù)據(jù)：，其中.0.1000.0500.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.8794．（2021·青銅峽市高級中學(xué)高三開學(xué)考試（理））設(shè)甲?乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為.假定甲?乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨立.（1）用表示甲同學(xué)上學(xué)期間的每周五天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）記“上學(xué)期間的某周的五天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多3天”為事件，求事件發(fā)生的概率.5．（2021·湖北武漢·高三月考）在一次國際大型體育運動會上，某運動員報名參加了其中3個項目的比賽．已知該運動員在這3個項目中，每個項目能打破世界紀錄的概率都是，那么在本次運動會上：（1）求該運動員至少能打破2項世界紀錄的概率；（2）若該運動員能打破世界紀錄的項目數(shù)為X，求X的分布列及期望．考點三獨立重復(fù)實驗【例3】（2021·常州市西夏墅中學(xué)高三開學(xué)考試）某校團委組織“航天知識競賽”活動，每位參賽者第一關(guān)需回答三個問題，第一個問題回答正確得10分，回答錯誤得0分；第二個問題回答正確得10分，回答錯誤得-10分；第三個問題回答正確得10分，回答錯誤得-10分.規(guī)定，每位參賽者回答這三個問題的總得分不低于20分就算闖關(guān)成功.若每位參賽者回答前兩個問題正確的概率都是，回答第三個問題正確的概率都是，且各題回答正確與否相互之間沒有影響．（1）求參賽者甲僅回答正確兩個問題的概率；（2）求參賽者甲回答這三個問題的總得分的分布列?期望和闖關(guān)成功的概率.【一隅三反】1．（2021·河北高三月考）某企業(yè)計劃招聘新員工，現(xiàn)對應(yīng)聘者關(guān)于工作的首要考慮因素進行調(diào)查﹐所得統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：男性女性以月薪作為主要考慮因素以發(fā)展前景作為主要考慮因素（1）是否有的把握認為應(yīng)聘者關(guān)于工作的首要考慮因素與性別有關(guān)；（2）若招聘考核共設(shè)置個環(huán)節(jié)，應(yīng)聘者需要參加全部環(huán)節(jié)的考核，每個環(huán)節(jié)設(shè)置兩個項目，若應(yīng)聘者每通過一個項目積分，未通過積分.已知甲第環(huán)節(jié)每個項目通過的概率均為，第環(huán)節(jié)每個項目通過的概率均為，各環(huán)節(jié)?各項目間相互獨立.求甲經(jīng)過兩個環(huán)節(jié)的考核后所得積分之和的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：2．（2021·全國）羽毛球是一項隔著球網(wǎng)，使用長柄網(wǎng)狀球拍擊打用羽毛和軟木刷制作而成的一種小型球類的室內(nèi)運動項目．羽毛球比賽的計分規(guī)則：采用21分制，即雙方分數(shù)先達21分者勝，3局2勝．每回合中，取勝的一方加1分．每局中一方先得21分且領(lǐng)先至少2分即算該局獲勝，否則繼續(xù)比賽；若雙方打成29平后，一方領(lǐng)先1分，即算該局取勝．某次羽毛球比賽中，甲選手在每回合中得分的概率為，乙選手在每回合中得分的概率為．（1）在一局比賽中，若甲、乙兩名選手的得分均為18，求在經(jīng)過4回合比賽甲獲勝的概率；（2）在一局比賽中，記前4回合比賽甲選手得分為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．3．（2021·廣東深圳·高三月考）甲乙兩隊進行籃球比賽，約定賽制如下：誰先贏四場則最終獲勝，已知每場比賽甲蠃的概率為，輸?shù)母怕蕿?（1）求甲最終獲勝的概率；（2）記最終比賽場次為X，求隨機變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.考點四正態(tài)分布【例4-1】（2021·揚州市邗江區(qū)蔣王中學(xué)高三月考）已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則（）A．0.12 B．0.22 C．0.32 D．0.42【例4-2】（2021·海南高三）某高中招聘教師，首先要對應(yīng)聘者的工作經(jīng)歷進行評分，評分達標者進入面試，面試環(huán)節(jié)應(yīng)聘者要回答道題，第一題為教育心理學(xué)知識，答對得分，答錯得分，后兩題為學(xué)科專業(yè)知識，每道題答對得分，答錯得分．（Ⅰ）若一共有人應(yīng)聘，他們的工作經(jīng)歷評分服從正態(tài)分布，分及以上達標，求進面試環(huán)節(jié)的人數(shù)（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）；（Ⅱ）某進入面試的應(yīng)聘者第一題答對的概率為，后兩題答對的概率均為，每道題正確與否互不影響，求該應(yīng)聘者的面試成績的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：若隨機變量，則，，．【一隅三反】1．（2021·貴州貴陽一中（理））已知隨機變量，則（）A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.62．（2021·廣東高三月考）綠水青山就是金山銀山，生態(tài)環(huán)境日益受大家重視．2021年廣州市某公司為了動員職工積極參加植樹造林，在3月12日植樹節(jié)期間開展植樹有獎活動，設(shè)有甲、乙兩個摸獎箱，每位植樹者植樹每滿15棵獲得一次甲箱內(nèi)摸獎機會，植樹每滿25棵獲得一次乙箱內(nèi)摸獎機會．每箱內(nèi)各有10個球（這些球除顏色外全相同），甲箱內(nèi)有紅、黃、黑三種顏色的球，其中個紅球、個黃球、5個黑球（），乙箱內(nèi)有4個紅球和6個黃球．每次摸出一個球后放回原箱，摸得紅球獎100元，黃球獎50元，摸得黑球則沒有獎金．（1）經(jīng)統(tǒng)計，每人的植樹棵數(shù)服從正態(tài)分布，現(xiàn)有100位植樹者，請估計植樹的棵數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)（結(jié)果四舍五入取整數(shù)）；（2）某人植樹50棵，有兩種摸獎方法：方法一：三次甲箱內(nèi)摸獎機會；方法二：兩次乙箱內(nèi)摸獎機會；請問：這位植樹者選哪一種方法所得獎金的期望值較大？附參考數(shù)據(jù)：若，則，．3．（2021·湖南高三）數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一個組成部分數(shù)學(xué)建模能力是應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識的重要表現(xiàn)．為全面推動數(shù)學(xué)建?；顒拥拈_展，某學(xué)校舉行了一次數(shù)學(xué)建模競賽活動已知該競賽共有60名學(xué)生參加，他們成績的頻率分布直方圖如下．（1）為了對數(shù)據(jù)進行分析，將60分以下的成績定為不合格，60分以上（含60分）的成績定為合格．為科學(xué)評估該校學(xué)生數(shù)學(xué)建模水平?jīng)Q定利用分層抽樣的方法從這60名學(xué)生中選取10人，然后從這10人中抽取4人參加座談會．記為抽取的4人中，成績不合格的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）已知這60名學(xué)生的數(shù)學(xué)建模競賽成績服從正態(tài)分布，其中可用樣本平均數(shù)近似代替，可用樣本方差近似代替（用一組數(shù)據(jù)的中點值作代表），若成績在46分以上的學(xué)生均能得到獎勵，本次數(shù)學(xué)建模競賽滿分為100分，試估計此次競賽受到獎勵的人數(shù)．（結(jié)果根據(jù)四舍五入保留到整數(shù)位）解題中可參考使用下列數(shù)據(jù)：，，．4．（2021·全國高三）中國人民解放軍裝甲兵學(xué)院（前身蚌埠坦克學(xué)院），建校至今為我國培養(yǎng)了一大批優(yōu)秀的軍事人才.在今年