數(shù)值微積分-chap正交多項式定理證明

正交多項式

設(shè)Pn(x)，n=0,1,2,…,為正交多項式序列，Pn(x)具有如下性質(zhì)：1）對每一個n,Pn(x)是n次多項式。n=0,1,…2）(正交性)3）對任意一個次數(shù)≤n-1的多項式P(x)，有4）Pn(x)在(a,b)內(nèi)有n個互異零點。數(shù)值分析第4章數(shù)值微積分4.4Gauss型求積公式與正交多項式4.4.2Gauss型求積公式第4章數(shù)值微積分4.4Gauss型求積公式與正交多項式4.4.2Gauss型求積公式第4章數(shù)值微積分4.4Gauss型求積公式與正交多項式4.4.2Gauss型求積公式第4章數(shù)值微積分4.4Gauss型求積公式與正交多項式4.4.2Gauss型求積公式第4章數(shù)值微積分4.4Gauss型求積公式與正交多項式4.4.2Gauss型求積公式第4章數(shù)值微積分4.4Gauss型求積公式與正交多項式4.4.2Gauss型求積公式數(shù)值分析數(shù)值分析第4章數(shù)值微積分4.4Gauss型求積公式與正交多項式4.4.2Gauss型求積公式第4章數(shù)值微積分4.4Gauss型求積公式與正交多項式4.4.2Gauss型求積公式數(shù)值分析數(shù)值分析一般區(qū)間的Gauss-Legendre求積公式

如果積分區(qū)間是[a,b]，用線性變換

這樣就可以用Gauss-Legendre求積公式計算一般區(qū)間的積分.將積分區(qū)間從[a,b]變成[-1,1],由定積分的換元積分法有數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析數(shù)值分析例:分別用不同方法計算如下積分,并做比較各種做法比較如下：1、用Newton-Cotes公式當n=1時，即用梯形公式，I≈0.9270354當n=2時,即用Simpson公式,I≈0.9461359當n=3時,I≈0.9461090當n=4時,I≈0.9460830當n=5時,I≈0.9460830I準=0.9460831數(shù)值分析2:用復(fù)化梯形公式

令h=1/8=0.1253：用復(fù)化辛卜生公式令h=1/8=0.125I準=0.9460831數(shù)值分析4、用Romberg公式KTn

SnCnRn00.920735510.93979330.946145920.94451350.94608690.940083030.94569060.94608330.94608310.9460831

I準=0.9460831數(shù)值分析5、用Gauss公式解：令x=(t+1)/2,

I準=0.9460831（2）用3個節(jié)點的Gauss公式（1）用2個節(jié)點的Gauss公式數(shù)值分析算法比較此例題的精確值為0.9460831...由例題的各種算法可知：對Newton-cotes公式，當n=1時只有1位有效數(shù)字，當n=2時有3位有效數(shù)字，當n=5時有7位有效數(shù)字。對復(fù)化梯形公式有2位有效數(shù)字，對復(fù)化辛卜生公式有6位有效數(shù)字。用復(fù)合梯形公式，對積分區(qū)間[0，1]二分了11次用2049個函數(shù)值，才可得到7位準確數(shù)字。用Romberg公式對區(qū)間二分3次，用了9個函數(shù)值，得到同樣的結(jié)果。用Gauss公式僅用了3個函數(shù)值，就得到結(jié)果。數(shù)值分析第4章數(shù)值微積分4.4Gauss型求積公式與正交多項式4.4.2Gauss型求積公式第4章數(shù)值微積分4.4Gauss型求積公式與正交多項式4.4.2Gauss型求積公式第4章數(shù)值微積分4.4Gauss型求積公式與正交多項式4.4.2Gauss型求積公式第4章數(shù)值微積分4.4Gauss型求積公式與正交多項式4.4.2Gauss型求積公式第4章數(shù)值微積分4.4Gauss型求積公式與正交多項式4.4.2Gauss型求積公式第4章數(shù)值微積分4.5數(shù)值微分第4章數(shù)值微積分4.5數(shù)值微分第4章數(shù)值微積分4.5數(shù)值微分第4章數(shù)值微積分4.5數(shù)值微分第4章數(shù)值微積分4.5數(shù)值微分第4章數(shù)值微積分4.5數(shù)值微分第4章數(shù)值微積分4.5數(shù)值微分第4章數(shù)值微積分4.5數(shù)值微分第4章數(shù)值微積分4.5數(shù)值微分第4章數(shù)值微積分4.5數(shù)值微分第4章數(shù)值微積分4.5數(shù)值微分第4章數(shù)值微積分4.5數(shù)值微分第4章數(shù)值微積分4.5數(shù)值微分第4章數(shù)值微積分4.5數(shù)值微分第4章數(shù)值微積分4.5數(shù)值微分第4章數(shù)值微積分4.5數(shù)值微分第4章數(shù)值微積分4.5數(shù)值微分第4章數(shù)值微積分4.5數(shù)值微分第4章數(shù)值微積分4.5數(shù)值微分第4章數(shù)值微積分4.5數(shù)值微分第4章數(shù)值微積分4.5數(shù)值微分第4章數(shù)值微積分4.5數(shù)值微分第4章數(shù)值微積分4.5數(shù)值微分第4章數(shù)值微積分4.5數(shù)