第6章機(jī)械振動(dòng)

第6章機(jī)械振動(dòng)

振動(dòng)：機(jī)械振動(dòng)：任何一個(gè)物理量隨時(shí)間的周期性變化物體在某一中心位置附近來回往復(fù)運(yùn)動(dòng)。例如一切發(fā)聲體、心臟、海浪起伏、地震以及晶體中原子的振動(dòng)任何復(fù)雜的振動(dòng)都可以看做是由若干個(gè)簡(jiǎn)單而又基本的振動(dòng)的合成。這種簡(jiǎn)單而又基本的振動(dòng)形式稱為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。6.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)6.1.1彈簧振子：

彈簧原長(zhǎng)時(shí)小球m所在位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O.對(duì)小球進(jìn)行受力分析：

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程

其解為：

證明一個(gè)運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的三個(gè)判據(jù)。

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程振幅A：

即振子偏離平衡位置的最大值。

速度：

為速度振幅。

加速度：

為加速度振幅。

6.2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期、頻率和相位1.周期：物體完成一次全振動(dòng)所用的時(shí)間。

2.頻率：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)完成全振動(dòng)的次數(shù)。

一個(gè)周期后，振子振動(dòng)狀態(tài)完全相同角頻率3.相位

初相位：

相位差：兩個(gè)振動(dòng)的相位之差；

設(shè)有兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)：位相或周相確定質(zhì)點(diǎn)在任一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量它們的相位差為：

則兩質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的步調(diào)完全相同。二者同相。（3）當(dāng)時(shí)，振動(dòng)2超前振動(dòng)1；（4）當(dāng)時(shí)，振動(dòng)2落后振動(dòng)1。相位可以用來比較不同物理量變化的步調(diào)

速度的相位比位移的相位超前，加速度的相位比位移的相位超前。則兩質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的步調(diào)完全相反。二者反相。為其它超前落后OT6.2.4由初始條件確定簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅和初相

取已知求討論單擺

小球受到的切向分力為：

規(guī)定在平衡位置右側(cè)為正其解為：

彈簧振子：

單擺：

固有周期復(fù)擺令*（C點(diǎn)為質(zhì)心）CO轉(zhuǎn)動(dòng)正向簡(jiǎn)諧振動(dòng)的實(shí)例分析角諧振動(dòng)扭擺以圓盤為研究對(duì)象在（扭轉(zhuǎn)角）不太大時(shí)，（剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律）令

結(jié)論:在扭轉(zhuǎn)角不太大時(shí)，扭擺的運(yùn)動(dòng)是諧振動(dòng).周期和角頻率為：金屬絲xyz（D為金屬絲的扭轉(zhuǎn)系數(shù)）圓盤受到的力矩為例.一輕彈簧的下端掛一重物，上端固定在支架上，彈簧伸長(zhǎng)量l=9.8cm。如果給物體一個(gè)向下的瞬時(shí)沖擊力，使它具有的向下的速度，它就上下振動(dòng)起來。試證明物體是作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并寫出其振動(dòng)方程式。注意：（1）解題中O點(diǎn)的確定原則：物體保持平衡的位置。（2）解得的初相要結(jié)合初始速度作正確取舍。用旋轉(zhuǎn)矢量確定振動(dòng)初相6.3簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法例.已知一簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移曲線如圖所示，寫出振動(dòng)方程。作出旋轉(zhuǎn)矢量例1

一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅為12cm，周期為2s。當(dāng)t=0時(shí),

位移為6cm，且向x軸正方向運(yùn)動(dòng)。求:(1)振動(dòng)方程；(2)t=0.5s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和加速度；(3)如果在某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于x=-6cm，且向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，從該位置回到平衡位置所需要的時(shí)間。解：設(shè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式為已知：A=12cm,T=2s，初始條件：t=0時(shí)，x0=0.06m,v0

>00.06=0.12cos

振動(dòng)方程：yx設(shè)在某一時(shí)刻

t1，x=-0.06m代入振動(dòng)方程：yx

例2

如圖所示，一輕彈簧的右端連著一物體，彈簧的勁度系數(shù)，物體的質(zhì)量.

（1）把物體從平衡位置向右拉到處停下后再釋放，求簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程；（3）如果物體在處時(shí)速度不等于零，而是具有向右的初速度，求其運(yùn)動(dòng)方程.

（2）求物體從初位置運(yùn)動(dòng)到第一次經(jīng)過處時(shí)的速度；0.05解（1）由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知解

由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知（負(fù)號(hào)表示速度沿軸負(fù)方向）

（2）求物體從初位置運(yùn)動(dòng)到第一次經(jīng)過處時(shí)的速度；解（3）如果物體在處時(shí)速度不等于零，而是具有向右的初速度，求其運(yùn)動(dòng)方程.因?yàn)?，由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知線性回復(fù)力是保守力，作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)機(jī)械能守恒以彈簧振子為例（振幅的動(dòng)力學(xué)意義）6.4簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)能量圖4T2T43T能量能量守恒簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程推導(dǎo)簡(jiǎn)諧振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程的另外一種推導(dǎo)

例質(zhì)量為的物體，以振幅作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其最大加速度為，求：（1）振動(dòng)的周期；

（2）通過平衡位置的動(dòng)能；（3）總能量；（4）物體在何處其動(dòng)能和勢(shì)能相等？解（1）（2）（3）（4）時(shí)，由1）三角函數(shù)法設(shè)一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參加如下兩振動(dòng)：tx結(jié)論：兩個(gè)同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成后仍為同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)6.5簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成6.5.1兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成后仍為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)6.5.1兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成旋轉(zhuǎn)矢量法1）相位差討論相互加強(qiáng)2）相位差相互削弱例

兩個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)曲線(如圖所示)

（1）求合振動(dòng)的振幅；

（2）求合振動(dòng)的振動(dòng)方程。解：xTt33設(shè)合振動(dòng)6.5.2兩個(gè)同方向不同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成6.5.2兩個(gè)同方向不同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成頻率較大而頻率之差很小的兩個(gè)同方向簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成，其合振動(dòng)的振幅時(shí)而加強(qiáng)時(shí)而減弱的現(xiàn)象叫拍.討論,的情況

振幅振動(dòng)頻率拍頻（振幅變化的頻率）兩個(gè)同方向不同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成

相對(duì)于的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度：兩矢量同向重合時(shí)：合振動(dòng)振幅極大合振動(dòng)振幅極小兩矢量反向重合時(shí)：拍的周期：拍頻：6.5.3兩個(gè)相互垂直的同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡1）或討論合振動(dòng)為同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)2）3）用旋轉(zhuǎn)矢量描繪振動(dòng)合成圖簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成圖兩相互垂直同頻率不同相位差6.5.4兩相互垂直不同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成測(cè)量振動(dòng)頻率和相位的方法李薩如圖振幅（或能量）隨時(shí)間逐漸減小的振動(dòng)。能量減小的原因：2）引起鄰近質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)，以波的形式向周圍傳播能量。

1）磨擦或介質(zhì)阻力的存在；摩擦阻尼輻射阻尼6.6阻尼振動(dòng)受迫振動(dòng)共振6.6.1阻尼振動(dòng)Oxx三種阻尼的比較阻尼振動(dòng)位移時(shí)間曲線

a）弱阻尼阻尼振動(dòng)的周期

b）過阻尼

c）臨界阻尼討論：1.阻尼較小時(shí)（），振動(dòng)為減幅振動(dòng)，振幅隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律迅速減少。阻尼越大，減幅越迅速。振動(dòng)周期大于自由振動(dòng)周期。2.阻尼較大時(shí)（），振動(dòng)從最大位移緩慢回到平衡位置，不作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。當(dāng)（）時(shí)，為“臨界阻尼”情況。是質(zhì)點(diǎn)不做往復(fù)運(yùn)動(dòng)的一個(gè)極限。a：小阻尼b：過阻尼c：臨界阻尼

設(shè)想一余弦式驅(qū)動(dòng)力

作用于有阻尼的彈簧振子上6.6.2受迫振動(dòng)系統(tǒng)在周期性的驅(qū)動(dòng)力持續(xù)作用下所發(fā)生的振動(dòng)。xOx則受迫振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)解為：得到A為極大值時(shí)對(duì)應(yīng)的角頻率為：相應(yīng)的最大振幅為：即驅(qū)動(dòng)力頻率等于振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，振幅達(dá)到最大值。對(duì)于弱阻尼的情況：受迫振動(dòng)的相位差：

2.共振對(duì)其求極值解得：當(dāng)策動(dòng)力的頻率與系統(tǒng)的固有頻率相等時(shí)，速度振幅達(dá)到最大值使速度振幅到達(dá)最大值的共振稱為速度共振。受迫振動(dòng)中速度：共振現(xiàn)象的應(yīng)用我國(guó)古代就有大量的應(yīng)用:天壇的回音壁磨擦銅盆時(shí)水的共振表演收音機(jī)：電磁共振；核磁共振儀：核磁共振不利：例如共振時(shí)因?yàn)橄到y(tǒng)振幅過大會(huì)造成機(jī)器設(shè)備的損壞。典型：1940年美國(guó)塔科馬海峽大橋斷塌的部分原因就是大風(fēng)與橋的共振。

1940年，TacomaNarrows大橋在通車4個(gè)月零6天后因大風(fēng)引起扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，又因振動(dòng)頻率接近于大橋的共振頻率而突然坍塌。非線性系統(tǒng)及混沌的基本概念一、小角度單擺的運(yùn)動(dòng)線性系統(tǒng)（數(shù)學(xué)定義）：線性當(dāng)

很小，非線性相圖法：即運(yùn)用一種幾何的方法來討論非線性問題。將質(zhì)點(diǎn)的位置（或角位置）作為橫坐標(biāo)軸；將質(zhì)點(diǎn)的速度（或角速度）作為縱坐標(biāo)軸。相平面：相：某種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相點(diǎn)：在相平面內(nèi)表征運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的一個(gè)點(diǎn)。相跡（相圖）：相點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡（反映運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化）。單擺做小角度擺動(dòng)：

一次積分后單擺作小角度擺動(dòng)時(shí)，其相跡為一正橢圓。封閉的相跡表示運(yùn)動(dòng)是周期性的往復(fù)運(yùn)動(dòng)。C：初始條件決定小角度阻尼擺動(dòng)：一條向內(nèi)旋進(jìn)的螺旋線，曲線最終趨向中心點(diǎn)。吸引子：對(duì)應(yīng)著系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)（中心點(diǎn)）。相圖：小角度受迫擺動(dòng)：

吸引子（極限環(huán)）：對(duì)應(yīng)著系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)（橢圓）。簡(jiǎn)諧振動(dòng)的相圖周期環(huán)阻尼振動(dòng)的相圖不動(dòng)點(diǎn)吸引子受迫振動(dòng)的相圖周期吸引子或極限環(huán)Ol

二、較大角度受迫擺動(dòng)：設(shè)：?jiǎn)沃芷谡駝?dòng)雙周期振動(dòng)混沌四周期振動(dòng)混沌區(qū)結(jié)論：對(duì)于一個(gè)非線性系統(tǒng)，在確定的初始條件下，其解可能