時間序列模型

1

前述的AR(p)、MA(q)和ARMA(p,q)三個模型只適用于刻畫一個平穩(wěn)序列的自相關性。一個平穩(wěn)序列的數(shù)字特征，如均值、方差和協(xié)方差等是不隨時間的變化而變化的，時間序列在各個時間點上的隨機性服從一定的概率分布。也就是說，對于一個平穩(wěn)的時間序列可以通過過去時間點上的信息，建立模型擬合過去信息，進而預測未來的信息。

§5.3非平穩(wěn)時間序列建模

2

然而，對于一個非平穩(wěn)時間序列而言，時間序列的某些數(shù)字特征是隨著時間的變化而變化的。

非平穩(wěn)時間序列在各個時間點上的隨機規(guī)律是不同的，難以通過序列已知的信息去掌握時間序列整體上的隨機性。但在實踐中遇到的經(jīng)濟和金融數(shù)據(jù)大多是非平穩(wěn)的時間序列。3圖5.9中國1978年～2006年的生產(chǎn)法GDP序列4

1.確定性時間趨勢

描述類似圖5.9形式的非平穩(wěn)經(jīng)濟時間序列有兩種方法，一種方法是包含一個確定性時間趨勢

(5.3.1)

其中ut是平穩(wěn)序列；a+t是線性趨勢函數(shù)。這種過程也稱為趨勢平穩(wěn)的，因為如果從式(5.3.1)中減去a+t，結(jié)果是一個平穩(wěn)過程。注意到像圖5.9一類的經(jīng)濟時間序列常呈指數(shù)趨勢增長，但是指數(shù)趨勢取對數(shù)就可以轉(zhuǎn)換為線性趨勢。

§5.3.1非平穩(wěn)序列和單整5

一般時間序列可能存在一個非線性函數(shù)形式的確定性時間趨勢，例如可能存在多項式趨勢：

(5.3.2)

t=1,2,,T

同樣可以除去這種確定性趨勢，然后分析和預測去勢后的時間序列。對于中長期預測而言，能準確地給出確定性時間趨勢的形式很重要。如果yt能夠通過去勢方法排除確定性趨勢，轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列，稱為退勢平穩(wěn)過程。62.差分平穩(wěn)過程非平穩(wěn)序列中有一類序列可以通過差分運算，得到具有平穩(wěn)性的序列，考慮下式

(5.3.3)

也可寫成

(5.3.4)

其中a是常數(shù)，ut是平穩(wěn)序列，若ut

～i.i.d.N(0,

2)，且ut是一個白噪聲序列。若令a=0，y0=0，則由式(5.3.2)生成的序列yt，有var(yt)=t

2（t

=

1,2,,T），顯然違背了時間序列平穩(wěn)性的假設。而式(5.3.3)的差分序列是含位移a的隨機游走，說明yt的差分序列yt是平穩(wěn)序列。7

實際上，在5.1節(jié)中討論的回歸方程的序列自相關問題暗含著殘差序列是一個平穩(wěn)序列。這是因為，如果殘差序列是一個非平穩(wěn)序列，則說明因變量除了能被解釋變量解釋的部分以外，其余的部分變化仍然不規(guī)則，隨著時間的變化有越來越大的偏離因變量均值的趨勢，這樣的模型是不能夠用來預測未來信息的。8

殘差序列是一個非平穩(wěn)序列的回歸被稱為偽回歸，這樣的一種回歸有可能擬合優(yōu)度、顯著性水平等指標都很好，但是由于殘差序列是一個非平穩(wěn)序列，說明了這種回歸關系不能夠真實的反映因變量和解釋變量之間存在的均衡關系，而僅僅是一種數(shù)字上的巧合而已。偽回歸的出現(xiàn)說明模型的設定出現(xiàn)了問題，有可能需要增加解釋變量或者減少解釋變量，抑或是把原方程進行差分，以使殘差序列達到平穩(wěn)。一個可行的辦法是先把一個非平穩(wěn)時間序列通過某種變換化成一個平穩(wěn)序列，根據(jù)5.2節(jié)中的方法建模，并利用變量之間的相關信息，描述經(jīng)濟時間序列的變化規(guī)律。9

3.單整

像前述yt這種非平穩(wěn)序列，可以通過差分運算，得到平穩(wěn)性的序列稱為單整(integration)序列。定義如下：

定義：如果序列yt，通過d次差分成為一個平穩(wěn)序列，而這個序列差分d–1次時卻不平穩(wěn)，那么稱序列yt為d階單整序列，記為yt

～I(d)。特別地，如果序列yt本身是平穩(wěn)的，則為零階單整序列，記為yt

～I(0)。10

單整階數(shù)是使序列平穩(wěn)而差分的次數(shù)。對于上面的隨機游走過程，有一個單位根，所以是I(1)，同樣，平穩(wěn)序列是I(0)。一般而言，表示存量的數(shù)據(jù)，如以不變價格資產(chǎn)總值、儲蓄余額等存量數(shù)據(jù)經(jīng)常表現(xiàn)為2階單整I(2)；以不變價格表示的消費額、收入等流量數(shù)據(jù)經(jīng)常表現(xiàn)為1階單整I(1)；而像利率、收益率等變化率的數(shù)據(jù)則經(jīng)常表現(xiàn)為0階單整I(0)。11

§5.3.2

非平穩(wěn)序列的單位根檢驗

檢查序列平穩(wěn)性的標準方法是單位根檢驗。有6種單位根檢驗方法：ADF檢驗、DFGLS檢驗、PP檢驗、KPSS檢驗、ERS檢驗和NP檢驗，本節(jié)將介紹DF檢驗、ADF檢驗。

ADF檢驗和PP檢驗方法出現(xiàn)的比較早，在實際應用中較為常見，但是，由于這2種方法均需要對被檢驗序列作可能包含常數(shù)項和趨勢變量項的假設，因此，應用起來帶有一定的不便；其它幾種方法克服了前2種方法帶來的不便，在剔除原序列趨勢的基礎上，構(gòu)造統(tǒng)計量檢驗序列是否存在單位根，應用起來較為方便。

12

其中a是常數(shù)，

t是線性趨勢函數(shù)，ut

～i.i.d.N(0,

2)。(5.3.5)(5.3.6)(5.3.7)

1.DF檢驗

為說明DF檢驗的使用，先考慮3種形式的回歸模型

13

(1)如果-1<

<1，則yt平穩(wěn)（或趨勢平穩(wěn)）。

(2)如果=1，yt

序列是非平穩(wěn)序列。(5.3.4)式可寫成：顯然yt

的差分序列是平穩(wěn)的。

(3)如果

的絕對值大于1，序列發(fā)散，且其差分序列是非平穩(wěn)的。14

因此，判斷一個序列是否平穩(wěn)，可以通過檢驗

是否嚴格小于1來實現(xiàn)。也就是說：

原假設H0：

=1，備選假設H1：

<1(5.3.8)(5.3.9)(5.3.10)

從方程兩邊同時減去yt-1得，其中：

=

-1。15

其中：

=

-1，所以原假設和備選假設可以改寫為

可以通過最小二乘法得到的估計值，并對其進行顯著性檢驗的方法，構(gòu)造檢驗顯著性的t統(tǒng)計量。但是，Dickey-Fuller研究了這個t統(tǒng)計量在原假設下已經(jīng)不再服從t分布，它依賴于回歸的形式(是否引進了常數(shù)項和趨勢項)和樣本長度T

。16Mackinnon進行了大規(guī)模的模擬，給出了不同回歸模型、不同樣本數(shù)以及不同顯著性水平下的臨界值。這樣，就可以根據(jù)需要，選擇適當?shù)娘@著性水平，通過t統(tǒng)計量來決定能否拒絕原假設。這一檢驗被稱為Dickey-Fuller檢驗(DF檢驗)。

上面描述的單位根檢驗只有當序列為AR(1)時才有效。如果序列存在高階滯后相關，這就違背了擾動項是獨立同分布的假設。在這種情況下，可以使用增廣的DF檢驗方法（augmentedDickey-Fullertest）來檢驗含有高階序列相關的序列的單位根。

17

2.ADF檢驗

考慮yt存在p階序列相關，用p階自回歸過程來修正，在上式兩端減去yt-1，通過添項和減項的方法，可得其中

18ADF檢驗方法通過在回歸方程右邊加入因變量yt

的滯后差分項來控制高階序列相關

(5.3.11)(5.3.12)(5.3.13)19

擴展定義將檢驗

(5.3.14)

原假設為：至少存在一個單位根；備選假設為：序列不存在單位根。序列yt可能還包含常數(shù)項和時間趨勢項。判斷的估計值是接受原假設或者接受備選假設，進而判斷一個高階自相關序列AR(p)過程是否存在單位根。類似于DF檢驗，Mackinnon通過模擬也得出在不同回歸模型及不同樣本容量下檢驗不同顯著性水平的t統(tǒng)計量的臨界值。這使我們能夠很方便的在設定的顯著性水平下判斷高階自相關序列是否存在單位根。20

但是，在進行ADF檢驗時，必須注意以下兩個實際問題：

（1）必須為回歸定義合理的滯后階數(shù)，通常采用AIC準則來確定給定時間序列模型的滯后階數(shù)。在實際應用中，還需要兼顧其他的因素，如系統(tǒng)的穩(wěn)定性、模型的擬合優(yōu)度等。

（2）可以選擇常數(shù)和線性時間趨勢，選擇哪種形式很重要，因為檢驗顯著性水平的t統(tǒng)計量在原假設下的漸近分布依賴于關于這些項的定義。21

①若原序列中不存在單位根，則檢驗回歸形式選擇含有常數(shù)，意味著所檢驗的序列的均值不為0；若原序列中存在單位根，則檢驗回歸形式選擇含有常數(shù)，意味著所檢驗的序列具有線性趨勢，一個簡單易行的辦法是畫出檢驗序列的曲線圖，通過圖形觀察原序列是否在一個偏離0的位置隨機變動或具有一個線性趨勢，進而決定是否在檢驗時添加常數(shù)項。

②若原序列中不存在單位根，則檢驗回歸形式選擇含有常數(shù)和趨勢，意味著所檢驗的序列具有線性趨勢；若原序列中存在單位根，則檢驗回歸形式選擇含有常數(shù)和趨勢，意味著所檢驗的序列具有二次趨勢。同樣，決定是否在檢驗中添加時間趨勢項，也可以通過畫出原序列的曲線圖來觀察。如果圖形中大致顯示了被檢驗序列的波動趨勢呈非線性變化，那么便可以添加時間趨勢項。22

3.DFGLS檢驗在經(jīng)驗研究中，盡管DF檢驗的DF統(tǒng)計量是應用最廣泛的單位根檢驗，但是它的檢驗功效偏低，尤其是在小樣本條件下，數(shù)據(jù)的生成過程為高度自相關時，檢驗的功效非常不理想。另外，DF檢驗和ADF檢驗對于含有時間趨勢的退勢平穩(wěn)序列的檢驗是失效的。因此，為了改進DF和ADF檢驗的效能，Elliott，Rothenberg和Stock(1996)基于GLS方法的退勢DF檢驗，簡稱為DFGLS檢驗，其基本原理如下：

23

首先定義序列yt的擬差分序列如下：

t=1,2,,T

并且構(gòu)造如下回歸方程：

t=1,2,,T(5.3.14)其中xt

=(1)表示yt中只含有截距項，或xt

=(1,t)表示yt中含有截距項和趨勢項。令表示方程(5.3.14)參數(shù)的最小二乘估計量，在實際計算中通常如下定義參數(shù)a：

24

利用方程(5.3.14)的估計參數(shù)定義退勢后的序列ytd為

t=1,2,,T

然后，對退勢后的序列ytd，應用ADF檢驗，即為DFGLS檢驗。檢驗過程如下：

t=1,2,,T

原假設和備選假設同ADF檢驗一致，為

Elliott，Rothenberg和Stock(1996)給出了不同置信水平下的臨界值，DFGLS檢驗同一般的ADF檢驗一樣是左側(cè)單邊檢驗。25

EViews軟件中單位根檢驗操作說明：

雙擊序列名，打開序列窗口，選擇View/unitRootTest，得到下圖：

單位根檢驗窗口26

進行單位根檢驗必須定義4項：

1．選擇檢驗類型

在Testtype的下拉列表中，選擇檢驗方法。EViews5提供了6種單位根檢驗的方法：①AugmentedDickey-Fuller(ADF)Test②Dickey-FullerGLSTest③Phillips-Perron(PP)Test④Kwiatkowski,Phillips,SchmidtandShin(KPSS)Test⑤Elliot,Rothenberg,andStockPointOptimal(ERS)Test⑥NgandPerron(NP)Test27

2．選擇差分形式在Testforunitrootin中確定序列在水平值、一階差分、二階差分下進行單位根檢驗?？梢允褂眠@個選項決定序列中單位根的個數(shù)。如果檢驗水平值未拒絕，而在一階差分拒絕原假設，序列中含有一個單位根，是一階單整I(1)；如果一階差分后的序列仍然未拒絕原假設，則需要選擇2階差分。一般而言，一個序列經(jīng)過兩次差分以后都可以變?yōu)橐粋€平穩(wěn)序列，也就是二階單整I(2)。28

3．定義檢驗方程中需要包含的選項

在Includeintestequation中定義在檢驗回歸中是否含有常數(shù)項、常數(shù)和趨勢項、或二者都不包含。這一選擇很重要，因為檢驗統(tǒng)計量在原假設下的分布隨這3種情況不同而變化。在什么情況下包含常數(shù)項或者趨勢項，剛才已經(jīng)作了介紹。29

4．定義序列相關階數(shù)

在Laglenth這個選項中可以選擇一些確定消除序列相關所需的滯后階數(shù)的準則。一般而言，EViews默認SIC準則。定義上述選項后，單擊OK進行檢驗。EViews顯示檢驗統(tǒng)計量和估計檢驗回歸。單位根檢驗后，應檢查EViews顯示的估計檢驗回歸，尤其是如果對滯后算子結(jié)構(gòu)或序列自相關階數(shù)不確定，可以選擇不同的右邊變量或滯后階數(shù)來重新檢驗。30

例5.7

檢驗居民消費價格指數(shù)序列的平穩(wěn)性

圖5.9中國1983年1月～2007年8月的CPI（上年=100）序列31

例5.7用AR(1)模型模擬1983年1月～2007年8月居民消費價格指數(shù)一階差分CPI的變化規(guī)律。在用ADF進行單位根檢驗前，需要設定序列的是否含有常數(shù)項或者時間趨勢項。我們可以通過畫出原序列的圖形來判斷是否要加入常數(shù)項或者時間趨勢項。從圖5.7的CPI圖形可以看出不含有線性趨勢項。CPI序列的ADF檢驗結(jié)果(選擇既無常數(shù)項也無趨勢項)如下：32

1983年1月～2007年8月的CPI序列單位根ADF檢驗結(jié)果?？梢钥闯霾荒芫芙^原假設，存在單位根。33

1983年1月～2007年8月的CPI序列單位根DF-GLS檢驗結(jié)果。采用含有常數(shù)和趨勢項的形式。不能拒絕原假設，CPI序列存在單位根。34

檢驗結(jié)果顯示，CPI序列接受原假設，因此，CPI序列是一個非平穩(wěn)的序列。接著再對一階差分CPI序列進行單位根檢驗，ADF檢驗結(jié)果如下：

檢驗結(jié)果顯示，一階差分CPI序列拒絕原假設，接受CPI序列是平穩(wěn)序列的結(jié)論。因此，CPI序列是1階單整序列，即CPI～I(1)。35

例5.9檢驗中國GDP序列的平穩(wěn)性

在圖5.9中，我們可以觀察到1978年～2006年我國GDP（現(xiàn)價，生產(chǎn)法）具有明顯的上升趨勢。在ADF檢驗時選擇含有常數(shù)項和時間趨勢項，由SIC準則確定滯后階數(shù)（p=4）。GDP序列的ADF檢驗如下

：檢驗結(jié)果顯示，GDP序列以較大的P值，即100%的概率接受原假設，即存在單位根的結(jié)論。36

將GDP序列做1階差分，然后對ΔGDP進行ADF檢驗（選擇含有常數(shù)項和時間趨勢項，由SIC準則確定滯后階數(shù)（p=6））如下

：檢驗結(jié)果顯示，ΔGDP序列仍接受存在單位根的結(jié)論。其他檢驗方法的結(jié)果也接受原假設，ΔGDP序列存在單位根，是非平穩(wěn)的。

37

再對ΔGDP序列做差分，則Δ2GDP的ADF檢驗（選擇不含常數(shù)項和趨勢項,由SIC準則確定滯后階數(shù)（p=6））如下：檢驗結(jié)果顯示，二階差分序列Δ2GDP在1%的顯著性水平下拒絕原假設，接受不存在單位根的結(jié)論，因此可以確定GDP序列是2階單整序列，即GDP～I(2)。

38

5.3.3ARIMA模型

1．ARIMA模型的形式

我們已經(jīng)介紹了對于單整序列能夠通過d次差分將非平穩(wěn)序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列。設yt是d階單整序列，即yt～

I(d)，則(5.3.40)

wt為平穩(wěn)序列，即wt～

I(0)，于是可以對wt建立ARMA(p,q)模型(5.3.41)39

用滯后算子表示，則其中

(5.3.42)

經(jīng)過d階差分變換后的ARMA(p,q)模型稱為ARIMA(p,d,q)模型(autoregressiveintegratedmovingaveragemodels)，式（5.3.42）等價于下式(5.3.43)40

估計ARIMA(p,d,q)模型同估計ARMA(p,q)具體的步驟相同，惟一不同的是在估計之前要確定原序列的差分階數(shù)d，對yt進行d階差分。

因此，ARIMA(p,d,q)模型區(qū)別于ARMA(p,q)之處就在于前者的自回歸部分的特征多項式含有d個單位根。因此，對一個序列建模之前，我們應當首先確定該序列是否具有非平穩(wěn)性，這就首先需要對序列的平穩(wěn)性進行檢驗，特別是要檢驗其是否含有單位根及所含有的單位根的個數(shù)。41

2.應用ARIMA(p,d,q)模型建模的過程

Box-Jenkins提出了具有廣泛影響的建模思想，能夠?qū)嶋H建模起到指導作用。Box-Jenkins的建模思想可分為如下4個步驟：（1）對原序列進行平穩(wěn)性檢驗，如果序列不滿足平穩(wěn)性條件，可以通過差分變換（單整階數(shù)為d，則進行d階差分）或者其他變換，如對數(shù)差分變換使序列滿足平穩(wěn)性條件；（2）通過計算能夠描述序列特征的一些統(tǒng)計量（如自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)），來確定ARMA模型的階數(shù)p和q，并在初始估計中選擇盡可能少的參數(shù)；42

（3）估計模型的未知參數(shù)，并檢驗參數(shù)的顯著性，以及模型本身的合理性；（4）進行診斷分析，以證實所得模型確實與所觀察到的數(shù)據(jù)特征相符。

對于Box-Jenkins建模思想的第3、4步，需要一些統(tǒng)計量和檢驗來分析在第2步中的模型形式選擇得是否合適，所需要的統(tǒng)計量和檢驗如下：

（1）檢驗模型參數(shù)顯著性水平的

t統(tǒng)計量；

（2）為保證ARIMA(p,d,q)模型的平穩(wěn)性，模型的特征根的倒數(shù)皆小于1；

（3）模型的殘差序列應當是一個白噪聲序列，可用5.1節(jié)中的檢驗序列相關的方法檢驗。43

在EViews中估計ARIMA模型

可以直接在估計定義式中包含差分算子D。例如：GDP～I(2)，對GDP估計ARIMA(1,2,1)模型，可以輸入列表：

D(GDP,2)car(1)ma(1)

使用因變量差分因子D(GDP)定義模型，EViews將提供水平變量GDP的預測值。44

例5.8用ADF單位根檢驗得到結(jié)論：GDP序列是2階單整序列，即GDP～I(2)。但是檢驗得到GDP的對數(shù)序列l(wèi)n(GDP)是1階單整序列，所以本例建立Δln(GDP)序列的ARIMA模型。首先觀察Δln(GDP)序列的相關圖（圖5.10）。

例5.9建立中國GDP的ARIMA模型

圖5.10Δln(GDP)序列的相關圖45

Δln(GDP)序列的自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)都在1階截尾，則取模型的階數(shù)p=1和q=1，建立ARIMA(1,1,1)模型(時間期間：1978～2004年，2005和2006年實際數(shù)據(jù)不參加建模，留作檢驗）：

46Δln(GDPt)

=0.9Δln(GDPt-1)++0.76

t=(8.98)(5.49)

R2=0.54D.W=2.2

圖5.11Δln(GDP)序列的ARIMA(1,1,1)模型殘差的相關圖

從圖5.11的相關圖中可以看出模型的殘差不存在序列相關，并且模型的各項統(tǒng)計量也很好。47

圖5.12是這個模型的擬合和預測（靜態(tài)）的結(jié)果，其中2005年和2006年為預測結(jié)果。

圖5.12藍線是GDP序列的原數(shù)據(jù)，紅線是模型擬合和預測結(jié)果48§5.4協(xié)整和誤差修正模型

在前面介紹的ARMA模型中要求經(jīng)濟時間序列是平穩(wěn)的，但是由于實際應用中大多數(shù)時間序列是非平穩(wěn)的，通常采用差分方法消除序列中含有的非平穩(wěn)趨勢，使得序列平穩(wěn)化后建立模型，這就是上節(jié)介紹的ARIMA模型。但是變換后的序列限制了所討論經(jīng)濟問題的范圍，并且有時變換后的序列由于不具有直接的經(jīng)濟意義，使得化為平穩(wěn)序列后所建立的時間序列模型不便于解釋。49

1987年Engle和Granger提出的協(xié)整理論及其方法，為非平穩(wěn)序列的建模提供了另一種途徑。雖然一些經(jīng)濟變量的本身是非平穩(wěn)序列，但是，它們的線性組合卻有可能是平穩(wěn)序列。這種平穩(wěn)的線性組合被稱為協(xié)整方程，且可解釋為變量之間的長期穩(wěn)定的均衡關系。

例如，消費和收入都是非平穩(wěn)時間序列，但是具有協(xié)整關系。假如它們不具有，那么長期消費就可能比收入高或低，于是消費者便會非理性地消費或累積儲蓄。50

5.4.1協(xié)整關系

假定一些經(jīng)濟指標被某經(jīng)濟系統(tǒng)聯(lián)系在一起，那么從長遠看來這些變量應該具有均衡關系，這是建立和檢驗模型的基本出發(fā)點。在短期內(nèi)，因為季節(jié)影響或隨機干擾，這些變量有可能偏離均值。如果這種偏離是暫時的，那么隨著時間推移將會回到均衡狀態(tài)；如果這種偏離是持久的，就不能說這些變量之間存在均衡關系。協(xié)整(co-integration)可被看作這種均衡關系性質(zhì)的統(tǒng)計表示。協(xié)整概念是一個強有力的概念。因為協(xié)整允許我們刻畫兩個或多個序列之間的平衡或平穩(wěn)關系。對于每一個序列單獨來說可能是非平穩(wěn)的，這些序列的矩，如均值、方差或協(xié)方差隨時間而變化，而這些時間序列的線性組合序列卻可能有不隨時間變化的性質(zhì)。51

下面給出協(xié)整的定義：

k維向量Y

=(y1，y2，…，yk)的分量間被稱為d,b階協(xié)整，記為Y

～CI(d，b)，如果滿足：

(1)y1，y2，…，yk都是d階單整的，即yi～I(d)，i=1,2,…,k，要求Y

的每個分量yi

～I(d)；

(2)存在非零向量=(1,2,

…,

k

)，使得Y～I(d-b)，0<b≤d。簡稱Y

是協(xié)整的，向量

又稱為協(xié)整向量。

52

需要注意的是：

(1)作為對非平穩(wěn)變量之間關系的描述，協(xié)整向量是不惟一的；

(2)協(xié)整變量必須具有相同的單整階數(shù)；

(3)最多可能存在k-1個線性無關的協(xié)整向量(Y的維數(shù)是k)；

(4)協(xié)整變量之間具有共同的趨勢成分，在數(shù)量上成比例。53

5.4.2

協(xié)整檢驗

協(xié)整檢驗從檢驗的對象上可以分為兩種：一種是基于回歸系數(shù)的協(xié)整檢驗，如Johansen協(xié)整檢驗；另一種是基于回歸殘差的協(xié)整檢驗，如CRDW檢驗、DF檢驗和ADF檢驗。

本節(jié)將主要介紹Engle和Granger（1987）提出的協(xié)整檢驗方法。這種協(xié)整檢驗方法是對回歸方程的殘差進行單位根檢驗。從協(xié)整理論的思想來看，自變量和因變量之間存在協(xié)整關系。54

也就是說，因變量能被自變量的線性組合所解釋，兩者之間存在穩(wěn)定的均衡關系，因變量不能被自變量所解釋的部分構(gòu)成一個殘差序列，這個殘差序列應該是平穩(wěn)的。

因此，檢驗一組變量（因變量和解釋變量）之間是否存在協(xié)整關系等價于檢驗回歸方程的殘差序列是否是一個平穩(wěn)序列。通常地，可以應用上節(jié)中的ADF檢驗來判斷殘差序列的平穩(wěn)性，進而判斷因變量和解釋變量之間的協(xié)整關系是否存在。55

檢驗的主要步驟如下：（1）若k個序列y1t

和y2t，y3t，…，ykt都是1階單整序列，建立回歸方程模型估計的殘差為

56

（2）檢驗殘差序列?t是否平穩(wěn)，也就是判斷序列?t是否含有單位根。通常用ADF檢驗來判斷殘差序列?t是否是平穩(wěn)的。

（3）如果殘差序列?t是平穩(wěn)的，則可以確定回歸方程中的k個變量（y1t，y2t，y3t，…，ykt）之間存在協(xié)整關系，并且協(xié)整向量為；否則（y1t，y2t，y3t，…，ykt）之間不存在協(xié)整關系。57

協(xié)整檢驗的目的是決定一組非平穩(wěn)序列的線性組合是否具有協(xié)整關系，也可以通過協(xié)整檢驗來判斷線性回歸方程設定是否合理、穩(wěn)定，這兩者的檢驗思想和過程是完全相同的。利用ADF的協(xié)整檢驗方法來判斷殘差序列是否平穩(wěn)，如果殘差序列是平穩(wěn)的，則回歸方程的設定是合理的，說明回歸方程的因變量和解釋變量之間存在穩(wěn)定的均衡關系。反之，說明回歸方程的因變量和解釋變量之間不存在穩(wěn)定均衡的關系，即便參數(shù)估計的結(jié)果很理想，這樣的一個回歸也是沒有意義的，模型本身的設定出現(xiàn)了問題，這樣的回歸是一個偽回歸。58為了描述財政支出和財政收入之間是否存在協(xié)整關系，本例選擇1990年1月～2007年12月的月度數(shù)據(jù)進行實證分析，其中用f_ext表示財政支出，f_int表示財政收入。首先利用X-12季節(jié)調(diào)整方法對這2個指標進行季節(jié)調(diào)整，去掉季節(jié)因素，然后取對數(shù)，發(fā)現(xiàn)取對數(shù)后呈線性變化。單位根檢驗發(fā)現(xiàn)序列l(wèi)n(f_ext)和ln(f_int)是非平穩(wěn)的，一階差分以后是平穩(wěn)，即ln(f_ext)和ln(f_int)均是I(1)序列。

例5.10財政支出和財政收入的協(xié)整關系檢驗59

左圖是去掉季節(jié)因素的財政收入和財政支出的對數(shù)圖形右圖是去掉季節(jié)因素和不規(guī)則因素的財政收入和財政支出的對數(shù)圖形60

第一步，建立如下回歸方程：

估計后得到

t=(760.92)R2

=0.976

D.W.=1.37

61第二步，對上式的殘差進行單位根檢驗，由回歸方程估計結(jié)果可得

對?t進行單位根檢驗，選擇無截距項、也無趨勢項的檢驗模型，由SIC信息準則確定滯后階數(shù)為2，其結(jié)果如下：62

檢驗結(jié)果顯示，殘差序列?t

在1%的顯著性水平下拒絕原假設，因此可以確定?t為平穩(wěn)序列，即?t～I(0)。上述結(jié)果表明：1990年1月～2007年12月期間ln(f_ext)和ln(f_int)之間存在協(xié)整關系，即是CI(1,1)的，協(xié)整向量為(1，1.01)。

63

5.4.3誤差修正模型

誤差修正這個術語最早是由Sargen(1964)提出的，但是誤差修正模型基本形式的形成是在1978年由Davidson、Hendry等提出的。傳統(tǒng)的經(jīng)濟模型通常表述的是變量之間的一種“長期均衡”關系，而實際經(jīng)濟數(shù)據(jù)卻是由“非均衡過程”生成的。因此，建模時需要用數(shù)據(jù)的動態(tài)非均衡過程來逼近經(jīng)濟理論的長期均衡過程。最一般的模型是自回歸分布滯后模型(autoregressivedistributedlag，ADL)。64

如果一個內(nèi)生變量yt

只被表示成同一時點的外生變量

xt的函數(shù)，xt對yt

的長期影響很容易求出。然而如果每個變量的滯后也出現(xiàn)在模型之中，其長期影響將通過分布滯后的函數(shù)反映，這就是ADL模型。先考慮一階自回歸分布滯后模型，記為ADL(1,1)

(5.4.3)65

其中：ut

～i.i.d.(0,

2)，記y*=E(yt)，x*=E(xt)

，由于E(ut)

=0，在式(5.4.3)兩邊取期望得進而有

(5.4.4)(5.4.5)66

記k0=

0/(1-1)，k1=(

2+3)

/(1-1)

，則式(5.4.5)可寫為(5.4.6)

其中：k1

度量了yt與xt

的長期均衡關系，也是yt

關于xt的長期乘數(shù)。67

在式(5.4.3)兩端減去yt-1，在右邊加減2xt-1

得到：

(5.4.7)

利用2+3=k1(1-1)，

0=k0(1-1)，式(5.4.7)又可改寫成

(5.4.8)

令

=1-1，則式(5.4.8)可寫成68

上式稱為誤差修正模型(errorcorrectionmodel，簡記ECM)。當長期平衡關系是y*=k0+k1x*時，誤差修正項是如(yt-k0-k1xt)

的形式，它反映了yt關于xt

在第

t時點的短期偏離。一般地，由于式(5.4.3)中|1|<1

，所以誤差項的系數(shù)

=(1-1)<0，通常稱為調(diào)整系數(shù)，表示在t-1