量子力學：23-全同粒子

量子力學薛定諤圖像與海森堡圖像全同粒子波函數的交換對稱性

第11講目錄一、薛定諤圖像與海森堡圖像二、全同粒子三、波函數的交換對稱性

四、例題一、薛定諤圖像與海森堡圖像（1）1、經典力學和量子力學中的力學量

經典力學中，處于一定狀態(tài)下的每一個力學量，若，在每一時刻都有確定值。

量子力學中，處于某一狀態(tài)下的某個力學量，在每一時刻，不一定有確定值，除非在該時刻量子態(tài)是該力學量的本征態(tài)。一、薛定諤圖像與海森堡圖像（2）2、力學量的平均值隨時間演化

當體系每個時刻波函數給定后，對于力學量可以確定的只有測值概率分布和平均值。平均值隨時間演化：平均值：結論：1、若則：

2、若則：（任意狀態(tài)下）

一、薛定諤圖像與海森堡圖像（3）3、薛定諤圖像

注意：若，但是其平均值以及測值概率分布是時間的函數，根源在于，波函數是隨時間演化的。算符本身不隨時間演化波函數隨時間演化

力學量平均值以及測值概率分布隨時間演化完全歸因于波函數隨時間演化。薛定諤圖像（picture，繪景）一、薛定諤圖像與海森堡圖像（4）4、時間演化算符

定義一個時間演化算符，形式上表示的解：

給出了和初態(tài)聯系起來的一個變換。幺正性概率守恒一、薛定諤圖像與海森堡圖像（5）5、海森堡圖像

隨時間的變化，可以完全由算符來承擔，而態(tài)矢量保持為，不隨時間變化。海森堡圖像（繪景）時間演化方程：一、薛定諤圖像與海森堡圖像（6）6、總結

薛定諤圖像（繪景）：態(tài)矢量隨時間演化，力學量算符不隨時間變化。

海森堡圖像（繪景）

：態(tài)矢量不隨時間演化，力學量算符隨時間演化。

相互作用圖像（繪景）

：態(tài)矢量和力學量算符均隨時間演化。（處理存在相互作用情況）二、全同粒子（1）1、定義

具有完全相同的內稟屬性（靜質量，電荷，自旋，磁矩，壽命等）的粒子稱為全同粒子。全同性與量子性是緊密相聯的！

經典力學：粒子的性質和狀態(tài)可連續(xù)變化，因此很難找到兩個粒子是全同的。

量子力學：粒子狀態(tài)是量子化的，兩個量子態(tài)要么完全相同，要么完全不同。沒有中間狀態(tài)過渡。三、波函數的交換對稱性（1）1、交換對稱性

考慮氦原子中兩個電子所組成的體系，哈密頓量：

兩個電子交換，不變。

交換對稱性：在由全同粒子組成的多粒子體系中，任何可觀測量，特別是哈密頓量，對于任何兩個粒子交換是不變的。換句話說，對于全同粒子多體系，任何兩個粒子交換不改變其體系的量子態(tài)。交換算符是守恒量

交換不變性由于體系具有交換不變性，時經交換后演化到，應等于演化到再進行交換，即

由于的任意性，所以

由于任意

即

是運動常數。

A.

由于是一運動常數，因此一開始體系處于某種交換對稱態(tài)下，則以后任何時刻都處于這態(tài)下；

B.與其他運動常數根本不同之處在于，體系要么處對稱態(tài)，要么處于反對稱態(tài).C.實驗表明：具有自旋為半整數的粒子體系。當兩粒子交換，波函數反號，即處于反對稱態(tài)；而自旋為整數的粒子，兩者交換，波函數不變，即處于對稱態(tài)。

三、波函數的交換對稱性（2）2、交換算符（1）

考慮N個全同粒子組成體系，波函數：

定義交換算符，表示i

粒子坐標和j粒子坐標交換。

事實上，和描述的是同一量子態(tài)，因為組成體系的N個粒子是全同粒子，所有粒子的內稟屬性完全相同。為常數因子

表示第i個粒子的全部坐標三、波函數的交換對稱性（3）2、交換算符（2）

有且只有兩個本征值：對稱波函數反對稱波函數

根據交換算符的本征方程，由全同粒子所組成的多粒子體系，其交換對稱性要求任意兩個粒子交換后，要么對稱，要么反對稱。三、波函數的交換對稱性（4）3、兩個全同粒子組成的體系（1）

考慮兩個全同粒子（無相互作用），哈密頓量：交換簡并；和形式上完全相同。的本征值方程:設兩個粒子中有一個處于態(tài)，另一個處于態(tài)上述兩個波函數還不一定具有交換對稱性。三、波函數的交換對稱性（5）3、兩個全同粒子組成的體系（2）

對于波色子（自旋為整數倍的粒子，遵守波色統(tǒng)計），波函數對于粒子交換總是對稱的：（a）：歸一化對稱波函數為：（b）：歸一化對稱波函數為：兩（多）個全同的波色子可以處于一個單粒子態(tài)。（激光原理：光子的簡并。）三、波函數的交換對稱性（6）3、兩個全同粒子組成的體系（3）

對于費米子（自旋為半奇數倍的粒子，遵守費米統(tǒng)計），波函數對于粒子交換總是反對稱的：（a）：歸一化反對稱波函數為：（b）：歸一化對稱波函數為：

泡利不相容原理：不允許有兩個全同的費米子處于同一個粒子態(tài)。三、波函數的交換對稱性（7）4、N個全同費米子組成的體系（1）

首先考慮3個全同費米子（無相互作用），處于三個不同的單粒子態(tài)：，和。反對稱波函數寫為：反對稱化算符三、波函數的交換對稱性（8）4、N個全同費米子組成的體系（2）N個全同費米子組成的體系，分別處于態(tài)下，反對稱波函數為：

表示N個粒子的一個置換。N個粒子分別排列在N個單粒子態(tài)，共有N！個排列，所以有N！個置換。奇置換：，偶置換三、波函數的交換對稱性（9）4、N個全同波色子組成的體系（1）

由于波色子不受泡利不相容原理的限制，即多個波色子可處于相同的單粒子態(tài)，設個波色子處在態(tài)上，

對稱的多粒子波函數表示為:

只對處于不同單粒子態(tài)上的粒子進行對換，這種置換共有

歸一化的對稱波函數寫為：四、例題（1）（a）：沒有交換對稱性，兩個粒子波函數為：

設有兩個全同的自由粒子，都處于動量本征態(tài)。分三種情況討論它們在空間的相對距離的概率分布。

令：相對坐標，質心坐標

相對動量，總動量

逆變換：四、例題（2）

由于只討論相對運動，所以只保留相對運動波函數：

在距離一個粒子在的球殼內找到另一個粒子的概率：

為概率密度。四、例題（3）（b）：交換反對稱性波函數為，當粒子1和2交換時，不變，，反對稱相對運動波函數為

在距離一個粒子在的球殼內找到另一個粒子的概率：四、例題（4）（c）：交換對稱性波函數為，當粒子1和2交換時，不變，，對稱相對運動波函數為

在距離一個粒子在的球殼內找到另一個粒子的概率：四、例題（5）

全同粒子相對距離的概率分布與其波函數的交換對稱性有關，為可觀測效應！四、量子力學的五個基本假定基本假定Ⅰ：波函數假定微觀粒子的狀態(tài)可以被一個波函數完全描述，從這個波函數可以得出體系的所有性質。波函數一般滿足連續(xù)性、有限性和單值性三個條件。說明：波函數一般是粒子坐標和時間的復函數，波函數的模方代表粒子空間分布的概率密度。

量子力學的五個基本假定基本假定Ⅱ：力學量算符假定力學量用線性Hermite算符表示。如果在經典力學中有相應的力學量，則在量子力學中表示這個力學量的算符，由經典表示式中將動量換為動量算符得出。表示力學量的算符有組成完全系的本征函數。量子力學的五個基本假定基本假定Ⅲ：本征值概率及平均值假定將體系的狀態(tài)波函數用算符的本征函數展開

則在態(tài)中測量力學量F得到結果為的幾率是，測量結果在范圍內的幾率是。

在任意狀態(tài)上，力學量的平均值