高中數(shù)學高考一輪復習一輪復習 第三節(jié) 直線平面平行的判定與性質(zhì)

課時作業(yè)(四十)直線、平面平行的判定與性質(zhì)1．(多選)對于不重合的兩個平面α與β，給定下列條件中，可以判定α與β平行的條件有()A．存在平面γ，使得α，β都平行于γB．存在平面γ，使得α，β都垂直于γC．α內(nèi)有不共線的三點到β的距離相等D．存在異面直線l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥βAD[若存在平面γ，使得α，β都平行于γ；兩個平面平行，所以A正確．存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；可以判定α與β平行，如正方體的底面與相對的側(cè)面．也可能α與β不平行．B不正確．C不能判定α與β平行．如α面內(nèi)不共線的三點不在β面的同一側(cè)時，此時α與β相交；D可以判定α與β平行．∵可在α面內(nèi)作l′∥l，m′∥m，則l′與m′必相交．又∵l∥β，m∥β，∴l(xiāng)′∥β，m′∥β，∴α∥β.故選AD.]2.(多選)如圖所示，P為矩形ABCD所在平面外一點，矩形對角線交點為O，M為PB的中點，下列結(jié)論正確的是()A．OM∥PDB．OM∥平面PCDC．OM∥平面PDAD．OM∥平面PBAABC[對于A，由于O為BD的中點，M為PB的中點，則OM∥PD，故A正確；對于B，由于OM∥PD，OM?平面PCD，PD?平面PCD，則OM∥平面PCD，故B正確；對于C，由于OM∥PD，OM?平面PAD，PD?平面PAD，則OM∥平面PAD，故C正確；對于D，由于M∈平面PAB，故D錯誤．故選ABC.]3.(2023·湖南長郡中學質(zhì)檢)如圖所示的三棱柱ABC-A1B1C1中，過A1B1的平面與平面ABC交于DE，則DE與AB的位置關(guān)系是()A．異面B．平行C．相交D．以上均有可能B[在三棱柱ABCA1B1C1中，AB∥A1B1，AB?平面ABC，A1B1?平面ABC，所以A1B1∥平面ABC，因為過A1B1的平面與平面ABC交于DE，所以DE∥A1B1，所以DE∥AB.故選B項．]4.已知P為△ABC所在平面外一點，平面α∥平面ABC，且α分別交線段PA，PB，PC于點A′，B′，C′.若PA′∶AA′＝2∶3，則S△A′B′C′∶S△ABC＝()A．2∶3 B．2∶5C．4∶9 D．4∶25D[∵平面α∥平面ABC，∴AB∥平面α.又∵平面α∩平面PAB＝A′B′，∴A′B′∥AB.∵PA′∶AA′＝2∶3，∴PA′∶PA＝2∶5，∴A′B′＝AB＝2∶5，∴eq\f(S△A′B′C′,S△ABC)＝(eq\f(A′B′,AB))2＝eq\f(4,25).故選D.]5.如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，E為AD的中點，F(xiàn)為PC上一點，當PA∥平面EBF時，eq\f(PF,FC)＝()A．eq\f(2,3) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)D[如圖，連接AC交BE于G，連接FG，因為PA∥平面EBF，PA?平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，所以PA∥FG，所以eq\f(PF,FC)＝eq\f(AG,GC).又AD∥BC，E為AD的中點，所以eq\f(AG,GC)＝eq\f(AE,BC)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(PF,FC)＝eq\f(1,2).]6.如圖是長方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為________．解析：∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理，EH∥FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形．答案：平行四邊形7．(開放型)設(shè)α，β，γ是三個平面，a，b是兩條不同直線，有下列三個條件：①a∥γ，b?β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a?γ.如果命題“α∩β＝a，b?γ，且________，則a∥b”為真命題，則可以在橫線處填入的條件是________(填序號).解析：由面面平行的性質(zhì)定理可知，①正確；當b∥β，a?γ時，a和b在同一平面內(nèi)，且沒有公共點，所以平行，③正確．故應(yīng)填入的條件為①或③.答案：①或③8．在三棱錐P-ABC中，PB＝6，AC＝3，G為△PAC的重心，過點G作三棱錐的一個截面，使截面平行于PB和AC，則截面的周長為________．解析：過點G作EF∥AC，分別交PA，PC于點E，F(xiàn)，過E，F(xiàn)分別作EN∥PB，F(xiàn)M∥PB，分別交AB，BC于點N，M，連接MN，則四邊形EFMN是平行四邊形(面EFMN為所求截面)，且EF＝MN＝eq\f(2,3)AC＝2，F(xiàn)M＝EN＝eq\f(1,3)PB＝2，所以截面的周長為2×4＝8.答案：89．在如圖所示的一塊木料中，棱BC平行于平面A′B′C′D′.(1)要經(jīng)過平面A′B′C′D′內(nèi)的一點P和棱BC將木料鋸開，應(yīng)怎樣畫線？(2)所畫的線與平面ABCD是什么位置關(guān)系？并證明你的結(jié)論．解析：(1)過點P作B′C′的平行線，分別交A′B′，C′D′于點E，F(xiàn)，連接BE，CF.如圖所示．(2)EF∥平面ABCD.理由如下：因為BC∥平面A′B′C′D′.又因為平面B′C′CB∩平面A′B′C′D′＝B′C′.所以BC∥B′C′，因為EF∥B′C′，所以EF∥BC.又因為EF?平面ABCD，BC?平面ABCD.所以EF∥平面ABCD.10．如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC的邊長AB＝1，側(cè)棱長為eq\f(\r(3),2)，P是A1B1的中點，E，F(xiàn)，G分別是AC，BC，PC的中點．(1)求異面直線FG與BB1所成角的大小；(2)求證：平面EFG∥平面ABB1A．解析：(1)連接PB.∵G，F(xiàn)分別是PC，BC的中點，∴GF∥BP，∴直線PB與BB1所成角即異面直線FG與BB1所成角．在Rt△PB1B中，由PB1＝eq\f(1,2)，BB1＝eq\f(\r(3),2)，可得tan∠PBB1＝eq\f(PB1,BB1)＝eq\f(\r(3),3)，∴異面直線FG與BB1所成角的大小為30°.(2)證明：由(1)易得，直線FG∥平面ABB1A1，∵E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點，∴EF∥AB.又AB?平面ABB1A1，EF?平面ABB1A1，∴EF∥平面ABB1A1.∵EF∩FG＝F，EF?平面EFG，GF?平面EFG.∴平面EFG∥平面ABB1A1.11．(多選)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點，下列四個推斷中正確的是()A．FG∥平面AA1D1DB．EF∥平面BC1D1C．FG∥平面BC1D1D．平面EFG∥平面BC1D1AC[∵在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點，∴FG∥BC1，∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，∵FG?平面AA1D1D，AD1?平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故A正確；∵EF∥A1C1，A1C1與平面BC1D1相交，∴EF與平面BC1D1相交，故B錯誤；∵E，F(xiàn)，G分別是A1B1，B1C1，BB1的中點，∴FG∥BC1，∵FG?平面BC1D1，BC1?平面BC1D1，∴FG∥平面BC1D1故C正確；∵EF與平面BC1D1相交，∴平面EFG與平面BC1D1相交，故D錯誤．故選AC.]12．(開放型)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點，設(shè)Q是CC1上的點，則點Q滿足條件________時，有平面D1BQ∥平面PAO.解析：如圖所示，假設(shè)Q為CC1的中點，因為P為DD1的中點，所以QB∥PA．連接DB，因為P，O分別是DD1，DB的中點，所以D1B∥PO，又D1B?平面PAO，QB?平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.故點Q滿足條件Q為CC1的中點時，有平面D1BQ∥平面PAO.答案：Q為CC1的中點13．如圖，四邊形ABCD與ADEF為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點．(1)求證：BE∥平面DMF；(2)求證：平面BDE∥平面MNG.解析：(1)如圖，連接AE.則AE必過DF與GN的交點O，連接MO，則MO為△ABE的中位線，所以BE∥MO.又BE?平面DMF，MO?平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因為N，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點，所以DE∥GN.又DE?平面MNG，GN?平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M為AB的中點，所以MN為△ABD的中位線，所以BD∥MN，又BD?平面MNG，MN?平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE與BD為平面BDE內(nèi)的兩條相交直線，所以平面BDE∥平面MNG.14．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2CD＝2AD＝4，側(cè)面PAB是等腰直角三角形，PA＝PB，平面PAB⊥平面ABCD.點E，F(xiàn)分別是棱AB，PB上的點，平面CEF∥平面PAD.(1)確定點E，F(xiàn)的位置，并說明理由；(2)求三棱錐F-DCE的體積．解析：(1)因為平面CEF∥平面PAD，平面CEF∩平面ABCD＝CE，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以CE∥AD.又AB∥DC，所以四邊形AECD是平行四邊形，所以DC＝AE＝eq\f(1,2)AB.即點E是AB的中點．因為平面CEF∥平面PAD，平面CEF∩平面PAB＝EF，平面PAD∩平面PAB＝PA，所以EF∥PA，又點E是AB的中點，所以點F是PB的中點，綜上，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點．(2)連接PE，由題意及(1)知PA＝PB，AE＝EB，所以PE⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以PE⊥平面ABCD.又AB∥CD，AB⊥AD，所以VF-DEC＝eq\f(1,2)，VP-DEC＝eq\f(1,6)S△DEC×PE＝eq\f(1,6)×eq\f(1,2)×2×2×2＝eq\f(2,3).15．(多選)如圖，透明塑料制成的長方體容器ABCD-A1B1C1D1內(nèi)灌進一些水，固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，下列說法正確的是()A．沒有水的部分始終呈棱柱形B．水面EFGH所在四邊形的面積為定值C．棱A1D1始終與水面所在的平面平行D．當容器傾斜如圖所示位置時，BE·BF是定值A(chǔ)CD[由題圖，顯然A項正確，B項錯誤；對于C項，因為A1D1∥BC，BC∥FG，所以A1D1∥FG且A1D1?平面EFGH，所以A1D1∥平面EFGH(水面)，所以C項正確；因為水是定量的(定體積V)，所以S△BEF·BC＝V，即eq\f(1,2)BE·BF·BC＝V，所以BE·BF＝eq\f(2V,BC)(定值)，即D項正確，故選ACD項．]16．如圖所示，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1的中點，P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)一點，若A1P∥平面AEF，則線段A1P長度的取值范圍是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(5),2))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)，\f(\r(5),2)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，\r(2))) D．[eq\r(2)，eq\r(3)]B[取B1C1的中點M，BB1的中點N，連接A1M，A1N，MN，可以證明平面A1MN∥平面AEF，所以點P位于線段MN上．因為A1M＝A1N＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(5),2)，MN＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(2),2)，所以當點P位于M，N點時，A1P最大，