高中數(shù)學(xué)人教A版第三章函數(shù)的應(yīng)用 課時(shí)作業(yè)26

課時(shí)作業(yè)(二十六)一次函數(shù)與二次函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)模型1．一天，亮亮發(fā)燒了，早晨他燒得很厲害，吃過(guò)藥后感覺(jué)好多了，中午時(shí)亮亮的體溫基本正常，但是下午他的體溫又開(kāi)始上升，直到半夜亮亮才感覺(jué)身上不那么發(fā)燙．下列各圖中能基本上反映出亮亮這一天(0時(shí)～24時(shí))體溫的變化情況的是()答案：C解析：觀察圖象A，體溫逐漸降低，不合題意；圖象B不能反映“下午體溫又開(kāi)始上升”；圖象D不能體現(xiàn)“下午體溫又開(kāi)始上升”與“直到半夜才感覺(jué)身上不那么發(fā)燙”．故選C.2．某城市出租汽車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：起步價(jià)為6元，行程不超過(guò)2千米者均按此價(jià)收費(fèi)；行程超過(guò)2千米，超過(guò)部分按3元/千米收費(fèi)(不足1千米按1千米計(jì)價(jià))；另外，遇到堵車或等候時(shí)，汽車雖沒(méi)有行駛，但仍按6分鐘折算1千米計(jì)算(不足1千米按1千米計(jì)價(jià))．陳先生坐了一趟這種出租車，車費(fèi)24元，車上儀表顯示等候時(shí)間為11分30秒，那么陳先生此趟行程的取值范圍是()A．[5,6)B．(5,6]C．[6,7)D．(6,7]答案：B解析：設(shè)陳先生此趟行程為x千米(x∈Z)，則6＋(x－2)×3＋2×3＝24，得x＝6.故實(shí)際行程應(yīng)屬于區(qū)間(5,6]．3．生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費(fèi)用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個(gè)月生產(chǎn)某種商品x萬(wàn)件時(shí)的生產(chǎn)成本為C(x)＝eq\f(1,2)x2＋2x＋20(萬(wàn)元).1萬(wàn)件售價(jià)是20萬(wàn)元，為了獲取更大利潤(rùn)，該企業(yè)一個(gè)月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為()A．18萬(wàn)件B．20萬(wàn)件C．16萬(wàn)件D．8萬(wàn)件答案：A解析：利潤(rùn)L(x)＝20x－C(x)＝－eq\f(1,2)(x－18)2＋142，當(dāng)x＝18時(shí)，L(x)有最大值．4．若鐳經(jīng)過(guò)100年后剩留原來(lái)質(zhì)量的%，設(shè)質(zhì)量為1的鐳經(jīng)過(guò)x年后剩留量為y，則x，y的函數(shù)關(guān)系是()A．y＝6)eq\s\up15(eq\f(x,100))B．y＝6)100xC．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f6,100)))xD．y＝1－4)eq\s\up15(eq\f(x,100))答案：A解析：設(shè)鐳一年放射掉其質(zhì)量的t%，則有%＝1·(1－t%)100，t%＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f,100)))eq\s\up15(eq\f(1,100))，∴y＝(1－t%)x＝6)eq\s\up15(eq\f(x,100)).5．把長(zhǎng)為12cm的細(xì)鐵絲截成兩段，各自圍成一個(gè)正三角形，那么這兩個(gè)正三角形面積之和的最小值是()\f(3\r(3),2)cm2 B．4cm2C．3eq\r(2)cm2 D．2eq\r(3)cm2答案：D解析：設(shè)其中一段長(zhǎng)為xcm，則另一段長(zhǎng)為(12－x)cm.∴S＝eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)))2＋eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(x,3)))2＝eq\f(\r(3),18)(x－6)2＋2eq\r(3)≥2eq\r(3).6．某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品x噸所需費(fèi)用為P元，而賣出x噸的價(jià)格為每噸Q元，已知P＝1000＋5x＋eq\f(1,10)x2，Q＝a＋eq\f(x,b)，若生產(chǎn)出的產(chǎn)品能全部賣出，且當(dāng)產(chǎn)量為150噸時(shí)利潤(rùn)最大，此時(shí)每噸的價(jià)格為40元，則有()A．a(chǎn)＝45，b＝－30 B．a(chǎn)＝30，b＝－45C．a(chǎn)＝－30，b＝45 D．a(chǎn)＝－45，b＝－30答案：A解析：設(shè)生產(chǎn)x噸產(chǎn)品全部賣出，獲利潤(rùn)為y元，則y＝xQ－P＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(x,b)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1000＋5x＋\f(1,10)x2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－\f(1,10)))x2＋(a－5)x－1000(x＞0)．由題意，當(dāng)x＝150時(shí)，y取最大值，此時(shí)Q＝40，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a－5,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－\f(1,10))))＝150，,a＋\f(150,b)＝40，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝45，,b＝－30.))7．衣柜里的樟腦丸，隨著時(shí)間會(huì)揮發(fā)而體積縮小，剛放進(jìn)的新丸體積為a，經(jīng)過(guò)t天后體積V與天數(shù)t的關(guān)系式為V＝a·e－kt.已知新丸經(jīng)過(guò)50天后，體積變?yōu)閑q\f(4,9)a.若一個(gè)新丸體積變?yōu)閑q\f(8,27)a，則需經(jīng)過(guò)的天數(shù)為()A．125B．100C．75D．50答案：C解析：由已知，得eq\f(4,9)a＝a·e－50k，∴e－k＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))eq\s\up15(eq\f(1,50)).設(shè)經(jīng)過(guò)t1天后，一個(gè)新丸體積變?yōu)閑q\f(8,27)a，則eq\f(8,27)a＝a·e－kt1，∴eq\f(8,27)＝(e－k)t1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))eq\s\up15(eq\f(t1,50))，∴eq\f(t1,50)＝eq\f(3,2)，t1＝75.二、填空題8．如圖所示，某池塘中浮萍蔓延的面積y(m2)與時(shí)間t(月)的關(guān)系為y＝at，有以下幾種說(shuō)法：①這個(gè)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為2；②第5個(gè)月時(shí)，浮萍面積就會(huì)超過(guò)30m2③浮萍從4m2蔓延到12m2④浮萍每月增加的面積都相等．其中所有正確命題的序號(hào)是________．答案：①②解析：由圖象，t＝2時(shí)，y＝4，∴a2＝4，故a＝2，①正確；當(dāng)t＝5時(shí)，y＝25＝32＞30，②正確；當(dāng)y＝4時(shí)，由4＝2t1，知t1＝2，當(dāng)y＝12時(shí)，由12＝2t2，知t2＝log212＝2＋log23，t2－t1＝log23≠，故③錯(cuò)誤；浮萍每月增長(zhǎng)的面積不相等，實(shí)際上增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，④錯(cuò)誤．9．已知大氣壓P(百帕)與海拔高度h(米)的關(guān)系式為P＝1000·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,100)))eq\s\up15(eq\f(h,3000))，則海拔6000米處的大氣壓為_(kāi)_______百帕．答案：解析：將h＝6000，代入P＝1000·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,100)))eq\s\up15(eq\f(h,3000))，得P＝1000×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,100)))2＝(百帕)．10．一個(gè)人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時(shí)25%的速度減少，為了保障交通安全，某地根據(jù)《道路交通安全法》規(guī)定：駕駛員血液中的酒精含量不得超過(guò)mg/mL，那么，一個(gè)喝了少量酒后的駕駛員，至少經(jīng)過(guò)________小時(shí)才能開(kāi)車．(精確到1小時(shí))答案：5解析：設(shè)至少經(jīng)過(guò)x小時(shí)才能開(kāi)車，由題意，得(1－25%)x≤，∴≤，x≥三、解答題11．如圖，△OAB是邊長(zhǎng)為2的正三角形，記△OAB位于直線x＝t(t>0)左側(cè)的圖形的面積為f(t)，試求函數(shù)f(t)的解析式．解：OB所在的直線方程為y＝eq\r(3)x.當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，由x＝t，求得y＝eq\r(3)t，所以f(t)＝eq\f(\r(3),2)t2；當(dāng)t∈(1,2]時(shí)，f(t)＝eq\r(3)－eq\f(\r(3),2)(2－t)2；當(dāng)t∈(2，＋∞)時(shí)，f(t)＝eq\r(3).∴f(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)t2，t∈0，1]，,\r(3)－\f(\r(3),2)2－t2，t∈1，2]，,\r(3)，t∈2，＋∞.))12．大西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵．記鮭魚的游速為v(m/s)，鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為Q，研究中發(fā)現(xiàn)v與log3eq\f(Q,100)成正比，且當(dāng)Q＝900時(shí)，v＝1.(1)求出v關(guān)于Q的函數(shù)解析式；(2)計(jì)算一條鮭魚的游速是1.5m/s時(shí)耗氧量的單位數(shù)；(3)一條鮭魚要想把游速提高1m/s，其耗氧量的單位數(shù)應(yīng)怎樣變化？解：(1)設(shè)v＝k·log3eq\f(Q,100)，∵當(dāng)Q＝900時(shí)，v＝1，∴1＝k·log3eq\f(900,100)，∴k＝eq\f(1,2)，∴v關(guān)于Q的函數(shù)解析式為v＝eq\f(1,2)log3eq\f(Q,100).(2)令v＝，則＝eq\f(1,2)log3eq\f(Q,100)，∴Q＝2700，故一條鮭魚的游速是1.5m/s時(shí)耗氧量為2700個(gè)單位．(3)設(shè)鮭魚耗氧量為Q1，Q2時(shí)，游速分別為v1，v2，由題意v2－v1＝1，即eq\f(1,2)log3eq\f(Q2,100)－eq\f(1,2)log3eq\f(Q1,100)＝1.∴eq\f(1,2)log3eq\f(Q2,Q1)＝1，∴eq\f(Q2,Q1)＝9，即Q2＝9Q1.故鮭魚要想把游速提高1m/s，其耗氧量單位數(shù)應(yīng)變?yōu)樵瓉?lái)的9倍．13．某漁場(chǎng)魚群的最大養(yǎng)殖量為8噸，為保證魚群的生長(zhǎng)空間，實(shí)際的養(yǎng)殖量x要小于8，留出適當(dāng)?shù)目臻e量，空閑量與最大養(yǎng)殖量的比值叫空閑率．已知魚群的年增加量y(噸)和實(shí)際養(yǎng)殖量x(噸)與空閑率的乘積成正比，設(shè)比例系數(shù)k>0.(1)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并指出定義域；(2)求魚群年增長(zhǎng)量的最大值；(3)當(dāng)魚群年增長(zhǎng)量達(dá)到最大值時(shí)，求k的取值范圍．解：(1)已知實(shí)際養(yǎng)殖量為x噸，年增長(zhǎng)量為y噸，則空閑量為(8－x)噸，空閑率為eq\f(8－x,8)，由此可以建立目標(biāo)函數(shù)y＝k·x·eq\f(8－x,8)＝－eq\f(k,8)x2＋kx(k>0)．所以y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝－eq\f(k,8)x2＋kx，定義域?yàn)?0,8)．(2)y＝－eq\f(k,8)x2＋kx＝－eq\f(k,8)(x－4)2＋2k，又x∈(0,8)．所以當(dāng)x＝4時(shí)，y有最大值2k.即當(dāng)實(shí)際養(yǎng)殖量為4噸時(shí)，魚群的年增長(zhǎng)量達(dá)到最大值，為2k噸．(3)由題意得0<2k＋4<8，解得－2<k<2，又k>0，于是0<k<2.所以k的取值范圍是(0,2)．尖子生題庫(kù)14．已知甲、乙兩個(gè)工廠在今年的1月份的利潤(rùn)都是6萬(wàn)元，且乙廠在2月份的利潤(rùn)是8萬(wàn)元．若甲、乙兩個(gè)工廠的利潤(rùn)(萬(wàn)元)與月份x之間的函數(shù)關(guān)系式分別符合下列函數(shù)模型：f(x)＝a1x2－4x＋6(a1∈R)，g(x)＝a23x＋b(a2，b∈R)．(1)求函數(shù)f(x)與g(x)的解析式；(2)求甲、乙兩個(gè)工廠今年5月份的利潤(rùn)；(3)在同一直角坐標(biāo)系下畫出函數(shù)f(x)與g(x)的草圖，并根據(jù)草圖比較今年1至10月份甲、乙兩個(gè)工廠的利潤(rùn)的大小情況．解：(1)依題意，由f(1)＝6，解得a1＝4，∴f(x)＝4x2－4x＋6.又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g1＝6，,g2＝8，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a2＋b＝6，,9a2＋b＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a