高中數(shù)學(xué)人教A版3第一章計數(shù)原理二項式定理 二項式定理教學(xué)設(shè)計（何磊）

20232023年全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課展示與培訓(xùn)活動課題：§1.（人教A版高中課標(biāo)教材數(shù)學(xué)選修2-3）教學(xué)設(shè)計河北正定中學(xué)何磊《二項式定理》教學(xué)設(shè)計一、教學(xué)內(nèi)容解析《二項式定理》是人教A版選修2-3第一章第三節(jié)的知識內(nèi)容，它是初中學(xué)習(xí)的多項式乘法的繼續(xù)．在計數(shù)原理之后學(xué)習(xí)二項式定理，一方面是因為它的證明要用到計數(shù)原理，可以把它作為計數(shù)原理的一個應(yīng)用，另一方面也是解決整除、近似計算、不等式證明的有力工具，同時也是后面的數(shù)學(xué)期望等內(nèi)容的基礎(chǔ)知識，二項式定理起著承上啟下的作用．另外，由于二項式系數(shù)是一些特殊的組合數(shù)，利用二項式定理可進(jìn)一步深化對組合數(shù)的認(rèn)識．總之，二項式定理是綜合性較強(qiáng)的、具有聯(lián)系不同內(nèi)容作用的知識．二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置新課標(biāo)指出教學(xué)目標(biāo)應(yīng)體現(xiàn)學(xué)生學(xué)會知識與技能的過程也同時成為學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，形成正確價值觀的過程．新課標(biāo)要求：用計數(shù)原理分析，，的展開式，歸納類比得到二項式定理，并能用計數(shù)原理證明．掌握二項展開式的通項公式，解決簡單問題；學(xué)會討論二項式系數(shù)性質(zhì)的方法．根據(jù)新課標(biāo)的理念及本節(jié)課的教學(xué)要求，制定了如下教學(xué)目標(biāo)：1.學(xué)生在二項式定理的發(fā)現(xiàn)推導(dǎo)過程中，掌握二項式定理及推導(dǎo)方法、二項展開式、通項公式的特點，并能運用二項式定理計算或證明一些簡單的問題．2.學(xué)生經(jīng)歷二項式定理的探究過程，體驗“從特殊到一般發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從一般到特殊指導(dǎo)實踐”的思想方法，獲得觀察、歸納、類比、猜想及證明的理性思維探究能力．3.通過二項展開式的探究，培養(yǎng)學(xué)生積極主動、勇于探索、不斷創(chuàng)新的精神，感受合作探究的樂趣，感受數(shù)學(xué)內(nèi)在的和諧、對稱美及數(shù)學(xué)符號應(yīng)用的簡潔美．結(jié)合數(shù)學(xué)史，激發(fā)學(xué)生愛國熱情和民族自豪感．三、學(xué)情分析１．有利因素授課對象是高二的學(xué)生，具有一般的歸納推理能力，思維較活躍，初步具備了用聯(lián)系的觀點分析問題的能力．學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)了計數(shù)原理和排列組合的知識，對本節(jié)展開式中各項系數(shù)的研究會有很大幫助．２．不利因素本節(jié)內(nèi)容思維量較大，對思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和分類討論、歸納推理等能力有較高要求，學(xué)生學(xué)習(xí)起來有一定難度．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，大部分學(xué)生習(xí)慣于重視定理、公式的結(jié)論，而不重視其形成過程．四、教法策略分析遵循“以學(xué)生為主體、教師是數(shù)學(xué)課堂活動的組織者、引導(dǎo)者和參與者”的現(xiàn)代教育原則，采用“啟發(fā)式教學(xué)法”，學(xué)生主要采用“探究式學(xué)習(xí)法”，并利用多媒體輔助教學(xué)．本課以問題的提出、問題的解決為主線，始終在學(xué)生知識的“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)置問題，倡導(dǎo)學(xué)生主動參與，通過不斷探究、發(fā)現(xiàn)，在師生互動、生生互動中，完成二項式定理的探究，讓學(xué)習(xí)過程成為學(xué)生心靈愉悅的主動認(rèn)知過程．五、教學(xué)過程創(chuàng)設(shè)情境創(chuàng)設(shè)情境引入課題感知體驗探究歸納知識建構(gòu)形成定理回顧反思?xì)w納總結(jié)鞏固新知提升能力（一）創(chuàng)設(shè)情境引入課題引入：通過“牛頓發(fā)現(xiàn)二項式定理”的歷史引入課題．提出問題：？？？那么……的展開式是什么？【設(shè)計意圖】學(xué)生的學(xué)習(xí)遵循“歷史發(fā)生原理”，把二項式定理發(fā)現(xiàn)的歷史融入新課導(dǎo)入，既能引起學(xué)生的興趣，符合新課程理念，還能提升課堂品味．創(chuàng)設(shè)有效的數(shù)學(xué)情景能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為學(xué)生提供良好的學(xué)習(xí)環(huán)境．?dāng)?shù)學(xué)的來源，一是來自數(shù)學(xué)外部現(xiàn)實社會的發(fā)展需要；二是來自數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾，即數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要．這個問題將“多項式展開有哪些項”包含其中，為后面的研究做好鋪墊．（二）體驗感知探究歸納1．歸納特點總結(jié)規(guī)律．問題1：問題1：觀察下列展開式，歸納猜想的展開式有怎樣的規(guī)律？生：n次式展開有n+1項生：展開式中每一項都是n次式生：系數(shù)對稱相等，第一項系數(shù)是1，第二項的系數(shù)是n生：楊輝三角師：我們主要從展開式的哪些方面來發(fā)現(xiàn)的這些規(guī)律？生：項數(shù)，項，系數(shù)．【設(shè)計意圖】由特殊到一般的歸納總結(jié)，離不開大量特殊實例的觀察．只有將大量具體實例進(jìn)行整體和局部多方面的分析，才能得到接近一般性規(guī)律的結(jié)論．也只有對得出各種結(jié)論進(jìn)行整合，才能讓學(xué)生順暢的抓住展開過程的兩個要點，即項的結(jié)構(gòu)和項的系數(shù)，才能讓學(xué)生有目的的進(jìn)一步進(jìn)行探討和分析．2．項的結(jié)構(gòu)特點．問題2：問題2：展開式中各項是如何得到的？（學(xué)生敘述展開過程中各項是如何形成的．如果學(xué)生的敘述中沒有說明從每個因式中取一個字母相乘得到展開式的項，老師提出預(yù)備問題：展開式的各項是由同一個因式中的字母相乘得到的嗎？）師：根據(jù)多項式乘法法則，的展開式就是從每個因式中任取一項相乘得到展開式的項．【設(shè)計意圖】多項式乘法法則是展開式的運算基礎(chǔ)，同時也為用組合數(shù)表示系數(shù)創(chuàng)設(shè)情境．而學(xué)生對于多項式乘法法則的理論敘述不夠順暢．通過教師強(qiáng)調(diào)多項式乘法法則，讓學(xué)生思維建立舊知識與新知識聯(lián)系，為下面系數(shù)的確定做好鋪墊．3．項的系數(shù)特點．問題3：問題3：展開式各項的系數(shù)是如何確定的？師：根據(jù)多項式乘法法則，各項的形成過程就是有關(guān)計數(shù)原理的問題．而各項的系數(shù)，就是展開過程中該項出現(xiàn)的個數(shù)．【設(shè)計意圖】本節(jié)課的重點就是利用多項式的乘法法則和計數(shù)原理對展開式中各項進(jìn)行分析．該問題的提出，符合學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律，能準(zhǔn)確地檢驗學(xué)生對問題分析能力和解決方法的掌握，突出體現(xiàn)本節(jié)課的思維方法．（三）知識建構(gòu)形成定理問題4問題4：請寫出的展開式．——二項式定理證明：是n個相乘，每個在相乘時，有兩種選擇，選a或選b，由分步計數(shù)原理可知展開式共有項（包括同類項），其中每一項都是的形式，對于每一項，它是由k個選了b，n－k個選了a得到的，它出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從n個中取k個b的組合數(shù)，將它們合并同類項，就得二項展開式，這就是二項式定理．二項式定理的公式特征：①展開式中每一項的次數(shù)都是；②展開式共項；③按照字母降冪排列，次數(shù)由遞減到0，字母升冪排列，次數(shù)由0遞增到；④是展開式的第項；叫二項展開式的通項，用表示．⑤各項的系數(shù)叫二項式系數(shù)．【設(shè)計意圖】先由學(xué)生獨立完成，然后組織討論．完成有特殊到一般的歸納過程，訓(xùn)練學(xué)生的類比、聯(lián)想、歸納的探究能力．在討論過程中要明確每一項的形式及相應(yīng)的個數(shù)．（四）鞏固新知提升能力試一試試一試：例1例1：請寫出的展開式．例2例2：求的展開式中第6項的二項式系數(shù)．想一想：求展開式第6項的系數(shù)．練習(xí)練習(xí)：請寫出的展開式中的系數(shù)．【設(shè)計意圖】通過例題讓學(xué)生熟悉二項展開式及其通項，區(qū)分二項式系數(shù)和系數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生的運算能力．設(shè)計題目考察學(xué)生的學(xué)習(xí)情況,各個題目設(shè)計的比較有梯度，逐漸加大難度，符合學(xué)生的認(rèn)知水平．（五）回顧反思?xì)w納總結(jié)知識方面：二項式定理，通項，二項式系數(shù)；思想方法：從特殊到一般；觀察——歸納——類比——猜想——證明．【設(shè)計意圖】小結(jié)可以鍛煉學(xué)生的概括能力、語言表達(dá)能力，可以使