醫(yī)藥高等數(shù)學函數(shù)解析

醫(yī)藥高等數(shù)學函數(shù)解析實數(shù)、區(qū)間與鄰域1.1函數(shù)常量與變量1.1.3函數(shù)的定義隱函數(shù)單值函數(shù)和多值函數(shù)函數(shù)的定義2/6/202321.1.4反函數(shù)基本初等函數(shù)奇偶性初等函數(shù)單調(diào)性復合函數(shù)有界性周期性1.1.6分段函數(shù)1.1.7函數(shù)的簡單性質(zhì)1.1.5初等函數(shù)1.1函數(shù)2/6/202331.1.1實數(shù)、區(qū)間與鄰域1.實數(shù)實數(shù)由有理數(shù)和無理數(shù)兩部分組成，全體實數(shù)可以用數(shù)軸上點的坐標來表示，每一實數(shù)構(gòu)成的集合稱為實數(shù)集。實數(shù)必是數(shù)軸上某一點的坐標，反之，數(shù)軸上沒一點的坐標必是一個實數(shù)。每一實數(shù)集與數(shù)軸上的全體點形成一一對應的關(guān)系。2/6/202342.區(qū)間區(qū)間是指介于某兩個數(shù)之間的全體在數(shù)軸上，區(qū)間是介于某兩個點之間實數(shù)，而這兩個數(shù)叫做區(qū)間的端點。的一條線段上點的全體，兩點間的距離也就是線段的長度，稱為區(qū)間的長度。區(qū)間可以分成以下幾類：開區(qū)間，閉區(qū)間，半開區(qū)間2/6/20235上述區(qū)間都稱為有限區(qū)間.如果區(qū)間的兩個端點中至少有一個是(無限數(shù)）例如則稱該區(qū)間為無限區(qū)間。都是無限區(qū)間.全體實數(shù)構(gòu)成的集合R可記作也是無限區(qū)間在以上區(qū)間中，由于a，b是兩個實數(shù)，因此2/6/202363.鄰域我們把以點為中心，某一很小的正數(shù)稱為在后面的章節(jié)中經(jīng)常會用到一種特殊的開為半徑的開區(qū)間區(qū)間，稱之為鄰域。的鄰域，其中點，即記為稱為該鄰域的中心，稱為該鄰域的半徑。正數(shù)2/6/20237將點的全體，即的一切點x距離小于表示與點鄰域鄰域，記為的去心所得到的的實數(shù)全體，稱為點鄰域中去掉中心點，即稱為稱為其中的2/6/202381.1.2常量與變量1.常量在某一現(xiàn)象或過程中始終保持同一數(shù)值不變的量稱為常量。2/6/202392.變量在某一現(xiàn)象或過程中量有變化，可以取不注意一個量是常量還是變量不是絕的，同的數(shù)值，這種量稱為變量。常量與變量是相對“場合”而言的。2/6/2023101.1.3函數(shù)的定義1.函數(shù)的定義數(shù)集D叫做這個函數(shù)的定義域因變量自變量2/6/202311注意：函數(shù)的兩要素為：定義域和對應法則兩個函數(shù)f(x)，g(x)相等是指：它們定義域相同，且對于定義域內(nèi)任意一點x，都有f(x)=g(x)2/6/202312（1）函數(shù)的定義域的確定函數(shù)的定義域D通常按以下兩種情形確定：①當函數(shù)是用抽象的算式（解析式）表達②當函數(shù)在實際中應用時，其定義域不僅要使構(gòu)成的集合。時，其定義域是使算式有意義的一切實數(shù)函數(shù)的表達式有意義，還要有實際意義來確定。其定義域是2/6/202313對應法則---函數(shù)的表示法列表法圖像法解析法（2）函數(shù)對應法則的表達形式2/6/202314函數(shù)的表達主要是用解析法，下面舉一個解析法表達的函數(shù)例假設(shè)16歲以上的成年人每天服用某藥物的劑該函數(shù)的定義域是，但在定義域的不同區(qū)間上，函數(shù)關(guān)系是用兩個解析式表示的。量Q是2mg，而16歲以下的未成年人每天服用該藥物的劑量Q與年齡t成正比，比例系數(shù)為歲，則劑量Q與年齡t的函數(shù)關(guān)系為2/6/2023152.單值函數(shù)和多值函數(shù)在函數(shù)定義1-1中，如果自變量x在D內(nèi)任取一個值，對應的函數(shù)值y總是唯一的，這樣的函數(shù)又確定了一個稱為單值函數(shù)，否則稱為多值函數(shù)注意：在本書中，若無特殊說明，所稱的函數(shù)例如在方程都有兩個y值與之對應中，對于每一個以x為自變量、y為因變量的多值函數(shù).因此，方程都是單值函數(shù).2/6/2023163.隱函數(shù)稱這種方式表達的函數(shù)為顯函數(shù)。如果因變量y是用x的明顯表達式表示出來的，而有些函數(shù)的表達方式卻不是這樣，因變量與系隱含在這個方程中，這樣的函數(shù)稱為隱函數(shù)。自變量的對應關(guān)系是由一個方程確定的，函數(shù)關(guān)都是隱函數(shù).例如2/6/202317如果變量y與x滿足一個方程那么就說方程當變量x取某區(qū)間內(nèi)的任一值時相應地總有滿足這方程的y值與之對應，在該區(qū)間內(nèi)確定了以x為自變量y為因變量的隱函數(shù).在一定條件下，有些隱函數(shù)可以化成顯函數(shù)，但顯化有時很困難，甚至不可能。2/6/2023181.1.4反函數(shù)定義1-2量，哪個是因變量并不是絕對的，要根據(jù)所研究一個叫做因變量，但在實際問題中，哪個是自變的具體問題而定。在函數(shù)定義中的兩個自變量，一個叫做自變量，反函數(shù)的一般定義如下：都有唯一的且滿足如果對于每一個設(shè)f(x)是定義在D上的一個函數(shù)，值域為W.2/6/202319關(guān)系式x

的與之對應，則確定了一個定義在W上、以y為自變量、x為因變量的新函數(shù)，稱為y=f(x)

的反函數(shù)，記為互為反函數(shù)而原來的函數(shù)y=f(x)稱為直接函數(shù)，或稱它們我們通常用x表示自變量，y表示因變量這時我們說因此，可以把改寫為是y=f(x)的反函數(shù)。2/6/202320表示變量y和x的同一種函數(shù)關(guān)系，y=f(x)和的圖形以y=x為軸翻轉(zhuǎn)它們的圖形是同一條曲線；y=f(x)

注意：就得到的圖形.也就是說它們的圖形是關(guān)于y=x對稱。2/6/202321見圖1-1圖1-12/6/202322例求下列函數(shù)的反函數(shù)：由改變變量的記號，即得到反函數(shù)為：由y=5x+6，解得（1）y=5x+6，解得改變變量的記號，即得到反函數(shù)為：解：（2）（1）2/6/202323注1：并不是任何函數(shù)y=f(x)

都有反函數(shù)，因為對于y的某些值，滿足y=f(x)這一條件的x值可能不止一個.有些函數(shù)的反函數(shù)存在，但不一定能夠注2：用一個顯函數(shù)表示出來，即由y=f(x)可能解不出x=g(y),

但反函數(shù)存在，這時y=f(x)

的反函數(shù)表示為隱函數(shù)形式.2/6/2023241.1.5初等函數(shù)1.基本初等函數(shù)2.復合函數(shù)3.初等函數(shù)

2/6/202325冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)六類函數(shù)：1.基本初等函數(shù)常函數(shù)、2/6/2023261.基本初等函數(shù)常函數(shù)常函數(shù)的定義域為它的圖形是一條水平直線。2/6/202327冪函數(shù)冪函數(shù)的定義域依例如而定，的定義域為的定義域為的定義域為的定義域為但不論取何值，當x>0時，它總是有定義的，其圖象都經(jīng)過(1,1)點.為實數(shù)與與1.基本初等函數(shù)2/6/202328冪函數(shù)為實數(shù)1.基本初等函數(shù)2/6/2023291.基本初等函數(shù)2/6/202330指數(shù)函數(shù)不論a為何值，函數(shù)圖象均經(jīng)過(0,1)點.定義域值域當a>1時，ax單調(diào)增；當0<a<1時，ax單調(diào)減.1.基本初等函數(shù)2/6/202331對數(shù)函數(shù)不論a為何值，函數(shù)圖象均過(1,0)點.定義域值域當a>1時，logax嚴格單增；當0<a<1時，logax

嚴格單減.1.基本初等函數(shù)2/6/202332三角函數(shù)常用的包括以下幾種：有界函數(shù)(1)正弦函數(shù)y

=sinx.定義域值域奇函數(shù)，周期1.基本初等函數(shù)2/6/202333有界函數(shù)（2）余弦函數(shù)y

=cosx.定義域值域偶函數(shù)，周期1.基本初等函數(shù)2/6/202334（3）正切函數(shù)

y=tanx定義域值域奇函數(shù)，周期1.基本初等函數(shù)2/6/202335（4）余切函數(shù)

y=cotx定義域值域奇函數(shù)，周期1.基本初等函數(shù)2/6/202336反三角函數(shù)反三角函數(shù)是三角函數(shù)的反函數(shù).由于三角函數(shù)都是周期函數(shù)，故對于值域的每個y值，與之對應的x值有無窮多個，因此，在三角函數(shù)的整個定義域上，其反函數(shù)是不存在的,必須限制在三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間上才能建立反三角函數(shù).1.基本初等函數(shù)2/6/202337記為故其反函數(shù)存在，稱此反函數(shù)為反正弦函數(shù)奇函數(shù)，單調(diào)增.（1）反正弦函數(shù)正弦函數(shù)y

=sinx，在上單調(diào)增，定義域值域1.基本初等函數(shù)2/6/202338記為故其反函數(shù)存在，稱此反函數(shù)為反余弦函數(shù),單調(diào)減.（2）反余弦函數(shù)余弦函數(shù)y

=cosx，在上單調(diào)減，其定義域值域1.基本初等函數(shù)2/6/202339（3）反正切函數(shù)記為故其反函數(shù)存在，稱此反函數(shù)為反正切函數(shù)，奇函數(shù)，單調(diào)增。正切函數(shù)y

=tanx，在上單調(diào)增，其定義域值域1.基本初等函數(shù)2/6/202340（4）反余切函數(shù)記為故其反函數(shù)存在，稱此反函數(shù)為反余切函數(shù)單調(diào)減.余切函數(shù)y

=cotx，在其定義域值域上單調(diào)減，1.基本初等函數(shù)2/6/2023412.復合函數(shù)掌握：復合?分解f(u)稱為外函數(shù)，g(x)稱為內(nèi)函數(shù)，u稱為中間變量.2/6/202342例（1）設(shè)則故與可以復合成復合函數(shù)：復合注兩個函數(shù)y=f(u)與u=g(x)可復合成復合函數(shù)當且僅當2/6/202343注（2）設(shè)則故與不能復合成復合函數(shù).求兩個函數(shù)的復合函數(shù)，實際上就是將外函數(shù)表達式中的自變量用內(nèi)函數(shù)表達式來代替，從而得到復合函數(shù)的表達式.2/6/202344例已知求f(x－1),f(－x)解：已知外函數(shù)和內(nèi)函數(shù)，求復合函數(shù)的問題，直接代入即可.2/6/202345解：故有求f(x).令解得反函數(shù)為因為從而例已知2/6/202346解例2/6/202347綜上所述2/6/202348把一個復合函數(shù)分解成幾個簡單的函數(shù)很重要，分解的關(guān)鍵是分解出來的簡單函數(shù)都是基本初等函數(shù)或是由基本初等函數(shù)經(jīng)過四則運算得到的函數(shù)(簡單函數(shù)）．分解將下列復合函數(shù)分解為簡單函數(shù)例#2/6/2023493.初等函數(shù)由常數(shù)和五類基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算與有限次的復合所得到的且僅用一個解析式表示的函數(shù)，統(tǒng)稱為初等函數(shù).本書中討論的函數(shù)基本上都是初等函數(shù)．例如：注并非所有函數(shù)都是初等函數(shù).2/6/2023501.1.6分段函數(shù)在定義域的不同部分內(nèi)用不同的解析式表示的函數(shù)，稱為分段函數(shù)。但這也不是絕對的，例如分段函數(shù)一般不是初等函數(shù).2/6/202351注用解析式表示函數(shù)，并不要求函數(shù)在整個集上，函數(shù)表達式不一樣.如例中的符號函數(shù)y=sgnx

這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù).定義域D上有統(tǒng)一的解析表達式，在D不同子#2/6/202352注2分段函數(shù)的解析式不只一個，但它是一個函數(shù)，其定義域是各段之并.圖象分段就是分段函數(shù).分段函數(shù)的圖像應分段作出，但不要認為#2/6/2023535.函數(shù)的簡單性質(zhì)（1）單調(diào)性（2）奇偶性（3）周期性（4）有界性2/6/202354xyoxyo（1）單調(diào)性2/6/202355偶函數(shù)yxox-x（2）奇偶性2/6/202356奇函數(shù)yxox-x2/6/202357例例解：2/6/202358（通常說周期函數(shù)的周期是指