立體幾何常見(jiàn)垂直模型

立體幾何常見(jiàn)垂直模型高考對(duì)空間幾何體的位置關(guān)系的考查主要為平行和生宜的講明，包括線我的平行與垂直,線西的平行與垂直，面面的平行與垂直擊種證明，主要限證明的序式出現(xiàn)在解答題中，同時(shí)也可潴以命題正誤判斷的渺占出現(xiàn)在小題中口空間的關(guān)系無(wú)非包括線線，?線面「面面三種，平行的證明比較容易掌握亡垂宜的證明卻讓很多同學(xué)深感航航r那么我/門(mén)就從定理出發(fā)，到思考垂直證明問(wèn)題的眼■維模尤，到常見(jiàn)垂直的模型一一講來(lái)口卡.續(xù)編垂直關(guān)系,①定義：若兩直線成9爐角，則這兩直線互相垂直）②一條百線與兩條平行直線中的一條垂直，也必與另一條垂直,即若力，妥3則注，次③一條直霰垂直于一個(gè)平面，則垂直于這4平面內(nèi)的任意一條直線?,即若&」一口小匚-aJ_b.裂.線而垂直關(guān)系V位定義；若一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直，則這條直線和這個(gè)平面垂直,中②如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面,即若mCdnCa：.fimA^D,l_Lm,】,_Ln』則1_L口…③如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于同一平面.即若1#敘得1%則1_LQ.￥④一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于需一個(gè)平面，即若明〃E」1_LB,則11at.+J⑤如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面，即若口_LS,aD為二口，1仁為，1.1a,1±a.+J⑥如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，則它們的交線也垂直于第三個(gè)平面，即若U±丁，B_L￥，且aflS=口，則el_L￥.+13,面面垂直關(guān)系干①定義：兩個(gè)平面相交，加果所感的二面角是直二面角，那名這兩個(gè)平面互相垂直，即二面角ci—a—§=9。*0R_L0.V②如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一汴平面的一條垂線，那幺這兩個(gè)平面互相垂直,即若1_L0,L匚篇，則工日.v③若有個(gè)平面垂直于兩個(gè)平符平面中的一個(gè).也垂直于另一個(gè).即若支—0,r_Ly-，則B_1_千，?將上述定理和性質(zhì)歸納如下，/線線口岫線面口鼬面面&⑴線面垂直的判定已鉆工mc⑴線面垂直的判定已鉆工mcTn（z口，mfin=B;1J_mj1J_n,則⑵線面垂直的性質(zhì);若/A文附a則/人網(wǎng)』（各）面面垂直的判定占若』J"s,糖b3]&=R則以八bw⑷面面垂直的性質(zhì)】若立八b,?】垢,苴則47g【例1】已知三棱錐￡一ABC中，ZABC=9口、酮壕S￡_L底面ABCAf±SC7.AE±SBD事證士EF±SCnPtW]---AFlSCc^-要證Zf±SC:*寰正SC_L平面ALE〃麋正SC」AE（如圖1）…S'/BClAB,BC1SA,,'BC_L平面SAB,小nS3是SC在平面S.AB上的射哥口尸障鼠KE_LS居汜知），JEFqC一喏法提姆：看懂這道題容易，但同學(xué)們自己如何才能想得到應(yīng)該這樣做才是真正的問(wèn)題所在！心記住二這類題如墨思路有阻，應(yīng)從要證明的目標(biāo)入手倒著分析，并且這里面的證明無(wú)非就是線線，線面.面面之間相互倒,且以線線口線面居多。“例如本題思考?的過(guò)程應(yīng)如下：。要證EF_LBC即要證冢，面；^.已知推/c即要證式，證即票證JVE_L面見(jiàn)12揪?已先撇立即要證此心匚即要證BC±ffiSAB揪,殷聯(lián)J即得證…逡種思路應(yīng)勤加練習(xí)進(jìn)行強(qiáng)化，養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣1尸[例2]（20W東城期末）如圖，四棱錐S-月3c。的底面是正方形，M_L平面MCD.工口=.2,月0=0,W是SZL上的點(diǎn).求證：AC±BE.川K解析】連結(jié)33.因?yàn)榈酌嬉睠門(mén)是正方形所以AC±BD.v因?yàn)橐賍L平面泡/已白，上1。平面&＜2），平所以月C1班,3又因?yàn)棰蚚19田=。工所以月仃，平面3as.4因?yàn)?總?cè)势矫嫠?再3_1￡在。K例輔（天津理）如圖，在四棱錐F-H3CD中，凡4_L底面3C。，一ABAC.LCD,￡AEC=對(duì),PA=AB=BC,3是FC的中點(diǎn).w⑴證明（2”證明?￡）_L平面理在；山I解析】11＞證四：在四犢鍵F—WECD中，因P4_L底面盤(pán)U。，CDu平面〃「￡）,故E4_LCD.3,.■AC1CD,PAC\AC=Af，CD_L平面FW亡.3而月豆匚平面E4C,，CD」一月且.心（如證明：由F工二＜3=HC*/且5c下以*,可得/C二兩.,,,.因是產(chǎn)二的中點(diǎn)1/■AEA.PC.打由.（I）知，工E_L切，且F^nC白二CS所以麴，平面FCD而產(chǎn)白匚平面FCD,,■,4?_LH?,=---融_L底面ABCD,ED在底面ABCD內(nèi)的射影是拉＞：?AB±.￡W,'.AB±PD."^'''ABC\AS=A,綜上得正￡）_1平面兒?E.J點(diǎn)常見(jiàn)模型/掌握上面思路后，就通過(guò)了第一道障礙，但在實(shí)際解題過(guò)程中要會(huì)遇到的第二道障礙就是如何去證明線線垂直,因?yàn)槲覀儠?huì)發(fā)現(xiàn)其實(shí)證明線面和面面垂直都會(huì)最終轉(zhuǎn)化為證明線線垂直的詞題.下面我們就將常見(jiàn)的模型一一列出，供同學(xué)們學(xué)習(xí)：棄,以下依次為：等腰三角形的中綣蓑形的對(duì)角線相互垂直；勾股定理的三角形「:「的直角梯形或矩形中的連線支通過(guò)證明三角形相似或全等可得勃的直角。/

【例二】也。11朝陽(yáng)期末上）如圖;：已知三棱柱工？C-馬比?]中，且4]_L底面.四C，.AC：=BC=2,必產(chǎn)4,AB=2^2,M,H夯別是棱上^中點(diǎn)口(1)求證；CW_L(1)求證；CW_L平面45比4；中(2)■求三棱雉員-金鮑W的體積.?【解析】:m二■證明：因?yàn)槿庵?c-44,中，〃又因?yàn)镃N匚平面ABC：＜所以AA-l±CN.+1*'因?yàn)?C=FC=2,曾是月5中點(diǎn),"所以CW_L工E.，：因?yàn)?L4JAB=A,口所以CW」一平面四用招,舉因?yàn)镃7V(I平面.助必行肱仁平面加1站”.所以。加￥：平面達(dá)的1.Vm2］.（-2011東城一?模）已知四棱錐F-＜口。3的底面是菱形.PB=PD,且為用的中點(diǎn).求證：平面FH1_L平面『7-4$-2-4$-2-4$-27'$-2-4$-2-4$7571解析工連結(jié)UF"因?yàn)镕8=F口…H\所以。尸_1口。.口在菱形中，因?yàn)?尸［1月。=。型所以BD_L平面PAC3因?yàn)锽Du平面BDE+j所以平面PACJ.平面BDE.+JI例第.匕。工工上半學(xué)期豐臺(tái)期末）直三棱注啟BL4&Q中啟呂二04匚二mBdAAi-^口是4B的中點(diǎn).卡求證：ACLBlJ：￥［解析］在AqBC■中，因?yàn)?日=5.啟。=4，0C-3,小所以4O+EU4手，所以上ClLEC.〃因?yàn)橹比庵鵋RC-RiR二C：,所以CCi±ZC.J因?yàn)镋CTU片J+J所以4C_L平面B艮QCF所以4C_LB：匚口【例4】.（然1工上半學(xué)期海淀期末】8如圖，棱柱ABCD-4當(dāng)5口的底面ABCD為菱形ACC\BD=O,嬤兒&_Lsr點(diǎn)F為DC1的中點(diǎn).制求證：平面及5齒，平豆HCGA#【解析】T四邊附公其口為菱形*即又用口_L4L],月4n月口=&且44,達(dá)巴仁平面總比二4卡/.SD_L平面ECC].e..n7-i.-7T7XTc”不.VT7HnnciTT75Z公產(chǎn)干廣7日

[例5]<2011海浣一模）如圖；梯形/FC7?和正A所在平面互相垂直，其中ABHDQ7AL）=QD=--AB，且◎?yàn)閇例5]<2011海浣一模）如圖；梯形/FC7?和正A所在平面互相垂直，其中ABHDQ7AL）=QD=--AB，且◎?yàn)?解析】⑴因?yàn)椤樵翭中點(diǎn)，8CNUD；又D&仁平面POD,BC<1平面POD,^所以5廣〃平面?口口口AB中點(diǎn)切求證工FC不平面FQD；心[II）求證：衛(wèi)C_LPD』（工工）連接CC.因?yàn)檠Q=如工8所以ADCO./平行四邊形工又30=CO.所以ADCQ,為蓑形」口所以有CD=B5C0門(mén)0%所以。DCS為平行四邊形?所以所以B。=g力凡又出〃?,CD=--AB2又因?yàn)槠矫鍭BCD_L平面FAB,平面ABC.D「平面￡45=,所以F@_L平面所以因?yàn)檎幮斡忠驗(yàn)槠矫鍭BCD_L平面FAB,平面ABC.D「平面￡45=,所以F@_L平面所以因?yàn)檎幮蜦』四，◎?yàn)楣?中點(diǎn)，口所以PQ±.^…ABCD,而達(dá)Cu平面ABCD>所以FOLRCSv又FUC□爐工0、所限工C_L平面FQD*又FZ?匚平面POD,所以AOI.FD+【例G匕口口上半學(xué)期東城期末）如圖，正方形江郎與梯形所在的平面互相垂直」也_1熨，ABUCD.AE>=AL)=2.,：CD=4膈為二區(qū)的中點(diǎn),*（I〕求證：BM/7平面ADEF"--（II）求證：平面_L平面8WC.f【解析】（I）,取口51中點(diǎn)g連結(jié)/隊(duì)』Ri在中，啦,V分別為在邑3。的中點(diǎn)；4由已知超*仃0，ABS-""2所以旭2且■=f由已知超*仃0，ABS-""2所以旭2且■=f所以匹也形為平行四邊形.4所以哈內(nèi)又因?yàn)榧县纹矫嬖乱财?^.BM平面司即，平鼠已京以FM"平面心題.?￡II),因?yàn)?40即為正方形，+1所以EA_L.W.j又因?yàn)槠矫娼o即_L平面川C。，且平面越郎n平面疑仃門(mén)=/0,又因?yàn)镋口匚平面ADEF,+J所以ED」一平面.眸口.所以E￡?_LBC.￥在直：ffl悌形班匚。中,超二40=22CD=4..可得￡匚二2點(diǎn)1p在△FC口中，B口二BC=2系,C□二A,所以5C_L9O.小所以BC_L平面氏口口,"又因?yàn)樨纹矫鍲CS1,u所以平面B口總_L平面BEC,卡+J1例71(2典1上半學(xué)期西城期末)如圖，在三犢柱度C-4用6中，側(cè)面』。舄當(dāng)埼為正方形，/反4c=9%□為8c中點(diǎn)求證：(I)〃?平面也.；J.(II),G工，。中E解析】:(I)連結(jié)4C,設(shè)AC交且G于點(diǎn)。，隹結(jié)。白T因?yàn)閃CC1居為正方形?.所以O(shè)為居C中點(diǎn)，V又D為3c中點(diǎn)，所以為A49c的中位線