潮汐現(xiàn)象地力學(xué)分析報告

潮汐現(xiàn)象的力學(xué)分析[1]。在公元前2世紀(jì)已記載月望〔滿月〕之日可以看到格外壯麗的海潮〔140B.，東漢王充在《論衡》中已寫道“濤之起也，隨月盛衰，大小，滿損不齊同”指出潮汐與月球的關(guān)系，其后更有余靖、張[2JosephNeedham,190199〕[3。古人稱白天為“朝”,晚上為“夕”,所以以海洋潮汐為例,白天海水上漲為“潮”,晚上海水上[4解釋說是“一晝夜中兩次潮水漲起，隨之有兩次跌落潮”和“小潮潮”等。以一晝夜高、低潮消滅的次數(shù)不同又可分為以下幾類：半日潮：是指一晝夜內(nèi)消滅兩次高潮和兩次低潮。全日潮：是指一晝夜內(nèi)只有一次高潮和一次低潮?；旌铣保菏侵敢粋€月內(nèi)有些日子消滅兩次高潮和兩次低潮,有些日子消滅一次高潮和一次低潮[5]。所以潮汐現(xiàn)象不僅僅是一晝夜中海水的兩漲兩落現(xiàn)象物理本質(zhì)。潮汐現(xiàn)象的力學(xué)分析引潮力產(chǎn)生的分析〔半日潮〕是每晝夜有兩次高潮。所以，在同一時刻，圍繞地球的海平面總有兩個突起局部地方海水隆起，是可以理解的。為什么離月球最遠(yuǎn)的地方海水也隆起呢？假設(shè)說潮汐是萬有引力引起的，潮汐力在大小就應(yīng)當(dāng)與質(zhì)量成正比，與距離平方成反比。太陽的質(zhì)量比月球大2.7107倍，而太陽1.5105倍[6180倍，為什么實際上月球?qū)Τ毕鹬饕饔?？F=-maa大家都知道，太空工作站上的宇航員是漂移在空中的，由于他處在失重狀態(tài)，緣由就是他受到的重力和慣性力“準(zhǔn)確”抵消，從廣義相對論的觀點看，牛頓力學(xué)所謂“真實的引力”和“因加速度產(chǎn)生的慣性力”是等價的，實際中F=-maa15CABCD和E分別在CC所受的引力相比，A和BDE由于整個參考系是以質(zhì)心CC2A和B受到的剩余力指向CDEC，所以，假設(shè)在中心C把地球當(dāng)做一個對象，其中引力不均勻性造成的應(yīng)是很大的。地球外表70%的面積為海水所掩蓋，自轉(zhuǎn)，這樣一來，就可以把它看成是由海水形成的一個巨大的水滴。假設(shè)沒有外部引力的不均勻性3有效引力是“真實的引力”和地心的離心加速度造成的“慣性離心力”之和。這有效引力的分布就像圖4使得每天有兩次潮，而不是一次的緣由。引潮力的計算[7]yyy”RcPr”rxc”地球 月球yyxyyxx3中C和CO的質(zhì)心，PΔmrcc，地面上一點到月球質(zhì)心的距離，地Rcp。ΔmGmMf m

r?GmMmr〔1-2-1〕

r2 r3到的慣性力為ff

f慣潮合成為引力f潮慣

GmM mr2

GmMmr3

r 〔1-2-2〕〔1-2-3〕

f ff潮 慣

GmM

r rr3r3 r3r3m 由圖可以看出：r|rR| r2R22rRcos，故 rR r〔1-2-4〕取直角坐標(biāo)的x軸沿cc，y

f GmM潮

|rR|3

r3〔1-2-5〕故

1

xrRcosr

rRcos ， rRy

Rsinf潮x

GmMmr2

(12RcosR2)3

1 2 r r2 GmM≈ m

1Rcos3Rcos1r22GmM mr3

r r Rcos

〔1-2-6〕f潮y

GmM r3

Rsin

〔1-2-7〕RRe形式如下

r實為地月距離rm

，歸納以上結(jié)果，我們得到引潮力公式的重量f 潮x

2GmMmrmr3

Rcose〔1-2-8〕f 潮y

RsinGGmMmr3m〔1-2-9〕引潮力在地表上的分布如圖４，在=０和處〔即離月球最近和最遠(yuǎn)處〕是背離地心的，在這些地方形成海水的頂峰；在2處指向地心，形成海水低谷隨著地球的自轉(zhuǎn)，一晝夜之間有兩個頂峰和兩個低谷掃過每個地方，形成兩次高潮和兩次低潮。上式同樣也適用于太陽，只是其中的M 和rm m代后可得

應(yīng)分別代之以太陽的質(zhì)量Ms

和日-地距離rs

，經(jīng)替f潮x

2GmMsr2GmMsr3es〔1-2-10〕〔1-2-11〕

f GmMGmMsr3s

Rsine通過上述推導(dǎo)說明引潮力與質(zhì)量成正比，與距離的立方成反比，故月潮和日潮大小之比為f f

3 M ms M 潮m 潮s M rs m 7.351022kg1.50108km3 1.991030kg3.84105kg2.20月球地球180多倍，但月球?qū)Φ厍蛏铣毕男?yīng)約為太陽的兩月球地球大，而對相距甚遠(yuǎn)的太陽的場則近乎不變〔變化小的多。假設(shè)橫過地球時場的變化為零，那么不管此場多強，也不會產(chǎn)生潮汐現(xiàn)象[8]。日月引潮力的效果是線性疊加的，合成的結(jié)果與日、月的相對方位有關(guān)。在朔日和望日，月球、太陽和地球幾乎在同始終線上〔如圖5a)，太陰潮和太陽潮彼球和太陽的黃經(jīng)相距90 〔如圖5b)，太陰潮被太陽潮抵消了一局部，就形成每月里的小潮[9]。潮汐漲落公式的推導(dǎo)

圖５〔b〕地球月球圖５〔地球月球h3drh3drrh1h3x牛頓推導(dǎo)[10]如圖6xy方向分別挖一個豎井直達(dá)地心相通。二井深度分別為h1

h，截面積為ds，井內(nèi)布滿水。3h1

中的水在地心處產(chǎn)生的壓強p1

。以表示水的密度，6視為常數(shù)。dr一段內(nèi)水的質(zhì)量為dmdrds，它受地球的引力為dmgrgrdrdsgr是在r處的重力加速度。此處潮汐力可利用引潮力公式表示，只是用rRe

。由此可得dr一段水產(chǎn)生的壓強

2GMrmr3dsdpgr2GMrmr3ds1 g

2GMm

mmr3rmr3

〔1-3-1〕將此式對整個井深hmrmr3

積分，可得h1

井底的壓強h

2GM 〔1-3-2〕同樣的道理得出h3

井底的壓強

p1

1gr

rdrmmr3p3grmr33

rdr 〔1-3-3〕p1

0mp，即3h

2GM

h GM mr3mr31gr rdr3gr rmr3mr3mrmr3mh

mh

mr3hmr3

hGM移項可得〔1-3-4〕

1g0

rdr3g0

rdr10

rdr30m

rdrm此式在左側(cè)積分可合并為1grdr。由于h和h都和地球半徑R相差不多，gr就可取地球外表gRe

h3GMe。這樣R2e

3 e1grdrh

gR

GMehh1 3 eh3

R2 me其中hm

hh1

可視為潮高。上式右側(cè)可取hh1 3

R而合并為e

mrdr

3GMmR20 r3mGM

2r3 meR22eR22r3m由此可給出

h R2m ee m3M R3而潮高 h m eR〔1-3-5〕

m 2M r ee m將M 7.351022kg，rm

3.8105km,Me

5.981024kg，Re

6.4103km代入上式，可得到hm

0.56m上述分析同樣可以用來分析太陽在地球上引起的潮汐——太陽潮。與上式類似，太陽潮高為：3M R32Mserh 2Mser

〔1-3-6〕s ee s將太陽的質(zhì)量Ms

1.991030kg，它到地心的距離rs

1.5108km代入上式，可得h0.25ms實際上潮高為hs

和hm

的矢量疊加。在朔日和望日月球、太陽和地球幾乎在同始終線上，太陽潮和太陰潮相加形成大潮，高潮可到達(dá)0.81m。在上弦月或下弦月時，月球和地球的方位垂直，二者相消一局部，形成小潮，潮高為0.31m〔如圖5〕一個月內(nèi)大潮和小潮個消滅兩次。和實際觀測相比以上潮高的計算值偏小，該計算值約適用于開擴(kuò)的洋面。利用等勢面推導(dǎo)[11]是壓強大的海水?dāng)D向壓強小的海水[12]。3pV1

及地球本身的引力勢能V2外，因慣性力是恒力，可以認(rèn)為是關(guān)于位置的函數(shù)，故引入一個慣性場力的等勢能。具體地說，首先月p點引力的對應(yīng)勢為VG1

r

mc1G

mMm

R R21R R2

12 cr r r2 1mM 1 R m

R2 3 R

R22 G 1 2

2

cr

2 r r2

8 r r2

1mM R

R2 G

m1 cos 3cos21c

〔1-3-7〕r r

2r2 1GmMP點引力對應(yīng)的勢能為V2

eRRR

hhP點到平均海平面的高Rhe勢能，即

RP點的引力勢能V可近似等于重力2Vmghc2 2〔1-3-8〕

GmMR2

ehc2P受到慣性場力的對應(yīng)等效勢能V3

為[12]VGmMmRcosc〔1-3-9〕

3 r2 3故當(dāng)海面處于平衡狀態(tài)時，依據(jù)平衡液面是等勢面的理論有〔1-3-10〕

VVV1 2

c常數(shù)mM R

R2

GmM

GmMG

1 cos 3cos21

c hc

mRcosc cr r

2r2mM

1eeR2eR2 eR2eR2

2 r2 3

mR22r3

3cos21 hceRRe

，并令勢能常數(shù)c0，因此1M R3 h2 m e 3cos21〔1-3-11〕

M re利用〔1-3-11〕xy平面上描出一條閉合曲線，其外形正好是起潮時的海面的外形。將M Mm

181.Re

r160.0或90 代入上式可得h0.57m升，h0.19m降。比照兩種推導(dǎo)方法的結(jié)果，我們覺察相當(dāng)接近，從而說明他們理論上的牢靠性。對類似現(xiàn)象的探究引潮力對大氣的作用可以形成大氣潮汐，它對地殼也有7

月球F1A延遲角

F2B 地球 地球自轉(zhuǎn)方向圖７2F與ABF與AB21轉(zhuǎn)。3400365(14)天，可見慢了不少。長期以來人們就知道這樣一個事實：月球總是以它的一面對著地球。換言之，月球自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)的周期相等的歲月里地球?qū)υ虑虻囊绷υ谠虑蛏闲纬晒腆w潮的作用造成的主星的引潮力撕成碎片。下面我們來計算這一臨界半徑。主星or伴星Ro”主星or伴星Ro”r8R，密度為，自轉(zhuǎn)角速度為，兩星之間的距離為r8xo。撕裂伴星的力有二：主星給它的引潮力和它自轉(zhuǎn)引起的慣性離心力;團(tuán)結(jié)伴星的力化學(xué)結(jié)合力往往可以無視。下面我們只考慮三個力：引潮力、慣心離心力、伴星自身引力[13撕裂總是首先沿x方向進(jìn)展的，對于伴星的一個質(zhì)元mV，三個力沿x引潮力 f潮慣性離心力 f離

〔2-1〕r32xV, 〔2-2〕伴星自身引力 f自引

4GxV.3

〔2-3〕伴星被撕裂的條件是三力之和大于02GM

2

4GxV0〔2-4〕

r3 3 等號對應(yīng)著臨界狀態(tài)。假設(shè)伴星做同步自轉(zhuǎn)，則自轉(zhuǎn)角速度等于公轉(zhuǎn)角速度。按開普勒定律，有GM2r3則上式化為

3GM4G0r3 3或都用密度表示，有

4GR3r3

4G03rR313

1.44R13

c 313

13

〔2-5〕通過計算可以得出臨界半徑為：

R

1.44R

(其中為主星平均密度；”為伴星平c 均密度)對于地-月系統(tǒng) 53，從而月球被地球引潮力撕碎的臨界距離為e mrcm

R3 e e

131.7Re

?？梢?，一旦月球向地球撞來，在它未與地面接觸之前，已被引潮力撕得粉碎。月球撞擊地球！幾乎是不行能的設(shè)想的。不過太陽系中從火星到木星之間有幾十萬個小行星，1300多個，用上述理論來分析小行星撞擊地球的后果，倒是有意義的。此外，彗星撞擊地球的可能性更明顯。早在導(dǎo)出〔2-5〕式之前，洛希就推出了流體星的撕裂條件 3 3 r cc

1

〔2-6〕 這就是洛希極限。土星環(huán)平均半徑rR2.31，就土星來說，假設(shè)土星環(huán)中的顆粒物質(zhì)與土星本身的密度相等，則這距離已在臨界距離之內(nèi)，環(huán)中物質(zhì)應(yīng)解體不能形成一個整的橢球形衛(wèi)星，所以它就始終以塵粒狀伴隨在土星四周形成土星光環(huán)。199479木星，依據(jù)據(jù)理論推算，列維91992年7A、B、C、D、……U、V、W20P、QP片[14]?？偨Y(jié)的意義上來說，按廣義相對論的觀點，引潮力則是時空彎曲的反映[15]。海岸線外形、海陸分布、海洋深度等各種因素的影響，潮汐也隨之呈現(xiàn)出豐富多姿的自然景觀。潮汐現(xiàn)象是一種自然現(xiàn)象，海洋潮汐的分析、計算及預(yù)報對沿海農(nóng)田水利、港灣業(yè)、捕撈、鹽業(yè)等爭論潮汐現(xiàn)象同時對我們觀看和爭論天體間