2022-2023學(xué)年安徽省淮北市高二年級上冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年安徽省淮北市第一中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，長軸長，焦距為，過點(diǎn)的直線交橢圓于A，兩點(diǎn)，則的周長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意畫出圖像，根據(jù)橢圓的定義即可求解．【詳解】由題知，2a＝8，的周長為．故選：C．2．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】列出關(guān)于首項(xiàng)與公差的方程組，求出首項(xiàng)與公差，從而可得答案.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以，解得，，?故選：A.3．已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則（

）A．14 B．12 C．6 D．3【答案】D【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，易得，根據(jù)題意求出首項(xiàng)與公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)即可得解.【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，與題意矛盾，所以，則，解得，所以.故選：D.4．若，則是方程表示雙曲線的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線定義可知，要使方程表示雙曲線和異號，進(jìn)而求得的范圍即可判斷是什么條件．【詳解】解：因?yàn)榉匠瘫硎倦p曲線，所以，解得，因?yàn)?，所以是方程表示雙曲線的必要不充分條件，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)雙曲線的定義是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．5．已知圓錐的底面半徑為2，高為，則該圓錐的內(nèi)切球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓錐與內(nèi)切球的軸截面圖，列出等量關(guān)系，即可求解.【詳解】如圖，圓錐與內(nèi)切球的軸截面圖，點(diǎn)為球心，內(nèi)切球的半徑為，為切點(diǎn)，設(shè)，即由條件可知，，中，，即，解得：，所以圓錐內(nèi)切球的表面積.故選：D6．已知兩點(diǎn)，，若直線上存在點(diǎn)滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．【答案】C【分析】的軌跡為圓，考慮該圓和直線有公共點(diǎn)（即相交或相切）可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，則由得，因在直線上，故圓心到直線的距離，故，故選C.【點(diǎn)睛】此類問題為“隱形圓問題”，常規(guī)的處理辦法是找出動點(diǎn)所在的軌跡（通常為圓），常見的“隱形圓”有：（1）如果為定點(diǎn)，且動點(diǎn)滿足，則動點(diǎn)的軌跡為圓；（2）如果中，為定長，為定值，則動點(diǎn)的軌跡為一段圓?。?．已知等差數(shù)列中，，設(shè)函數(shù)，記，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析可知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)結(jié)合正弦型函數(shù)的對稱性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】，由，可得，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，所以，數(shù)列的前項(xiàng)和為.故選：D.8．已知，若點(diǎn)P是拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q是圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為A．3 B． C． D．4【答案】B【分析】設(shè)，利用三角形知識得到，轉(zhuǎn)化成，令，將轉(zhuǎn)化成，問題得解．【詳解】設(shè)，由拋物線方程可得：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由拋物線定義得：又,所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)（F點(diǎn)在PQ中間），等號成立，令，可化為：，當(dāng)且僅當(dāng)，即：時(shí)，等號成立．故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)及換元法、基本不等式的應(yīng)用，還考查了計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．二、多選題9．已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則圓錐曲線的離心率為A． B． C． D．【答案】BC【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)求出，再判斷曲線類型，進(jìn)而求出離心率【詳解】由三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，得，即；當(dāng)，圓錐曲線為，曲線為橢圓，則；當(dāng)時(shí)，曲線為，曲線為雙曲線，，則離心率為：或故選BC【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，離心率的求解，易錯(cuò)點(diǎn)為漏解的取值，屬于中檔題10．已知，是拋物線上的兩點(diǎn)，若直線過拋物線的焦點(diǎn)且傾斜角為.則下列命題正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】對于選項(xiàng)A，設(shè)直線的方程為，代入，再利用韋達(dá)定理，即可得到結(jié)論；對于選項(xiàng)B，利用拋物線的定義和選項(xiàng)A中的結(jié)論，表示出即可；對于選項(xiàng)C，由拋物線的定義，在直角三角形中，運(yùn)用余弦函數(shù)的定義，即可得到的長，同理可得的長，即可判斷；對于選項(xiàng)D，選項(xiàng)A中的結(jié)論進(jìn)行判斷即可.【詳解】對于選項(xiàng)A，設(shè)直線的方程為，代入，可得，所以，，選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，因?yàn)槭沁^拋物線的焦點(diǎn)的弦，所以由拋物線定義可得，由選項(xiàng)A知，，，所以.即，解得，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，也適合上式，所以，選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C，不妨設(shè)，點(diǎn)A在x軸上方，設(shè)，是，在準(zhǔn)線上的射影，，所以，同理可得，所以，同理可證時(shí)，等式也成立，選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，由上可知：，，所以，選項(xiàng)D不正確，故選：ABC.11．2022年4月16日9時(shí)56分，神舟十三號返回艙成功著陸，返回艙是宇航員返回地球的座艙，返回艙的軸截面可近似看作是由半圓和半橢圓組成的“曲圓”，如圖在平面直角坐標(biāo)系中半圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓所在的圓過橢圓的焦點(diǎn)，橢圓的短軸與半圓的直徑重合，下半圓與y軸交于點(diǎn)G．若過原點(diǎn)O的直線與上半橢圓交于點(diǎn)A，與下半圓交于點(diǎn)B，則（

）A．橢圓的長軸長為B．線段AB長度的取值范圍是C．面積的最小值是4D．的周長為【答案】ABD【分析】由題意可得b、c，然后可得a，可判斷A；由橢圓性質(zhì)可判斷B；取特值，結(jié)合OA長度的取值范圍可判斷C；由橢圓定義可判斷D.【詳解】由題知，橢圓中的幾何量，得，則，A正確；，由橢圓性質(zhì)可知，所以，B正確；記，則取，則，C錯(cuò)誤；由橢圓定義知，，所以的周長，D正確.故選：ABD12．如圖，四邊形為正方形，平面，，，記三棱錐，，的體積分別為，，，則（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】找到三棱錐的高，利用三棱錐體積公式分別求出，，，進(jìn)而判斷出結(jié)果.【詳解】如圖連接交于O，連接.設(shè)，則.由平面，，所以平面，所以，.由平面，平面，所以.又，且，平面，所以平面，所以.易知，，所以，所以,而，平面，所以平面.又，，所以有，所以選項(xiàng)AB不正確，CD正確.故選：CD.三、填空題13．已知向量．若，則________．【答案】.【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則求得向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積為零求得的值【詳解】,，解得,故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量垂直的條件，屬基礎(chǔ)題，利用平面向量垂直的充分必要條件是其數(shù)量積.14．已知雙曲線(a＞0，b0)的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為__________．【答案】【分析】根據(jù)離心率求得，即可求得漸近線方程.【詳解】因?yàn)殡p曲線的離心率為2，則，解得，故雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.15．正方體中，分別是的中點(diǎn)，則所成的角的余弦值是__________．【答案】【分析】取的中點(diǎn)，由得出異面直線與所成的角為，然后在由余弦定理計(jì)算出，可得出結(jié)果．【詳解】取的中點(diǎn)，由且可得為所成的角，設(shè)正方體棱長為，中利用勾股定理可得，又，由余弦定理可得，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的計(jì)算，一般利用平移直線找出異面直線所成的角，再選擇合適的三角形，利用余弦定理或銳角三角函數(shù)來計(jì)算，考查空間想象能力與計(jì)算能力，屬于中等題．16．對給定的數(shù)列，記，則稱數(shù)列為數(shù)列的一階商數(shù)列；記，則稱數(shù)列為數(shù)列的二階商數(shù)列；以此類推，可得數(shù)列的P階商數(shù)列，已知數(shù)列的二階商數(shù)列的各項(xiàng)均為，且，則___________．【答案】【分析】由題意可得，從而得，即，由累乘法即可求得的值.【詳解】解：由數(shù)列的二階商數(shù)列的各項(xiàng)均為，可知，而，故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，即，即，即．所以，故．故答案為：四、解答題17．記△ABC得內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知sinA=3sinB，C=，c=.(1)求a；(2)求sinA.【答案】(1)(2)【分析】（1）由，結(jié)合余弦定理得出；（2）由正弦定理得出.【詳解】（1）因?yàn)閟inA=3sinB，所以，由余弦定理可得，所以（2）由可得，18．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由條件得到，結(jié)合已知兩式相減得到，再驗(yàn)證，得到數(shù)列是等比數(shù)列，從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可知，利用分組轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列和等比數(shù)列求和.【詳解】（1）…………….①………………..

②

①-②得，即又,

是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列

（2）由（Ⅰ）得

【點(diǎn)睛】本題考查已知求，以及分組轉(zhuǎn)化法求和，重點(diǎn)考查基本方法，計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型，本題容易忽略驗(yàn)證，一般求和的方法包含1.公式法求和；2.裂項(xiàng)相消法求和；3.分組轉(zhuǎn)化法求和；4.錯(cuò)位相減法求和，這些常用方法需熟練掌握.19．如圖，在三棱柱中，平面，，是等邊三角形，D，E，F(xiàn)分別是棱，AC，BC的中點(diǎn).(1)證明：平面.(2)求平面ADE與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由線線平行證明面面平行，再由面面平行證明線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解兩平面夾角的余弦值.【詳解】（1）證明：連接BD.因?yàn)镋，F(xiàn)分別是棱AC，BC的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?因?yàn)镈，F(xiàn)分別是棱，BC的中點(diǎn)，所以，，所以四邊形是平行四邊形，則.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?因?yàn)槠矫鍭BD，且，所以平面平面.因?yàn)槠矫鍭BD，所以平面.（2）解：取的中點(diǎn)，連接，，易證，，OE兩兩垂直，則以O(shè)為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，，，從而，，，.設(shè)平面ADE的法向量為，則令，得，設(shè)平面的法向量為，則令，得.設(shè)平面與平面的夾角為，則.20．已知橢圓：的長軸長為，的兩個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)圍成等邊三角形．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為，求的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）由已知可得，，可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，，將橢圓方程與直線方程聯(lián)立，可得，，由已知可得，求解即可．【詳解】（1）由題知，，得，要滿足兩個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)圍成等邊三角形．兩頂點(diǎn)只能在短軸上，則，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，，將橢圓方程與直線方程聯(lián)立，化簡得，其中，即，且，，．原點(diǎn)到直線的距離，．化簡得，解得或，又且，或．21．已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，________．請從以下二個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在題干的橫線上，并解答下列問題：①成等比數(shù)列，②．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）先設(shè)等差數(shù)列的公差為，再根據(jù)等差數(shù)列的求和公式和等比中項(xiàng)的性質(zhì)，根據(jù)條件①②分別列出關(guān)于首項(xiàng)與公差的方程，解出的值，即可計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）先根據(jù)第（1）題的結(jié)果計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再運(yùn)用裂項(xiàng)相消法即可計(jì)算出前項(xiàng)和．【詳解】（1）由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，方案一：選擇條件①，根據(jù)成等比數(shù)列得,代入得，又，化簡整理，可得，由于，所以，，．方案二：選擇條件②由，可得，又，解得，，（2）由（1）可得，則．22．已知點(diǎn)F為拋物線：（）的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上且在x軸上方，.(1)求拋物線的方程；(2)已知直線與曲線交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A，B與點(diǎn)P不重合），直線PA與x軸、y軸分別交于C、D兩點(diǎn)，直線PB與x軸?y軸分別交于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)四邊形CDMN的面積最小時(shí)，求直線l的方程.【答案】(1)；(2)或.【分析】(1)