高中數(shù)學北師大版5第一章不等關系與基本不等式 校賽得獎

第一章§5一、選擇題1．函數(shù)y＝eq\f(x2＋2x＋2,x＋1)(x>－1)的圖象的最低點坐標是()A．(1,2) B．(1，－2)C．(1,1) D．(0,2)解析：∵y＝eq\f(x2＋2x＋2,x＋1)＝eq\f(x＋12＋1,x＋1)＝(x＋1)＋eq\f(1,x＋1)≥2，當且僅當x＋1＝eq\f(1,x＋1)，即x＝0時取“＝”，選D．答案：D2．把長為12cm的鐵絲截成兩段，各自圍成一個正三角形，A．eq\f(3\r(3),2) B．4C．3eq\r(2) D．2eq\r(3)解析：設一段長為3x，另一段長為12－3x,0<x<4，由題意知兩三角形面積之和為S＝eq\f(\r(3),4)[x2＋(4－x)2]≥eq\f(\r(3),4)·eq\f(1,2)(x＋4－x)2＝2eq\r(3).當且僅當x＝4－x即x＝2時取等號．即鐵絲截成相等兩段．答案：D3．已知點P是邊長為2eq\r(3)的等邊三角形內一點，它到三邊的距離分別為x、y、z，則x2＋y2＋z2的最小值是()A．1 B．2C．3 D．4解析：由面積關系可得eq\f(1,2)(2eq\r(3)x＋2eq\r(3)y＋2eq\r(3)z)＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×3?x＋y＋z＝3；又2(x2＋y2)≥x2＋2xy＋y2，2(y2＋z2)≥y2＋2yz＋z2，2(z2＋x2)≥z2＋2zx＋x2，三式相加得3(x2＋y2＋z2)≥(x＋y＋z)2，即x2＋y2＋z2≥eq\f(1,3)(x＋y＋z)2＝eq\f(1,3)×32＝3.答案：C4．已知圓柱的軸截面周長為6，體積為V，則下列總成立的是()A．V≥π B．V≤πC．V≥eq\f(1,8)π D．V≤eq\f(1,8)π解析：設母線長為h，底面圓的半徑為r，∴2(h＋2r)＝6，∴h＋2r＝3.∵V＝πr2·h＝πr2(3－2r)＝π·r·r(3－2r)≤π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r＋r＋3－2r,3)))3＝π.答案：B二、填空題5．某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運費為4萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x＝________噸．解析：設一年總費用為y萬元，則y＝4×eq\f(400,x)＋4x＝eq\f(1600,x)＋4x≥2eq\r(\f(1600,x)·4x)＝160，當且僅當eq\f(1600,x)＝4x，即x＝20時，等號成立．答案：206．設計一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840cm2，畫面的寬與高的比為λ(λ<1)，畫面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白．當畫面的高為________cm解析：設畫面高為xcm，寬為λxcm，則λx2＝4840.設紙張面積為S，則S＝(x＋16)(λx＋10)＝λx2＋(16λ＋10)x＋160.由λx2＝4840，得λ＝eq\f(4840,x2)＝代入上式，得S＝eq\f(4840,x2)·x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4840,x2)×16＋10))·x＋16.＝4840＋eq\f(4840×16,x)＋10x＋160≥2eq\r(4840×16×10)＋5000＝6760cm2.當且僅當eq\f(4840×16,x)＝10x，即x＝88時，等號成立．此時，由λx2＝4840，得λx＝55.答案：畫面高為88cm，寬為55cm，三、解答題7．某學校為了解決教師住房問題，計劃征用一塊土地，蓋一幢總建筑面積為am2的宿舍樓．已知土地的征用費為2388元/m2，且每層的建筑面積相同，土地的征用面積為第一層的倍，經工程技術人員核算，第一、二層的建筑費用相同，費用為445元/m2，以后每增高一層，其建筑費用就增加30元/m2.試設計這幢宿舍樓的樓高層數(shù)，使總費用最少．并求其最少總費用(總費用為建筑費用和征地費用之和)．解析：設樓高為n層，總費用為y元，根據(jù)題意得征地面積為eq\f,n)m2，∴征地費用為eq\f,n)×2388＝eq\f(5970,n)a(元)．樓層建筑費用為{445＋445＋(445＋30)＋(445＋30×2)＋…＋[445＋30(n－2)]}·eq\f(a,n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15n＋400＋\f(30,n)))a(元)．從而y＝eq\f(5970a,n)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15n＋400＋\f(30,n)))a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15n＋\f(6000,n)＋400))a≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(15n·\f(6000,n))＋400))a＝1000a.當且僅當15n＝eq\f(6000,n)，即n＝20時等號成立．從而可知樓高20層時總費用最小，最小值為1000a元8．如圖(1)所示，將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個無蓋的正六棱柱容器，如圖(2)，求這個正六棱柱容器的容積最大值．解析：設底面邊長為x，正六棱柱的高為h，由圖(3)可有2h＋eq\r(3)x＝eq\r(3)，∴h＝eq\f(\r(3),2)(1－x)，V＝S底·h＝6×eq\f(\r(3),4)x2·h＝eq\f(3\r(3),2)x2·eq\f(\r(3),2)·(1－x)＝2eq\r(3)×eq\f(3\r(3),2)×eq\f(x,2)×eq\f(x,2)×(1－x)≤9×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\f(x,2)＋\f(x,2)＋1－x,3)))3＝eq\f(1,3).當且僅當eq\f(x,2)＝eq\f(x,2)＝1－x，即x＝eq\f(2,3)時，等號成立．所以當?shù)酌孢呴L為eq\f(2,3)時，正六棱柱容器容積最大，最大值為eq\f(1,3).9．學校食堂定期從某糧店以每噸1500元的價格購買大米．每次購進大米需支付運輸費用100元，已知食堂每天需要大米1噸，貯存大米的費用為每噸每天2元．假定食堂每次均在用完大米的當天購買．(1)該食堂每多少天購買一次大米，能使平均每天所支付的費用最少？(2)糧店提出價格優(yōu)惠政策，一次購買量不少于20噸時大米價格可享受九五折優(yōu)惠(即是原價的95%)，問食堂可否接受此優(yōu)惠政策？請說明理由．解析：總支出費用由三部分組成：購糧費、運輸費、貯存費，可把每天平均支出費用表示為天數(shù)的函數(shù)，再求函數(shù)的最小值，然后求出接受優(yōu)惠政策后平均每天支付費用的最小值，比較兩最小值的大小就可以回答題中問題．(1)設每t天購進一次大米，因為每天需要用1噸大米，所以一次購米量為t噸，那么庫存費用為2[t＋(t－1)＋…＋2＋1]＝t(t＋1)．設平均每天所支付的總費用為y1，則y1＝eq\f(1,t)[t(t＋1)＋100]＋1500＝t＋eq\f(100,t)＋1501≥2eq\r(t·\f(100,t))＋1501＝1521.當且僅當t＝eq\f(100,t)，即t＝10時等號成立．∴每10天購買一次大米能使平均每天支付的費用最少．(2)如果接受優(yōu)惠條件，則至少每20天訂購一次，設每n(n≥20)天訂購一次，每天平均