初中數(shù)學(xué)浙教版八年級上冊第2章特殊三角形2．5逆命題和逆定理 全省一等獎

逆命題和逆定理同步練習(xí)一．選擇題（共10小題）1．（2023?聊城模擬）用反證法證明命題“三角形中必有一個內(nèi)角小于或等于60°”時，首先應(yīng)該假設(shè)這個三角形中（）A．有一個內(nèi)角小于60° B．每一個內(nèi)角都小于60°C．有一個內(nèi)角大于60° D．每一個內(nèi)角都大于60°2．（2023春?普寧市期末）已知：在△ABC中，AB≠AC，求證：∠B≠∠C．若用反證法來證明這個結(jié)論，可以假設(shè)（）A．∠A=∠B B．AB=BC C．∠B=∠C D．∠A=∠C3．（2023春?戶縣期末）用反證法證明“同一平面內(nèi)，若a⊥c，b⊥c，則a∥b”時應(yīng)假設(shè)（）A．a(chǎn)不垂直與c B．a(chǎn)，b都不垂直與cC．a(chǎn)⊥b D．a(chǎn)與b相交4．要證明命題“若a＞b，則a2＞b2”A．a(chǎn)=1，b=﹣2 B．a(chǎn)=0，b=﹣1 C．a(chǎn)=﹣1，b=﹣2 D．a(chǎn)=2，b=﹣15．（2023春?杭州期末）選擇用反證法證明“已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三個內(nèi)角，求證：∠A，∠B，∠C三個內(nèi)角中至少有一個角大于或等于60°”時，應(yīng)先假設(shè)（）A．∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60° B．∠A≥60°，∠B≥60°，∠C≥60°C．∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60° D．∠A≤60°，∠B≤60°，∠C≤60°6．（2023春?禹州市期中）下列定理有逆定理的是（）A．直角都相等 B．同旁內(nèi)角互補，兩直線平行C．對頂角相等 D．全等三角形的對應(yīng)角相等7．下列說法正確的是（）A．每個定理都有逆定理 B．每個命題都有逆命題C．假命題沒有逆命題 D．真命題的逆命題是真命題8．（2023?衡陽）下列命題是假命題的是（）A．經(jīng)過兩點有且只有一條直線B．三角形的中位線平行且等于第三邊的一半C．平行四邊形的對角線相等D．圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑9．（2023?大慶）如圖，從①∠1=∠2②∠C=∠D③∠A=∠F三個條件中選出兩個作為已知條件，另一個作為結(jié)論所組成的命題中，正確命題的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．310．（2023?孝感模擬）下列命題：①兩點確定一條直線；②兩點之間，線段最短；③對頂角相等；④內(nèi)錯角相等；其中真命題的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二．填空題（共7小題）11．寫出“對頂角相等”的逆命題______．12．（2023春?灌云縣期末）“等邊三角形是銳角三角形”的逆命題是______．13．（2023春?臺州校級月考）線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理是______．14．（2023春?江西期末）若a2=b2，則a=b，這個命題是______（填“正確的”或“錯誤的”）．15．定理：角平分線上的點到這個角的______相等．逆定理：到一個角的兩邊距離相等的點，在這個角的______上．16．舉例說明命題“如果a2≠b2，那么a≠b”的逆命題為假命題______．17．某中學(xué)教工家屬院住著3戶祖孫3代都是教師的教師之家，說來也巧，9個教師分別教數(shù)學(xué)、語文和英語，不但每戶的祖孫3人所教學(xué)科互不相同，而且同輩份的3人所教學(xué)科也互不相同．現(xiàn)知爺爺輩中語文教師的兒子不教數(shù)學(xué)，那么爺爺輩中英語老師的孫子教______三．解答題（共10小題）18．（用反證法證明）已知直線a∥c，b∥c，求證：a∥b．19．如圖，已知AB∥CD，CD⊥EF，垂足為N，AB與EF交于點M，求證：AB⊥EF．（用反證法證明）20．用反證法證明“三角形的三個內(nèi)角中，至少有一個內(nèi)角小于或等于60°”證明：假設(shè)所求證的結(jié)論不成立，即∠A______60°，∠B______60°，∠C______60°，則∠A+∠B+∠C＞______．這與______相矛盾．∴______不成立．∴______．21．如圖，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC內(nèi)的一點，且∠APB＞∠APC，求證：PB＜PC（反證法）22．用反證法證明“三角形三個內(nèi)角中，至少有一個內(nèi)角小于或等于60°”．已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的內(nèi)角．求證：∠A，∠B，∠C中至少有一個內(nèi)角小于或等于60°．證明：假設(shè)求證的結(jié)論不成立，那么______∴∠A+∠B+∠C＞______這與三角形______相矛盾．∴假設(shè)不成立∴______．23．證明：在△ABC中，∠A，∠B，∠C中至少有一個角大于或等于60°．24．（2023春?揭陽校級月考）用反證法證明一個三角形中不能有兩個角是直角．25．如圖，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC內(nèi)的一點，且∠APB＞∠APC，求證：PB＜PC（反證法）26．用反證法證明（填空）：兩條直線被第三條直線所截．如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行．已知：如圖，直線l1，l2被l3所截，∠1+∠2=180°．求證：l1______l2證明：假設(shè)l1______l2，即l1與l2交與相交于一點P．則∠1+∠2+∠P______180°______所以∠1+∠2______180°，這與______矛盾，故______不成立．所以______．27．判斷下列命題的真假，并給出證明（若是真命題給出證明，若是假命題舉出反例）：（1）若，則a=3；（2）如圖，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分別為點E，F(xiàn)，且BE=CF．則AD是△ABC的中線．

逆命題和逆定理同步練習(xí)參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2023?聊城模擬）用反證法證明命題“三角形中必有一個內(nèi)角小于或等于60°”時，首先應(yīng)該假設(shè)這個三角形中（）A．有一個內(nèi)角小于60° B．每一個內(nèi)角都小于60°C．有一個內(nèi)角大于60° D．每一個內(nèi)角都大于60°【解答】解：用反證法證明“三角形中必有一個內(nèi)角小于或等于60°”時，應(yīng)先假設(shè)三角形中每一個內(nèi)角都不小于或等于60°，即每一個內(nèi)角都大于60°．故選：D．2．（2023春?普寧市期末）已知：在△ABC中，AB≠AC，求證：∠B≠∠C．若用反證法來證明這個結(jié)論，可以假設(shè)（）A．∠A=∠B B．AB=BC C．∠B=∠C D．∠A=∠C【解答】解：∠B≠∠C的反面是∠B=∠C．故可以假設(shè)∠B=∠C．故選C．3．（2023春?戶縣期末）用反證法證明“同一平面內(nèi)，若a⊥c，b⊥c，則a∥b”時應(yīng)假設(shè)（）A．a(chǎn)不垂直與c B．a(chǎn)，b都不垂直與cC．a(chǎn)⊥b D．a(chǎn)與b相交【解答】解：用反證法證明“同一平面內(nèi)，若a⊥c，b⊥c，則a∥b”時應(yīng)假設(shè)a與b相交，故選：D．4．要證明命題“若a＞b，則a2＞b2”A．a(chǎn)=1，b=﹣2 B．a(chǎn)=0，b=﹣1 C．a(chǎn)=﹣1，b=﹣2 D．a(chǎn)=2，b=﹣1【解答】解：∵a=1，b=﹣2時，a=0，b=﹣1時，a=﹣1，b=﹣2時，a＞b，則a2＜b2，∴說明A，B，C都能證明“若a＞b，則a2＞b2”只有a=2，b=﹣1時，“若a＞b，則a2＞b2”故選：D．5．（2023春?杭州期末）選擇用反證法證明“已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三個內(nèi)角，求證：∠A，∠B，∠C三個內(nèi)角中至少有一個角大于或等于60°”時，應(yīng)先假設(shè)（）A．∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60° B．∠A≥60°，∠B≥60°，∠C≥60°C．∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60° D．∠A≤60°，∠B≤60°，∠C≤60°【解答】解：第一步應(yīng)假設(shè)結(jié)論不成立，即三角形的三個內(nèi)角都小于60°．故選：C．6．（2023春?禹州市期中）下列定理有逆定理的是（）A．直角都相等 B．同旁內(nèi)角互補，兩直線平行C．對頂角相等 D．全等三角形的對應(yīng)角相等【解答】解；A、直角都相等的逆命題是相等的角是直角，錯誤；B、同旁內(nèi)角互補，兩直線平行的逆命題是兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，正確；C、對頂角相等的逆命題是相等的角是對頂角，錯誤；D、全等三角形的對應(yīng)角相等的逆命題是對應(yīng)角相等的三角形是全等三角形，錯誤；故選B．7．下列說法正確的是（）A．每個定理都有逆定理 B．每個命題都有逆命題C．假命題沒有逆命題 D．真命題的逆命題是真命題【解答】解：A、每個定理的逆命題不一定正確，故不一定都有逆定理，故錯誤；B、每個命題都有逆命題，正確；C、假命題也有逆命題，故錯誤；D、真命題的逆命題不一定是真命題，故錯誤，故選B．8．（2023?衡陽）下列命題是假命題的是（）A．經(jīng)過兩點有且只有一條直線B．三角形的中位線平行且等于第三邊的一半C．平行四邊形的對角線相等D．圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑【解答】解：A、經(jīng)過兩點有且只有一條直線，正確．B、三角形的中位線平行且等于第三邊的一半，正確．C、平行四邊形的對角線相等，錯誤．矩形的對角線相等，平行四邊形的對角線不一定相等．D、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑，正確．故選C．9．（2023?大慶）如圖，從①∠1=∠2②∠C=∠D③∠A=∠F三個條件中選出兩個作為已知條件，另一個作為結(jié)論所組成的命題中，正確命題的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：如圖所示：當(dāng)①∠1=∠2，則∠3=∠2，故DB∥EC，則∠D=∠4，當(dāng)②∠C=∠D，故∠4=∠C，則DF∥AC，可得：∠A=∠F，即?③；當(dāng)①∠1=∠2，則∠3=∠2，故DB∥EC，則∠D=∠4，當(dāng)③∠A=∠F，故DF∥AC，則∠4=∠C，故可得：∠C=∠D，即?②；當(dāng)③∠A=∠F，故DF∥AC，則∠4=∠C，當(dāng)②∠C=∠D，則∠4=∠D，故DB∥EC，則∠2=∠3，可得：∠1=∠2，即?①，故正確的有3個．故選：D．10．（2023?孝感模擬）下列命題：①兩點確定一條直線；②兩點之間，線段最短；③對頂角相等；④內(nèi)錯角相等；其中真命題的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解答】解：①兩點確定一條直線，正確，是真命題；②兩點之間，線段最短，正確，是真命題；③對頂角相等，正確，是真命題；④兩直線平行，內(nèi)錯角相等，故錯誤，是假命題；正確的有3個，故選：C．二．填空題（共7小題）11．（2023春?邳州市期末）寫出“對頂角相等”的逆命題相等的角是對頂角．【解答】解：∵原命題的條件是：如果兩個角是對頂角，結(jié)論是：那么這兩個角相等；∴其逆命題應(yīng)該為：如兩個角相等那么這兩個角是對頂角，簡化后即為：相等的角是對頂角．12．（2023春?灌云縣期末）“等邊三角形是銳角三角形”的逆命題是銳角三角形是等邊三角形．【解答】解：其逆命題是：銳角三角形是等邊三角形．13．（2023春?臺州校級月考）線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理是到一條線段兩端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上．【解答】解：∵線段垂直平分線性質(zhì)定理線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，∴其逆定理為到一條線段兩端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上，故答案為：到一條線段兩端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上．14．（2023春?江西期末）若a2=b2，則a=b，這個命題是錯誤（填“正確的”或“錯誤的”）．【解答】解：∵（﹣1）2=12，﹣1≠1，∴若a2=b2，則a=b，這個命題是錯誤的，故答案為：錯誤．15．定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等．逆定理：到一個角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上．【解答】解：根據(jù)定義可知：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等，到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上．故答案為：兩邊的距離，平分線．16．舉例說明命題“如果a2≠b2，那么a≠b”的逆命題為假命題如果﹣5≠5，而（﹣5）2=52．【解答】解：如果a2≠b2，那么a≠b的逆命題是：如果a≠b，那么a2≠b2．如果﹣5≠5，而（﹣5）2=52．故如果a≠b，那么a2≠b2為假命題．故答案為：如果﹣5≠5，而（﹣5）2=52．17．某中學(xué)教工家屬院住著3戶祖孫3代都是教師的教師之家，說來也巧，9個教師分別教數(shù)學(xué)、語文和英語，不但每戶的祖孫3人所教學(xué)科互不相同，而且同輩份的3人所教學(xué)科也互不相同．現(xiàn)知爺爺輩中語文教師的兒子不教數(shù)學(xué)，那么爺爺輩中英語老師的孫子教語文【解答】解：由每戶的祖孫3人所教學(xué)科互不相同，而且同輩份的3人所教學(xué)科也互不相同．爺爺輩中語文教師的兒子不教數(shù)學(xué)可以推出第一戶兒子教英語，孫子教數(shù)學(xué)，再由問題中的爺爺教英語和第一戶兒子教英語，孫子教數(shù)學(xué)，可以推出爺爺輩中英語老師的孫子不能教數(shù)學(xué)，故：爺爺輩中英語老師的孫子教語文．三．解答題（共10小題）18．（用反證法證明）已知直線a∥c，b∥c，求證：a∥b．【解答】證明：假設(shè)a與b相交，則過M點有兩條直線平行于直線c，這與過直線外一點平行于已知直線的直線有且只有一條相矛盾，所以a∥b．19．如圖，已知AB∥CD，CD⊥EF，垂足為N，AB與EF交于點M，求證：AB⊥EF．（用反證法證明）【解答】證明：假設(shè)AB與EF不垂直，則∠AME≠90°，∵AB∥CD，∴∠AME=∠CNE，∴∠CNE≠90°，這與CD⊥EF相矛盾，∴AB⊥EF．20．用反證法證明“三角形的三個內(nèi)角中，至少有一個內(nèi)角小于或等于60°”證明：假設(shè)所求證的結(jié)論不成立，即∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°，則∠A+∠B+∠C＞180°．這與內(nèi)角和180°相矛盾．∴假設(shè)不成立．∴求證的命題正確．【解答】解：證明：假設(shè)所求證的結(jié)論不成立，即∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°，則∠A+∠B+∠C＞180°．這與內(nèi)角和為180°相矛盾．則假設(shè)不成立．則求證的命題正確．故答案為：＞，＞，＞，180°，內(nèi)角和180°，假設(shè)，求證的命題正確．21．如圖，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC內(nèi)的一點，且∠APB＞∠APC，求證：PB＜PC（反證法）【解答】證明：①假設(shè)PB=PC．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．∴∠ABC﹣∠PBC=∠ACB﹣∠PCB，∴∠ABP=∠ACP，在△ABP和△ACP中∴△ABP≌△ACP，∴∠APB=∠APC．這與題目中給定的∠APB＞∠APC矛盾，∴PB=PC是不可能的．②假設(shè)PB＞PC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵PB＞PC，∴∠PCB＞∠PBC．∴∠ABC﹣∠PBC＞∠ACB﹣∠PCB，∴∠ABP＞∠ACP，又∠APB＞∠APC，∴∠ABP+∠APB＞∠ACP+∠APC，∴180°﹣∠ABP﹣∠APB＜180°﹣∠ACP﹣∠APC，∴∠BAP＜∠CAP，結(jié)合AB=AC、AP=AP，得：PB＜PC．這與假設(shè)的PB＞PC矛盾，∴PB＞PC是不可能的．綜上所述，得：PB＜PC．22．用反證法證明“三角形三個內(nèi)角中，至少有一個內(nèi)角小于或等于60°”．已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的內(nèi)角．求證：∠A，∠B，∠C中至少有一個內(nèi)角小于或等于60°．證明：假設(shè)求證的結(jié)論不成立，那么三角形中所有角都大于60°∴∠A+∠B+∠C＞180°這與三角形的三內(nèi)角和為180°相矛盾．∴假設(shè)不成立∴三角形三內(nèi)角中至少有一個內(nèi)角小于或等于60度．【解答】證明：假設(shè)求證的結(jié)論不成立，那么三角形中所有角都大于60°，∴∠A+∠B+∠C＞180°，這與三角形的三內(nèi)角和為180°相矛盾．∴假設(shè)不成立，∴三角形三內(nèi)角中至少有一個內(nèi)角小于或等于60度．故答案為：三角形中所有角都大于60°；180°；的三內(nèi)角和為180°；三角形三內(nèi)角中至少有一個內(nèi)角小于或等于60度．23．證明：在△ABC中，∠A，∠B，∠C中至少有一個角大于或等于60°．【解答】證明：假設(shè)△ABC中每個內(nèi)角都小于60°，則∠A+∠B+∠C＜180°，這與三角形內(nèi)角和定理矛盾，故假設(shè)錯誤，即原結(jié)論成立，在△ABC中，∠A，∠B，∠C中至少有一個角大于或等于60°．24．（2023春?揭陽校級月考）用反證法證明一個三角形中不能有兩個角是直角．【解答】證明：假設(shè)三角形的三個內(nèi)角A、B、C中有兩個直角，不妨設(shè)∠A=∠B=90°，則A+B+C=90°+90°+C＞180°，這與三角形內(nèi)角和為180°相矛盾，∴∠A=∠B=90°不成立；所以一個三角形中不能有兩個直角．25．如圖，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC內(nèi)的一點，且∠APB＞∠APC，求證：PB＜PC（反證法）【解答】證明：①假設(shè)PB=PC．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．∴∠ABC﹣∠PBC=∠ACB﹣∠PCB，∴∠ABP=∠ACP，在△ABP和△ACP中∴△ABP≌△ACP，∴∠APB=∠APC．這與題目中給定的∠APB＞∠A