第2章(下)靜電場20140923

電磁場理論

——第2章（下）：靜電場耿軍平副教授電信學(xué)院，電子系，現(xiàn)代天線研究中心電院樓群1－522Email:gengjunp@Tel:342046632014.09.262靜電場靜電場基本方程電位和電位方程電介質(zhì)中的電場靜電場的邊界條件靜電場導(dǎo)體系統(tǒng)中的電容靜電場邊值問題的解法靜電場的能量、能量密度和電場力靜電場基本方程在電荷的周圍存在電場相對于觀察者靜止的、且其電量分布不隨時間變化的電荷所引起的電場，稱為靜電場4靜電場基本方程（2）說明：

靜電場是無旋場，滿足能量守恒定律，電力線不閉合靜電場是無旋場，場源是靜止電荷

5靜電場靜電場基本方程電位和電位方程電介質(zhì)中的電場靜電場的邊界條件靜電場導(dǎo)體系統(tǒng)中的電容靜電場邊值問題的解法靜電場的能量、能量密度和電場力6

如果設(shè)電位的參考點在無限遠處，那么真空中一個點電荷在離它r遠處的電位為：單位正電荷從無窮遠處移到該位置時，外力克服電場力所做的功。電位或7電位－電壓8無旋性點電荷Q多個點電荷電位（續(xù)）9體電荷面電荷線電荷電位（續(xù)）10電位方程Poisson方程是一個二階偏微分方程，它適用于二階導(dǎo)數(shù)存在的空間上的每一點▽2稱為拉普拉斯算符，它代表“梯度的散度”從基本方程推出Poisson方程，不一定可逆Poisson方程11電位方程（續(xù)）Laplace方程：沒有自由電荷的區(qū)域Laplace方程12例2.122說明：線電荷的電場高斯定理：l無限長，上下底面電場有進有出，每個面上抵消，只剩側(cè)面需要考慮

14解法一：任選P0點為電位參考點1516解法二：高斯定理：l無限長，上下底面電場有進有出，每個面上抵消，只剩側(cè)面需要考慮

171819例3.2已知：兩塊無限大導(dǎo)體平板位于x＝0、a處，電位分別0和V0，導(dǎo)體板間體電荷密度分布

ρ＝ρ0x/a求：導(dǎo)體板間電位和電場分布2021例3.2—特例已知：兩塊無限大導(dǎo)體平板位于x＝0、d處，電位分別0和V0，求：導(dǎo)體板間電位和電場分布

例3.2—特例23靜電場靜電場基本方程電位和電位方程電介質(zhì)中的電場靜電場的邊界條件靜電場導(dǎo)體系統(tǒng)中的電容靜電場邊值問題的解法靜電場的能量、能量密度和電場力24電偶極子的電位、電場強度電偶極子:相距一小段距離的一對等值異號的電荷，稱為電偶極子P點的電位等于兩個點電荷電位的疊加2526對于一個電偶極子，通常用電偶極矩p來表征，簡稱電矩p=qd,d的方向，由負電荷指向正電荷

aR是電偶極子指向場點的單位矢量27球坐標(biāo)系下E在

φ方向是等值同心圓，所以對φ的導(dǎo)數(shù)為02829電偶極子電場分布特點：電場強度隨R3減小，即當(dāng)R增大時，電偶極子的電場比點電荷減小得更快。因為在遠處正負電荷的電場接近互相抵消具有軸對稱性。30電介質(zhì)中的電場理想的電介質(zhì)不包含自由電荷，但在電場中放入電介質(zhì)會使電場變化 因為電介質(zhì)的分子在電場作用下發(fā)生極化現(xiàn)象，介質(zhì)中出現(xiàn)了電偶極子，電偶極子的電場疊加于原來的電場之上，使得電場發(fā)生變化。31電介質(zhì)中的電場（續(xù)）電介質(zhì)的分子可以分成兩類，非極性分子和極性分子非極性分子，如H2，分子內(nèi)所有正電荷的作用中心和負電荷的作用中心是重合的極性分子，如H2O，分子內(nèi)正負電荷中心不重合，每個分子都具有電偶極子的性質(zhì)，只是由于分子熱運動，使合成電偶極矩為零，對外宏觀電效應(yīng)相互抵消而不呈現(xiàn)帶電現(xiàn)象。32電介質(zhì)中的電場（續(xù)）不同電偶極子的電偶極矩方向是任意的不規(guī)則的無外電場作用，電介質(zhì)所有分子的合成電偶極矩為零，對外不呈現(xiàn)帶電現(xiàn)象。外電場作用下， 非極性分子的正負電荷的作用中心發(fā)生相對位移， 極性分子的電矩發(fā)生轉(zhuǎn)向，這時它們的合成電偶極矩矢量和便不再為零。這種境況，稱為電介質(zhì)的極化， 前者稱為位移極化， 后者稱為取向極化。331)位移極化，非極性分子的正負電荷的作用中心發(fā)生相對位移

2)取向極化極性分子的電矩發(fā)生轉(zhuǎn)向

3)總之，在外電場的作用下，非極性分子還是極性分子都將形成電偶極子電場而對外呈現(xiàn)帶電現(xiàn)象，影響原來的電場分布。34電介質(zhì)中的電場（續(xù)）極化強度矢量35電介質(zhì)中的電場（續(xù)）注：極化強度矢量P是電偶極矩的體密度，它反映了電介質(zhì)單位體積內(nèi)分子電偶極矩的矢量和。對線性，各向同性媒質(zhì)，極化強度正比于電場強度為無量綱的量，稱為電介質(zhì)的極化率

36電介質(zhì)中的電場（續(xù)）注：若電介質(zhì)是均勻的，則與空間坐標(biāo)無關(guān),可得通量的密度37電介質(zhì)中的電場（續(xù)）注：實際上，只有在晶體結(jié)構(gòu)高度對稱的物質(zhì)中，P才取外加電場的方向。一般物質(zhì)中是一個并矢，對應(yīng)的介電常數(shù)也是一個并矢。

38εr是個無量綱的常數(shù)，稱為媒質(zhì)的相對電容率或相對介電常數(shù)。它反映了電介質(zhì)的極化對電場的影響。ε為媒質(zhì)的絕對介電常數(shù)，其單位為法拉每米εr可以是空間坐標(biāo)的函數(shù)。若εr與位置無關(guān)，則媒質(zhì)為均勻媒質(zhì)。線性、均勻、各向同性媒質(zhì)稱為簡單媒質(zhì)。簡單媒質(zhì)的相對介電常數(shù)εr是一個常數(shù)。39電介質(zhì)中的電場（續(xù)）介質(zhì)極化的宏觀效應(yīng)除了可以用電介質(zhì)的介電常數(shù)來表示外，還可以用等效電偶極子來代替。用等效電偶極子定量分析電介質(zhì)極化對外加電場的影響，關(guān)鍵在于計算出由極化產(chǎn)生的等效電偶極子的電場。40電介質(zhì)中的電場（續(xù)）體積元dv‘電偶極矩為，它產(chǎn)生的電位注：帶撇的坐標(biāo)表示源點的位置，用不帶撇的坐標(biāo)表示場點的位置41電介質(zhì)中的電場（續(xù)）在電介質(zhì)的體積v‘內(nèi)進行積分，就可以得到極化電介質(zhì)產(chǎn)生的電位注：帶撇的坐標(biāo)表示源點的位置，用不帶撇的坐標(biāo)表示場點的位置

其中R是從體積元到固定場點的距離，在笛卡爾坐標(biāo)中 42由矢量分析恒等式和散度定理電介質(zhì)中的電場（續(xù)）其中a’n為電介質(zhì)表面面積元ds’的外法線單位矢量43an和▽的撇號已略去

(3-37)

從式(3-37)可以看出，在計算電場時，極化電介質(zhì)對外電場的影響也可以從和來等效。和有時也稱為束縛電荷密度，以表示與自由電荷的區(qū)別。電介質(zhì)中的電場（續(xù)）等效極化面電荷密度等效極化體電荷密度44從高斯定理理解

介質(zhì)中電荷：自由電荷＋束縛電荷束縛電荷以電偶極子形式出現(xiàn)，在閉合區(qū)域內(nèi)電偶極子正負電荷電量等值反號，使得該區(qū)域內(nèi)電偶極子的總電量為0所以D的散度為自由電荷密度（加0）但在外加電場作用下，電偶極子的電矩對外依然顯示極化強度，這種作用可用等效的束縛電荷來表征自由電荷＋束縛電荷共同產(chǎn)生介質(zhì)中的總電場45從高斯定理理解

——介質(zhì)中電荷：自由電荷＋束縛電荷共同產(chǎn)生介質(zhì)中的總電場461）簡單媒質(zhì)中，是常數(shù)2）各向異性媒質(zhì)中，是并矢3）的含義——介質(zhì)極化3）E很大，使電子脫離分子時，介質(zhì)被擊穿說明47靜電場靜電場基本方程電位和電位方程電介質(zhì)中的電場靜電場的邊界條件靜電場導(dǎo)體系統(tǒng)中的電容靜電場邊值問題的解法靜電場的能量、能量密度和電場力48靜電場的邊界條件——D、E靜電場的邊界條件對于兩種理想介質(zhì)之間的分界面，介質(zhì)電導(dǎo)率為0切向分量法向分量49靜電場的邊界條件——D、E理想介質(zhì)(1)和理想導(dǎo)體(2)的分界面，

E2＝0，D2＝0求解D的一個途徑靜電場的邊界條件——V兩媒質(zhì)界面處電位處處連續(xù)表明：若交界面上存在自由電荷，電位導(dǎo)數(shù)不連續(xù)5152理想媒質(zhì)分界面53靜電場靜電場基本方程電位和電位方程電介質(zhì)中的電場靜電場的邊界條件靜電場導(dǎo)體系統(tǒng)中的電容靜電場邊值問題的解法靜電場的能量、能量密度和電場力靜電導(dǎo)體系統(tǒng)中的電容——導(dǎo)體大量自由電荷導(dǎo)體內(nèi)電場存在，使自由電荷宏觀運動導(dǎo)體處于靜電平衡狀態(tài)時，內(nèi)部電場為0；內(nèi)部電位相同（內(nèi)部為等位體，導(dǎo)體面為等位面）；電荷只分布在導(dǎo)體表面靜電感應(yīng)，感應(yīng)電荷55靜電導(dǎo)體系統(tǒng)中的電容——電容孤立導(dǎo)體電容器決定于孤立導(dǎo)體的形狀56例3.3已知：同軸線，內(nèi)外半徑a、b，內(nèi)外導(dǎo)體間填充介質(zhì)，內(nèi)外導(dǎo)體間電壓U0，外導(dǎo)體接地求：1）內(nèi)外導(dǎo)體間電位分布；

2）內(nèi)導(dǎo)體表面上的面電荷密度；

3）單位長度的電容57Laplace方程5859也可以參照第二章的例題問題模型61E的分布62導(dǎo)體電位63介質(zhì)電位64D的分布65能量密度66靜電場靜電場基本方程電位和電位方程電介質(zhì)中的電場靜電場的邊界條件靜電場導(dǎo)體系統(tǒng)中的電容靜電場邊值問題的解法靜電場的能量、能量密度和電場力67靜電場邊值問題的解法第一類邊值（Dirichlet）問題：已知全部邊界上電位分布，如導(dǎo)體表面上的電位分布；第二類邊值問題（Neumann）問題：已知邊界上電位的法向分布，如導(dǎo)體表面上的電荷分布；第三類邊值問題，又稱混合邊值（Robbin）問題：已知部分邊界上的電位分布及另一部分邊界上電位的法向?qū)?shù)。說明：對上述任一邊值問題，滿足邊界條件的電位Poisson方程和Laplace方程的解是唯一的68靜電場邊值問題的解法（續(xù)）分離變量法

直角坐標(biāo)系 圓柱坐標(biāo)系鏡像法

接地平面附近的點電荷 線電荷 導(dǎo)體球與點電荷復(fù)變函數(shù)法有限差分法69直角坐標(biāo)系中分離變量法Laplace方程

設(shè)70直角坐標(biāo)系中分離變量法若所有x，y，z均滿足71直角坐標(biāo)系中分離變量法（續(xù)）分離常數(shù)/本征值72直角坐標(biāo)系中分離變量法（續(xù)）常微分方程求解kx＝0,通解73直角坐標(biāo)系中分離變量法（續(xù)）k2x>0,kx＝k實數(shù)，通解無限區(qū)域有限區(qū)域本征函數(shù)本征函數(shù)74直角坐標(biāo)系中分離變量法（續(xù)）k2x<0,kx純虛數(shù)，

k2x=-k2,

k>0無限區(qū)域有限區(qū)域75直角坐標(biāo)系中分離變量法（續(xù)）二維情形：k2x>0,k2y<0,|kx|=|ky|=k>076直角坐標(biāo)系中分離變量法（續(xù)）級數(shù)形式kn為不同的本征值，正實數(shù)77直角坐標(biāo)系中分離變量法（續(xù)）凡是分離常數(shù)為實數(shù)時，對應(yīng)解為三角函數(shù)形式；凡是分離常數(shù)為虛數(shù)時，對應(yīng)解為雙曲函數(shù)形式；78例3.4已知：橫截面為矩形的長金屬盒，四條棱線處均有無窮小的縫隙，使四個邊壁相互絕緣，邊壁上的電位分布如圖。求：金屬盒內(nèi)電位分布。798081一實，一虛只有ky取正實數(shù)才能滿足邊界條件，y方向解為正弦或余弦函數(shù)ky取正實數(shù)？82838485圓柱坐標(biāo)系中分離變量法Laplace方程與z有關(guān)，與Φ、r無關(guān)86圓柱坐標(biāo)系中分離變量法（續(xù)）k2z＝0時k2z＝k2>0,k>0時k2z＝(jk)2<0,k>0時87圓柱坐標(biāo)系中分離變量法（續(xù)）k2z＝(jk)2<0,k>0時Laplace方程分離常數(shù)分離常數(shù)p,實數(shù)88圓柱坐標(biāo)系中分離變量法（續(xù)）實數(shù)p＝0時實數(shù)p≠0時解與前面的方程類似實際問題中，位函數(shù)V在場域空間是單值函數(shù)，是方位角坐標(biāo)的周期函數(shù)，p應(yīng)為正實數(shù)89圓柱坐標(biāo)系中分離變量法（續(xù)）p＝m時k=0,m=0時，一維方程，通解k=0時，拉氏方程變?yōu)闅W拉（Euler）方程：通解：帶參數(shù)k的貝塞爾（Bessel）方程90圓柱坐標(biāo)系中分離變量法（續(xù)）k≠0時，方程通解圓柱坐標(biāo)系下，電位V的Laplace方程的通解：（kz=jk，p=m）第一類m階貝塞爾函數(shù)第二類m階貝塞爾函數(shù)紐曼（Niumann）函數(shù)919293例3.5已知：半徑a，高h的中空金屬圓罐；罐底與圓柱面罐壁相連，電位為0；罐蓋與罐壁間有很小的縫隙使兩者絕緣；罐蓋電位V0。求：罐內(nèi)電位及電場分布。9495969798鏡象法

電荷置于導(dǎo)體交界面附近地面或?qū)w的影響——感應(yīng)電荷感應(yīng)電荷分布復(fù)雜鏡像法的條件：原電荷為點電荷、線電荷等簡單分布導(dǎo)體（或介質(zhì)）交界面形狀較為簡單99鏡象法（續(xù)）

間接求解邊值問題方法保持邊界條件不變的情況下，將邊界移去，在待求場域外部的適當(dāng)位置上放置一些鏡像（等效）電荷100鏡象法（續(xù)）

將求解有邊界的邊值問題轉(zhuǎn)換為求解無邊界問題唯一性定理要求：原電荷和邊界上感應(yīng)面電荷在待求區(qū)域內(nèi)某點的電位，可由原電荷和鏡像電荷在該點產(chǎn)生的電位的疊加代替適用于：靜電場、靜磁場、部分天線問題；導(dǎo)體邊界、介質(zhì)邊界101鏡象法(續(xù))——平面導(dǎo)體的鏡像102邊值問題：鏡象法(續(xù))——平面導(dǎo)體的鏡像（除q所在點外的區(qū)域）（導(dǎo)板及無窮遠處）（S為包圍

q的閉合面）103鏡象法(續(xù))——平面導(dǎo)體的鏡像104上半場域邊值問題：鏡象法(續(xù))——平面導(dǎo)體的鏡像（除q所在點外的區(qū)域）（導(dǎo)板及無窮遠處）（S為包圍

q的閉合面）105

用虛設(shè)的電荷分布等效替代媒質(zhì)分界面上復(fù)雜電荷分布,虛設(shè)電荷的個數(shù)、大小與位置使場的解答滿足唯一性定理。

鏡像電荷的分布不唯一!!!鏡象法(續(xù))——平面導(dǎo)體的鏡像106例3-6

求空氣中一個點電荷q在地面引起的感應(yīng)電荷分布情況點電荷q在地面引起的感應(yīng)電荷的分布pD107108π/2角形區(qū)域的鏡像電荷的分布109π/3角形區(qū)域的鏡像電荷的分布110說明：無限大平面相交構(gòu)成π/n區(qū)域，n為正整數(shù)，鏡像電荷總數(shù)（2n－1）個所有鏡像電荷位于同一個圓上，圓心在角形邊界頂點n不為正整數(shù)時，鏡像無限多個，鏡像法不適用，可用復(fù)變函數(shù)求解對于線電荷，可看成由無限個連續(xù)分布的點電荷組成，再用點電荷鏡像的方法處理111鏡象法(續(xù))——兩種不同介質(zhì)中的點電荷和線電荷問題點電荷對無限大介質(zhì)分界面的鏡像第一媒質(zhì)第二媒質(zhì)112邊值問題：(下半空間)(除q點外的上半空間)和113說明揭示了鏡像法的核心：“等效”一種介質(zhì)中的電荷必然在另一介質(zhì)中引起感應(yīng)電荷對原始電荷如此，對鏡像電荷也如此所有電荷遵循場的唯一性原理，邊界條件不變所有電荷遵循基本原理鏡像法的本質(zhì)就是滿足原有條件的等效鏡像電荷就是等效的假想集中電荷分布電荷等效為集中電荷鏡像電荷等效于第二媒質(zhì)及其域內(nèi)和界面上的感應(yīng)電荷114鏡像法（續(xù)）線電荷的鏡像(類比）圖：存在兩種介質(zhì)時線電荷的鏡像第一媒質(zhì)第二媒質(zhì)115鏡像法（續(xù)）討論點電荷對金屬球面的鏡像問題圖金屬球面的鏡像問題116鏡像法（續(xù)）金屬球接地時的鏡像法設(shè)金屬球的球心離點電荷所在處為d，則原來的電場中的電位函數(shù)應(yīng)滿足的條件是：除點電荷所在處外，到處都有，以及在金屬球面上V=0。117118鏡像法（續(xù)）119等位面既然是球面，則電位必與θ無關(guān)，即與cosθ無關(guān)，因而上式左邊兩項必須分別為零

120

這說明，如果兩個點電荷的電量和位置滿足式所表達的關(guān)系，則在電場中就有一個半徑為的球面是零電位的等位面。121由疊加原理，接地導(dǎo)體球外任一點P的電位與電場分別為點電荷位于接地導(dǎo)體球附近的場圖鏡像電荷等于負的感應(yīng)電荷122如果金屬球不接地，原先又不帶電，則必須同時考慮正負兩部分感應(yīng)電荷的作用。這時球外任意點的場，可以根據(jù)下圖所示三個點電荷來計算。

鏡像法（續(xù)）圖金屬球不接地時的鏡像法說明：加入＋q“前，球面已是等位面，加入后，為保持球面為等位面，＋q“須放置在球心123例3.7

試計算不接地金屬球附近放置一點電荷q時的電場分布

圖點電荷對不接地金屬球的鏡像說明：加入＋q‘前，球面已是等位面，加入后，為保持球面為等位面，＋q’須放置在球心124125126例3－8（p.72,例3.6)無限大接地導(dǎo)體平面上有一半徑為a的半球形導(dǎo)體凸塊，附近有一點電荷Q，求其鏡像電荷127128129鏡像法——導(dǎo)體球腔與金屬球接地時類似則原來的電場中的電位函數(shù)應(yīng)滿足的條件是：除點電荷所在處外，到處都有，以及在金屬球面上V=0。130例3－9一偏心電纜線，內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為b，兩幾何軸線間距離為D，求兩等效電軸的位置。131132133鏡像法——導(dǎo)體圓柱（接地）與平行線電荷（例3－10）134問題轉(zhuǎn)化為求兩個平行的等值異號線電荷的電位和電場135136由正弦定理：137138利用類似球形邊界的分析方法，不難求出鏡像線電荷鏡像線電荷與圓柱軸線的偏心距離為鏡像線電荷取代了圓柱形導(dǎo)電體，把問題簡化為求兩條平行的等值異號線電荷的電位和電場139推論：兩個無限長平行帶電圓柱導(dǎo)體，可以由兩個平行的線電荷代替140鏡像法（續(xù)）鏡像電荷或電流的解是否是唯一的？鏡像法求解過程是否可逆？141鏡像法引申——等效原理研究有限空間區(qū)域：

感興趣區(qū)域不感興趣區(qū)域等效等效源感興趣區(qū)域142等效時，確保全部邊界條件得到滿足；等效源可在感興趣區(qū)域之外或邊界上；等效源的構(gòu)成方法不唯一；如果兩種不同性質(zhì)的源能在所研究區(qū)域內(nèi)給出同樣的解（在這個區(qū)域之外可能會給出不同的解），則稱它們等效。說明143靜電場靜電場基本方程電位和電位方程電介質(zhì)中的電場靜電場的邊界條件靜電場導(dǎo)體系統(tǒng)中的電容靜電場邊值問題的解法靜電場的能量、能量密度和電場力144靜電場的能量、能量密度湯姆遜定理：導(dǎo)電物體上建立電場E的電荷，須分布得使能量函數(shù)We為最小。最小位能原理145靜電場的能量、能量密度（續(xù)）區(qū)域Ω無電場3個點電荷Q1、Q2、Q3在無窮遠處首先考慮離散點電荷系統(tǒng)146把Q1從無窮遠處緩慢地移進Ω內(nèi)p1點，克服電場力做功We1＝0Q1在Ω內(nèi)建立電位分布Q2從無窮遠處緩慢地移進Ω內(nèi)p2點，克服電場力做功We2＝Q2Φ21外力做的總功為

We＝We1＋We2＝0＋Q2Φ21Φ

21為p1處電荷在p2處產(chǎn)生的電位電位參考點在無窮遠處147把3個點電荷從無窮遠處緩慢地移到p1，p2，p3處外力做功

We＝We1＋We2＋We3

＝0＋Q2Φ21＋Q3Φ31＋Q3Φ32

＝Q2Φ21＋Q3（Φ31＋Φ32）148逆序重新移3個電荷Q3，Q2，Q1到p3，p2，p1，外力做功為

We＝W3＋W2＋W1

＝0＋Q2Φ23＋Q1（Φ13＋Φ12）

兩次外力做功相等149兩次做功疊加：

2We＝Q1（Φ12＋Φ13）＋

Q2（Φ21＋Φ23）＋Q3（Φ31＋Φ32）令：

Φ1＝Φ12＋Φ13：p2、p3處的Q2、Q3在p1處產(chǎn)生的電位

Φ2＝Φ21＋Φ23：p1、p3處的Q1、Q3在p2處產(chǎn)生的電位

Φ3＝Φ31＋Φ32：p1、p2處的Q1、Q2在p3處產(chǎn)生的電位

歸納法離散點電荷系統(tǒng)：區(qū)域Ω包含n個點電荷150區(qū)域Ω包含連續(xù)分布體電荷和面電荷(2.221)(2.222)151R→∞

，無窮遠處電位為0，R→∞，包含了源作用的所有能量

為以面電荷分布的第i個帶電導(dǎo)體表面上的電荷量；