初中數(shù)學蘇科版八年級下冊第9章中心對稱圖形――平行四邊形9．1圖形的旋轉(zhuǎn)(m)

圖形的旋轉(zhuǎn)一．選擇題1．將數(shù)字“6”旋轉(zhuǎn)180°，得到數(shù)字“9”，將數(shù)字“9”旋轉(zhuǎn)180°，得到數(shù)字“6”，現(xiàn)將數(shù)字“69”旋轉(zhuǎn)180°，得到的數(shù)字是（）A．96 B．69 C．66 2．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使點C落在線段AB上的點E處，點B落在點D處，則B、D兩點間的距離為（）A． B．2 C．3 D．23．如圖所示，將一個含30°角的直角三角板ABC繞點A旋轉(zhuǎn)，使得點B，A，C′在同一條直線上，則三角板ABC旋轉(zhuǎn)的角度是（）A．60° B．90° C．120° D．150°4．如圖，在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，將此三角形繞點C沿順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到三角形A′B′C，若點B′恰好落在線段AB上，AC、A′B′交于點O，則∠COA′的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．70° D．80°5．把一副三角板按如圖放置，其中∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜邊AC=BD=10，若將三角板DEB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到△D′E′B，則點A在△D′E′B的（）A．內(nèi)部 B．外部 C．邊上 D．以上都有可能6．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得△A1B1C，當A1落在AB邊上時，連接B1B，取BB1的中點D，連接A1D，則A1A． B．2 C．3 D．27．規(guī)定：在平面內(nèi)，將一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)一定的角度（小于周角）后能和自身重合，則稱此圖形為旋轉(zhuǎn)對稱圖形．下列圖形是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，且有一個旋轉(zhuǎn)角為60°的是（）A．正三角形 B．正方形 C．正六邊形 D．正十邊形二．填空題8．旋轉(zhuǎn)不改變圖形的和．9．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△DEC，則AE的長是．10．如圖，在△ACB中，∠BAC=50°，AC=2，AB=3，現(xiàn)將△ACB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)50°得到△AC1B1，則陰影部分的面積為．11．如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，點C和點E是對應(yīng)點，若∠CAE=90°，AB=1，則BD=．12．如圖，將△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)至△A′B′C，使點A′落在BC的延長線上．已知∠A=27°，∠B=40°，則∠ACB′=度．13．兩個全等的三角尺重疊放在△ACB的位置，將其中一個三角尺繞著點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至△DCE的位置，使點A恰好落在邊DE上，AB與CE相交于點F．已知∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，AB=8cm，則CF=cm．14．如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點，將線段AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，連接BQ．若PA=6，PB=8，PC=10，則四邊形APBQ的面積為．15．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，把△ABC繞AB邊上的點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′B′C′，A′C′交AB于點E，若AD=BE，則△A′DE的面積是．16．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，點D、E分別是AB、AC的中點，點G、F在BC邊上（均不與端點重合），DG∥EF．將△BDG繞點D順時針旋轉(zhuǎn)180°，將△CEF繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)180°，拼成四邊形MGFN，則四邊形MGFN周長l的取值范圍是．17．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=30°，將△DCB繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°后，點D的對應(yīng)點恰好與點A重合，得到△ACE，若AB=3，BC=4，則BD=（提示：可連接BE）三．解答題18．我們在學完“平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)”三種圖形的變化后，可以進行進一步研究，請根據(jù)示例圖形，完成下表．圖形的變化示例圖形與對應(yīng)線段有關(guān)的結(jié)論與對應(yīng)點有關(guān)的結(jié)論平移（1）AA′=BB′AA′∥BB′軸對稱（2）（3）旋轉(zhuǎn)AB=A′B′；對應(yīng)線段AB和A′B′所在的直線相交所成的角與旋轉(zhuǎn)角相等或互補．（4）19．如圖，將等腰△ABC繞頂點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)α度到△A1BC1的位置，AB與A1C1相交于點D，AC與A1C1、BC（1）求證：△BCF≌△BA1D．（2）當∠C=α度時，判定四邊形A1BCE的形狀并說明理由．20．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D，E分別在AB，AC上，CE=BC，連接CD，將線段CD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得CF，連接EF．（1）補充完成圖形；（2）若EF∥CD，求證：∠BDC=90°．21．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（﹣2，0），等邊三角形AOC經(jīng)過平移或軸對稱或旋轉(zhuǎn)都可以得到△OBD．（1）△AOC沿x軸向右平移得到△OBD，則平移的距離是個單位長度；△AOC與△BOD關(guān)于直線對稱，則對稱軸是；△AOC繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)得到△DOB，則旋轉(zhuǎn)角度可以是度；（2）連結(jié)AD，交OC于點E，求∠AEO的度數(shù)．22．如圖1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC的平分線BE交AC于E．（1）求證：AE=BC；（2）如圖（2），過點E作EF∥BC交AB于F，將△AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′，連結(jié)CE′，BF′，求證：CE′=BF′；（3）在（2）的旋轉(zhuǎn)過程中是否存在CE′∥AB？若存在，求出相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角α；若不存在，請說明理由．23．如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E分別是AB、AC邊的中點．將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜180°），得到△AB′C′（如圖2）．（1）探究DB′與EC′的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；（2）當DB′∥AE時，試求旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．答案與解析一．選擇題1．（2023?呼和浩特）將數(shù)字“6”旋轉(zhuǎn)180°，得到數(shù)字“9”，將數(shù)字“9”旋轉(zhuǎn)180°，得到數(shù)字“6”，現(xiàn)將數(shù)字“69”旋轉(zhuǎn)180°，得到的數(shù)字是（）A．96 B．69 C．66 D．99【分析】直接利用中心對稱圖形的性質(zhì)結(jié)合69的特點得出答案．【解答】解：現(xiàn)將數(shù)字“69”旋轉(zhuǎn)180°，得到的數(shù)字是：69．故選：B．【點評】此題主要考查了生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，正確想象出旋轉(zhuǎn)后圖形是解題關(guān)鍵．2．（2023?宜賓）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使點C落在線段AB上的點E處，點B落在點D處，則B、D兩點間的距離為（）A． B．2 C．3 D．2【分析】通過勾股定理計算出AB長度，利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求出各對應(yīng)線段長度，利用勾股定理求出B、D兩點間的距離．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，∵將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使點C落在線段AB上的點E處，點B落在點D處，∴AE=4，DE=3，∴BE=1，在Rt△BED中，BD==．故選：A．【點評】題目考查勾股定理和旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)，解決此類問題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)，特別是線段之間的關(guān)系．題目整體較為簡單，適合隨堂訓練．3．（2023?新疆）如圖所示，將一個含30°角的直角三角板ABC繞點A旋轉(zhuǎn)，使得點B，A，C′在同一條直線上，則三角板ABC旋轉(zhuǎn)的角度是（）A．60° B．90° C．120° D．150°【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的定義，兩對應(yīng)邊的夾角就是旋轉(zhuǎn)角，即可求解．【解答】解：旋轉(zhuǎn)角是∠CAC′=180°﹣30°=150°．故選：D．【點評】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角是解題的關(guān)鍵．4．（2023?株洲）如圖，在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，將此三角形繞點C沿順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到三角形A′B′C，若點B′恰好落在線段AB上，AC、A′B′交于點O，則∠COA′的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．70° D．80°【分析】由三角形的內(nèi)角和為180°可得出∠A=40°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出BC=B′C，從而得出∠B=∠BB′C=50°，再依據(jù)三角形外角的性質(zhì)結(jié)合角的計算即可得出結(jié)論．【解答】解：∵在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，∴∠A=180°﹣∠ACB﹣∠B=40°．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：BC=B′C，∴∠B=∠BB′C=50°．又∵∠BB′C=∠A+∠ACB′=40°+∠ACB′，∴∠ACB′=10°，∴∠COA′=∠AOB′=∠OB′C+∠ACB′=∠B+∠ACB′=60°．故選B．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、角的計算依據(jù)外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是算出∠ACB′=10°．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找出相等的角和相等的邊，再通過角的計算求出角的度數(shù)是關(guān)鍵．5．（2023?玉林）把一副三角板按如圖放置，其中∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜邊AC=BD=10，若將三角板DEB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到△D′E′B，則點A在△D′E′B的（）A．內(nèi)部 B．外部 C．邊上 D．以上都有可能【分析】先根據(jù)勾股定理求出兩直角三角形的各邊長，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠EBE′=45°，∠E′=∠DEB=90°，求出E′D′與直線AB的交點到B的距離也是5，與AB的值相等，所以點A在△D′E′B的邊上．【解答】解：∵AC=BD=10，又∵∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，∴BE=5，AB=BC=5，由三角板DEB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到△D′E′B，設(shè)△D′E′B與直線AB交于G，可知：∠EBE′=45°，∠E′=∠DEB=90°，∴△GE′B是等腰直角三角形，且BE′=BE=5，∴BG==5，∴BG=AB，∴點A在△D′E′B的邊上，故選C．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理，利用30°和45°的直角三角形的性質(zhì)求出各邊的長；注意：在直角三角形中，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半，45°角所對的兩直角邊相等，熟練掌握此內(nèi)容是解決問題的關(guān)鍵．6．（2023?無錫）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得△A1B1C，當A1落在AB邊上時，連接B1B，取BB1的中點D，連接A1D，則A1A． B．2 C．3 D．2【分析】首先證明△ACA1，△BCB1是等邊三角形，推出△A1BD是直角三角形即可解決問題．【解答】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，∴∠A=90°﹣∠ABC=60°，AB=4，BC=2，∵CA=CA1，∴△ACA1是等邊三角形，AA1=AC=BA1=2，∴∠BCB1=∠ACA1=60°，∵CB=CB1，∴△BCB1是等邊三角形，∴BB1=2，BA1=2，∠A1BB1=90°，∴BD=DB1=，∴A1D==．故選A．【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、30度角的直角三角形性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是證明△ACA1，△BCB1是等邊三角形，屬于中考常考題型．7．（2023?莆田）規(guī)定：在平面內(nèi)，將一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)一定的角度（小于周角）后能和自身重合，則稱此圖形為旋轉(zhuǎn)對稱圖形．下列圖形是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，且有一個旋轉(zhuǎn)角為60°的是（）A．正三角形 B．正方形 C．正六邊形 D．正十邊形【分析】分別求出各旋轉(zhuǎn)對稱圖形的最小旋轉(zhuǎn)角，繼而可作出判斷．【解答】解：A、正三角形的最小旋轉(zhuǎn)角是120°，故此選項錯誤；B、正方形的旋轉(zhuǎn)角度是90°，故此選項錯誤；C、正六邊形的最小旋轉(zhuǎn)角是60°，故此選項正確；D、正十角形的最小旋轉(zhuǎn)角是36°，故此選項錯誤；故選：C．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)對稱圖形的知識，解答本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)角度的定義，求出旋轉(zhuǎn)角．二．填空題8．（2023?懷化）旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大?。痉治觥扛鶕?jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小與形狀，只改變圖形的位置．也就是旋轉(zhuǎn)前后圖形全等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段間的夾角為旋轉(zhuǎn)角）即可得出答案．【解答】解：旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小，只改變圖形的位置，故答案為：形狀，大?。军c評】本題考查了有關(guān)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：（1）旋轉(zhuǎn)是指一個圖形繞一點沿一定方向旋轉(zhuǎn)一定的角度，它有三要素：①旋轉(zhuǎn)中心（繞著轉(zhuǎn)的那個點），②旋轉(zhuǎn)方向（順時針還是逆時針）③旋轉(zhuǎn)的角度；（2）旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是：①旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小與形狀，只改變圖形的位置，也就是旋轉(zhuǎn)前后圖形全等；②對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段間的夾角為旋轉(zhuǎn)角．9．（2023?巴彥淖爾）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△DEC，則AE的長是+．【分析】如圖，連接AD，由題意得：CA=CD，∠ACD=60°，得到△ACD為等邊三角形根據(jù)AC=AD，CE=ED，得出AE垂直平分DC，于是求出EO=DC=，OA=AC?sin60°=，最終得到答案AE=EO+OA=+．【解答】解：如圖，連接AD，由題意得：CA=CD，∠ACD=60°，∴△ACD為等邊三角形，∴AD=CA，∠DAC=∠DCA=∠ADC=60°；∵∠ABC=90°，AB=BC=2，∴AC=AD=2，∵AC=AD，CE=ED，∴AE垂直平分DC，∴EO=DC=，OA=CA?sin60°=，∴AE=EO+OA=+，故答案為+．【點評】本題考查了圖形的變換﹣旋轉(zhuǎn)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，準確把握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2023?黔東南州）如圖，在△ACB中，∠BAC=50°，AC=2，AB=3，現(xiàn)將△ACB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)50°得到△AC1B1，則陰影部分的面積為π．【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，由此可得S陰影=，根據(jù)扇形面積公式即可得出結(jié)論．【解答】解：∵，∴S陰影==πAB2=π．故答案為：π．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及扇形的面積公式，解題的關(guān)鍵是找出S陰影=．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找出陰影部分的面積等于扇形的面積是關(guān)鍵．11．（2023?大連）如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，點C和點E是對應(yīng)點，若∠CAE=90°，AB=1，則BD=．【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AB=AD=1，∠BAD=∠CAE=90°，再根據(jù)勾股定理即可求出BD．【解答】解：∵將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)的到△ADE，點C和點E是對應(yīng)點，∴AB=AD=1，∠BAD=∠CAE=90°，∴BD===．故答案為．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：①對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；②對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了勾股定理，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．12．（2023?溫州）如圖，將△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)至△A′B′C，使點A′落在BC的延長線上．已知∠A=27°，∠B=40°，則∠ACB′=46度．【分析】先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠ACA′=67°，再由△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)至△A′B′C，得到△ABC≌△A′B′C，證明∠BCB′=∠ACA′，利用平角即可解答．【解答】解：∵∠A=27°，∠B=40°，∴∠ACA′=∠A+∠B=27°+40°=67°，∵△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)至△A′B′C，∴△ABC≌△A′B′C，∴∠ACB=∠A′CB′，∴∠ACB﹣∠B′CA=∠A′CB﹣∠B′CA，即∠BCB′=∠ACA′，∴∠BCB′=67°，∴∠ACB′=180°∠ACA′﹣∠BCB′=180°﹣67°﹣67°=46°，故答案為：46．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是由旋轉(zhuǎn)得到△ABC≌△A′B′C．13．（2023?荊門）兩個全等的三角尺重疊放在△ACB的位置，將其中一個三角尺繞著點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至△DCE的位置，使點A恰好落在邊DE上，AB與CE相交于點F．已知∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，AB=8cm，則CF=2cm．【分析】利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出DC=AC，∠D=∠CAB，再利用已知角度得出∠AFC=90°，再利用直角三角形的性質(zhì)得出FC的長．【解答】解：∵將其中一個三角尺繞著點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至△DCE的位置，使點A恰好落在邊DE上，∴DC=AC，∠D=∠CAB，∴∠D=∠DAC，∵∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，∴∠D=∠CAB=60°，∴∠DCA=60°，∴∠ACF=30°，可得∠AFC=90°，∵AB=8cm，∴AC=4cm，∴FC=4cos30°=2（cm）．故答案為：2．【點評】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，正確得出∠AFC的度數(shù)是解題關(guān)鍵．14．（2023?達州）如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點，將線段AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，連接BQ．若PA=6，PB=8，PC=10，則四邊形APBQ的面積為24+9．【分析】連結(jié)PQ，如圖，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠BAC=60°，AB=AC，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AP=PQ=6，∠PAQ=60°，則可判斷△APQ為等邊三角形，所以PQ=AP=6，接著證明△APC≌△ABQ得到PC=QB=10，然后利用勾股定理的逆定理證明△PBQ為直角三角形，再根據(jù)三角形面積公式，利用S四邊形APBQ=S△BPQ+S△APQ進行計算．【解答】解：連結(jié)PQ，如圖，∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC，∵線段AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，∴AP=PQ=6，∠PAQ=60°，∴△APQ為等邊三角形，∴PQ=AP=6，∵∠CAP+∠BAP=60°，∠BAP+∠BAQ=60°，∴∠CAP=∠BAQ，在△APC和△ABQ中，，∴△APC≌△ABQ，∴PC=QB=10，在△BPQ中，∵PB2=82=64，PQ2=62，BQ2=102，而64+36=100，∴PB2+PQ2=BQ2，∴△PBQ為直角三角形，∠BPQ=90°，∴S四邊形APBQ=S△BPQ+S△APQ=×6×8+×62=24+9．故答案為24+9．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了勾股定理和等邊三角形的性質(zhì)．15．（2023?呼倫貝爾）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，把△ABC繞AB邊上的點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′B′C′，A′C′交AB于點E，若AD=BE，則△A′DE的面積是．【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理求得AB=5，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AD=A′D，設(shè)AD=A′D=BE=x，則DE=5﹣2x，根據(jù)旋轉(zhuǎn)90°可證△A′DE∽△ACB，利用相似比求x，再求△A′DE的面積．【解答】解：Rt△ABC中，由勾股定理求AB==5，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，設(shè)AD=A′D=BE=x，則DE=5﹣2x，∵△ABC繞AB邊上的點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′B′C′，∴∠A′=∠A，∠A′DE=∠C=90°，∴△A′DE∽△ACB，∴=，即=，解得x=，∴S△A′DE=DE×A′D=×（5﹣2×）×=，故答案為：．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出相似三角形，利用相似比求解．16．（2023?寧德）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，點D、E分別是AB、AC的中點，點G、F在BC邊上（均不與端點重合），DG∥EF．將△BDG繞點D順時針旋轉(zhuǎn)180°，將△CEF繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)180°，拼成四邊形MGFN，則四邊形MGFN周長l的取值范圍是≤l＜13．．【分析】如圖，連接DE，作AH⊥BC于H．首先證明GF=DE=，要求四邊形MNFG周長的取值范圍，只要求出MG的最大值和最小值即可．【解答】解：如圖，連接DE，作AH⊥BC于H．在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，AB=4，AC=3，∴BC==5，∵?AB?AC=?BC?AH，∴AH=，∵AD=DB，AE=EC，∴DE∥CB，DE=BC=，∵DG∥EF，∴四邊形DGFE是平行四邊形，∴GF=DE=，由題意MN∥BC，GM∥FN，∴四邊形MNFG是平行四邊形，∴當MG=NF=AH時，可得四邊形MNFG周長的最小值=2×+2×=，當G與B重合時可得周長的最大值為13，∵G不與B重合，∴≤l＜13．故答案為≤l＜13．【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)變換、勾股定理、平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會取特殊點解決問題，屬于中考常考題型．17．（2023?綏化）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=30°，將△DCB繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°后，點D的對應(yīng)點恰好與點A重合，得到△ACE，若AB=3，BC=4，則BD=5（提示：可連接BE）【分析】要求BD的長，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，只要求出AE的長即可，由題意可得到三角形ABE的形狀，從而可以求得AE的長，本題得以解決．【解答】解：連接BE，如右圖所示，∵△DCB繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACE，AB=3，BC=4，∠ABC=30°，∴∠BCE=60°，CB=CE，AE=BD，∴△BCE是等邊三角形，∴∠CBE=60°，BE=BC=4，∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=30°+60°=90°，∴AE=，又∵AE=BD，∴BD=5，故答案為：5．【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．三．解答題18．（2023?南京）我們在學完“平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)”三種圖形的變化后，可以進行進一步研究，請根據(jù)示例圖形，完成下表．圖形的變化示例圖形與對應(yīng)線段有關(guān)的結(jié)論與對應(yīng)點有關(guān)的結(jié)論平移（1）AB=A′B′，AB∥A′B′AA′=BB′AA′∥BB′軸對稱（2）AB=A′B′；對應(yīng)線段AB和A′B′所在的直線如果相交，交點在對稱軸l上．（3）l垂直平分AA′旋轉(zhuǎn)AB=A′B′；對應(yīng)線段AB和A′B′所在的直線相交所成的角與旋轉(zhuǎn)角相等或互補．（4）OA=OA′，∠AOA′=∠BOB′【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）同（2）；（4）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）平移的性質(zhì)：平移前后的對應(yīng)線段相等且平行．所以與對應(yīng)線段有關(guān)的結(jié)論為：AB=A′B′，AB∥A′B′；（2）軸對稱的性質(zhì)：AB=A′B′；對應(yīng)線段AB和A′B′所在的直線如果相交，交點在對稱軸l上．（3）軸對稱的性質(zhì)：軸對稱圖形對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線．所以與對應(yīng)點有關(guān)的結(jié)論為：l垂直平分AA′．（4）OA=OA′，∠AOA′=∠BOB′．故答案為：（1）AB=A′B′，AB∥A′B′；（2）AB=A′B′；對應(yīng)線段AB和A′B′所在的直線如果相交，交點在對稱軸l上．；（3）l垂直平分AA′；（4）OA=OA′，∠AOA′=∠BOB′．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，余角和補角的性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（2023?婁底）如圖，將等腰△ABC繞頂點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)α度到△A1BC1的位置，AB與A1C1相交于點D，AC與A1C1、BC（1）求證：△BCF≌△BA1D．（2）當∠C=α度時，判定四邊形A1BCE的形狀并說明理由．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AB=BC，∠A=∠C，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBC1，根據(jù)全等三角形的判定定理得到△BCF≌△BA1D；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠A1=∠A，根據(jù)平角的定義得到∠DEC=180°﹣α，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得到∠ABC=360°﹣∠A1﹣∠C﹣∠A1EC=180°﹣α，證得四邊形A1BCE是平行四邊形，由于A1B=BC，即可得到四邊形A1BCE是菱形．【解答】（1）證明：∵△ABC是等腰三角形，∴AB=BC，∠A=∠C，∵將等腰△ABC繞頂點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)α度到△A1BC1的位置，∴A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBC1，在△BCF與△BA1D中，，∴△BCF≌△BA1D；（2）解：四邊形A1BCE是菱形，∵將等腰△ABC繞頂點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)α度到△A1BC1的位置，∴∠A1=∠A，∵∠ADE=∠A1DB，∴∠AED=∠A1BD=α，∴∠DEC=180°﹣α，∵∠C=α，∴∠A1=α，∴∠ABC=360°﹣∠A1﹣∠C﹣∠A1EC=180°﹣α，∴∠A1=∠C，∠A1BC=∠AEC，∴四邊形A1BCE是平行四邊形，∴A1B=BC，∴四邊形A1BCE是菱形．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．20．（2023?荊門）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D，E分別在AB，AC上，CE=BC，連接CD，將線段CD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得CF，連接EF．（1）補充完成圖形；（2）若EF∥CD，求證：∠BDC=90°．【分析】（1）根據(jù)題意補全圖形，如圖所示；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DCF為直角，由EF與CD平行，得到∠EFC為直角，利用SAS得到三角形BDC與三角形EFC全等，利用全等三角形對應(yīng)角相等即可得證．【解答】解：（1）補全圖形，如圖所示；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠DCF=90°，∴∠DCE+∠ECF=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCE+∠BCD=90°，∴∠ECF=∠BCD，∵EF∥DC，∴∠EFC+∠DCF=180°，∴∠EFC=90°，在△BDC和△EFC中，，∴△BDC≌△EFC（SAS），∴∠BDC=∠EFC=90°．【點評】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．21．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（﹣2，0），等邊三角形AOC經(jīng)過平移或軸對稱或旋轉(zhuǎn)都可以得到△OBD．（1）△AOC沿x軸向右平移得到△OBD，則平移的距離是2個單位長度；△AOC與△BOD關(guān)于直線對稱，則對稱軸是y軸；△AOC繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)得到△DOB，則旋轉(zhuǎn)角度可以是120度；（2）連結(jié)AD，交OC于點E，求∠AEO的度數(shù)．【分析】（1）由點A的坐標為（﹣2，0），根據(jù)平移的性質(zhì)得到△AOC沿x軸向右平移2個單位得到△OBD，則△AOC與△BOD關(guān)于y軸對稱；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠AOC=∠BOD=60°，則∠AOD=120°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義得△AOC繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△DOB；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到OA=OD，而∠AOC=∠BOD=60°，得到∠DOC=60°，所以O(shè)E為等腰△AOD的頂角的平分線，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到OE垂直平分AD，則∠AEO=90°．【解答】解：（1）∵點A的坐標為（﹣2，0），∴△AOC沿x軸向右平移2個單位得到△OBD；∴△AOC與△BOD關(guān)于y軸對稱；∵△AOC為等邊三角形，∴∠AOC=∠BOD=60°，∴∠AOD=120°，∴△AOC繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△DOB．（2）如圖，∵等邊△AOC繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△DOB，∴OA=OD，∵∠AOC=∠BOD=60°，∴∠DOC=60°，即OE為等腰△AOD的頂角的平分線，∴OE垂直平分AD，∴∠AEO=90°．故答案為2；y軸；120．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了等邊三角形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)以及平移的性質(zhì)．22．如圖1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC的平分線BE交AC于E．（1）求證：AE=BC；（2）如圖（2），過點E作EF∥BC交AB于F，將△AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′，連結(jié)C