第三章單相正弦交流電路

本章主要內(nèi)容3.1正弦交流電的基本概念3.2正弦量的相量表示法3.3單一參數(shù)的正弦交流電路3.4RLC串聯(lián)交流電路3.5復(fù)阻抗的串聯(lián)和并聯(lián)3.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率及功率因數(shù)3.7電路的諧振第三章單相正弦交流電路正弦交流電壓的波形正弦交流電壓函數(shù)即瞬時值表達(dá)式3.1正弦交流電的基本概念1.正弦量及其瞬時值正弦交流電是指大小和方向都隨時間按正弦規(guī)律作周期性變化的電量。正弦交流電的和、差、微分、積分等運(yùn)算仍然是同頻率的正弦交流電。（1）最大值（振幅）正弦量瞬時值中的最大值，又叫峰值。記作Um、Im等2.正弦信號的三要素振幅

Um、角頻率、初相位（2）頻率f、周期T、角頻率頻率f：交流電在單位時間內(nèi)完成周期性變化的次數(shù)。單位：赫茲(Hz)，千赫(kHz),兆赫(MHz)...周期T：波形變化一周所需的時間單位：秒(s)，毫秒(ms),微秒(s)…角頻率ω：正弦量在單位時間內(nèi)變化的弧度數(shù)單位：弧度/秒(rad/s)（3）初相位對于正弦量指正弦波在時刻t的相位角或相位，它以2為周期。為t=0時的相位，稱為初相位或初相角。-≤≤3.相位差相位差兩個同頻率的正弦量可以比較相位U1和U2相位關(guān)系有4種情況：電流超前電壓電壓與電流同相

電流超前電壓

電壓與電流反相uiωtui90°OuiωtuiOωtuiuiOuiωtuiO設(shè)：已知我國的交流電f＝50Hz,試求T和ω

。解：

例3-1

ω＝2πf＝2×3.14×50＝314rad/s例3-2在選定的參考方向下，已知兩正弦量的解析式為量的三要素。試求兩個正弦解：

例3-3已知求u和i的初相，并說明它們之間的相位關(guān)系。解：

說明電壓u滯后于電流i170o。u和i為同頻率的兩個正弦量4.有效值在工程應(yīng)用中常用有效值表示周期性信號的大小，有效值表示與正弦電壓或電流平均熱效應(yīng)相當(dāng)?shù)闹绷髦?。?shù)學(xué)上表示為方均根值對于正弦電壓、電流有效值與振幅之間的關(guān)系為根據(jù)定義例3-4電容器的耐壓值為250V,問能否用在220V的單相交流電源上？解：電容可能被擊穿，所以不能接在220V的單相電源上交流電的相量表示法是為了便于分析和計(jì)算。用復(fù)數(shù)的運(yùn)算方法進(jìn)行交流電的分析和計(jì)算，稱為交流電的相量表示法。1.復(fù)數(shù)的表達(dá)形式代數(shù)形式在復(fù)平面上的有向線段A如右圖所示。A=a+jb圖中:橫軸為實(shí)軸，單位為+1，a為A的實(shí)部?？v軸為虛軸，單位為+j，b是A的虛部。r是A的模，Φ是A與實(shí)軸的夾角，稱為復(fù)數(shù)幅角3.2正弦量的相量表示法三角形式A=a+jb

=rcosθ+jrsinθ=r(cosθ

+jsinθ)指數(shù)形式歐拉公式ejθ=cosθ+jsinθ

A=rejθ

極坐標(biāo)形式 A=r∠θ正弦量u=Umsin(ωt+ψu(yù))相量表示為:正弦量的幅值為復(fù)數(shù)的模；相位角為復(fù)數(shù)的幅角；上式稱為正弦電壓的最大值相量。也可以用有效值向量表示，為U為有效值2.正弦量的相量表示例3-5已知試求總電流,并畫出相量圖。解：

③i的瞬時值表達(dá)式②相量法求和①最大值相量④相量圖例3-6如圖3-6所示是時間t=0時電壓和電流的相量圖，已知U=220V,I1=10A,試分別用三角函數(shù)式及相量式表示各正弦量。三角函數(shù)及各相量式分別為解：由圖可知3.3單一參數(shù)的交流電路3.3.1交流電路中的電阻元件1.設(shè)電路圖（a）中電阻兩端的電壓為則電阻中的電流為最大值：相量表示顯然,電阻上的u和i電流是同頻率、同相位，如圖（b）.有效值：2.功率與能量轉(zhuǎn)換關(guān)系

瞬時功率:電壓瞬時值與電流瞬時值的乘積，用小寫字母p表示，即P=u

i

應(yīng)用電壓和電流瞬時值進(jìn)行計(jì)算，

P=u

i

=Umsinωt·Imsinωt=UmImsin2ωt

=UI(1–cos2ωt)

瞬時功率含有兩個部分：

常量U

I和兩倍頻率。如圖上(d)所示的曲線。平均功率---瞬時功率的平均值單位:瓦（W）平均功率又叫有功功率。PppωtO

電路處于穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài)下，一個周期內(nèi)R所消耗的平均功率。例3-7一只額定電壓為220V，功率為100W的電烙鐵，誤接在380V的交流電源上，問此時它接受的功率為多少？是否安全？若接到110V的交流電源上，它的功率又為多少？解：由電烙鐵的額定值可得①當(dāng)接至電壓為380V的電源時，電烙鐵的功率為②當(dāng)接至110V的交流電源時，電烙鐵的功率為電烙鐵將被燒壞電烙鐵達(dá)不到正常使用的溫度3.3.2正弦交流電路中的電感元件1.電壓與電流的關(guān)系取關(guān)聯(lián)參考方向設(shè)電流iL為參考正弦量iL

=ILmsinωt

則電感兩端的電壓：

有效值:(1)

頻率相同(2)

U=IL

(3)

電壓超前電流90相位差uωtuiiO或則:感抗(Ω)電感L具有通直阻交的作用直流：f=0,XL=0，電感L視為短路定義：有效值:交流：fXL感抗XL是頻率的函數(shù)可得相量式：電感電路復(fù)數(shù)形式的歐姆定律相量圖根據(jù)：則：O2.功率與能量轉(zhuǎn)換關(guān)系(1)瞬時功率(2)平均功率L是非耗能元件儲能p<0+p>0分析：瞬時功率：ui+-ui+-ui+-ui+-+p>0p<0放能儲能放能電感L是儲能元件。iuopo結(jié)論：純電感不消耗能量，只和電源進(jìn)行能量交換用以衡量電感與電源之間能量交換的規(guī)模。用瞬時功率達(dá)到的最大值表征，即單位：“乏”var，“千乏”kvar、“毫乏”mvar(3)無功功率Q瞬時功率：例3-8在功放機(jī)的電路中，有一個高頻扼流線圈，用來阻擋高頻干擾。已知扼流圈的電感L=10mH，求它對電壓為5V，頻率為f1＝500KHz的高頻信號和頻率為f2=1KHz的音頻信號的感抗及線圈上的無功功率分別是多少？解：①對于頻率為f1＝500KHz，②對于頻率為f2=1KHz所以電感元件具有通低頻阻高頻的特性

基本關(guān)系式：1.電流與電壓的關(guān)系(1)

頻率相同(2)

IC=UCC

(3)電流超前電壓90(或電壓滯后電流90）相位差則：3.3.3

正弦交流電路中的電容元件uCiCC+_設(shè)：iuiu或則:容抗（Ω）定義：有效值所以電容C具有隔直通交的作用XC直流：XC

，電容C視為開路交流：f容抗XC是頻率的函數(shù)則：電容電路中復(fù)數(shù)形式的歐姆定律相量圖O由：可得相量式-jXC稱為復(fù)容抗2.功率與能量轉(zhuǎn)換關(guān)系(1)瞬時功率uiC+_

(2)平均功率Ｐ由C是非耗能元件瞬時功率：ui+-ui+-ui+-ui+-+p>0充電p<0放電+p>0充電p<0放電po所以電容C是儲能元件。結(jié)論：純電容不消耗能量，只和電源進(jìn)行能量交換。uiou,i用瞬時功率的最大值表示。(3)無功功率Q單位：var例3-9在收音機(jī)的輸出電路中，常利用電容來短路掉高頻干擾信號，保留音頻信號。如高頻濾波電容為0.1μF，干擾信號的頻率為f1＝2000KHz，音頻信號的頻率f2=2KHz，求電容對干擾信號的感抗的容抗分別為多少？解：①對于頻率為f1＝2000KHz，②對于頻率為f2=2KHz1.電壓和電流的關(guān)系3.4R、L、C

串聯(lián)交流電路設(shè)：RLC+_+_+_+_RjXL-jXC+_+_+_+_(a)電路圖(b)相量模型相量表示為：（參考相量）則總電壓與總電流的相量關(guān)系式(3)由KVL得RjXL-jXC+_+_+_+_令則

Z的模表示u、i的大小關(guān)系，輻角（阻抗角）為u、i的相位差。Z

是一個復(fù)數(shù)，不是相量，上面不能加點(diǎn)。復(fù)阻抗根據(jù)注意：復(fù)數(shù)形式的歐姆定律電路參數(shù)與電路性質(zhì)的關(guān)系：阻抗模：阻抗角：當(dāng)XL>XC

時，

>0

，u

超前i

電路呈感性當(dāng)XL<XC

時，

<0

，u

滯后i

電路呈容性當(dāng)XL=XC

時，=0

，u.

i同相呈電阻性

由電路參數(shù)決定。2)相量圖(

>0感性)XL

>

XC由電壓三角形可得:(

<0容性)XL

<

XC電壓三角形RjXL-jXC+_+_+_+_由相量圖可求得:2)相量圖由阻抗三角形：例3-10已知一電感線圈電阻R=60Ω,電感L=764mH，和一電容為C=20μF的電容器串聯(lián)后接入電源為的電源兩端，試求電路的等效復(fù)阻抗Z，電流i及電壓uR,uL和uC的解析式，并畫出相量圖。解：選定i、uR、uL、uC與電源電壓參考方向一致RjXL-jXC+_+_+_+_3.5

復(fù)阻抗的串聯(lián)與并聯(lián)1.阻抗的串聯(lián)分壓公式：對于阻抗模一般注意：+-++--+-2.阻抗并聯(lián)分流公式：對于阻抗模一般注意：+-+-通式:例3-11設(shè)有兩個負(fù)載Z1=(12.32+j18)Ω和Z2=(5-j8)Ω，如圖所示，串聯(lián)接在的電源上，使用相量計(jì)算電路中的電流和各個阻抗上的電壓并畫出相量圖。解：選關(guān)聯(lián)參考方向，為參考相量，++--+-例3-12設(shè)有兩個負(fù)載Z1=(3+j4)Ω和Z2=(0.8-j0.4)Ω，如圖所示，并聯(lián)接在的電源上，試求該電路的支路電流I1，I2和總電流I，并畫出相量圖。解：選關(guān)聯(lián)參考方向，為參考相量+-2.功率關(guān)系儲能元件上的瞬時功率耗能元件上的功率在每一瞬間,電源提供的功率一部分被耗能元件消耗掉,一部分與儲能元件進(jìn)行能量交換。(1)瞬時功率設(shè)：RLC+_+_+_+_(2)平均功率P

（有功功率）單位:W總電壓總電流u與i

的夾角cos

稱為功率因數(shù)，用λ表示，用來衡量對電源的利用程度。(3)無功功率Q單位：var根據(jù)電壓三角形可得：電阻消耗的電能根據(jù)電壓三角形可得：電感和電容與電源之間的能量互換>0，Q>0，電路呈感性，電抗吸收能量，<0，Q<0，電路呈容性，電抗發(fā)出能量,=0，Q=0，電路呈純電阻性(4)視在功率S電路中總電壓與總電流有效值的乘積。單位：V·A發(fā)電機(jī)、變壓器等供電設(shè)備的額定容量通常用視在功率表示單位：伏安(V·A)或千伏安(KV·A)阻抗三角形、電壓三角形、功率三角形SQP將電壓三角形的有效值同除I得到阻抗三角形將電壓三角形的有效值同乘I得到功率三角形R例3-14在RLC串聯(lián)電路中，已知電阻R=40Ω

，電感L=233mH,電容C=80μF，電路兩端的電壓,試求（1）電路的阻抗。（2）電流的有效值。(3)各元件兩端電壓的有效值。（4）電路的有功功率、無功功率和視在功率。（5）電路的性質(zhì).解：（1）(2)電流有效值(4)(5)阻抗角阻抗角大于零，所以電壓超前電流，電路呈感性。(3)各元件兩端電壓例3-15在如圖所示的RLC并聯(lián)電路中，已知R=40Ω，L=5μH,

C=0.4μF，電壓有效值U=10V,ω=106rad/s,試求（1）總電流i，說明電路的性質(zhì).(2)P,Q,S.解：（1）設(shè)各支路電流電壓的相位滯后電流45o,所以電路呈容性（2）3.7電路的諧振在同時含有L和C的交流電路中，如果總電壓和總電流同相，稱電路處于諧振狀態(tài)。此時電路與電源之間不再有能量的交換，電路呈電阻性。諧振的概念：1.串聯(lián)諧振諧振發(fā)生在R、L、C串聯(lián)電路中RLC+_(a)電路圖RjXL-jXC+_(b)相量模型(c)相量圖同相由定義，諧振時：即諧振條件：(1)諧振條件設(shè)諧振時的角頻率為ω0或等效阻抗：RjXL-jXC+_(b)相量模型ω0稱為稱諧振角頻率，f0稱為稱諧振頻率。電路發(fā)生諧振的方法：②電源頻率f

一定，調(diào)參數(shù)L、C使fo=f；①電路參數(shù)LC

一定，調(diào)電源頻率f，使f=fo(2)串聯(lián)諧振的特點(diǎn)①阻抗最小，為純電阻性諧振頻率：(a)

阻抗諧振曲線串聯(lián)電路的阻抗頻率特性

阻抗隨頻率變化的關(guān)系。容性感性0（b）電流諧振曲線。諧振電流②電流最大，與電源電壓同相電路呈電阻