清華控制工程基礎(chǔ)課件

控制工程基礎(chǔ)

（第四章）

清華大學(xué)2023/2/6控制工程基礎(chǔ)第四章控制系統(tǒng)的頻率特性4.1機(jī)電系統(tǒng)頻率特性的概念及其基本實(shí)驗(yàn)方法4.2極坐標(biāo)圖（Nyquist圖）4.3對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖（Bode圖）4.4由頻率特性曲線求系統(tǒng)傳遞函數(shù)4.5由單位脈沖響應(yīng)求系統(tǒng)的頻率特性*4.6對(duì)數(shù)幅相圖（Nichols圖）4.7控制系統(tǒng)的閉環(huán)頻響4.8機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)剛度的概念2023/2/6控制工程基礎(chǔ)

頻域法是一種工程上廣為采用的分析和綜合系統(tǒng)間接方法。另外，除了電路與頻率特性有著密切關(guān)系外，在機(jī)械工程中機(jī)械振動(dòng)與頻率特性也有著密切的關(guān)系。機(jī)械受到一定頻率作用力時(shí)產(chǎn)生強(qiáng)迫振動(dòng)，由于內(nèi)反饋還會(huì)引起自激振動(dòng)。機(jī)械振動(dòng)學(xué)中的共振頻率、頻譜密度、動(dòng)剛度、抗振穩(wěn)定性等概念都可歸結(jié)為機(jī)械系統(tǒng)在頻率域中表現(xiàn)的特性。頻域法能簡便而清晰地建立這些概念。

2023/2/6控制工程基礎(chǔ)頻率特性的物理背景

2023/2/6控制工程基礎(chǔ)對(duì)于一般線性系統(tǒng)均有類似的性質(zhì)。系統(tǒng)對(duì)正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)稱為頻率響應(yīng)。當(dāng)輸入正弦信號(hào)時(shí)，線性系統(tǒng)輸出穩(wěn)定后也是正弦信號(hào)，其輸出正弦信號(hào)的頻率與輸入正弦信號(hào)的頻率相同；輸出幅值和輸出相位按照系統(tǒng)傳遞函數(shù)的不同隨著輸入正弦信號(hào)頻率的變化而有規(guī)律的變化，如下圖所示。

2023/2/6控制工程基礎(chǔ)傅立葉正變換式

傅立葉反變換式

見光盤課件（第四章第一節(jié)）

2023/2/6控制工程基礎(chǔ)例：如下圖所示系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)為

將s代之以jω，即得到系統(tǒng)的頻率特性函數(shù)為2023/2/6控制工程基礎(chǔ)例：試求的幅頻特性和相頻特性。解：2023/2/6控制工程基礎(chǔ)頻率特性的極坐標(biāo)圖（乃奎斯特圖，或乃氏圖）

乃奎斯特（H.Nyquist)，1889~1976，美國Bell實(shí)驗(yàn)室著名科學(xué)家見光盤課件（第四章第二節(jié)）2023/2/6控制工程基礎(chǔ)各型乃氏圖的低頻段2023/2/6控制工程基礎(chǔ)

通常，機(jī)電系統(tǒng)頻率特性分母的階次大于分子的階次，故當(dāng)ω→∞時(shí)，乃氏圖曲線終止于坐標(biāo)原點(diǎn)處；而當(dāng)頻率特性分母的階次等于分子的階次，當(dāng)ω→∞時(shí)，乃氏圖曲線終止于坐標(biāo)實(shí)軸上的有限值。一般在系統(tǒng)頻率特性分母上加極點(diǎn)，使系統(tǒng)相角滯后；而在系統(tǒng)頻率特性分子上加零點(diǎn)，使系統(tǒng)相角超前。2023/2/6控制工程基礎(chǔ)令ω從-∞增長到0，相應(yīng)得出的乃氏圖是與ω從0增長到十∞得出的乃氏圖以實(shí)軸對(duì)稱的，例如圖4-24所示的乃氏圖。2023/2/6控制工程基礎(chǔ)

逆Nyquist圖有時(shí)為了將無窮遠(yuǎn)處的部分表示在原點(diǎn)附近，可畫逆極坐標(biāo)圖，它是在極坐標(biāo)上畫圖，而不是圖。F（jω）的倒數(shù)，稱為逆頻率特性函數(shù)，記作

顯然，逆幅頻和逆相頻特性函數(shù)與幅頻和相頻特性函數(shù)之間有如下的關(guān)系：

圖象稱為逆Nyquist圖。2023/2/6控制工程基礎(chǔ)

頻率特性的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖（伯德圖）

伯德（H.W.Bode)，1905~1982，美國Bell實(shí)驗(yàn)室著名科學(xué)家2023/2/6控制工程基礎(chǔ)

圖4-25幅頻特性坐標(biāo)伯德圖幅值所用的單位分貝（dB）定義為

n（dB）=201gN

若ω2=10ω1，則稱從ω1到ω2為十倍頻程，以“dec.”（decade）表示。2023/2/6控制工程基礎(chǔ)

圖4-26相頻特性坐標(biāo)2023/2/6控制工程基礎(chǔ)見光盤課件（第四章第三、四、五節(jié)）2023/2/6控制工程基礎(chǔ)最小相位系統(tǒng)2023/2/6控制工程基礎(chǔ)I型系統(tǒng)伯德圖低頻段高度的確定2023/2/6控制工程基礎(chǔ)Ⅱ型系統(tǒng)伯德圖低頻段高度的確定2023/2/6控制工程基礎(chǔ)頻率特性函數(shù)求取方法(1)如果已知系統(tǒng)的微分方程，可將輸入變量以正弦函數(shù)代入，求系統(tǒng)的輸出變量的穩(wěn)態(tài)解，輸出變量的穩(wěn)態(tài)解與輸入正弦函數(shù)的復(fù)數(shù)比即為系統(tǒng)的頻率特性函數(shù)。(2)如果已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，可將系統(tǒng)傳遞函數(shù)中的s代之以jω，即得到系統(tǒng)的頻率特性函數(shù)。(3)可以通過實(shí)驗(yàn)的手段求出。2023/2/6控制工程基礎(chǔ)頻率特性函數(shù)實(shí)驗(yàn)求取方法2023/2/6控制工程基礎(chǔ)頻率特性函數(shù)實(shí)驗(yàn)求取方法2023/2/6控制工程基礎(chǔ)頻率特性函數(shù)實(shí)驗(yàn)求取方法2023/2/6控制工程基礎(chǔ)頻率特性函數(shù)實(shí)驗(yàn)求取方法2023/2/6控制工程基礎(chǔ)頻率特性函數(shù)實(shí)驗(yàn)求取方法2023/2/6控制工程基礎(chǔ)頻率特性函數(shù)實(shí)驗(yàn)求取方法2023/2/6控制工程基礎(chǔ)

由單位脈沖響應(yīng)求系統(tǒng)的頻率特性

已知單位脈沖函數(shù)的拉氏變換象函數(shù)等于1，顯然，單位脈沖函數(shù)的傅氏變換象函數(shù)也等于1，上式說明δ（t）隱含著幅值相等的各種頻率。如果對(duì)某系統(tǒng)輸入一個(gè)單位脈沖，則相當(dāng)于用等單位強(qiáng)度的所有頻率去激發(fā)系統(tǒng)，系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的傅氏變換即為系統(tǒng)的頻率特性。單位脈沖響應(yīng)簡稱為脈沖響應(yīng)，脈沖響應(yīng)函數(shù)又稱為權(quán)函數(shù)。2023/2/6控制工程基礎(chǔ)為了識(shí)別系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，我們可以產(chǎn)生一個(gè)近似的單位脈沖信號(hào)δ（t）作為系統(tǒng)的輸入，記錄系統(tǒng)響應(yīng)的曲線g(t),則系統(tǒng)的頻率特性為

（4.16）

對(duì)于漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)，系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)隨時(shí)間增長逐漸趨于零。因此，可以對(duì)照式（4.16）對(duì)響應(yīng)g(t)采樣足夠的點(diǎn)，借助計(jì)算機(jī)，用多點(diǎn)求和的方法即可近似求出系統(tǒng)頻率特性，即2023/2/6控制工程基礎(chǔ)

2023/2/6控制工程基礎(chǔ)對(duì)數(shù)幅相圖

（Nichols

Chart）

N.B.Nichols，美國Taylor儀器公司工程師，二戰(zhàn)期間參與MIT雷達(dá)及火炮控制研究。2023/2/6控制工程基礎(chǔ)

對(duì)數(shù)幅相特性圖(Nichols圖)是描述系統(tǒng)頻率特性的第三種圖示方法。該圖縱坐標(biāo)表示頻率特性的對(duì)數(shù)幅值，以分貝為單位；橫坐標(biāo)表示頻率特性的相位角。對(duì)數(shù)幅相特性圖以頻率ω作為參變量，用一條曲線完整地表示了系統(tǒng)的頻率特性，一些基本環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅相特性特性圖如下圖所示。

2023/2/6控制工程基礎(chǔ)2023/2/6控制工程基礎(chǔ)

對(duì)數(shù)幅相特性圖很容易將伯德圖上的幅頻曲線和相頻曲線合并成一條來繪制。對(duì)數(shù)幅相特性圖有以下特點(diǎn)：

①由于系統(tǒng)增益的改變不影響相頻特性，故系統(tǒng)增益改變時(shí)，對(duì)數(shù)幅相特性圖只有簡單地向上平移（增益增大）或向下平移（增益減?。€形狀保持不變；

②G（ω）和1／G（jω）的對(duì)數(shù)幅相特性圖相對(duì)原點(diǎn)中心對(duì)稱，即幅值和相位均相差一個(gè)符號(hào)；

③利用對(duì)數(shù)相幅特性圖，很容易由開環(huán)頻率特性求閉環(huán)頻率特性，可盡快確定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及方便地解決系統(tǒng)的校正問題。2023/2/6控制工程基礎(chǔ)由開環(huán)頻率特性

估計(jì)閉環(huán)頻率特性低頻時(shí)高頻時(shí)2023/2/6控制工程基礎(chǔ)由開環(huán)頻率特性

估計(jì)閉環(huán)頻率特性

2023/2/6控制工程基礎(chǔ)另外，我們可以利用等M圓和等N圓由開環(huán)頻率特性求出閉環(huán)頻率特性。對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，設(shè)前向通道傳遞函數(shù)為G(s),則其閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(4.22)

在下圖所示的乃奎斯特圖上，向量OA表示

，其中為A點(diǎn)頻率。向量OA的幅值為，向量OA的相角為。由點(diǎn)P（-1，j0）到A點(diǎn)的向量PA可表示為[1十

]。

2023/2/6控制工程基礎(chǔ)由開環(huán)頻率特性

估計(jì)閉環(huán)頻率特性

2023/2/6控制工程基礎(chǔ)由開環(huán)頻率特性

估計(jì)閉環(huán)頻率特性

向量OA與PA之比正好表示了閉環(huán)頻率特性，即

(4.23)在處，閉環(huán)頻率特性的幅值就是向量OA與PA的幅值之比，相位角就是兩向量的相角之差，即夾角，如上圖所示。當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性確定后，根據(jù)上圖就可求出閉環(huán)頻率特性。2023/2/6控制工程基礎(chǔ)由開環(huán)頻率特性

估計(jì)閉環(huán)頻率特性

設(shè)閉環(huán)頻率特性的幅值為M（ω），相位角為φ（ω）,閉環(huán)頻率響應(yīng)可表示為

類似于地圖上等高線的思路，我們可求出閉環(huán)頻率特性的等幅值軌跡和等相角軌跡，在由乃奎斯特圖確定閉環(huán)頻率特性及系統(tǒng)校正時(shí)，這將帶來方便。2023/2/6控制工程基礎(chǔ)

等幅值軌跡（M圓）

設(shè)，式中X和Y均為實(shí)數(shù)，則

（4.25）

式（4.25）兩邊平方，可得

2023/2/6控制工程基礎(chǔ)（4.26）

如果M=1，由式（4.26）可求得X=-1/2，即為通過點(diǎn)（-1/2，0）且平行虛軸的直線。

如果M≠1，式（4.26）可化成

(4.27)

該式就是一個(gè)圓的方程，其圓心為

，半徑為。如下圖。

2023/2/6控制工程基礎(chǔ)

2023/2/6控制工程基礎(chǔ)在復(fù)平面上，等M軌跡是一族圓，對(duì)于給定的M值，可計(jì)算出它的圓心坐標(biāo)和半徑。下圖表示的一族等M圓。由圖上可以看出，當(dāng)M>1時(shí)，隨著M的增大M圓的半徑減小，最后收斂于點(diǎn)（-1,j0）。當(dāng)M＜1時(shí)，隨著M的減小M圓的半徑亦減小，最后收斂于點(diǎn)（0,j0）。M=1時(shí)，其軌跡是過點(diǎn)（-1/2,j0）且平行于虛軸的直線。

2023/2/6控制工程基礎(chǔ)

2023/2/6控制工程基礎(chǔ)

等相角軌跡（N圓）

相角為

即

設(shè)tanφ=N，則

2023/2/6控制工程基礎(chǔ)則

配方整理，可得

（4.28）

由式（4.28）可看出，等相角軌跡是一個(gè)圓心為，半徑為的圓。

下圖表示的是一族等N圓。對(duì)于給定φ值的N圓，實(shí)際上并不是一個(gè)完整的圓，而只是一段圓弧。同時(shí)，由于φ與φ±180°的正切值是相同的,N圓對(duì)應(yīng)的φ具有多值性，例如φ=-35°與φ=145°對(duì)應(yīng)圓弧是相同的。

2023/2/6控制工程基礎(chǔ)

2023/2/6控制工程基礎(chǔ)

應(yīng)用乃奎斯特圖求閉環(huán)頻率特性

應(yīng)用相同的比例尺，將等M圓和等N圓繪制在透明片上，然后再把它覆蓋在以相同比例尺繪制的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)乃奎斯特圖上，乃奎斯特圖與等M圓和等N圓的交點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的幅值與相角由M圓和N圓的參數(shù)決定，對(duì)應(yīng)的頻率由開環(huán)乃奎斯特圖決定，這樣即可求出閉環(huán)頻率特性。找出G（jω）與M圓和N圓的交點(diǎn)，就可繪出閉環(huán)頻率特性曲線。

2023/2/6控制工程基礎(chǔ)

2023/2/6控制工程基礎(chǔ)

應(yīng)用Nichols圖線求閉環(huán)頻率特性

仿照上述等M圓和等N圓的思路，在對(duì)數(shù)幅相特性圖上作出等M圓和等N圓，由它們軌跡構(gòu)成的曲線稱為尼柯爾斯圖線。尼柯爾斯圖線對(duì)稱于-180°軸線，每隔360°,M軌線和N軌線重復(fù)一次，且在每個(gè)180°的間隔上都是對(duì)稱的。在由開環(huán)頻率特性確定閉環(huán)頻率特性時(shí)，應(yīng)用相同的比例尺，將尼柯爾斯圖線繪制在透明片上，然后再把它覆蓋在以相同比例尺繪制的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)對(duì)數(shù)幅相圖上，則開環(huán)頻率特性曲線G（jω）與M軌線和N軌線的交點(diǎn)，就給出了每一頻率上閉環(huán)頻率特性的幅值M和相角φ。若G（jω）軌跡與M軌線相切，切點(diǎn)處頻率就是諧振頻率，諧振峰值由M軌線對(duì)應(yīng)的幅值確定。

2023/2/6控制工程基礎(chǔ)

2023/2/6控制工程基礎(chǔ)例:一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

G（jω）軌跡與M軌線和N軌線，如下圖所示。閉環(huán)頻率特性曲線如圖（b）所示。由于G（jω）軌跡是與M=5dB的軌跡相切，所以閉環(huán)頻率特性的諧振峰值為=5dB，而諧振頻率。此外G（jω）與M=-3dB軌跡交點(diǎn)的頻率在1.2~1.4rad/s之間，采用插值計(jì)算可大致確定閉環(huán)截止頻率為

=1.3rad／s。

2023/2/6控制工程基礎(chǔ)

2023/2/6控制工程基礎(chǔ)非單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性

對(duì)于非單位反饋系統(tǒng)，其閉環(huán)頻率特性可寫為

在求取閉環(huán)頻率特性時(shí)，在尼柯爾斯圖上畫出的軌跡，由軌跡與M軌線和N軌線的交點(diǎn)，就可得到

的某一頻率下的幅值和相角，用乘以

就可得到系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性。

2023/2/6控制工程基礎(chǔ)系統(tǒng)頻域指標(biāo)

2023/2/6控制工程基礎(chǔ)一個(gè)典型的由質(zhì)量-彈簧-阻尼構(gòu)成的機(jī)械系統(tǒng)的質(zhì)量塊在輸入力f（t）作用下產(chǎn)生的輸出位移為y（t），其傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)的頻率特性為

該式反映了動(dòng)態(tài)作用力f（t）與系統(tǒng)動(dòng)態(tài)變形y（t）之間的關(guān)系，如下圖所示。

2023/2/6控制工程基礎(chǔ)實(shí)質(zhì)上表示的是機(jī)械結(jié)構(gòu)的動(dòng)柔度，也就是它的動(dòng)剛度的倒數(shù)，即