第4章無限長脈沖響應(IIR)數字濾波器的設計2

第4章無限脈沖響應（IIR）數字濾波器的設計4.1數字濾波器的基本概念4.2模擬濾波器的設計4.3用脈沖響應不變法設計IIR數字低通濾波器4.4用雙線性變換法設計IIR數字低通濾波器4.5數字高通、帶通和帶阻濾波器的設計4.1數字濾波器的基本概念

數字濾波器是指輸入、輸出均為數字信號，通過數值運算處理改變輸入信號所含頻率成分的相對比例，或者濾除某些頻率成分的線性移不變系統(tǒng)、數字器件或程序。數字濾波的概念和模擬濾波相同，只是信號的形式和實現濾波方法不同。因為數字濾波通過數值運算實現濾波，所以數字濾波器處理精度高、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活、不存在阻抗匹配問題，可以實現模擬濾波器無法實現的特殊濾波功能。如果要處理的是模擬信號，可通過A/DC和D/AC，同樣可以使用數字濾波器對模擬信號進行濾波。

數字濾波器是對信號實現濾波的線性時不變系統(tǒng)（數字系統(tǒng)或時域離散系統(tǒng)）。x(n)y(n)h(n)1.數字濾波器的濾波原理

輸入序列x(n)，通過單位抽樣響應為h(n)的線性時不變系統(tǒng)（數字濾波器）后，其輸出響應y(n)為：將上式兩邊經過傅里葉變換，可得：

式中，Y(ejω)、X(ejω)分別為輸出序列和輸入序列的頻譜，H(ejω)是系統(tǒng)的頻率響應。

如果|H(ejω)|的值在某些頻率上是比較小的，則輸入信號經過濾波后在這些頻率點上的幅值被抑制。因此，可以按照輸入信號頻譜的特點和處理信號的目的，適當選擇H(ejω)，使得濾波后的X(ejω)H(ejω)符合要求，這是濾波器的濾波原理。

上式可以理解為：輸入序列原頻譜為X(ejω)，經過數字濾波器（頻率響應為H(ejω)）濾波后，頻譜變?yōu)閄(ejω)H(ejω)。2.數字濾波器的分類

經典濾波器的特點是其輸入信號中有用的頻率成分和希望濾除的頻率成分各占有不同的頻帶，通過一個合適的選頻濾波器濾除干擾，得到純凈信號，達到濾波的目的。（1）數字濾波器總體上可分為兩大類：

經典濾波器和現代濾波器。用經典濾波器從噪聲中提取信號輸入信號x(t)中含有干擾，其時域波形。x(t)頻譜圖，可見信號和干擾的頻帶互不重疊低通濾波器濾除干擾,得到純信號

但是，如果信號和干擾的頻譜相互重疊，則經典濾波器不能有效地濾除干擾，為了最大限度地恢復信號，這時就需要現代濾波器，例如維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應濾波器等最佳濾波器。現代濾波器是根據隨機信號的一些統(tǒng)計特性，在某種最佳準則下，最大限度地抑制干擾，同時最大限度地恢復信號，從而達到最佳濾波的目的。本課程僅介紹經典濾波器的設計分析與實現方法，而現代濾波器屬于隨機信號處理范疇。（2）經典數字濾波器從幅度特性上分類，可以分成低通、高通、帶通和帶阻等濾波器（選頻濾波器）。理想低通、高通、帶通和帶阻濾波器幅度特性保留介于低頻和高頻之間的頻率分量濾除介于低頻和高頻之間的頻率分量

數字濾波器的頻率響應函數H(ejω)都是以2π為周期的，低通濾波器的通頻帶中心位于2π的整數倍處，而高通濾波器的通頻帶中心位于π的奇數倍處，與模擬濾波器不同。一般在數字頻率的主值區(qū)[-π,π]描述數字濾波器的頻率響應特性。這種幅度特性為理想矩形的濾波器是不可能實現的，因為它們的單位脈沖響應均是非因果且無限長的。只能在誤差容限內逼近理想濾波器，即按照某些逼近指標來設計濾波器。（3）數字濾波器從單位脈沖響應長度或者從實現的網絡結構分類，可以分成無限長單位脈沖響應(IIR)濾波器和有限長單位脈沖響應(FIR)濾波器。它們的系統(tǒng)函數分別為：

兩式分別是N階IIR數字濾波器系統(tǒng)函數和N-1階FIR數字濾波器系統(tǒng)函數。這兩種數字濾波器的設計方法有很大區(qū)別，分成兩章分別進行學習。（4）根據濾波器對信號的處理作用又將其分為選頻濾波器和其他濾波器。上述低通、高通、帶通和帶阻濾波器均屬于選頻濾波器，其他濾波器有微分器、希爾伯特變換器、頻譜校正等濾波器。

濾波器可用于信號過濾、信號分離、信道均衡、信號檢測、參數估計、波形形成和調制解調等。所以學習濾波器的設計與實現是必需的。3.數字濾波器的技術指標

常用的數字濾波器一般屬于選頻濾波器。設數字濾波器的頻率響應函數H(ejω)

表示為：H(ejω)=|H(ejω)|e

jθ(ω)式中，|H(ejω)|稱為幅頻特性函數;θ(ω)稱為相頻特性函數。

幅頻特性表示信號通過該濾波器后各頻率成分振幅衰減情況，而相頻特性反映信號通過該濾波器后各頻率成分的延時情況。因此，即使兩個濾波器幅頻特性相同，而相頻特性不同，對相同的輸入，濾波器輸出的信號波形也是不一樣的。一般選頻濾波器可以根據幅頻特性指標來設計，后面介紹的幾種典型濾波器（如巴特沃斯濾波器），都是根據幅頻特性指標來設計的。但如果對輸出波形的相位有要求，則需要考慮相頻特性技術指標，例如波形傳輸、圖像信號處理等。下面介紹的IIR數字濾波器的設計中主要研究根據幅頻特性指標來設計選頻濾波器。如果對輸出波形有嚴格要求（有相位要求），則需要設計線性相位數字濾波器（FIR數字濾波器）。對于各種理想選頻濾波器，因為它們的單位脈沖響應均是非因果且無限長的，所以是不可能實現的，我們必須設計一個因果穩(wěn)定的濾波器去近似實現，同時也要考慮復雜性與成本問題。低通濾波器的幅頻特性指標示意圖1-δ1)(ejwH通帶過渡帶阻帶o1ωpωstπωωc0.707δ2

因此實際的選頻濾波器的通帶和阻帶中都允許一定的誤差容限，即通帶不是完全水平的，阻帶不是絕對衰減到零，而且在通帶與阻帶之間還存在一定寬度的過渡帶。ωp和ωs分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率；通帶頻率范圍為0≤|ω|≤ωp，在通帶中要求(1-δ1)<|H(ejω)|≤1；阻帶頻率范圍為ωs≤|ω|≤π，在阻帶中要求|H(ejω)|≤δ2；從ωp到ωs稱為過渡帶，過渡帶上的頻響一般是單調下降的。1-δ1)(ejwH通帶過渡帶阻帶o1ωpωstπωωc0.707δ2低通濾波器的幅頻特性

通常，通帶內和阻帶內允許的衰減一般用分貝數表示，通帶內允許的最大衰減用p表示，阻帶內允許的最小衰減用s表示。1-δ1)(ejwH通帶過渡帶阻帶o1ωpωstπωωc0.707δ2低通濾波器的幅頻特性對低通濾波器，通帶最大衰減p和阻帶最小衰減s分別定義為：1-δ1)(ejwH通帶過渡帶阻帶o1ωpωstπωωc0.707δ2低通濾波器的幅頻特性1-δ1)(ejwH通帶過渡帶阻帶o1ωpωstπωωc0.707δ2低通濾波器的幅頻特性

顯然，p

越小,通帶波紋越小，通帶逼近誤差就越??；s越大,阻帶波紋越小，阻帶逼近誤差就越??；ωp與ωs間距越小,過渡帶就越窄。所以低通濾波器的設計指標完全由通帶截止頻率ωp

、通帶最大衰減p、阻帶截止頻率ωs和阻帶最小衰減s確定。低通濾波器的幅頻特性指標示意圖若幅頻特性單調下降幅頻特性，p和s可以分別表示為：

對其他類型的濾波器，H(ej0)應改成，ω0為濾波器通帶中心頻率。低通濾波器的幅頻特性指標示意圖如果將|H(ej0)|歸一化為1，p和s可以分別表示為：低通濾波器的幅頻特性指標示意圖

當幅度下降到時，標記ω=ωc，此時，稱ωc為3dB通帶截止頻率。

ωp、ωc和ωs統(tǒng)稱為截止頻率，它們是濾波器設計中的重要的參數。

片段常數特性：對于選頻型濾波器，一般對通帶和阻帶內的幅頻響應曲線形狀沒有具體要求，只要求其波紋幅度小于某個常數，通常將這種要求稱為“片段常數特性”。所謂片段，是指“通帶”和“阻帶”，常數是指“通帶波紋幅度δ1”和“阻帶波紋幅度δ2”。而通帶最大衰減p和阻帶最小衰減s是與δ1和δ2完全等價的兩個常數。片段常數特性概念在選頻型濾波器設計中很重要，尤其有助于理解IIR數字濾波器的雙線性變換設計思想。（1）按照實際任務要求，確定濾波器的性能指標。（2）用一個因果穩(wěn)定的線性移不變系統(tǒng)去逼近這一性能要求。根據不同要求可以用IIR系統(tǒng)函數，也可以用FIR系統(tǒng)函數去逼近。（3）利用有限精度算法來實現這個系統(tǒng)函數。包括：選擇運算結構，選擇合適的字長（包括系數量化及輸入變量、中間變量和輸出變量的量化）以及有效數字的處理方法（舍入、截尾）等。（4）實際的技術實現，包括：用通用計算機軟、專用數字濾波器硬件、或用專業(yè)的或通用的數字信號處理器來實現。本章只研究第二步驟。4.數字濾波器設計方法概述

IIR濾波器和FIR濾波器的設計方法完全不同。IIR濾波器設計方法有間接法和直接法。間接法是借助于模擬濾波器的設計方法進行的。設計步驟是：先設計過渡模擬濾波器得到系統(tǒng)函數Ha(s)，然后將Ha(s)按某種方法轉換成數字濾波器的系統(tǒng)函數H(z)。采用間接法設計IIR濾波器是因為模擬濾波器的設計方法已經很成熟，不僅有完整的設計公式，還有完善的圖表和曲線供查閱；還有一些典型的優(yōu)良濾波器類型可供使用。

直接法是直接在頻域或者時域中設計數字濾波器，由于要解聯立方程，設計時需要計算機輔助設計。FIR濾波器不能采用間接法，常用的設計方法有窗函數法、頻率采樣法和切比雪夫等波紋逼近法。

對于線性相位濾波器，經常采用FIR濾波器?？梢宰C明，FIR濾波器的單位脈沖響應滿足一定條件時，其相位特性在整個頻帶是嚴格線性的，這是模擬濾波器無法達到的。當然，也可以采用IIR濾波器，但必須使用全通網絡對其非線性相位特性進行校正，這樣增加了設計與實現的復雜性。本章只介紹IIR濾波器的間接設計方法。所以先介紹模擬低通濾波器的設計，再介紹模擬濾波器映射成數字濾波器的方法。4.2模擬濾波器的設計

模擬濾波器的理論和設計方法已發(fā)展得相當成熟，且有多種典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯(Butterworth)濾波器、切比雪夫(Chebyshev)濾波器、橢圓(Ellipse)濾波器、貝塞爾(Bessel)濾波器等。這些濾波器都有嚴格的設計公式、現成的曲線和圖表供設計人員使用，而且所設計的系統(tǒng)函數都滿足電路實現條件。這些典型的濾波器各有特點：巴特沃斯濾波器具有單調下降的幅頻特性；切比雪夫濾波器的幅頻特性在通帶或者阻帶有等波紋特性，可以提高選擇性；貝塞爾濾波器通帶內有較好的線性相位特性；橢圓濾波器的選擇性相對前三種是最好的，但通帶和阻帶內均呈現等波紋幅頻特性，相位特性的非線性也稍嚴重。設計時，根據具體要求選擇濾波器的類型。選頻型模擬濾波器按幅頻特性可分成低通、高通、帶通和帶阻濾波器。但設計濾波器時，總是先設計低通濾波器。例如模擬高通、帶通和帶阻濾波器的設計過程是：先將希望設計的各種濾波器的技術指標轉換為低通濾波器技術指標，然后設計相應的低通濾波器，最后采用頻率轉換法將低通濾波器轉換成所希望的各種濾波器。下面先介紹低通濾波器的技術指標和逼近方法，然后主要介紹巴特沃斯濾波器和切比雪夫濾波器的設計方法，及其MATLAB設計函數。各種理想模擬濾波器的幅頻特性4.2.1模擬低通濾波器的設計指標及逼近方法

分別用ha(t)、Ｈa(s)、Ha(jΩ)表示模擬濾波器的單位沖激響應、系統(tǒng)函數、頻率響應函數，三者的關系如下：可以用ha(t)、Ha(s)、Ha(jΩ)中任一個描述模擬濾波器，也可以用線性常系數微分方程描述模擬濾波器。但是設計模擬的選頻濾波器時，設計指標一般由幅頻響應函數|Ha(jΩ)|給出，而模擬濾波器設計就是根據設計指標，求系統(tǒng)函數Ha(s)。工程實際中通常用所謂的衰減函數（也稱為損耗函數）A(Ω)來描述濾波器的幅頻響應特性，對歸一化幅頻響應函數（后續(xù)課程都是針對該情況，特別說明的除外），衰減函數A(Ω)定義如下（其單位是分貝，用dB表示）：

衰減函數A(Ω)和幅頻特性函數|Ha(jΩ)|只是濾波器幅頻響應特性的兩種描述方法。

衰減函數的優(yōu)點是對幅頻響應|Ha(jΩ)|的取值非線性壓縮，放大了小的幅度，從而可以同時觀察通帶和阻帶頻響特性的變化情況。幅度平方函數1.模擬低通濾波器的設計指標

幅頻響應函數完全看不清阻帶內取值較?。?.001以下）的波紋，而衰減函數則能很清楚地顯示出阻帶-60dB以下的波紋變化曲線。另外習慣直接畫出的衰減函數曲線（-A(Ω)）。幅頻響應與衰減函數曲線的比較-模擬低通濾波器的設計指標參數有

p、Ωp、

s和Ωs。其中Ωp和Ωs分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率，

p稱為通帶最大衰減，

s稱為阻帶最小衰減，

p和

s的單位為dB。模擬低通濾波器的設計指標參數示意圖0對于單調下降的幅度特性，

p和

s可表示成：模擬低通濾波器的設計指標參數示意圖0因為，所以Ωc稱為3dB截止頻率。模擬低通濾波器的設計指標參數示意圖0δ1和δ2分別稱為通帶和阻帶波紋幅度，容易得到關系式：

所以，如果能由

p、Ωp、

s和Ωs求出|Ha(jΩ)|2，那么就可以求出Ha(s)Ha(-s)，由此可求出所需要的Ha(s)。濾波器的技術指標給定后，需要設計系統(tǒng)函數Ha(s)。一般濾波器的單位沖激響應為實函數，頻譜滿足共軛對稱。首先，可以得到系統(tǒng)函數和幅度平方函數的關系：得：2.模擬低通濾波器的逼近方法（2）確定極點設Ha(s)有一個極點（或零點）位于s=s0處，則在s=s0*處也一定有一極點（或零點）。(由于ha(t)為實數，Ha(s)為實系數，則極點（或零點）必以共軛對形式出現)Ha(-s)在s=-s0和-s0*處必有極點（或零點）；

Ha(s)Ha(-s)的極點、零點分布是成象限對稱的。如果Ha(s)Ha(-s)在虛軸上的零點（或極點）（對臨界穩(wěn)定情況，才會出現虛軸的極點）一定是二階的，

這樣可以由|Ha(jΩ)|2求得Ha(s)：（1）系統(tǒng)函數和幅度平方函數的關系：Ha(s)Ha(-s)的極點、零點分布是成象限對稱

我們需要得到因果穩(wěn)定的濾波器，所以，其系統(tǒng)函數Ha(s)的極點一定落在s的左半平面，所以左半平面的極點一定屬于Ha(s)，則右半平面的極點必屬于Ha(-s)。（3）確定零點零點的分布則無此限制，只和濾波器的相位特征有關。如果要求最小相位延時濾波器，則Ha(s)應取左半平面零點；如無特殊要求，則可將對稱零點的任一半（應為共軛對）取為Ha(s)的零點。（4）確定增益常數最后,按照Ha(jΩ)與Ｈa(s)的低頻特性或高頻特性的對比確定出增益常數。由求出的Ha(s)的零點、極點及增益常數，則可完全確定系統(tǒng)函數Ha(s)。例：解：極點：零點：（二階）零點：的極點：設增益常數為K0

因此幅度平方函數在模擬濾波器的設計中起著很重要的作用。對于五種典型濾波器，其幅度平方函數都有確知表達式，可以直接引用。Ha(s)必須是因果穩(wěn)定的，因此極點必須落在s平面的左半平面，相應的Ha(-s)的極點必然落在右半平面。這樣可由Ha(s)Ha(-s)求所需要的Ha(s)，即模擬低通濾波器的逼近方法。因此幅度平方函數在模擬濾波器的設計中起著很重要的作用。對于五種典型濾波器，其幅度平方函數都有確知表達式，可以直接引用。系統(tǒng)函數和幅度平方函數的關系：4.2.2巴特沃斯低通濾波器的設計巴特沃思逼近又稱最平幅度逼近。巴特沃思低通濾波器幅度平方函數定義為：式中：N為濾波器的階數（正整數）1.巴特沃思低通濾波器的幅度平方函數：巴特沃思低通濾波器的幅度特性（2）當Ω=Ωc，|Ha(jΩc)|=1/=0.707，（1）當Ω=0，|Ha(j0)|=1，無衰減；所以Ωc是3dB衰減頻率、3dB截止頻率；當Ω=Ωc時，不管N為多少，都衰減為3dB，這是3dB不變性。衰減

c=20lg|1/Ha(jΩc)|=3dB。（3）在通帶內Ω<Ωc（設Ωc為通帶截止頻率）：隨著Ω由0增大到Ωc，|Ha(jΩ)|2單調減小；N越大，減小得越慢，通帶內幅度特性越平坦。（4）在過渡帶和阻帶中Ω>Ωc

：

|Ha(jΩ)|2也隨Ω增加單調減小，但是Ω/Ωc>1，故比通帶內衰減的速度要快得多；

N越大，衰減速度越大。當Ω=Ωst（阻帶截止頻率），此時衰減為

st=-20lg|Ha(jΩst)|。（5）階數N值越大，通帶和阻帶的近似性越好，過渡帶越窄，Ωst距Ωc越近。在幅度平方函數式中，代入Ω=s/j，可得：

巴特沃思濾波器在有限s平面內只有極點，屬于所謂“全極點型”濾波器。

Ha(s)Ha(-s)的極點為：2.求巴特沃思低通濾波器的系統(tǒng)函數：k=0,1,2,…,2N-1N＝3和N＝4時Ha(s)Ha(-s)極點分布N為奇數時，實軸上有極點；N為偶數時，實軸上沒有極點。但極點決不會落在虛軸上，這樣濾波器才有可能是穩(wěn)定。Ha(s)Ha(-s)的2N個極點等間隔分布在半徑為Ωc的圓（稱巴特沃思圓）上，呈象限對稱，k=0,1,2…,N-1的極點在左半平面，極點間的角度間隔為π/Nrad。

為形成穩(wěn)定的濾波器，Ha(s)Ha(-s)的2N個極點中只取S左半平面的N個極點為Ha(s)的極點，而右半平面的N個極點構成Ha(-s)的極點。Ha(s)的表示式為：

分子系數為ΩcN，可由Ha(s)的低頻特性決定，k=0,1,2,…,N-1

Ha(s)的求解方法一（代入可求得分子系數為ΩcN）;

由于不同的技術指標對應的截止頻率和濾波器的幅頻特性不同，為使設計公式和圖表統(tǒng)一，將巴特沃斯濾波器的3dB截止頻率Ωc歸一化為1rad/s。

Ha(s)的求解方法二

令

p=η+jλ=s/Ωc，λ=Ω/Ωc，p稱為歸一化復變量，λ稱為歸一化頻率，這樣可得到巴特沃斯濾波器的歸一化系統(tǒng)函數。系統(tǒng)函數變形為：k=0,1,2,…,N-1

因此只要知道階數N，根據上式就可求得歸一化系統(tǒng)函數，此外歸一化后巴特沃思濾波器的系統(tǒng)函數Ga(p)的極點分布、分母多項式的系數以及分母的因式分解都有現成的表格可查（書P100）。歸一化的系統(tǒng)函數為：令：其中歸一化極點為：

再把歸一化后的巴特沃斯系統(tǒng)函數Ga(p)中的p用s/Ωc代替后（此時的Ωc為需要設計的巴特沃斯濾波器的實際的3dB截止頻率），就可得到截止頻率為Ωc的巴特沃思系統(tǒng)函數；表6.2.1巴特沃斯歸一化低通濾波器參數

例：設計一個Ωc=2rad/s的三階巴特沃思模擬低通濾波器。令Ω2=-s2即Ω=s/j，則有：各極點為：k=0,1,2,…,5解：方法一代公式幅度平方函數是：系統(tǒng)函數為：所給出的六個sk為：由s1,s2,s3三個極點構成的系統(tǒng)函數為：前面三個sk（k=0,1,2）就是Ha(s)的極點。

方法二查表方法查表P100得N=3的歸一化的巴特沃思濾波器分母多項式系數：

b0=1,b1=2,b2=2頻率歸一化后的系統(tǒng)函數為：頻率反歸一化，即用s/Ωc代替p后，就得到所需濾波器的系統(tǒng)函數Ha(s)無論是用公式法還是表格法,只要求出巴特沃斯濾波器的階數N和3dB截止頻率Ωc，就可以求出濾波器的系統(tǒng)函數Ha(s)。所以，巴特沃斯濾波器的設計實質上就是根據設計指標求階數N和3dB截止頻率Ωc的過程。3.根據技術指標確定巴特沃思低通濾波器的階數和3dB截止頻率

先介紹階數N的確定方法。由于階數N的大小主要影響通帶幅頻特性的平坦程度和過渡帶、阻帶的幅度下降速度，它由技術指標Ωp、p、Ωs和s確定。因為：得到：得到：得到：用上式求出的N可能有小數部分，應取大于或等于N的最小整數。再介紹于3dB截止頻率Ωc的求法，如果技術指標中沒有給出，可以按照下述方法求出。得到：因為：或：注意：如果采用上式確定Ωc，則通帶指標剛好滿足要求，阻帶指標有富余；如果采用下式確定Ωc，則阻帶指標剛好滿足要求，通帶指標有富余。(1)根據技術指標Ωp、p、Ωs和s，總結以上，低通巴特沃斯濾波器的設計步驟如下：(2)求出歸一化極點，k=0,1,2,…,N-1，也可以根據階數N直接查表得到pk和Ga(p)。利用：求出濾波器的階數N。將pk代入：得到歸一化低通原型系統(tǒng)函數Ga(p)。將Ga(p)反歸一化。將p=s/Ωc代入Ga(p)，得到實際的濾波器系統(tǒng)函數Ha(s)：這里Ωc為3dB截止頻率，如果技術指標沒有給出Ωc，可以按照下兩式求出：例：已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減

p=2dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減

s=30dB，按照以上技術指標設計巴特沃斯低通濾波器。解：(1)確定階數N。取N=5上式分母可以展開成五階多項式，或者將共軛極點放在一起，形成因式分解式。(2)按照式，k=0,1,2,…,N-1，其極點為：按照式，得歸一化低通原型系統(tǒng)函數為：通常直接查表6.2.1得到歸一化低通原型系統(tǒng)函數，查表得N=5時的極點為：－0.3090±j0.9511，－0.8090±j0.5878,－1.0000分母多項式的系數為：式中,b0=1.0000，b1=3.2361，b2=5.2361，b3=5.2361，b4=3.2361所以歸一化低通原型系統(tǒng)函數為：分母多項式的因式分解形式為：(3)為將Ga(p)反歸一化，先求3dB截止頻率Ωc。根據通帶指標求得Ωc為：再利用Ωc求阻帶截止頻率為：此時算出的

比題目中給的Ωs小，因此，過渡帶小于指標要求?；蛘哒f，在Ωs=2π×12krad/s時衰減大于30dB，所以說阻帶指標有富余量。將p=s/Ωc代入

中,得到：MATLAB信號處理工具箱函數buttap,buttord和butter是巴特沃斯濾波器設計函數。其5種調用格式如下。（1）［Z，P,K］=buttap(N)該格式用于計算N階巴特沃斯歸一化（3dB截止頻率Ωc=1）模擬低通原型濾波器系統(tǒng)函數的零、極點和增益因子。返回長度為N的零點列向量Z和極點列向量P，K表示濾波器增益。得到的系統(tǒng)函數為如下形式:4.用MATLAB工具箱函數設計巴特沃斯濾波器

如果要從計算得到的零、極點得到系統(tǒng)函數的分子和分母多項式系數向量B和A，可以調用：結構轉換函數[B,A]=zp2tf(Z,P,K)。（2）［N,wc］=buttord(wp,ws,Rp,As)該格式用于計算巴特沃斯數字濾波器的階數N和3dB截止頻率wc。調用參數wp和ws分別為數字濾波器的通帶邊界頻率和阻帶邊界頻率的歸一化值，要求0≤wp≤1，0≤ws≤1,1表示數字頻率π（對應模擬頻率Fs/2，Fs表示采樣頻率）。

Rp和As分別為通帶最大衰減和阻帶最小衰減（dB）。當ws≤wp時，為高通濾波器；當wp和ws為二元矢量時，為帶通或帶阻濾波器，這時wc也是二元向量。

N和wc作為butter函數的調用參數。（3）［N,wc］=buttord(wp,ws,Rp,As,′s′)

該格式用于計算巴特沃斯模擬濾波器的階數N和3dB截止頻率wc。wp、ws和wc是實際模擬角頻率（rad/s）。其他參數與格式（2）相同。（4）［B,A］=butter(N,wc,′ftype′)計算N階巴特沃斯數字濾波器系統(tǒng)函數分子和分母多項式的系數向量B和A。調用參數N和wc分別為巴特沃斯數字濾波器的階數和3dB截止頻率的歸一化值（關于π歸一化），一般按格式（2）調用函數buttord計算N和wc。由系數向量B和A可以寫出數字濾波器系統(tǒng)函數：（5）［B,A］=butter(N,wc,′ftype′,′s′)計算巴特沃斯模擬濾波器系統(tǒng)函數的分子和分母多項式的系數向量B和A。調用參數N和wc分別為巴特沃斯模擬濾波器的階數和3dB截止頻率（實際角頻率）。由系數向量B和A寫出模擬濾波器的系統(tǒng)函數為 由于高通濾波器和低通濾波器都只有一個3dB截止頻率wc，因此僅由調用參數wc不能區(qū)別要設計的是高通還是低通濾波器。當然僅由二維向量wc也不能區(qū)分帶通和帶阻。所以用參數ftype來區(qū)分。

ftype=high時，設計3dB截止頻率為wc的高通濾波器。缺省ftype時默認設計低通濾波器。ftype=stop時，設計通帶3dB截止頻率為wc的帶阻濾波器，此時wc為二元向量［wcl,wcu］，wcl和wcu分別為帶阻濾波器的通帶3dB下截止頻率和上截止頻率。缺省ftype時設計帶通濾波器，通帶為頻率區(qū)間wcl<ω<wcu。應當注意，設計的帶通和帶阻濾波器系統(tǒng)函數是2N階的。這是因為帶通濾波器相當于N階低通濾波器與N階高通濾波器級聯。

例：調用buttord和butter設計巴特沃斯低通模擬濾波器。wp=2*pi*5000;ws=2*pi*12000;Rp=2;As=30;%設置濾波器參數［N,wc］=buttord(wp,ws,Rp,As,′s′);

%計算濾波器階數N和3dB截止頻率［B,A］=butter(N,wc,‘s’);%計算濾波器系統(tǒng)函數分子分母多項式系數k=0:511;fk=0:14000/512:14000;wk=2*pi*fk;Hk=freqs(B,A,wk);plot(fk/1000,20*log10(abs(Hk)));gridonxlabel(‘頻率(kHz)’);ylabel(‘幅度(dB)’)；axis(［0,14,-40,5］)；運行結果:N=5，wc=3.7792e+004，B=7.7094e+022A=［1

1.2230e+005

7.4785e+009

2.8263e+014

6.6014e+018

7.7094e+022］將B和A代入（6.2.23）式寫出系統(tǒng)函數為與上例計算結果形式相同。衰減函數

由圖可以看出，阻帶剛好滿足指標要求，通帶指標有富余（實驗中可以標示出），就說明buttord函數是使用阻帶指標來計算3dB截止頻率Ωc的。

巴特沃思濾波器的頻率特性無論在通帶與阻帶都隨頻率變化而單調變化，因而如果在通帶邊緣滿足指標，則在通帶內肯定會有富裕量，也就會超過指標的要求，因而并不經濟。所以更有效的辦法是將逼近精度要求均勻地分布在通帶內，或均勻地分布在阻帶內，或同時均勻地分布在通帶與阻帶內。這樣，在同樣通帶、阻帶性能要求下，就可設計出階數較低的濾波器。這種精度均勻分布的辦法可通過選擇具有等波紋特性的逼近函數來實現。4.2.3切比雪夫濾波器的設計

切比雪夫濾波器的幅度特性就是在一個頻帶中（通帶或阻帶）具有這種等波紋特性。幅度特性在通帶中是等波紋的，在阻帶中是單調的，稱為切比雪夫Ⅰ型；幅度特性在通帶內是單調下降的，在阻帶內是等波紋的，稱為切比雪夫Ⅱ型。

橢圓濾波器在通帶和阻帶都具有等波紋幅頻特性。根據應用的要求來確定采用哪種形式的濾波器。

我們以切比雪夫Ⅰ型低通濾波器為例來討論理想低通濾波器的逼近。切比雪夫Ⅰ型低通濾波器的幅度特性切比雪夫Ⅱ型低通濾波器的幅度特性1.切比雪夫Ⅰ型低通濾波器的幅度平方函數

N為濾波器的階數|x|≤1（通帶內）|x|>1（過渡帶和阻帶內）ε為小于1的正數，表示通帶幅度波動的程度，ε越大，波紋越大；Ωp為通帶截止頻率，不一定衰減3dBCN(x)是N階切比雪夫多項式切比雪夫Ⅰ型低通濾波器的幅度特性在通帶截止頻率下，幅度函數不一定衰減3dB，可以衰減其它分貝值，如1dB。當Ω=0時，N為奇數時，為通帶內最大值

N為偶數時，通帶內最小值所有幅度函數都通過點，所以把Ωp定義為通帶截止頻率。當Ω=Ωp時，

N為通帶內最大值和最小值總個數|x|≤1(通帶)|x|>1(阻帶)在1與之間等紋波的波動當|Ω|≤Ωp時（通帶范圍內）在1與之間等紋波波動是余弦函數，故切比雪夫Ⅰ型低通濾波器的幅度特性|x|≤1(通帶)|x|>1(阻帶)

階數N對濾波特性有極大的影響，N越大，逼近特性越好，但是濾波器結構越復雜。階數N等于通帶內最大值和最小值的總數。當|Ω|≥Ωp時（過渡帶與阻帶范圍內）

是雙曲余弦函數，隨|Ω|增加而增加（N越大增加得越快），

迅速趨于0。切比雪夫Ⅰ型低通濾波器的幅度特性

切比雪夫濾波器有三個參數：ε，Ωp和N。Ωp是通帶截止頻率（通帶寬度），一般是預先給定；ε由通帶最大衰減

p（通帶波紋）確定，

p表示成：所以：注意通帶最大衰減不一定是3dB，隨給定的

p而定，如0.1dB等。2.切比雪夫Ⅰ型低通濾波器參數的確定切比雪夫Ⅰ型低通濾波器的幅度特性濾波器階數N，N的數值由四個技術指標決定。ε,Ωc,N給定后，就可以求得濾波器的傳遞函數Ha(s)，這可查閱有關模擬濾波器手冊。濾波器階數N，N的數值可由阻帶最小衰減來確定。設阻帶截止頻率為Ωs，當Ω=Ωs時，幅度平方函數值滿足：即：代入：設：得：又因為：ε,Ωc,N給定后，就可以求得濾波器的傳遞函數Ha(s)，這可查閱有關模擬濾波器手冊。

MATLAB信號處理工具箱函數cheb1ap，cheb1ord和cheby1是切比雪夫Ⅰ型濾波器設計函數。其調用格式如下:（1）［z,p,k］=cheb1ap(N,Rp)（2）［N,wpo］=cheb1ord(wp,ws,Rp,As)（3）［N,wpo］=cheb1ord(wp,ws,Rp,As,′s′)（4）［B,A］=cheby1(N,Rp,wpo,′ftype′)（5）［B,A］=cheby1(N,Rp,wpo,′ftype′,′s′)3.用MATLAB設計切比雪夫濾波器切比雪夫Ⅰ型濾波器設計函數與前面的巴特沃思濾波器設計函數比較，只有兩點不同。一是這里設計的是切比雪夫Ⅰ型濾波器；二是格式（2）和（3）的返回參數與格式（4）和（5）的調用參數wpo是切比雪夫Ⅰ型濾波器的通帶截止頻率，而不是3dB截止頻率。其他參數和系數向量含義與巴特沃思濾波器設計函數中的參數相同。MATLAB信號處理工具箱中還有切比雪夫Ⅱ型濾波器的設計函數cheb2ap,cheb2ord和cheby2。解：％設計切比雪夫Ⅰ型模擬低通濾波器wp=2*pi*3000;ws=2*pi*12000;Rp=0.1;As=60;％設置指標參數［N1,wp1］=cheb1ord(wp,ws,Rp,As,′s′);

％計算切比雪夫Ⅰ型模擬低通濾波器階數和通帶邊界頻率［B1,A1］=cheby1(N1,Rp,wp1,′s′);

％計算切比雪夫Ⅰ型模擬低通濾波器系統(tǒng)函數系數fk=0:12000/512:12000;wk=2*pi*fk;Hk=freqs(B1,A1,wk);plot(fk/1000,20*log10(abs(Hk)));gridonxlabel(′頻率(kHz)′);ylabel(′幅度(dB)′)axis(［0,12,-70,5］)例：設計切比雪夫Ⅰ型和切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器，要求通帶截止頻率fp=3kHz，通帶最大衰減

p=0.1dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減

s=60dB。運行結果:N=5切比雪夫Ⅰ型模擬低通濾波器通帶邊界頻率:wp1=1.8850e+004切比雪夫Ⅰ型模擬低通濾波器系統(tǒng)函數分子分母多項式系數:B=1.2187e+011A=［13.2873e+0049.8445e+0081.6053e+0131.8123e+0179.7448e+020］設計的五階切比雪夫Ⅰ、II型模擬低通濾波器衰減函數

橢圓（Elliptic）濾波器在通帶和阻帶內都具有等波紋幅頻響應特性。由于其極點位置與經典場論中的橢圓函數有關，所以由此取名為橢圓濾波器。又因為在1931年考爾（Cauer）首先對這種濾波器進行了理論證明，所以其另一個通用名字為考爾（Cauer）濾波器。4.2.4橢圓濾波器的設計橢圓濾波器幅頻響應特性曲線橢圓濾波器通帶和阻帶波紋幅度固定時，階數越高,過渡帶越窄；當橢圓濾波器階數固定時，通帶和阻帶波紋幅度越小,過渡帶就越寬。

所以橢圓濾波器的階數N由通帶截止頻率Ωp、阻帶截止頻率Ωs、通帶最大衰減

p和阻帶最小衰減s共同決定。后面對四種濾波器的比較將證實，橢圓濾波器可以獲得對理想濾波器幅頻響應的最好逼近，是一種性能價格比最高的濾波器，所以應用非常廣泛。給定濾波器指標，通過調用MATLAB信號處理工具箱提供的橢圓濾波器函數設計橢圓濾波器。

MATLAB信號處理工具箱提供橢圓濾波器設計函數ellipap、ellipord和ellip。例：設計橢圓模擬低通濾波器，要求通帶截止頻率fp=3kHz，通帶最大衰減

p=0.1dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減

s=60dB。wp=2*pi*3000;ws=2*pi*12000;Rp=0.1;As=60;%設置指標參數［N,wpo］=ellipord(wp,ws,Rp,As,′s′);

%計算橢圓低通模擬濾波器階數和通帶截止頻率［B,A］=ellip(N,Rp,As,wpo,′s′);%計算低通模擬濾波器系統(tǒng)函數系數％省去以下繪圖部分運行結果:橢圓模擬低通濾波器階數:N=4模擬低通濾波器通帶邊界頻率:wpo=1.8850e+004橢圓模擬低通濾波器系統(tǒng)函數分子分母多項式系數:B=［0.0010-8.3913e-0152.9126e+0078.0051e-0041.0859e+017］A=［13.3792e+0049.3066e+0081.3646e+0131.0984e+017］設計的四階橢圓模擬低通濾波器衰減函數雖然本例中橢圓濾波器階數是4，但是四階橢圓模擬低通濾波器的過渡帶寬度小于7kHz，比指標要求（9kHz）窄2kHz。而若設計切比雪夫濾波器需要五階，且其過渡帶寬度大于7kHz；若用巴特沃斯模擬低通濾波器，計算所要求的階數N=7。

巴特沃思、切比雪夫Ⅰ型、切比雪夫Ⅱ型和橢圓濾波器四種濾波器是主要考慮逼近幅度響應指標的濾波器，為了正確地選擇濾波器類型以滿足給定的幅頻響應指標，必須比較四種幅度逼近濾波器的特性。4.2.5四種類型模擬濾波器的比較

在滿足相同的濾波器幅頻響應指標條件下，巴特沃思濾波器階數最高；橢圓濾波器的階數最低，切比雪夫濾波器的階數介于兩者之間。所以，就滿足濾波器幅頻響應指標而言，橢圓濾波器的性能價格比最高。當階數N、通帶最大衰減

p和阻帶最小衰減s都相同，（1）巴特沃思濾波器過渡帶最寬，具有單調下降的幅頻特性。（2）兩類的切比雪夫濾波器的過渡帶寬度相等，比巴特沃思濾波器的過渡帶窄，但比橢圓濾波器的過渡帶寬。切比雪夫Ⅰ型濾波器在通帶具有等波紋幅頻特性，過渡帶和阻帶是單調下降的幅頻特性。切比雪夫Ⅱ型濾波器的通帶和過渡帶單調下降的幅頻特性（幾乎與巴特沃思濾波器相同），阻帶是等波紋幅頻特性。（3）橢圓濾波器的過渡帶最窄，通帶和阻帶均是等波紋幅頻特性。相位逼近情況:

（1）巴特沃思和切比雪夫濾波器在大約3/4的通帶上非常接近線性相位特性；（2）而橢圓濾波器僅在大約半個通帶上非常接近線性相位特性；四種濾波器各具特點，工程實際中選擇哪種濾波器取決于對濾波器階數（階數影響處理速度和實現的復雜性）和相位特性的具體要求。例如，在滿足幅頻響應指標的條件下希望濾波器階數最低時，就應當選擇橢圓濾波器。

低通、高通、帶通和帶阻濾波器的通帶最大衰減和阻帶最小衰減仍用

p和

s表示。

Ωph和Ωsh分別表示高通濾波器的通帶截止頻率和阻帶截止頻率;

Ωpl和Ωpu分別表示帶通和帶阻濾波器的通帶下截止頻率和上截止頻率;

Ωsl和Ωsu分別表示帶通和帶阻濾波器的阻帶下截止頻率和上截止頻率。4.2.6頻率變換與模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設計各種濾波器幅頻特性曲線及截止頻率示意圖（a）高通濾波器（b）帶通濾波器（c）帶阻濾波器

從原理上講，通過頻率變換公式，可以將模擬低通濾波器系統(tǒng)函數Q(p)變換成希望設計的低通、高通、帶通和帶阻濾波器系統(tǒng)函數Hd(s)。在模擬濾波器設計手冊中，各種經典濾波器的設計公式都是針對低通濾波器的，并提供從低通到其他各種濾波器的頻率變換公式。所以設計高通、帶通和帶阻濾波器的一般過程是:(1)通過頻率變換公式，先將希望設計的濾波器指標轉換為相應的低通濾波器指標；(2)設計相應的低通系統(tǒng)函數Q(p)；(3)對Q(p)進行頻率變換，得到希望設計的濾波器系統(tǒng)函數Hd(s)。如果低通濾波器Q(p)是關于某截止頻率的“歸一化低通濾波器”,則設計計算將大大簡化?！皻w一化低通濾波器”是指關于某個截止頻率歸一化的低通濾波器,其系統(tǒng)函數就用Q(p)表示。歸一化頻率根據設計需要而定，對巴特沃斯濾波器關于3dB截止頻率歸一化的系統(tǒng)函數稱為巴特沃斯歸一化低通原型（記為G(p)），而切比雪夫和橢圓濾波器的歸一化低通原型一般是關于通帶邊界頻率Ωp歸一化的低通系統(tǒng)函數（即G(p)的通帶邊界頻率為1）。

模擬濾波器設計手冊中給出了各種模擬濾波器歸一化低通原型系統(tǒng)函數的參數（零、極點位置，分子、分母多項式系數等）。例如，一階巴特沃斯低通原型系統(tǒng)函數為：其3dB截止頻率λc=1,是關于3dB截止頻率歸一化的。一般用Hd(s)表示希望設計的模擬濾波器的系統(tǒng)函數，s=σ+jΩ表示Hd(s)的復變量；用Q

(p)表示相應的低通濾波器，（可以取對于某截止頻率的歸一化低通濾波器，其中p=η+jλ=s/Ωr為歸一化復變量，λ=Ω/Ωr為歸一化頻率，通帶截止頻率記為λp=Ωp/Ωr）；用G

(p)表示歸一化原型系統(tǒng)函數;（4.2.48）（4.2.49）記從p域到s域映射的可逆變換記為p=F(s)。歸一化低通系統(tǒng)函數Q

(p)與H

(s)之間的轉換關系為：從低通到高通濾波器的映射關系為1．模擬高通濾波器設計式中，Ωph為希望設計的高通濾波器HHP(s)的通帶截止頻率，λp為對應低通濾波器Q(p)的通帶截止頻率。在虛軸(頻率軸)上該映射關系簡化為如下頻率變換公式:

頻率變換公式的含義是將低通濾波器的通帶［0,λp］映射為高通濾波器的通帶［-∞,-Ωph］，而將低通濾波器的通帶［-λp,0］映射為高通濾波器的通帶［Ωph,∞］。同樣，將低通濾波器的阻帶［λs,∞］映射為高通濾波器的阻帶［-Ωsh,0］，而將低通濾波器的阻帶［-∞,-λs］映射為高通濾波器的阻帶［0,Ωsh］。低通濾波器Q(p)通帶［-λp,λp］上的幅度值出現在高通濾波器HHP(s)的通帶|Ω|≥Ωph上。同樣，低通濾波器Q(p)阻帶|λ|≥λs上的幅度值出現在高通濾波器HHP(s)的阻帶［-Ωs,Ωs］上。用圖形表示。

高通濾波器的設計步驟：1.按照頻率變換公式：將高通濾波器的指標轉變成低通濾波器的指標，這里可采用通帶截止頻率歸一化低通濾波器，即。2.設計低通濾波器Q(p)。3.根據低通和高通濾波器復變量的關系：，將低通濾波器Q(p)轉換成通帶截止頻率為Ωph的高通濾波器系統(tǒng)函數:

為了計算簡單，一般選擇Q(p)為歸一化低通，即取Q(p)的通帶截止頻率λp=1。則可求得歸一化阻帶截止頻率為：轉換得到低通濾波器的指標為：通帶截止頻率λp=1，阻帶截止頻率λs=4，通帶最大衰減

p=0.1dB，阻帶最小衰減

s=40dB。,例：設計巴特沃思模擬高通濾波器，要求通帶邊界頻率為4kHz，阻帶邊界頻率為1kHz，通帶最大衰減為0.1dB，阻帶最小衰減為40dB。解：1.通過映射關系式將希望設計的高通濾波器的指標轉換成相應的低通濾波器Q(p)的指標。(1)確定階數N。N=4.68，取N=52.設計相應的歸一化低通系統(tǒng)函數Q(p)。(2)查表得到歸一化低通原型系統(tǒng)函數，(3)為將G(p)反歸一化，先求3dB截止頻率λc。根據通帶指標求得λc為：將p<=p/λc代入

中,得到：3.根據低通和高通濾波器復變量的關系：，將低通濾波器Q(p)轉換成高通濾波器系統(tǒng)函數HHP(s)低通到帶通的頻率變換公式如下:2．模擬帶通濾波器設計在p平面與s平面虛軸上的頻率關系為：式中，Bw=Ωpu-Ωpl,表示帶通濾波器的通帶寬度，Ωpl和Ωpu分別為帶通濾波器的通帶下截止頻率和通帶上截止頻率;Ω0稱為帶通濾波器的中心頻率。

頻率λ=0映射為頻率Ω=±Ω0，頻率λ=λp映射為頻率Ωpu和-Ωpl，頻率λ=-λp映射為頻率-Ωpu和Ωpl。也就是說，將低通濾波器G(p)的通帶［-λp,λp］映射為帶通濾波器的通帶［-Ωpu,-Ωpl］和［Ωpl,Ωpu］。同樣道理，頻率λ=λs映射為頻率Ωsu和-Ωsl，頻率λ=-λs映射為頻率-Ωsu

和Ωsl。低通到帶通的邊界頻率及幅頻響應特性的映射關系

帶通濾波器的設計步驟：1.按照頻率變換公式：將帶通濾波器的指標轉變成低通濾波器的指標，這里可采用通帶截止頻率歸一化低通濾波器，即。2.設計低通濾波器Q(p)。3.根據低通和帶通濾波器復變量的關系：，將低通濾波器Q(p)轉換成帶通濾波器系統(tǒng)函數:

所以，帶通濾波器的通帶（阻帶）邊界頻率關于中心頻率Ω0幾何對稱。如果原指標給定的邊界頻率不滿足上式，就要改變其中一個邊界頻率以便上式，但要保證改變后的指標高于原始指標。具體方法是，如果ΩplΩpu>ΩslΩsu，則減小Ωpl（或增大Ωsl）。具體計算公式為：注意：中心頻率和各截止頻率的關系滿足：或

減小Ωpl使通帶寬度大于原指標要求的通帶寬度，增大Ωsl或減小Ωpl都使左邊的過渡帶寬度小于原指標要求的過渡帶寬度；

反之，如果ΩplΩpu<ΩslΩsu，則減小Ωsu（或增大Ωpu）使上得到滿足。而且在關于中心頻率Ω0幾何對稱的兩個頻率點上，帶通濾波器的幅度值相等。在p平面與s平面虛軸上的頻率變換關系為：3．模擬帶阻濾波器設計低通到帶阻的頻率變換公式為：式中，Bw=Ωsu-Ωsl，表示帶阻濾波器的阻帶寬度，Ωsl和Ωsu分別為帶阻濾波器的阻帶下截止頻率和阻帶上截止頻率;Ω0稱為帶阻濾波器的阻帶中心頻率。當λ從-∞→-λs→-λp→0-時，①Ω從-Ω0→-Ωsu→-Ωpu→-∞，形成帶阻濾波器HBS(jΩ)在(-∞，-Ω0]上的頻響；②Ω從+Ω0→+Ωs1→+Ωp1→0+,形成HBS(jΩ)在(0+，Ω0]上的頻響。當λ從0+→λp→λs→+∞

時，①Ω從0-→

-Ωpl→-Ωsl→-Ω0，形成帶阻濾波器HBS(jΩ)在[-Ω0

，0-)上的頻響；②Ω從+∞→

+

Ωpu→

+Ωsu→+Ω0

，形成HBS(jΩ)在[+Ω0

，∞)上的頻響。

帶阻濾波器的設計步驟：1.按照頻率變換公式：將帶阻濾波器的指標轉變成低通濾波器的指標，這里可采用通帶截止頻率歸一化低通濾波器，即。2.設計低通濾波器Q(p)。3.根據低通和帶阻濾波器復變量的關系：，將低通濾波器Q(p)轉換成帶阻濾波器系統(tǒng)函數:與低通到帶通變換情況相同，有

利用間接法設計IIR數字濾波器的步驟（1）將給定的數字濾波器的性能指標，按照某一變換（映射）規(guī)則轉換成相應的模擬濾波器的性能指標。（2）如果要設計的不是數字低通濾波器，還需將步驟（1）中變換得到的相應的（高通、帶通、帶阻）模擬濾波器性能指標，再通過變量代換變換成模擬低通濾波器的性能指標。因為只有模擬低通濾波器才有圖形和表格資源可以利用。（3）得到的模擬低通濾波器的性能指標之后，利用某種模擬濾波器逼近方法，設計并查表求得此模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數，以它作為設計數字濾波器的“樣本”。

常用模擬低通濾波器的設計方法：巴特沃思濾波器、切比雪夫濾波器等。（4）利用與步驟（1）（2）中的同一變換規(guī)則，將作為“樣本”的模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數最終映射成所需的數字濾波器的系統(tǒng)函數H(z)。

映射方法主要有：沖激響應不變法、階躍響應不變法和雙線性變換法。

步驟（1）數字濾波器的性能指標到模擬濾波器的性能指標，和步驟（4）中從模擬濾波器系統(tǒng)函數Ha(s)變換成數字濾波器的系統(tǒng)函數H(z)，就是s平面映射到z平面的過程，這種復變量s到復變量z之間的映射關系，必須滿足以下兩條基本要求：（1）H(z)的頻率響應要能模仿Ha(s)的頻率響應，也即s平面虛軸jΩ必須映射到z平面的單位圓ejω上。（2）因果穩(wěn)定的Ha(s)應能映射成因果穩(wěn)定的H(z)。因為模擬濾波器的因果穩(wěn)定的條件是其系統(tǒng)函數Ha(s)的極點全部位于s平面的左半平面；數字濾波器的因果穩(wěn)定條件是H(z)的極點全部在單位圓內，所以要求s平面的左半平面Re［s］<0必須映射到z平面單位圓的內部|z|<1。4.3用沖激響應不變法設計IIR數字濾波器

設計完模擬濾波器后，以其為樣本設計數字濾波器，希望數字濾波器能模仿模擬濾波器的特性，這種模仿可以從不同的角度出發(fā)。1.變換原理

沖激響應不變法是從濾波器的沖激響應出發(fā)，使數字濾波器的單位沖激響應序列h(n)能模仿模擬濾波器的沖激響應ha(t)。將ha(t)進行等間隔采樣，使h(n)正好等于ha(t)的采樣值。滿足：h(n)=ha(nT)式中,T是采樣周期。

如果令Ha(s)是ha(t)的拉普拉斯變換，H(z)為h(n)的z變換，利用采樣序列的z變換與模擬信號的拉普拉斯變換的關系得：(4.3.5)體現了一種s平面和z平面的映射關系為：

z=esT也即數字濾波器的系統(tǒng)函數和模擬濾波器的系統(tǒng)函數的關系。沖激響應不變法體現的s平面和z平面的映射關系

z=esT

由于s平面每一條橫帶都重復地映射到z平面上，正好反映了Ha(s)的周期延拓函數和H(z)之間的對應關系。s平面到z平面映射關系，滿足以下兩條基本要求：（1）H(z)的頻率響應要能模仿Ha(s)的頻率響應，也即s平面虛軸jΩ正好映射到z平面的單位圓ejω上。（2）因果穩(wěn)定的Ha(s)應能映射成因果穩(wěn)定的H(z)。即s平面的左半平面Re［s］<0正好映射到z平面單位圓的內部|z|<1。

上式為序列在單位圓上的z變換（序列的傅里葉變換）和模擬信號傅里葉變換的關系，即數字濾波器的頻率響應和模擬濾波器的頻率響應間的關系，通常寫成：數字濾波器的頻率響應是模擬濾波器頻率響應的周期延拓。(6.3.9)2.頻率響應的混疊失真(6.3.8)令，得：只有當模擬濾波器的頻率響應帶限于折疊頻率以內時，即才能使數字濾波器的頻率響應在折疊頻率以內重現模擬濾波器的頻率響應，而不產生混疊失真，即：|ω|<π或：(6.3.10)

實際中很多模擬濾波器頻率響應都不是嚴格限帶的，變換后就會產生周期延拓分量的頻譜交疊，即產生頻率響應的混疊失真；因而模擬濾波器的頻率響應在折疊頻率以外處衰減越大、越快，變換后頻率響應混疊失真越小。沖激響應不變法中的頻響混疊現象

此外，對模擬濾波器的單位沖激響應ha(t)進行采樣的頻率fs增加，即采樣時間間隔（T=1/fs）減小，則系統(tǒng)頻率響應各周期延拓分量之間距離增大，可減小頻率響應的混疊效應。

運用沖激響應不變法從Ha(s)變換到H(z)的過程：由模擬系統(tǒng)函數Ha(s)求拉普拉斯反變換得到模擬的沖激響應ha(t)；然后采樣后得到h(n)=ha(nT)；再取z變換得H(z)，過程較復雜。下面研究由沖激響應不變法的變換原理將Ha(s)直接轉換為數字濾波器H(z)的方法。

3.模擬濾波器的數字化方法

設模擬濾波器的系統(tǒng)函數Ha(s)只有單階極點，且假定分母的階次大于分子的階次，因此可將Ha(s)展開成部分分式形式：其相應的沖激響應ha(t)是Ha(s)的拉普拉斯反變換，即式中，u(t)是單位階躍函數。（6.3.1）

在沖激響應不變法中，要求數字濾波器的單位沖激響應等于對ha(t)的采樣，即對h(n)求z變換，即得數字濾波器的系統(tǒng)函數（6.3.4）

比較Ha(s)和H(z)，可見：（1）s平面的每一個單極點s=sk變換到z平面上z=eskT處的單極點。（2）Ha(s)與H(z)的部分分式的系數是相同的，都是Ak。（3）如果模擬濾波器是因果穩(wěn)定的，則所有極點sk位于s平面的左半平面，即Re［sk］<0，則變換后的數字濾波器的全部極點在單位圓內，因此數字濾波器也是因果穩(wěn)定的。（4）雖然沖激響應不變法能保證s平面極點與z平面極點有這種代數對應關系，但是并不等于整個s平面與z平面有這種代數對應關系，特別是數字濾波器的零點就與模擬濾波器零點沒有這種代數對應關系，而是隨Ha(s)的極點sk以及系數Ak兩者而變化。數字濾波器頻率響應幅度還與采樣間隔T成反比：|ω|<π

如果采樣頻率很高，即T很小，數字濾波器可能具有太