數(shù)學(xué)建模計算機(jī)仿真

計算機(jī)仿真一個問題我們做一個實驗：把一個硬幣擲一萬次，統(tǒng)計兩個面出現(xiàn)的次數(shù)。這樣做很簡單但卻需要大量時間，有沒有一種較快的辦法把這個實驗完成呢？利用計算機(jī)可以實現(xiàn)這一想法生成一個在[0,1]中的隨機(jī)數(shù)a，如果a<0.5，則認(rèn)為是擲硬幣出現(xiàn)了正面，給計數(shù)變量k1增加1；如果，則認(rèn)為是擲硬幣出現(xiàn)了反面，給計數(shù)變量k2增加1。將該過程循環(huán)一萬次即可。上面就是一個計算機(jī)仿真最簡單的例子！計算機(jī)仿真的定義計算機(jī)仿真就是根據(jù)已知的信息和知識，利用計算機(jī)模擬現(xiàn)實情況或系統(tǒng)演變過程，發(fā)現(xiàn)新的知識和規(guī)律，從而解決問題的一種方法。計算機(jī)仿真被稱為獨立于理論研究和實驗研究的第三種方法。計算機(jī)仿真的特點代價小，時間短，可重復(fù)，參數(shù)設(shè)置靈活是一種獨特的“數(shù)”學(xué)模型。是一種求解許多實際問題和數(shù)學(xué)模型的簡單方法，由于它不需要太多的數(shù)學(xué)知識，非常適合各類工程技術(shù)人員。計算機(jī)仿真仿的是“象”、是“數(shù)”，要忽略許多具體的事物特征。如何把計算機(jī)仿真的過程作為一個“數(shù)學(xué)模型”表述出來呢？描述計算機(jī)仿真模型要包括兩個內(nèi)容，一是對系統(tǒng)關(guān)鍵數(shù)據(jù)計算方法的清晰表述，二是對仿真的程序流程的描述，可以用算法步驟的形式，也可以用算法流程圖。計算機(jī)仿真要靠一個計算機(jī)程序來實現(xiàn)，然而程序代碼是不能作為模型，而且由于選擇的系統(tǒng)語言不同，表述上也會有較大差異。計算機(jī)仿真的分類物理系統(tǒng)仿真——電系統(tǒng)、機(jī)械系統(tǒng)等的仿真，大壩承受力仿真，原子彈爆炸威力……系統(tǒng)演變仿真——河堤垮塌后洪水蔓延程度仿真，海嘯蔓延程度仿真，種群生長仿真，戰(zhàn)爭推演仿真……蒙特卡洛方法——不規(guī)則圖形的面積、體積，圓周率的計算，電腦圍棋……核心：生成隨機(jī)數(shù)，……被列為20世紀(jì)最偉大的10大算法之首。離散事件仿真——企業(yè)經(jīng)營策略……有些仿真需要一些設(shè)備工具甚至人的參與，這里不涉及此類，只考慮與完全可用數(shù)學(xué)推演描述的問題?？梢哉f計算機(jī)仿真的適用于幾乎所有的社會生活領(lǐng)域！計算機(jī)仿真的核心思想方法過程明確，機(jī)理清晰連續(xù)問題離散化蒙特卡洛方法遍歷產(chǎn)生模擬隨機(jī)數(shù)的計算機(jī)命令在MATLAB軟件中，可以直接產(chǎn)生滿足各種分布的隨機(jī)數(shù)，命令如下：2．產(chǎn)生m×n階［０，１］均勻分布的隨機(jī)數(shù)矩陣：

rand(m,n)產(chǎn)生一個［０，１］均勻分布的隨機(jī)數(shù)：rand1．產(chǎn)生m×n階［a，b］上均勻分布U（a，b）的隨機(jī)數(shù)矩陣：

unifrnd(a,b,m,n)產(chǎn)生一個［a，b］均勻分布的隨機(jī)數(shù)：unifrnd(a,b)當(dāng)只知道一個隨機(jī)變量取值在（a，b）內(nèi)，但不知道（也沒理由假設(shè)）它在何處取值的概率大，在何處取值的概率小，就只好用U（a，b）來模擬它．當(dāng)研究對象視為大量相互獨立的隨機(jī)變量之和，且其中每一種變量對總和的影響都很小時，可以認(rèn)為該對象服從正態(tài)分布．機(jī)械加工得到的零件尺寸的偏差、射擊命中點與目標(biāo)的偏差、各種測量誤差、人的身高、體重等，都可近似看成服從正態(tài)分布．若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為其中>0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布．指數(shù)分布的期望值為

排隊服務(wù)系統(tǒng)中顧客到達(dá)率為常數(shù)時的到達(dá)間隔、故障率為常數(shù)時零件的壽命都服從指數(shù)分布．指數(shù)分布在排隊論、可靠性分析中有廣泛應(yīng)用．注意：MATLAB中，產(chǎn)生參數(shù)為的指數(shù)分布的命令為exprnd()例顧客到達(dá)某商店的間隔時間服從參數(shù)為0.1的指數(shù)分布指數(shù)分布的均值為1/0.1=10．指兩個顧客到達(dá)商店的平均間隔時間是10個單位時間.即平均10個單位時間到達(dá)1個顧客.顧客到達(dá)的間隔時間可用exprnd(10)模擬．設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,…,且取各個值的概率為其中>0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的泊松分布．泊松分布在排隊系統(tǒng)、產(chǎn)品檢驗、天文、物理等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用．泊松分布的期望值為如相繼兩個事件出現(xiàn)的間隔時間服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則在單位時間間隔內(nèi)事件出現(xiàn)的次數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布．即單位時間內(nèi)該事件出現(xiàn)k次的概率為：反之亦然．指數(shù)分布與泊松分布的關(guān)系：(1)指兩個顧客到達(dá)商店的平均間隔時間是10個單位時間.即平均10個單位時間到達(dá)1個顧客.(2)指一個單位時間內(nèi)平均到達(dá)0.1個顧客例(1)顧客到達(dá)某商店的間隔時間服從參數(shù)為0.1的指數(shù)分布(2)該商店在單位時間內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)服從參數(shù)為0.1的泊松分布計算機(jī)仿真案例1模型建立：由于本題要求使從攪拌中心到各個工地運輸混凝土的總的噸公里數(shù)最少，所以，該問題的目標(biāo)函數(shù)是求解方法：1、高數(shù)中的方法2、數(shù)值計算方法3、計算機(jī)仿真：離散化，遍歷！計算機(jī)仿真案例2例2（趕火車過程仿真）一列火車從A站經(jīng)過B站開往C站，某人每天趕往B站乘這趟火車。已知火車從A站到B站的運行時間是均值為30min、標(biāo)準(zhǔn)差為2min的正態(tài)隨機(jī)變量?；疖嚧蠹s在下午1點離開Ａ站?；疖囯x開時刻的頻率分布和這個人到達(dá)Ｂ站時刻的頻率分布如下表所示。問他能趕上火車的概率有多大？

出發(fā)時刻1:001:051:10到達(dá)時刻1:281:301:321:34頻率0.70.20.1頻率0.30.40.20.1仿真過程：1、生成火車的發(fā)車時間、運行時間，從而達(dá)得到其到達(dá)B站的時間。2、生成此人達(dá)到B站的時間。3、如果此人到達(dá)Ｂ站的時間早于火車到達(dá)時間，則算趕上火車一次。4、將上述過程重復(fù)一萬次，統(tǒng)計趕上火車的頻率作為所求概率。分析：這個問題用概率論的方法求解十分困難，它涉及此人到達(dá)時刻、火車離開A站的時刻、火車運行時間幾個隨機(jī)變量。我們可以用計算機(jī)仿真的方法來解決。計算機(jī)仿真案例3追擊問題我緝私雷達(dá)發(fā)現(xiàn)前方（南）ckm處有一艘走私船正以速度a沿直線向東勻速行駛，緝私艇立即以最大速度b追趕，若用雷達(dá)進(jìn)行跟蹤，緝私艇的瞬時速度方向始終指向走私船，是求緝私艇追逐路線和追趕上的時間。分析此問題可以建立微分方程模型，這里我們建立差分方程模型，用仿真的方法求解。取時間步長為h，在第i步時的時間即t=hi，走私船的位置坐標(biāo)為(hia,0)，設(shè)緝私艇的位置坐標(biāo)為P(xi,yi)。從第i步到第i+1步的計算公式為計算機(jī)仿真案例4某自行車商店的倉庫管理人員采取一種簡單的訂貨策略，當(dāng)庫存量降低到P輛自行車時就向廠家訂貨，每次訂貨Q輛，如果某一天的需求量越過了庫存量，商店就有銷售損失和信譽(yù)損失，但如果庫存量過多，會導(dǎo)致資金積壓和保管費增加。該問題的已知條件是：（1）從發(fā)出訂貨到收到貨物需隔三天；（2）每輛自行車保管費為0.75元/天，每輛自行車的缺貨損失為1.8元/天，每次的訂貨費為75元；（3）每天自行車的需求量服從0到99之間的均勻分布；（4）原始庫存為115輛，并假設(shè)第一天沒有發(fā)出訂貨。若現(xiàn)在已有如下表所示的五種庫存策略，請選擇一種總費用最少的策略。方案編號訂貨起點：P輛訂貨量：Q方案1125150方案2125250方案3150250方案4175250方案5175300我們以150天為例，依次對這五種方案進(jìn)行仿真，最后比較個方案的總費用，從而得出決策。計算機(jī)仿真時的工作流程是早上到貨、全天銷售、晚上訂貨。輸入一下常數(shù)和初始數(shù)據(jù)后，以一天為時間步長進(jìn)行仿真。首先檢查這一天是否為預(yù)訂到貨日期，如果是，則原有庫存量加Q，并把到貨量清為零；如果不是，則庫存量不變。接著仿真隨機(jī)需求量，這可用計算機(jī)語言這的隨機(jī)函數(shù)得到。如果庫存量大于需求量，則新的庫存量減去需求量；反之，則新的庫存量變?yōu)榱?，并且要在總費用上加上缺貨損失。然后檢查實際庫存量加上預(yù)訂到貨量是否小于重新訂貨點P，如果是，則需要重新訂貨，這是就加一次訂貨費。如此重復(fù)運行150天，即可得到所需費用總值。評價函數(shù)的設(shè)置方法第i天銷售量為輛缺貨量為輛銷售完后的庫存量為輛0-1變量表示第i天銷售完后是否有庫存，若庫存量大于等于0，則＝1，否則為0；用0-1變量表示第i天銷售是否會缺貨，如果缺貨量大于0，則＝1；用0-1變量表示第i天是否要訂貨。則第i天的總費用（元）為150天的總費用（元）為然而以此總費用最小為目標(biāo)函數(shù)是不妥的，應(yīng)當(dāng)將總費用分?jǐn)偟矫枯v銷售的自行車上，即單位銷量的費用更加合適，所以評價函數(shù)為圖3計算機(jī)訂貨決策仿真流程圖實驗作業(yè)1．編一個福利彩票電腦選號的程序．3.某設(shè)備上安裝有4只型號規(guī)格完全相同的電子管，已知電子管壽命服從1000～2000h之間的均勻分布．電子管損壞時有兩種維修方案，一是每次更換損壞的那只；二是當(dāng)其中1只損壞時4只同時更換．已知更換時間為換1只時需1h，4只同時換