半導體物理課件

半導體物理第三章

半導體中的電子狀態(tài)

3.1晶體中的能帶

3.2在外力作用下晶體中電子的運動

3.3導帶電子和價帶空穴

3.4硅，鍺和砷化鎵的能帶結構

3.5雜質(zhì)和缺陷能級晶體中的能帶晶體中的能帶能帶的形成

晶體中電子的波函數(shù)和能量譜值

電子的共有化運動能帶的形成

一維單電子薛定諤方程

單電子近似

周期性勢場

晶體中的波函數(shù)

晶體中電子的能量譜值

能帶的形成

a:簡并：考慮一些相同的原子，當它們之間的距離很大時，可以忽略它們之間的相互作用，每個原子都可以看成孤立的，它們有完全相同的電子能級。如果把這些原子看成一個系統(tǒng)，則沒一個電子能級都是簡并的。

b:能帶的形成：將分裂成具有不同能量的一些能級組成的帶，稱為能帶。原子之間的距離愈小它們之間的相互作用愈強，能帶的寬度也愈大。(圖3.2)原子能級和能帶之間并不一定都存在一一對應的關系。當共有化運動很強時，能帶可能很寬而發(fā)生能帶見的重疊，碳原子組成的金剛石就是屬于這種情況。(圖3.3)兩點結論1：電子態(tài)數(shù)目保持不變沒個電子態(tài)不在屬于個別原子，而是延展于整個晶體2：電子的能帶結構與組成晶體的原子結構和晶體結構有關，同晶體中原子數(shù)無關。3.23.33:周期性勢

①孤立原子

②一維周期場(圖3.4)晶體中的波函數(shù)

4:布洛赫定理:若勢函數(shù)V(x)具有周期性,即V(x+na)=V(x)Ψ(x)=exp(ikx)uk(x)uk(x)為具有周期性的函數(shù)

在一維情況下:Ψ(x)=uk(x)exp(ikx)uk(x+na)=uk(x)xp(ikx)共有化uk描述電子在沒個原胞中的運動

Ψ(x+na)=exp[ik(x+na)]uk(x+na)=exp(ikx)exp(ikna)uk(x)=exp(ikna)Ψ(x)

∣Ψ(x)∣2幾率密度∣Ψ(x+na)∣2=∣exp(ikna)Ψ(x)∣2=∣Ψ(x)∣電子在個原胞對應點出現(xiàn)的幾率相同k:波矢量量子數(shù)

1.自由電子:p=hk晶體電子:準動量2.k的取值范圍自由電子:遍及整個k空間晶體電子:第一布里淵區(qū)

k:Ψ(x+na)=exp(ikna)Ψ(x)k＇:k＇=k+2πs/as:任意整數(shù)

Ψk＇=exp[i(k+2πs/a)na]=exp[i(kna+2nπs)]=exp(ikna)Ψk＇(x+na)=Ψk(x+na)

相差任意倒格矢的兩個k代表同一狀態(tài),故只須把k限制在2π/a的范圍內(nèi)就可以一維晶格布里淵區(qū):-π/a≦k<π/a晶體中電子的能量譜值15:晶體中電子的能量譜值克龍尼克—潘納模型(圖3.6)a:勢阱寬b:勢壘寬v0勢阱高度周期a+bd2Ψ/dx2+2m/h2?(E-v)Ψ(x)=0Ψk(x)=exp(ikx)uk(x)由上面2式得到:d2u/dx2+2ik?du/dx+[2m(E-v)-k2]u=0

求解:(a):當0≦x<av(x)=0令α2=2mE/h2得u1(x)=Aexp[I(α-k)x]+Bexp[-i(α+k)x](b):當-b≦x<0V(x)=V0考慮E<V0的解令2m”(V0-E)=β2得u2(x)=Cexp[(β-ik)x]+Dexp[-(β+ik)x]

由邊界條件在x=0處u1(0)=u2(0)

下頁晶體中電子的能量譜值3結論性成能帶，禁帶，不連續(xù)點在布里淵區(qū)邊界E（k）倒格子周期性。E（-K）=E(K)E（k）有周期性，對稱性（圖3.9）

3.63.83.9在外力作用下

晶體中電子的運動電子的加速度和有效質(zhì)量在外力作用下電子狀態(tài)的變化電子的運動速度在外力作用下晶體中電子的運動電子的運動速度

11:波矢量為k的自由電子:V=E,P=hK

2:晶體中電子

一維情況下:

(x,t)=exp[i(kx-t)]u(x)由波矢量在K附近的布洛赫波組成的波包可由下面的積分表示令k=k+,由于k很接近k,所以

……………...③下頁

(x,t)=……………..①

E(k)E(k)+()……②

n(x)u(x)

電子的運動速度2把②③代入①得

則幾率分布為:

,

極大,極小

波包集中在范圍,中心

,下頁ψ(x,t)=exp[i(kx-)]u(x)×(2)(2)

x-=0

x-=

=

x=()t電子的運動速度3速度必須很小

,宏觀電流密度

v(k)==()

k

=x>>aJ=?dr=?(k)dr=?v(k)在外力作用下

電子狀態(tài)的變化在外力作用下電子狀態(tài)的變化=Vf

v(k)=

E(k)

=E=FE(k)

F=h=電子的加速度和有效質(zhì)量

1

電子的加速度和有效質(zhì)量

若用分量表示,則有

上式表明,在一般情況下,加速度的每個分量與外力的三個分量之間存在線形函數(shù)關系,這種關系由9個系數(shù)所決定,他們夠成一個二級張量,稱為有效質(zhì)量倒數(shù)張量..如果選擇能量橢球的三個主軸為坐標軸,則只有i=j的分量不為零,這時由v(k)=

E(k)和F=h=可以直接得出晶體中電子的加

速度=E?F

=F

(i,j=1,2,3)E/)

(1/h2)(=F

(i,j=1,2,3)

下頁電子的加速度和有效質(zhì)量

2

可以寫為其中該式在主軸坐標系中定義了有效質(zhì)量張量:

式中m,m,m是沿三個主軸方向上的有效質(zhì)量

在一般情況下,m,m,m是不相等的.于是由電子的運動方程

(i=1,2,3)可以看出,加速度和外力的方向也是不同的.只有當外力的方向是沿能量橢球的的主軸方向時,加速度才與外力的方向一致.對于具有立方對稱性的晶體,在k=0附近有效質(zhì)量應該是各向同性的,即有單一的電子有效質(zhì)量,這里m=F

(i=1,2,3)m=h2/

=

m=Fm=m=m=m

m=h/下頁電子的加速度和有效質(zhì)量

3在這種情況下可以寫成上式同自由電子的運動方程的形式完全相同,只是用有效質(zhì)量代替了電子的質(zhì)量.(圖3.11)

有效質(zhì)量在各個方向上不相等,而且還可以有負值,是因為有效質(zhì)量和電子的慣性質(zhì)量有完全不同的含義.m=F

(i=1,2,3)

m=F3.11導帶電子和價帶空穴導帶電子和價帶空穴

滿帶和部分填充的能帶

金屬、半導體和絕緣體

空穴

空穴的電荷和運動速度

空穴的加速度和有效質(zhì)量

(固體按導電能力可分為:金屬

(·㎝)

半島體(10～10·㎝)

絕緣體(10·㎝)

)滿帶和部分填充的能帶

1滿帶和部分填充的能帶

由E(k)=E(-k)可知E(k)是k的偶函數(shù),既k狀態(tài)和-k狀態(tài)具有相同的能量.但根據(jù)式v(k)=E(k)則得在著兩個狀態(tài)電子的速度卻是大下相等方向相反的:v(k)=-v(k)

因此它們對流的貢獻互相抵消J=0.在熱平衡時,無論是滿帶還是部分填充的能帶都是對稱的(圖3.12)

（下頁）滿帶和部分填充的能帶2

對于能帶中的狀態(tài)完全被電子充滿的情況,在電場的作用下,所有電子的狀態(tài)都以相同的速度沿著與電場相反的方向變動.(圖3.13)

可知,電場并沒有改變電子在布里淵區(qū)中的分布,仍與熱平衡下的分布相同因此在電場的作用下,滿帶中的電子不能起導電作用.

對于一部分被電子填充的能帶,在與電場方向相反的狀態(tài)上電子多,與電場方向不同的狀態(tài)上電子少,電子產(chǎn)生的電流不能全部抵消,總電流不為零.J=0.(圖3.14)3.123.133.14金屬、半導體和絕緣體

金屬、半導體和絕緣體

從上面的分析可以看出，一個晶體是否具有導電的性能，關鍵在于它是否有不滿的帶存在。

在金屬中，被電子填充的最高能帶是不滿的，而且能帶中的電子密度很高，和原子密度具有相同的能量級，因此金屬有良好的導電性。

對于半導體和絕緣體，在絕對零度時，被電子占據(jù)的最高能帶是滿帶，而上面的能帶則是空的，滿帶與空帶之間被禁帶隔開，半導體與絕緣體之間的差別僅在于，半導體的禁帶寬度比較窄，電子容易從滿帶激發(fā)到空帶中去，而絕緣體中禁帶寬度很寬，電子很難從滿帶激發(fā)到空帶。(圖3.15)3.15空穴

1空穴當價帶頂附近的一些電子被激發(fā)到導帶后，價帶中就流下了一些空狀態(tài)，為了方便起見，把價帶中的每個空狀態(tài)看成假象的粒子，稱這些假象的粒子為空穴。1：空穴的電荷和運動速度2：空穴的加速度和有效質(zhì)量空穴的電荷和運動速度

設想在價帶中空穴的波矢量為k，其余電子引起的電流密度為j，如果在狀態(tài)k中填上一個電子，則它對電流密度的貢獻為v(k).填上這個電子后，價帶被電子充滿，總的電流密度等于零，即于是有上式表明，當價帶中有一個波矢量為k的狀態(tài)空著時，價帶中實際存在的那些電子所引起的電流密度j，可用一個假想的粒子----空穴代替。空穴攜帶正電荷（+e）,以速度v(k)運動。則：

j+v(k)=0

j=v(k)

v(k)=E(k)

空穴的加速度和有效質(zhì)量1

空穴的加速度和有效質(zhì)量空穴在布里淵區(qū)中改變狀態(tài)的速度，與空狀態(tài)上有電子存在時，這個電子在外場作用下改變狀態(tài)的速度相同。在電場和磁場作用下，空穴狀態(tài)變化的速度為空穴的速度是k的函數(shù)，在外場作用下，空穴的加速度為是與價帶中空狀態(tài)k相對應的電子的有效質(zhì)量倒數(shù)張量。如果價帶定在k=0處則在其附近的有效質(zhì)量是各向同性的，上式簡化為

=（+v×B）

=E?(-e)(+v×B)E

=(+v×B)

下頁空穴的加速度和有效質(zhì)量2式中m是價帶定附近電子的有效質(zhì)量。而電子的有效質(zhì)量為負，若引入價帶頂附近空穴的有效質(zhì)量m那么空穴的加速度可表示為：

引入空穴狀態(tài)的意義：利用對價帶中少數(shù)空穴的分析，代替對價帶中大量電子運動的分析，可以使問題簡化。

導帶中的電子和價帶中的空穴，統(tǒng)稱為載流子。則m=-m>0

=(+v×B)硅，鍺和砷化鎵的能帶結構一:硅和鍺的能帶結構（圖3.17）1.導帶2.價帶二:砷化鎵的能帶結構3.17能帶結構簡化的能帶圖等能面11.能帶結構是指能量E與波矢量K之間的關系.

由于用三維圖象不能表示出E和三維的波矢量K的關系,所以通常都是在布里淵區(qū)中兩個主要對稱方向上給出E和K的函數(shù)關系.硅，鍺和砷化鎵的布拉伐格子都是面心立方格子,倒格子是體心立方格子,它們在第一布里淵區(qū)是中心在K=0對稱的14面體.(圖3.16)簡化的能帶圖:以能量為縱坐標畫出電子能量的允許值,橫坐標通常是沒有意義的.

等能面:由K空間中能量相等的點構成的曲面.對于自由電子的等能面方程為:常數(shù)顯然,等能面是球形.E(k)=(k

+k+k)=

下頁能帶結構簡化的能帶圖等能面2對于半導體中的電子,設導帶極小值處的波矢量為k.利用有效質(zhì)量定義.上式表明,等能面是以k為中心的橢球.

對于極值在k=0,有效質(zhì)量是各向同性的能帶,上式簡化為:在這種情況下,等能面是球形.

E(k)=E(k)+[++]

E(k)=E(0)+

導帶導帶硅的導帶有六個彼此對稱的極小值,通常把導帶的極小值也稱為能谷.在<100>方向上的極小值附近,電子能量可表示成:其中,E是導帶底的能量.m為沿<100>方向的有效質(zhì)量---縱向有效質(zhì)量,m是垂直于<100>方向的有效質(zhì)量----橫向有效質(zhì)量.可知,硅的導帶極小值附近的能帶面是旋轉橢球面,旋轉主軸為<100>軸.

鍺的導帶只有四個彼此對稱的極小值,或者說有四個對稱的能谷.極小值附近的等能面是旋轉橢球面,旋轉主軸是<111>軸.

E(k)=E+[+]價帶價帶

在圖3.17中畫出硅和鍺價帶中的三個能帶.兩個帶在k=0處有同的極大值,即它們在k=0處是簡并的.上面的帶E隨k變化的曲率小,空穴的有效質(zhì)量大,稱為重空穴帶;下面的曲率大,空穴的有效質(zhì)量小,稱為輕空穴帶.

Si和Ge的能帶結構有一個共同的特點,就是導帶底和價帶頂發(fā)生在k空間的不同點.具有這種類型能帶的半導體稱為間接禁帶半導體.在300k時,Si和Ge的禁帶寬度分別為1.12eV和0.67eV砷化鎵的能帶結構

1砷化鎵的能帶結構（圖3.18）圖3.18給出了GaAs能帶結構示意圖.導帶極小值發(fā)生在布里淵區(qū)的中心(k=0).在極小值附近的等能面是球形,電子的有效質(zhì)量是各向同性的.等能面方程是另外,在<100>方向還有極小值存在,其能量比k=0的極小值高0.36ev,在強電場作用下,電子可由k=0的能谷轉移到<100>能谷,產(chǎn)生所謂電子效益.GaAs的價帶與Si和Ge的價帶是類似的.有一個重空穴帶和一個輕空穴帶,他們在k=0處有相同的極大值.在k=0處還有一個極大值較低的第三個帶.GaAs的導帶和價帶頂發(fā)生在k空間的同一點.具有這種類型的半導體稱為直接禁帶半導體.在300k時,GaAs的禁帶寬度為1.43ev..E(k)=E(0)+3.18雜質(zhì)和缺陷能級

一:硅和鍺中的雜質(zhì)能級1.施主雜質(zhì)和施主能級2.受主雜質(zhì)和受主能級

二：Ⅲ—Ⅴ族化合物半導體中的雜質(zhì)三:類氫模型四：深能級五：缺陷能級雜質(zhì)和缺陷能級

在實際的半導體材料中,總是不可避免地存在有雜質(zhì)和各種類型的缺陷.特別是在半導體的研究和應用中,常常有意識的加入適當?shù)碾s質(zhì).這些雜質(zhì)和缺陷產(chǎn)生的附加勢場,有可能使電子和空穴束縛在雜質(zhì)和缺陷的周圍,產(chǎn)生局域化的電子態(tài),在禁帶中引入相應的雜質(zhì)和缺陷能級.施主雜質(zhì)和施主能級1如圖3.19(a)所示,在硅晶體中有一個磷原子占據(jù)了硅原子的位置.磷原子原子有五個價電子,其中四個價電子與鄰近的四個硅原子形成共價鍵,還多余出來一個電子.這個電子容易擺脫磷原子的束縛,在晶體中自由運動,成為導帶中的電子;而磷原子形成一價的正離子,形成一個固定不動的正電中心.上述過程稱為雜質(zhì)電離.電子從磷原子中掙脫出來所需要的最小能量,稱為雜質(zhì)電離能.能夠向導帶提供電子的雜質(zhì)稱為施主雜質(zhì).當電子被束縛在施主雜質(zhì)的周圍時,產(chǎn)生局域化的電子態(tài),相應的能級稱為施主能級.（圖3.19）下頁施主雜質(zhì)和施主能級2如圖3.19(b)所示.圖中E、E和E分別表示導帶底、價帶頂和施主能級.所謂施主電離能就是導帶底和施主能級之間的能量間隔

.在只有施主雜質(zhì)的半導體中,在溫度較低時,價帶中電子能夠激發(fā)到導帶的很少,起導電作用的主要是從施主能級激發(fā)到導帶的電子,這種主要由電子導電的半導體,稱為N型半導體.E-E3.19受主雜質(zhì)和受主能級能夠從價帶中接受電子的雜質(zhì)，稱為受主雜質(zhì)。

當受主雜質(zhì)接受電子時，在它的周圍產(chǎn)生局域化的電子態(tài)，應的能級稱為受主能級.（圖3.20）

如果半導體中同時含有施主和受主雜質(zhì)，由于受主能級比施主能級低得多，施主雜質(zhì)也要首先接受來自施主雜質(zhì)的電子，剩余的受主雜質(zhì)才能接受來自價帶的電子。施主和受主雜質(zhì)之間這種互相抵消的作用，稱為雜質(zhì)補償。在這種情況下，半導體的導電類型由濃度大的雜質(zhì)來決定。施主濃度大于受主濃度時，半導體是N型；反之則為P型。

3.20Ⅲ—Ⅴ族化合物半導體中的雜質(zhì)

在Ⅳ族元素半導體中，取代Ⅳ族原子占據(jù)晶格位置的Ⅴ族原子成為施主雜質(zhì)，而Ⅲ族原子卻成為受主雜質(zhì)。這個結果說明，在半導體中，雜質(zhì)原子的價電子數(shù)與晶格原子的價電子數(shù)之間的關系，是決定雜質(zhì)行為的一個重要因素。

則可知，在Ⅲ—Ⅴ族化合物半導體中，取代晶格中Ⅴ族原子的Ⅵ族原子，應該是施主雜質(zhì)；取代Ⅲ族原子的Ⅱ族原子，應該是受主雜質(zhì)。

當雜質(zhì)原子和晶格原子的價電子數(shù)相等時，雜