第二章自然數(shù)

第二章自然數(shù)上帝創(chuàng)造了自然數(shù)，其它都是人為的德國數(shù)學家克羅內(nèi)克1823-1891用集合語言解釋自然數(shù)關(guān)于自然數(shù)1和0以及自然數(shù)的運算自然數(shù)的位置計數(shù)制自然數(shù)的佩亞諾公理系統(tǒng)關(guān)于自然數(shù)教學的若干問題自然數(shù)的屬性基數(shù)屬性序數(shù)屬性第一節(jié)用集合的語言解釋自然數(shù)1。1自然數(shù)的產(chǎn)生對物件的計量逐漸形成倉頡造字一、二、三印度創(chuàng)造1，2，3....自然數(shù)的形成及其運算,建立在集合的基礎上集合是不能邏輯定義的原始概念一些對象的匯合是一個集合每個集合的集合仍是一個集合存在空集集合的基數(shù)和序數(shù)兩個集合能夠一一對應為彼此等價基數(shù)表示集合中元素的個數(shù)凡是能夠彼此一一對應的有限集,構(gòu)成一個等價類序數(shù)表示某個有序集合中每個元素所占的位置,是記順序的數(shù)20世紀最偉大的數(shù)學家之一馮·諾伊曼(1906-1957)用集合的語言,特別是集合的集合和存在空集這兩個約定,簡約、清晰、準確地構(gòu)建了自然數(shù)體系依次構(gòu)造地產(chǎn)生的自然數(shù)，稱為序數(shù)第二節(jié)關(guān)于自然數(shù)1和0以及自然數(shù)的運算“1”是一個特殊的自然數(shù)1是自然數(shù)的單位，任何一個非零自然數(shù)第二節(jié)關(guān)于自然數(shù)1和0以及自然數(shù)的運算2.1“1”是一個特殊的自然數(shù)1是自然數(shù)的單位1是乘法的單位元為除法奠定了基礎2.20是作為自然數(shù)歷史上了認識自然數(shù)是從1開始.0大約在公元6-7世紀由印度首先使用1993年〖中華人民共和國國家標準〗量和單位,規(guī)定自然數(shù)包括0自然數(shù)包含零的理由自然數(shù)包含零的理由“”“”2.3關(guān)于自然數(shù)的加法,減法,乘法,除法的定義加法自然數(shù)相加a,b相加得到a＋b是指a,b所代表的集合A,B是互不相交的，而a＋b則是并集A∪B的基數(shù)2.減法如果b≧a,即b所代表的集合B，與a所代表的集合A，有關(guān)系AB即A是B的子集B和A的差集3.乘法集合A,B的笛卡爾積自然數(shù)a乘以b得到a×b是指a所代表A，與b所打賭集合B所成的笛卡爾積A×B的基數(shù)4.除法從集合論的角度,0與空集的基數(shù)相對應自然數(shù)系包括0,加法就有了單位.豐富了代數(shù)結(jié)構(gòu)0對于數(shù)的擴展十分重要有利于對自然數(shù)的理解除法是指一個有限集合C,能夠恰好分解成為a個具有相同基數(shù)b的子集B，那么a=c÷b第二節(jié)自然數(shù)的位置計數(shù)制3.1十進位制從商代陶文和甲骨文中能夠用一、二、三、四、五、六七、八、九、十、百、千、萬等十三個數(shù)字，記十萬以內(nèi)的自然數(shù)古巴比倫六十進位歐洲各國的命名制度不是四位一級，面是三位一級大數(shù)的三種讀法中國讀法數(shù)字讀法英語讀法3.2算盤與位置進制珠算是中華文化的瑰寶，曾為人類文明作出過巨大貢獻，至今仍有強大的生命力。數(shù)學課程提倡“數(shù)學文化”，珠算文化是一種重要中華文化算盤是極好的學具，打算盤是學生十分喜歡的數(shù)學活動。新課程強調(diào)動手操作，珠算是很好的工具。珠算是學習位置記數(shù)法的最佳模型。學習珠算也是在學習算法無論從傳統(tǒng)文化的意義上，還是現(xiàn)代教育理念上，以及教學實踐上，珠算都有益于小學生的數(shù)學學習算盤的認識算盤的結(jié)構(gòu)特點及其數(shù)學教育的五升十進位制是算盤的結(jié)構(gòu)特點上珠五，算珠不超過五。心理學實驗“黑豆實驗”用豆子來測試人目測數(shù)群的能力算盤直觀形象，能體現(xiàn)算理用算盤來認數(shù)、計算，形數(shù)結(jié)合，珠動數(shù)出。合乎兒童學習數(shù)學的心理將算盤學會了，小學數(shù)學的一切教學目標都可實現(xiàn)算盤是整體和辯證的統(tǒng)一算盤從整體上看，它還是一個矛盾對立的統(tǒng)一體。體現(xiàn)古代文化思考方式的整體性和辯證性河圖洛書珠算口決四.珠算算法的符號化、程序化、算法化是機械化思想的典型代表珠算算法的程序化、機械化、算法化是機械化思想的典型代表世界科學史上，天文和數(shù)學，以我們中國的最為古老?！跋ＥD畢達哥拉斯學派從一個算子的積累運動演化出了無窮的宇宙，算盤則是把無窮的宇宙濃縮成袖里乾坤”珠心算---珠算文化的重大創(chuàng)新發(fā)展在腦子里打算盤，用腦子的虛擬的算盤進行遲延，具有開發(fā)兒童智力潛能的功能和作用記憶力提高；思維能力強；獨創(chuàng)性好；閱讀速度快；智商提高；對弱智兒童有智障補償?shù)淖饔玫谒墓?jié)自然數(shù)的佩亞諾公理系統(tǒng)1889年，意大利數(shù)學家佩亞諾（G.Peano,1858-1932）建立了自然數(shù)的公理系統(tǒng)：使用兩個形式符號：1和‘，它們要滿足以下5條公理1是自然數(shù)；每一個自然數(shù)a都有一個后繼a';1不是任何自然數(shù)的后繼；若a'=b'則a=b；（歸納公理）自然數(shù)的某個集合若含1，而且如果含有一個自然數(shù)a就一定含a‘，那么這個集合含全體自然數(shù)滿足這5條公理的對象稱為自然數(shù)，記為N關(guān)于自然數(shù)（peano）公理的諾干認識凡能滿足上述對象就是自然數(shù)自然數(shù)是一個無限集，“潛無限”“實無限”，公理（5）是第一數(shù)學歸納法的邏輯依據(jù)定理P（n）是一個關(guān)于自然數(shù)n的命題，如果P（n）滿足下面的條件：P（1）成立；假設從P（k）成立可以推出P（k＋1）也成立，那么命題P（n）對所有的自然數(shù)n都成立4.2自然數(shù)公理系統(tǒng)中的加法定義1（自然數(shù)的加法）在數(shù)集N中,滿足下列條件的二元運算“＋”,叫做加法對任意的a,有a＋1=a‘對任意的a,b∈N＋，都有a＋b∈N＋，且a＋b’=（a＋b）‘，其中a＋b叫做a與b的和，a，b分別