初中數學浙教版八年級上冊第2章特殊三角形（省一等獎）

第二章特殊三角形單元檢測一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個標志中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）如圖，在△ABC中，AB=AC，且D為BC上一點，CD=AD，AB=BD，則∠B的度數為（）A．30° B．36° C．40° D．45°3．（3分）如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，則∠1的度數為（）A．36° B．60° C．72° D．108°4．（3分）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分別是∠ABC、∠BCD的角平分線，則圖中的等腰三角形有（）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個5．（3分）（2023?貴陽模擬）如圖，每個小正方形的邊長都相等，A、B、C是小正方形的頂點，則∠ABC的度數為（）A．30° B．45° C．60° D．90°6．（3分）兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，如圖，四邊形ABCD是一個箏形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究箏形的性質時，得到如下結論：①AC⊥BD；②AO=CO=AC；③△ABD≌△CBD，其中正確的結論有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個7．（3分）如圖，在線段AE同側作兩個等邊三角形△ABC和△CDE（∠ACE＜120°），點P與點M分別是線段BE和AD的中點，則△CPM是（）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．非等腰三角形8．（3分）等腰三角形一腰上的高等于該三角形某一條邊的長度的一半，則其頂角等于（）A．30° B．30°或150°C．120°或150° D．30°或120°或150°9．（3分）（2023春?龍崗區(qū)期末）如圖△ABC是等腰直角三角形，BC是斜邊，將△ABP繞點A逆時針旋轉后，能與△ACP′重合，已知AP=3，則PP′的長度是（）A．3 B． C． D．410．（3分）如圖，點E在正方形ABCD的對角線AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的兩直角邊EF、EG分別交BC、DC于點M、N．若正方形ABCD的邊長為a，則重疊部分四邊形EMCN的面積為（）A．a2 B．a2 C．a2 D．a二、填空題（共8小題，滿分32分，每小題4分）11．（4分）如圖，已知△ABC中，AB=5，AC=7，AD⊥BC于點D，點M為AD上任意一點，則MC2﹣MB2等于______．12．（4分）（2023?廈門校級模擬）在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中線BD將三角形周長分為15和21兩部分，則這個三角形的底邊長為______．13．（4分）（2023春?高安市期中）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，P是BC邊上除點B、C外的任意一點，則AP2+PB?PC=______．14．（4分）如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，將△ABC沿DE折疊，使底角頂點C落在三角形三邊的垂直平分線的交點O處，若BE=BO，則∠ABC=______度．15．（4分）（2023?遷安市一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm．點E、F分別在AB、CD上，將矩形ABCD沿EF折疊，使點A、D分別落在矩形ABCD外部的點A1、D1處，則整個陰影部分圖形的周長為______．16．（4分）（2023?湖州一模）如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點，將△ABE沿直線BE折疊后得到△GBE，延長BG交CD于點F，若AB=6，BC=4，則FD的長為______．17．（3分）（2023春?烏拉特前旗期末）如圖，以直角△ABC的三邊向外作正方形，其面積分別為S1，S2，S3且S1=4，S2=8，則S3=______．18．（4分）（2023?蕭山區(qū)模擬）如圖，將正方形ABCD的邊AD和邊BC折疊，使點C與點D重合于正方形內部一點O，已知點O到邊CD的距離為a，則點O到邊AB的距離為______．（用a的代數式表示）三．選擇題（共12小題，滿分90分）19．（6分）（2023?長春二模）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD是∠ABC的平分線，求∠BDC的度數．20．（6分）（2023春?羅湖區(qū)期末）上午8時，一條船從A處出發(fā)以30海里/時的速度向正北航行，12時到達B處．測得∠NAC=32°，∠ABC=116°．求從B處到燈塔C的距離？21．（6分）（2023春?蘆溪縣期中）如圖，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一點（M與A不重合）MD⊥BC，且交∠BAC的平分線于點D，求證：MD=MA．22．（6分）（2023春?臨清市期中）如圖：四邊形ABCD中，AB=CB=，CD=，DA=1，且AB⊥CB于B．試求：（1）∠BAD的度數；（2）四邊形ABCD的面積．23．（6分）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，BE⊥AC于點E．求證：∠CBE=∠BAD．24．（8分）如圖，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求證：∠C=2∠D．25．（8分）（2023春?十堰期末）如圖，正方形網格中的每個小正方形邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點分別按下列要求畫三角形．（1）在圖1中，畫一個三角形，使它的三邊長都是有理數；（2）在圖2中，畫一個直角三角形，使它們的三邊長都是無理數；（3）在圖3中，畫一個正方形，使它的面積是10．26．（8分）（2023春?太倉市期末）如圖，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度數．27．（8分）（2023?丹東模擬）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，CE⊥BD于點E．求證：AD=BE．28.（12分）（2023?徐州模擬）一、閱讀理解：在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c；（1）若∠C為直角，則a2+b2=c2；（2）若∠C為銳角，則a2+b2與c2的關系為：a2+b2＞c2；（3）若∠C為鈍角，試推導a2+b2與c2的關系．二、探究問題：在△ABC中，BC=a=3，CA=b=4，AB=c，若△ABC是鈍角三角形，求第三邊c的取值范圍．29．（14分）如圖所示，∠BAC=∠DAE=90°，M是BE的中點，AB=AC，AD=AE，求證：AM⊥CD．

第二章特殊三角形單元檢測參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個標志中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據軸對稱圖形的概念求解．如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．【解答】解：A、是軸對稱圖形，故A符合題意；B、不是軸對稱圖形，故B不符合題意；C、不是軸對稱圖形，故C不符合題意；D、不是軸對稱圖形，故D不符合題意．故選：A．【點評】本題主要考查軸對稱圖形的知識點．確定軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．（3分）如圖，在△ABC中，AB=AC，且D為BC上一點，CD=AD，AB=BD，則∠B的度數為（）A．30° B．36° C．40° D．45°【分析】求出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C的關系，利用三角形的內角和是180°，求∠B，【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵AB=BD，∴∠BAD=∠BDA，∵CD=AD，∴∠C=∠CAD，∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°故選：B．【點評】本題主要考查等腰三角形的性質，解題的關鍵是運用等腰三角形的性質得出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C關系．3．（3分）如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，則∠1的度數為（）A．36° B．60° C．72° D．108°【分析】根據∠A=36°，AB=AC求出∠ABC的度數，根據角平分線的定義求出∠ABD的度數，根據三角形的外角的性質計算得到答案．【解答】解：∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=36°，∴∠1=∠A+∠ABD=72°，故選：C．【點評】本題考查的是三角形的外角的性質和等腰三角形的性質，掌握等腰三角形的兩個底角相等和三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角之和是解題的關鍵．4．（3分）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分別是∠ABC、∠BCD的角平分線，則圖中的等腰三角形有（）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【分析】根據已知條件和等腰三角形的判定定理，對圖中的三角形進行分析，即可得出答案．【解答】解：共有5個．（1）∵AB=AC∴△ABC是等腰三角形；（2）∵BD、CE分別是∠ABC、∠BCD的角平分線∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠BCD，∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC=∠ECB，∴△BCE是等腰三角形；（3）∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣36°）=72°，又BD是∠ABC的角平分線，∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A，∴△ABD是等腰三角形；同理可證△CDE和△BCD是等腰三角形．故選：A．【點評】此題主要考查學生對等腰三角形判定和三角形內角和定理的理解和掌握，屬于中檔題．5．（3分）（2023?貴陽模擬）如圖，每個小正方形的邊長都相等，A、B、C是小正方形的頂點，則∠ABC的度數為（）A．30° B．45° C．60° D．90°【分析】根據勾股定理即可得到AB，BC，AC的長度，進行判斷即可．【解答】解：連接AC，設每個小正方形的邊長都是a，根據勾股定理可以得到：AC=BC=a，AB=a，∵（a）2+（a）2=（a）2，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，故選B．【點評】本題主要考查了勾股定理，利用勾股定理判斷△ABC是等腰直角三角形是解決本題的關鍵．6．（3分）兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，如圖，四邊形ABCD是一個箏形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究箏形的性質時，得到如下結論：①AC⊥BD；②AO=CO=AC；③△ABD≌△CBD，其中正確的結論有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【分析】先證明△ABD與△CBD全等，再證明△AOD與△COD全等即可判斷．【解答】解：在△ABD與△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SSS），故③正確；∴∠ADB=∠CDB，在△AOD與△COD中，，∴△AOD≌△COD（SAS），∴∠AOD=∠COD=90°，AO=OC，∴AC⊥DB，故①②正確；故選D【點評】此題考查全等三角形的判定和性質，關鍵是根據SSS證明△ABD與△CBD全等和利用SAS證明△AOD與△COD全等．7．（3分）如圖，在線段AE同側作兩個等邊三角形△ABC和△CDE（∠ACE＜120°），點P與點M分別是線段BE和AD的中點，則△CPM是（）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．非等腰三角形【分析】首先根據等邊三角形的性質，得出AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，則∠BCE=∠ACD，從而根據SAS證明△BCE≌△ACD，得∠CBE=∠CAD，BE=AD；再由點P與點M分別是線段BE和AD的中點，得BP=AM，根據SAS證明△BCP≌△ACM，得PC=MC，∠BCP=∠ACM，則∠PCM=∠ACB=60°，從而證明該三角形是等邊三角形．【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°．∴∠BCE=∠ACD．∴△BCE≌△ACD．∴∠CBE=∠CAD，BE=AD．又點P與點M分別是線段BE和AD的中點，∴BP=AM．∴△BCP≌△ACM．∴PC=MC，∠BCP=∠ACM．∴∠PCM=∠ACB=60°．∴△CPM是等邊三角形．故選：C．【點評】三角形中位線性質應用比較廣泛，尤其是在三角形、四邊形方面起著非常重要作用，本題結合三角形全等的知識，考查了等邊三角形的性質．8．（3分）等腰三角形一腰上的高等于該三角形某一條邊的長度的一半，則其頂角等于（）A．30° B．30°或150°C．120°或150° D．30°或120°或150°【分析】題中沒有指明等腰三角形一腰上的高是哪邊長的一半，故應該分三種情況進行分析，從而不難求解．【解答】解：①如圖，∵∠ADB=90°，AD=AB，∴∠B=30°，∵AC=BC，∴∠CAB=30°，∴∠ACB=180°﹣30°﹣30°=120°．②如圖，∵∠ADB=90°，AD=AC，∴∠ACD=30°，∵AC=BC，∴∠CAB=∠B=15°，∠ACB=180°﹣30°=150°．③如圖，∵∠ADB=90°，AD=BC，∴∠B=30°，∵AB=BC，∴∠CAB=∠C=75°，∴∠B=30°．故選D．【點評】此題主要考查等腰三角形的性質，三角形內角和定理及三角形外角性質的綜合運用．9．（3分）（2023春?龍崗區(qū)期末）如圖△ABC是等腰直角三角形，BC是斜邊，將△ABP繞點A逆時針旋轉后，能與△ACP′重合，已知AP=3，則PP′的長度是（）A．3 B． C． D．4【分析】根據旋轉前后的圖形全等，即可得出△APP'等腰直角三角形，再根據等腰直角三角形的性質，進行計算即可．【解答】解：∵△ACP′是由△ABP繞點A逆時針旋轉后得到的，∴△ACP′≌△ABP，∴AP=AP′，∠BAP=∠CAP′．∵∠BAC=90°，∴∠PAP′=90°，故可得出△APP'是等腰直角三角形，又∵AP=3，∴PP′=3．故選B．【點評】此題考查了旋轉的性質，解答本題的關鍵是掌握旋轉前后對應邊相等、對應角相等，另外要掌握等腰三角形的性質，難度一般．10．（3分）如圖，點E在正方形ABCD的對角線AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的兩直角邊EF、EG分別交BC、DC于點M、N．若正方形ABCD的邊長為a，則重疊部分四邊形EMCN的面積為（）A．a2 B．a2 C．a2 D．a【分析】過E作EP⊥BC于點P，EQ⊥CD于點Q，△EPM≌△EQN，利用四邊形EMCN的面積等于正方形PCQE的面積求解．【解答】解：過E作EP⊥BC于點P，EQ⊥CD于點Q，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，又∵∠EPM=∠EQN=90°，∴∠PEQ=90°，∴∠PEM+∠MEQ=90°，∵三角形FEG是直角三角形，∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°，∴∠PEM=∠NEQ，∵AC是∠BCD的角平分線，∠EPC=∠EQC=90°，∴EP=EQ，四邊形PCQE是正方形，在△EPM和△EQN中，，∴△EPM≌△EQN（ASA）∴S△EQN=S△EPM，∴四邊形EMCN的面積等于正方形PCQE的面積，∵正方形ABCD的邊長為a，∴AC=a，∵EC=2AE，∴EC=a，∴EP=PC=a，∴正方形PCQE的面積=a×a=a2，∴四邊形EMCN的面積=a2，故選：D．【點評】本題主要考查了正方形的性質及全等三角形的判定及性質，解題的關鍵是作出輔助線，證出△EPM≌△EQN．二．選擇題（共8小題，滿分32分，每小題4分）11．（4分）如圖，已知△ABC中，AB=5，AC=7，AD⊥BC于點D，點M為AD上任意一點，則MC2﹣MB2等于24．【分析】在Rt△ABD及RtADC中可分別表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及RtCDM中分別將BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出結果．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2=AB2﹣AD2，CD2=AC2﹣AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2=BD2+MD2=AB2﹣AD2+MD2，MC2=CD2+MD2=AC2﹣AD2+MD2，∴MC2﹣MB2=（AC2﹣AD2+MD2）﹣（AB2﹣AD2+MD2）=AC2﹣AB2=72﹣52=24．故答案為：24．【點評】本題考查了勾股定理的知識，題目有一定的技巧性，比較新穎，解答本題需要認真觀察，分別兩次運用勾股定理求出MC2和MB2是本題的難點，重點還是在于勾股定理的熟練掌握．12．（4分）（2023?廈門校級模擬）在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中線BD將三角形周長分為15和21兩部分，則這個三角形的底邊長為16或8．【分析】本題由題意可知有兩種情況，AB+AD=15或AB+AD=21．從而根據等腰三角形的性質及三角形三邊關系可求出底邊為8或16．【解答】解：∵BD是等腰△ABC的中線，可設AD=CD=x，則AB=AC=2x，又知BD將三角形周長分為15和21兩部分，∴可知分為兩種情況①AB+AD=15，即3x=15，解得x=5，此時BC=21﹣x=21﹣5=16；②AB+AD=21，即3x=21，解得x=7；此時等腰△ABC的三邊分別為14，14，8．經驗證，這兩種情況都是成立的．∴這個三角形的底邊長為8或16．故答案為：16或8．【點評】本題主要考查等腰三角形的性質及三角形三邊關系；注意：求出的結果一定要檢驗時符合三角形三邊性質．分類討論是正確解答本題的關鍵．13．（4分）（2023春?高安市期中）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，P是BC邊上除點B、C外的任意一點，則AP2+PB?PC=25．【分析】首先過點A作AD⊥BC于D，可得∠ADP=∠ADB=90°，又由AB=AC，根據三線合一的性質，可得BD=CD，由勾股定理可得PA2=PD2+AD2，AD2+BD2=AB2，然后由AP2+PB?PC=AP2+（BD+PD）（CD﹣PD），即可求得答案．【解答】解：過點A作AD⊥BC于D，∵AB=AC=5，∠ADP=∠ADB=90°，∴BD=CD，PA2=PD2+AD2，AD2+BD2=AB2，∴AP2+PB?PC=AP2+（BD+PD）（CD﹣PD）=AP2+（BD+PD）（BD﹣PD）=AP2+BD2﹣PD2=AP2﹣PD2+BD2=AD2+BD2=AB2=25．故答案為25．【點評】本題考查了勾股定理與等腰三角形的性質的正確及靈活運用．注意得到AP2+PB?PC=AP2+（BD+PD）（CD﹣PD）是解此題的關鍵．14．（4分）如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，將△ABC沿DE折疊，使底角頂點C落在三角形三邊的垂直平分線的交點O處，若BE=BO，則∠ABC=63度．【分析】首先連接OC，設∠OCE=x°，由折疊的性質易得：∠COE=∠OCE=x°，又由三角形三邊的垂直平分線的交于點O，可得OB=OC，且O是△ABC外接圓的圓心，然后利用等邊對等角與三角形外角的性質，可用x表示出∠OBC、∠BOE，∠OEB的度數，又由三角形內角和定理，可得方程x+2x+2x=180，解此方程求得∠OCE的度數，繼而求得∠ABC的度數．【解答】解：連接OC，設∠OCE=x°，由折疊的性質可得：OE=CE，∴∠COE=∠OCE=x°，∵三角形三邊的垂直平分線的交于點O，∴OB=OC，且O是△ABC外接圓的圓心，∴∠OBC=∠OCE=x°，∠BOC=2∠A，∵∠OEB=∠OCE+∠COE=2x°，BE=BO，∴∠BOE=∠OEB=2x°，∵△OBE中，∠OBC+∠BOE+∠OEB=180°，∴x+2x+2x=180，解得：x=36，∴∠OBC=∠OCE=36°，∴∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCE=108°，∴∠A=∠BOC=54°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB==63°，故答案為：63．【點評】此題考查了折疊的性質、等腰三角形的性質、三角形內角和定理、三角形外角的性質以及三角形外接圓的性質．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想與方程思想的應用．15．（4分）（2023?遷安市一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm．點E、F分別在AB、CD上，將矩形ABCD沿EF折疊，使點A、D分別落在矩形ABCD外部的點A1、D1處，則整個陰影部分圖形的周長為36cm．【分析】根據折疊的性質，得A1E=AE，A1D1=AD，D1F【解答】解：根據折疊的性質，得A1E=AE，A1D1=AD，D1F則陰影部分的周長=矩形的周長=2（12+6）=36（cm）．【點評】此題要能夠根據折疊的性質得到對應的線段相等，從而求得陰影部分的周長．16．（4分）（2023?湖州一模）如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點，將△ABE沿直線BE折疊后得到△GBE，延長BG交CD于點F，若AB=6，BC=4，則FD的長為4．【分析】根據點E是AD的中點以及翻折的性質可以求出AE=DE=EG，然后利用“HL”證明△EDF和△EGF全等，根據全等三角形對應邊相等可證得DF=GF；設FD=x，表示出FC、BF，然后在Rt△BCF中，利用勾股定理列式進行計算即可．【解答】解：∵E是AD的中點，∴AE=DE，∵△ABE沿BE折疊后得到△GBE，∴AE=EG，AB=BG，∴ED=EG，∵在矩形ABCD中，∴∠A=∠D=90°，∴∠EGF=90°，在Rt△EDF和Rt△EGF中，，∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），∴DF=FG，設DF=x，則BF=6+x，CF=6﹣x，在Rt△BCF中，（4）2+（6﹣x）2=（6+x）2，解得x=4．故答案為：4．【點評】本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用，翻折的性質，熟記性質，找出三角形全等的條件ED=EG是解題的關鍵．17．（3分）（2023春?烏拉特前旗期末）如圖，以直角△ABC的三邊向外作正方形，其面積分別為S1，S2，S3且S1=4，S2=8，則S3=12．【分析】根據勾股定理的幾何意義解答．【解答】解：∵△ABC直角三角形，∴BC2+AC2=AB2，∵S1=BC2，S2=AC2，S3=AB2，S1=4，S2=8，∴S3=S1+S2=12．【點評】解決本題的關鍵是根據勾股定理得到三個面積之間的關系．18．（4分）（2023?蕭山區(qū)模擬）如圖，將正方形ABCD的邊AD和邊BC折疊，使點C與點D重合于正方形內部一點O，已知點O到邊CD的距離為a，則點O到邊AB的距離為（3+2）a．（用a的代數式表示）【分析】作OG⊥CD于G，交AB于H，根據翻轉變換的性質得到OA=AD，OB=BC，∠EOA=∠D=90°，∠FOB=∠C=90°，根據直角三角形的性質和勾股定理求出DE、EF、FC，得到正方形的邊長，計算即可．【解答】解：作OG⊥CD于G，交AB于H，∵CD∥AB，∴OH⊥AB于H，由翻轉變換的性質可知，OA=AD，OB=BC，∠EOA=∠D=90°，∠FOB=∠C=90°，∴△OAB是等邊三角形，∠EOF=120°，∴∠OEF=30°，∴EO=2a，EG=a，∴DE=OE=2a，OF=FC=2a，EF=2EG=2a，∴DC=4a+2a，∴點O到邊AB的距離為4a+2a﹣a=3a+2a=（3+2）a．故答案為：（3+2）a．【點評】本題考查的是翻轉變換的性質和等邊三角形的性質，翻轉變換是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．三．解答題（共12小題，滿分88分）19．（6分）（2023?長春二模）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD是∠ABC的平分線，求∠BDC的度數．【分析】首先由AB=AC，利用等邊對等角和∠A的度數求出∠ABC和∠C的度數，然后由BD是∠ABC的平分線，利用角平分線的定義求出∠DBC的度數，再根據三角形的內角和定理即可求出∠BDC的度數．【解答】解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C==70°，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠DBC=∠ABC=35°，∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=75°．【點評】本題考查了等腰三角形的性質，角平分線的定義，三角形內角和定理等知識，解答本題的關鍵是正確識圖，利用等腰三角形的性質：等邊對等角求出∠ABC與∠C的度數．20．（6分）（2023春?羅湖區(qū)期末）上午8時，一條船從A處出發(fā)以30海里/時的速度向正北航行，12時到達B處．測得∠NAC=32°，∠ABC=116°．求從B處到燈塔C的距離？【分析】根據已知條件“上午8時，一條船從A處出發(fā)以30海里/時的速度向正北航行，12時到達B處”可以求得AB=120海里，然后根據三角形的內角和定理求得∠C=32°，所以△ABC是等腰三角形；最后由等腰三角形的兩腰相等的性質來求從B處到燈塔C的距離．【解答】解：根據題意，得AB=30×4=120（海里）；在△ABC中，∠NAC=32°，∠ABC=116°，∴∠C=180°﹣∠NAC﹣∠ABC=32°，∴∠C=∠NAC，∴BC=AB=120（海里），即從B處到燈塔C的距離是120海里．【點評】本題考查了等腰三角形的性質、方向角．解答該題時充分利用了三角形的內角和定理．21．（6分）（2023春?蘆溪縣期中）如圖，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一點（M與A不重合）MD⊥BC，且交∠BAC的平分線于點D，求證：MD=MA．【分析】由MD⊥BC，且∠B=90°得AB∥MD，∠BAD=∠D，再利用AD為∠BAC的平分線得∠BAD=∠MAD，利用等量代換即可證明．【解答】證明：∵MD⊥BC，且∠B=90°，∴AB∥MD，∴∠BAD=∠D又∵AD為∠BAC的平分線∴∠BAD=∠MAD，∴∠D=∠MAD，∴MA=MD【點評】此題考查學生對等腰三角形的判定與性質和平行線段的判定與性質的理解和掌握，難度不大，是一道基礎題．22．（6分）（2023春?臨清市期中）如圖：四邊形ABCD中，AB=CB=，CD=，DA=1，且AB⊥CB于B．試求：（1）∠BAD的度數；（2）四邊形ABCD的面積．【分析】連接AC，則在直角△ABC中，已知AB，BC可以求AC，根據AC，AD，CD的長可以判定△ACD為直角三角形，（1）根據∠BAD=∠CAD+∠BAC，可以求解；（2）根據四邊形ABCD的面積為△ABC和△ACD的面積之和可以解題．【解答】解：（1）連接AC，∵AB⊥CB于B，∴∠B=90°，在△ABC中，∵∠B=90°，∴AB2+BC2=AC2，又∵AB=CB=，∴AC=2，∠BAC=∠BCA=45°，∵CD=，DA=1，∴CD2=5，DA2=1，AC2=4．∴AC2+DA2=CD2，由勾股定理的逆定理得：∠DAC=90°，∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=45°+90°=135°；（2）∵∠DAC=90°，AB⊥CB于B，∴S△ABC=，S△DAC=，∵AB=CB=，DA=1，AC=2，∴S△ABC=1，S△DAC=1而S四邊形ABCD=S△ABC+S△DAC，∴S四邊形ABCD=2．【點評】本題考查了勾股定理在直角三角形中的運用，考查了根據勾股定理逆定理判定直角三角形，考查了直角三角形面積的計算，本題中求證△ACD是直角三角形是解題的關鍵．23．（6分）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，BE⊥AC于點E．求證：∠CBE=∠BAD．【分析】根據三角形三線合一的性質可得∠CAD=∠BAD，根據同角的余角相等可得：∠CBE=∠CAD，再根據等量關系得到∠CBE=∠BAD．【解答】證明：∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，BE⊥AC，∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∠CAD=∠BAD，∴∠CBE=∠BAD．【點評】考查了余角的性質，等腰三角形的性質：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．24．（8分）如圖，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求證：∠C=2∠D．【分析】首先根據AB=AC=AD，可得∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，∠ABC=∠CBD+∠D；然后根據AD∥BC，可得∠CBD=∠D，據此判斷出∠ABC=2∠D，再根據∠C=∠ABC，即可判斷出∠C=2∠D．【解答】證明：∵AB=AC=AD，∴∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，∴∠ABC=∠CBD+∠D，∵AD∥BC，∴∠CBD=∠D，∴∠ABC=∠D+∠D=2∠D，又∵∠C=∠ABC，∴∠C=2∠D．【點評】（1）此題主要考查了等腰三角形的性質和應用，考查了分類討論思想的應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①等腰三角形的兩腰相等．②等腰三角形的兩個底角相等．③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．（2）此題還考查了平行線的性質和應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡單說成：兩直線平行，同位角相等．②定理2：兩條平行線被地三條直線所截，同旁內角互補．簡單說成：兩直線平行，同旁內角互補．③定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等．簡單說成：兩直線平行，內錯角相等．25．（8分）（2023春?十堰期末）如圖，正方形網格中的每個小正方形邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點分別按下列要求畫三角形．（1）在圖1中，畫一個三角形，使它的三邊長都是有理數；（2）在圖2中，畫一個直角三角形，使它們的三邊長都是無理數；（3）在圖3中，畫一個正方形，使它的面積是10．【分析】（1）利用勾股定理，找長為有理數的線段，畫三角形即可．（2）畫一個邊長，2，的三角形即可；（3）畫一個邊長為的正方形即可．【解答】解：（1）三邊分別為：3、4、5（如圖1）；（2）三邊分別為：、2、（如圖2）；（3）畫一個邊長為的正方形（如圖3）．【點評】考查了格點三角形的畫法．本題需仔細分析題意，結合圖形，利用勾股定理和正方形的性質即可解決問題．26．（8分）（2023春?太倉市期末）如圖，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度數．【分析】由于AB=BD=DC，所以△ABD和△BDC都是等腰三角形，可設∠C=∠CDB=x，則∠BDA=∠A=2x，根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理的推論，可以求出∠A，∠C度數．【解答】解：∵AB=BD，∴∠BDA=∠A，∵BD=DC，∴∠C=∠CBD，設∠C=∠CBD=x，則∠BDA=∠A=2x，∴∠ABD=180°﹣4x，∴∠ABC=∠ABD+∠CDB=180°﹣4x+x=105°，解得：x=25°，所以2x=50°，即∠A=50°，∠C=25°．【點評】本題考查了等腰三角形的性質及三角形內角和定理；解題中運用了等腰三角形“等邊對等角”的性質，并聯(lián)系三角形的內角定理求解有關角的度數問題．27．（8分）（2023?丹東模擬）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，CE⊥BD于點E．求證：AD=BE．【分析】此題根據直角梯形的性質和CE⊥BD可以得到全等條件，證明△ABD≌△BCE，然后利用全等三角形的性質證明題目的結論．【解答】證明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．∵CE⊥BD，∴∠BEC=90°．∵∠A=90°，∴∠A=∠BEC．∵BD=BC，∴△ABD≌△