第八章-離散模型

2023/2/6信息學(xué)院張玉杰第八章離散模型8.1

層次分析模型8.2循環(huán)比賽的名次y2023/2/6信息學(xué)院張玉杰離散模型

離散模型：差分方程、整數(shù)規(guī)劃、圖論、對(duì)策論、網(wǎng)絡(luò)流、…

…

分析社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的有力工具

只用到代數(shù)、集合及圖論的少許知識(shí)2023/2/6信息學(xué)院張玉杰8.1層次分析模型一問(wèn)題的提出日常生活中有許多決策問(wèn)題。決策是指在面臨多種方案時(shí)需要依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)選擇某一種方案。例1購(gòu)物買(mǎi)鋼筆，一般要依據(jù)質(zhì)量、顏色、實(shí)用性、價(jià)格、外形等方面的因素選擇某一支鋼筆。買(mǎi)飯，則要依據(jù)色、香、味、價(jià)格等方面的因素選擇某種飯菜。例2旅游假期旅游，是去蘇州，還是去北戴河，或者是去桂林，一般會(huì)依據(jù)景色、費(fèi)用、飲食、居住、旅途等因素選擇去哪個(gè)地方。2023/2/6信息學(xué)院張玉杰例3擇業(yè)面臨畢業(yè)，可能有高校、科研單位、企業(yè)等可以去選擇，一般依據(jù)工作環(huán)境、工資待遇、發(fā)展前途、住房條件等因素?fù)駱I(yè)。例4科研課題的選擇由于經(jīng)費(fèi)等因素，有時(shí)不能同時(shí)開(kāi)展幾個(gè)課題，一般依據(jù)課題的可行性、應(yīng)用價(jià)值、理論價(jià)值、被培養(yǎng)人才等因素進(jìn)行選題。2023/2/6信息學(xué)院張玉杰面臨各種各樣的方案，要進(jìn)行比較、判斷、評(píng)價(jià)、最后作出決策。這個(gè)過(guò)程主觀因素占有相當(dāng)?shù)谋戎?，給用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題帶來(lái)不便。T.L.saaty于20世紀(jì)七十年代提出了層次分析法（AnalyticHierarchyProcess,AHP),即定性和定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化的、層次化的分析方法。

層次分析法2023/2/6信息學(xué)院張玉杰層次分析法的廣泛應(yīng)用

應(yīng)用領(lǐng)域：經(jīng)濟(jì)計(jì)劃和管理，能源政策和分配，人才選拔和評(píng)價(jià)，生產(chǎn)決策，交通運(yùn)輸，科研選題，產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，教育，醫(yī)療，環(huán)境，軍事等。

處理問(wèn)題類(lèi)型：決策、評(píng)價(jià)、分析、預(yù)測(cè)等。

建立層次分析結(jié)構(gòu)模型是關(guān)鍵一步，要有主要決策層參與。

構(gòu)造成對(duì)比較陣是數(shù)量依據(jù)，應(yīng)由經(jīng)驗(yàn)豐富、判斷力強(qiáng)的專(zhuān)家給出。2023/2/6信息學(xué)院張玉杰

遞階層次結(jié)構(gòu)模型AB2BmC1C2C3CnB1……目標(biāo)層準(zhǔn)則層方案層2023/2/6信息學(xué)院張玉杰二層次分析法的基本步驟買(mǎi)鋼筆質(zhì)量顏色價(jià)格外形實(shí)用可供選擇的筆1建立層次分析結(jié)構(gòu)模型

一般分為三層，最上面為目標(biāo)層，最下面為方案層，中間是準(zhǔn)則層或指標(biāo)層。例1的層次結(jié)構(gòu)模型

準(zhǔn)則層

方案層目標(biāo)層2023/2/6信息學(xué)院張玉杰選擇旅游地景色費(fèi)用居住飲食旅途蘇州、北戴河、桂林例2

層次結(jié)構(gòu)模型準(zhǔn)則層方案層目標(biāo)層2023/2/6信息學(xué)院張玉杰?chē)?guó)家綜合實(shí)力國(guó)民收入軍事力量科技水平社會(huì)穩(wěn)定對(duì)外貿(mào)易美、俄、中、日、德等大國(guó)例1

國(guó)家實(shí)力分析目標(biāo)層準(zhǔn)則層方案層2023/2/6信息學(xué)院張玉杰例2

工作選擇工作選擇貢獻(xiàn)收入發(fā)展聲譽(yù)關(guān)系位置供選擇的崗位2023/2/6信息學(xué)院張玉杰例3

橫渡江河、海峽方案的抉擇過(guò)河的代價(jià)

A經(jīng)濟(jì)代價(jià)

B1環(huán)境代價(jià)B3社會(huì)代價(jià)B2投入資金C1操作維護(hù)C2沖擊渡船業(yè)C3沖擊生活方式C4交通擁擠C5居民搬遷C6汽車(chē)排放物C7對(duì)水的污染C8對(duì)生態(tài)的破壞C9橋梁D1隧道D2渡船D2子準(zhǔn)則層2023/2/6信息學(xué)院張玉杰待評(píng)價(jià)的科技成果直接經(jīng)濟(jì)效益

C11間接經(jīng)濟(jì)效益

C12社會(huì)效益

C13學(xué)識(shí)水平

C21學(xué)術(shù)創(chuàng)新

C22技術(shù)水平

C23技術(shù)創(chuàng)新

C24效益C1水平C2規(guī)模C3科技成果評(píng)價(jià)例4科技成果的綜合評(píng)價(jià)子準(zhǔn)則層2023/2/6信息學(xué)院張玉杰若上層的每個(gè)因素都支配著下一層的所有因素，或被下一層所有因素影響，稱(chēng)為完全層次結(jié)構(gòu)，否則稱(chēng)為不完全層次結(jié)構(gòu)。例:評(píng)價(jià)教師貢獻(xiàn)的層次結(jié)構(gòu)貢獻(xiàn)O教學(xué)C1科研C2P2P1P3P4不完全層次結(jié)構(gòu)2023/2/6信息學(xué)院張玉杰更復(fù)雜的層次結(jié)構(gòu)更復(fù)雜的層次結(jié)構(gòu)：層內(nèi)各元素間存在相互影響或支配；層間存在反饋或循環(huán)。制動(dòng)底盤(pán)車(chē)輪方向盤(pán)發(fā)動(dòng)機(jī)減震裝置剎車(chē)轉(zhuǎn)向運(yùn)行加速性能汽車(chē)行駛性能汽車(chē)1汽車(chē)2汽車(chē)n……2023/2/6信息學(xué)院張玉杰設(shè)某層有個(gè)因素，2構(gòu)造成對(duì)比較矩陣要比較它們對(duì)上一層某一準(zhǔn)則（或目標(biāo)）的影響程度，確定在該層中相對(duì)于某一準(zhǔn)則所占的比重。（即把個(gè)因素對(duì)上層某一目標(biāo)的影響程度排序）用表示第個(gè)因素相對(duì)于第個(gè)因素的比較結(jié)果，則則稱(chēng)為成對(duì)比較矩陣。上述比較是兩兩因素之間進(jìn)行的比較，比較時(shí)取1~9尺度。2023/2/6信息學(xué)院張玉杰１３５７９尺度第個(gè)因素與第個(gè)因素的影響相同第個(gè)因素比第個(gè)因素的影響稍強(qiáng)第個(gè)因素比第個(gè)因素的影響強(qiáng)第個(gè)因素比第個(gè)因素的影響明強(qiáng)第個(gè)因素比第個(gè)因素的影響絕對(duì)地強(qiáng)含義比較尺度：（1~9尺度的含義）2,4,6,8表示第個(gè)因素相對(duì)于第個(gè)因素的影響介于上述兩個(gè)相鄰等級(jí)之間。不難定義以上各尺度倒數(shù)的含義，根據(jù)。由上述定義知，成對(duì)比較矩陣比如，例2的旅游問(wèn)題中，第二層A的各因素對(duì)目標(biāo)層Z的影響兩兩比較結(jié)果如下：滿(mǎn)足以下性質(zhì)

ZA1A2A3A4A5A1A2A3A4A511/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/5311分別表示景色、費(fèi)用、居住、飲食、旅途。稱(chēng)為正互反陣。2023/2/6信息學(xué)院張玉杰

由上表，可得成對(duì)比較矩陣旅游問(wèn)題的成對(duì)比較矩陣共有6個(gè)（一個(gè)5階，5個(gè)3階）。問(wèn)題：兩兩進(jìn)行比較后，怎樣才能知道，下層各因素對(duì)上層某因素的影響程度的排序結(jié)果呢？2023/2/6信息學(xué)院張玉杰3計(jì)算權(quán)向量及一致性檢驗(yàn)層次單排序：確定下層各因素對(duì)上層某因素影響程度的過(guò)程。用權(quán)值表示影響程度，先從一個(gè)簡(jiǎn)單的例子看如何確定權(quán)值。例如一塊石頭重量記為1，打碎分成個(gè)小塊，各塊的重量分別記為：則可得成對(duì)比較矩陣由右面矩陣可以看出，2023/2/6信息學(xué)院張玉杰即，但在例2的成對(duì)比較矩陣中，在正互反矩陣中，若,則稱(chēng)為一致陣。一致陣的性質(zhì)：5.的任一列(行)都是對(duì)應(yīng)于特征根的特征向量。2023/2/6信息學(xué)院張玉杰若成對(duì)比較矩陣是一致陣，則可取對(duì)應(yīng)于最大特征根的歸一化特征向量，且定理：階互反陣的最大特征根，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，為一致陣。表示下層第個(gè)因素對(duì)上層某因素影響程度的權(quán)值。若成對(duì)比較矩陣不是一致陣，Saaty等人建議用其最大特征根對(duì)應(yīng)的歸一化特征向量作為權(quán)向量，則這樣確定權(quán)向量的方法稱(chēng)為特征根法.2023/2/6信息學(xué)院張玉杰由于連續(xù)的依賴(lài)于，則比大的越多，的不一致性越嚴(yán)重。用最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量作為被比較因素對(duì)上層某因素影響程度的權(quán)向量，其不一致程度越大，引起的判斷誤差越大。因而可以用數(shù)值的大小來(lái)衡量的不一致程度。定義一致性指標(biāo)其中為的對(duì)角線(xiàn)元素之和，也為的特征根之和。2023/2/6信息學(xué)院張玉杰則可得一致性指標(biāo)定義隨機(jī)一致性指標(biāo)隨機(jī)構(gòu)造500個(gè)成對(duì)比較矩陣隨機(jī)一致性指標(biāo)RI的數(shù)值：n1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.512023/2/6信息學(xué)院張玉杰一致性檢驗(yàn)：利用一致性指標(biāo)和一致性比率<0.1及隨機(jī)一致性指標(biāo)的數(shù)值表，對(duì)進(jìn)行檢驗(yàn)的過(guò)程。一般地，當(dāng)一致性比率的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，可用其歸一化特征向量作為權(quán)向量，否則要重新構(gòu)造成對(duì)比較矩陣，對(duì)加以調(diào)整。時(shí)，認(rèn)為

層次分析法2023/2/6信息學(xué)院張玉杰4計(jì)算組合權(quán)向量

確定某層所有因素對(duì)于總目標(biāo)相對(duì)重要性的排序權(quán)值過(guò)程，稱(chēng)為層次總排序

從最高層到最低層逐層進(jìn)行。設(shè)：

對(duì)總目標(biāo)Z的權(quán)向量為的層次權(quán)向量為2023/2/6信息學(xué)院張玉杰層次總排序的一致性檢驗(yàn)設(shè)層對(duì)上層(層)中因素的層次單排序一致性指標(biāo)為，隨機(jī)一致性指為，則層次總排序的一致性比率為：當(dāng)時(shí)，認(rèn)為層次總排序通過(guò)一致性檢驗(yàn)。到此，根據(jù)最下層（決策層）的層次總排序做出最后決策。2023/2/6信息學(xué)院張玉杰1.建立層次結(jié)構(gòu)模型

該結(jié)構(gòu)圖包括目標(biāo)層，準(zhǔn)則層，方案層。層次分析法的基本步驟歸納如下3.計(jì)算單排序權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn)2.構(gòu)造成對(duì)比較矩陣從第二層開(kāi)始用成對(duì)比較矩陣和1~9尺度。對(duì)每個(gè)成對(duì)比較矩陣計(jì)算最大特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量，利用一致性指標(biāo)、隨機(jī)一致性指標(biāo)和一致性比率做一致性檢驗(yàn)。若檢驗(yàn)通過(guò)，特征向量（歸一化后）即為權(quán)向量；若不通過(guò)，需要重新構(gòu)造成對(duì)比較矩陣。2023/2/6信息學(xué)院張玉杰計(jì)算最下層對(duì)最上層總排序的權(quán)向量。4.計(jì)算總排序權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn)進(jìn)行檢驗(yàn)。若通過(guò)，則可按照總排序權(quán)向量表示的結(jié)果進(jìn)行決策，否則需要重新考慮模型或重新構(gòu)造那些一致性比率較大的成對(duì)比較矩陣。利用總排序一致性比率2023/2/6信息學(xué)院張玉杰三層次分析法建模舉例旅游問(wèn)題(1)建模分別分別表示景色、費(fèi)用、居住、飲食、旅途。分別表示蘇州、北戴河、桂林。2023/2/6信息學(xué)院張玉杰（2）構(gòu)造成對(duì)比較矩陣2023/2/6信息學(xué)院張玉杰(3)計(jì)算層次單排序的權(quán)向量和一致性檢驗(yàn)成對(duì)比較矩陣的最大特征值權(quán)向量(特征向量)a=（0.4658，0.8409，0.0951，0.1733，0.1920）2023/2/6信息學(xué)院張玉杰表明通過(guò)了一致性驗(yàn)證。故則該特征值對(duì)應(yīng)的歸一化特征向量權(quán)向量歸一化2023/2/6信息學(xué)院張玉杰組合權(quán)向量第1層O第2層C1,…Cn第3層P1,…Pm第2層對(duì)第1層的權(quán)向量第3層對(duì)第2層各元素的權(quán)向量構(gòu)造矩陣則第3層對(duì)第1層的組合權(quán)向量2023/2/6信息學(xué)院張玉杰組合權(quán)向量記第2層（準(zhǔn)則）對(duì)第1層（目標(biāo)）的權(quán)向量為同理求第3層(方案)對(duì)第2層每一元素(準(zhǔn)則)的權(quán)向量方案層對(duì)C1(景色)的成對(duì)比較陣方案層對(duì)C2(費(fèi)用)的成對(duì)比較陣…C5…B5最大特征根1

2

…

5

權(quán)向量w1(3)w2(3)…

w5(3)權(quán)向量w1(3)w2(3)…

w5(3)2023/2/6信息學(xué)院張玉杰第3層對(duì)第2層的計(jì)算結(jié)果k10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665組合權(quán)向量RI=0.58(n=3),

CIk

均可通過(guò)一致性檢驗(yàn)

w(2)

0.2630.4750.0550.0990.110方案P1對(duì)目標(biāo)的組合權(quán)重為0.5950.263+0.0820.475+0.429

0.055+0.6330.099+0.1660.110=0.3002023/2/6信息學(xué)院張玉杰(I)方案層對(duì)目標(biāo)的組合權(quán)向量(0.300,0.246,0.456)T計(jì)算層次總排序權(quán)值和一致性檢驗(yàn)(II)總排序的一致性檢驗(yàn)2023/2/6信息學(xué)院張玉杰(0.300,0.246,0.456)'作為最后決策的依據(jù)P3>P1>P2最后決策去桂林旅游滿(mǎn)足一致性檢驗(yàn)2023/2/6信息學(xué)院張玉杰四層次分析法的優(yōu)點(diǎn)和局限性1系統(tǒng)性

層次分析法把研究對(duì)象作為一個(gè)系統(tǒng)，按照分解、比較判斷、綜合的思維方式進(jìn)行決策，成為繼機(jī)理分析、統(tǒng)計(jì)分析之后發(fā)展起來(lái)的系統(tǒng)分析的重要工具。

2實(shí)用性層次分析法把定性和定量方法結(jié)合起來(lái)，能處理許多用傳統(tǒng)的最優(yōu)化技術(shù)無(wú)法著手的實(shí)際問(wèn)題，應(yīng)用范圍很廣，同時(shí)，這種方法使得決策者與決策分析者能夠相互溝通，決策者甚至可以直接應(yīng)用它，這就增加了決策的有效性。2023/2/6信息學(xué)院張玉杰3簡(jiǎn)潔性

具有中等文化程度的人即可以了解層次分析法的基本原理并掌握該法的基本步驟，計(jì)算也非常簡(jiǎn)便，并且所得結(jié)果簡(jiǎn)單明確，容易被決策者了解和掌握。以上三點(diǎn)體現(xiàn)了層次分析法的優(yōu)點(diǎn)，該法的局限性主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：第一只能從原有的方案中優(yōu)選一個(gè)出來(lái)，沒(méi)有辦法得出更好的新方案。2023/2/6信息學(xué)院張玉杰第二該法中的比較、判斷以及結(jié)果的計(jì)算過(guò)程都是粗糙的，不適用于精度較高的問(wèn)題。第三從建立層次結(jié)構(gòu)模型到給出成對(duì)比較矩陣，人主觀因素對(duì)整個(gè)過(guò)程的影響很大，這就使得結(jié)果難以讓所有的決策者接受。當(dāng)然采取專(zhuān)家群體判斷的辦法是克服這個(gè)缺點(diǎn)的一種途徑。2023/2/6信息學(xué)院張玉杰實(shí)例

某單位擬從三名干部中提拔一人擔(dān)任領(lǐng)導(dǎo)工作，干部的優(yōu)劣（由上級(jí)人事部門(mén)提出），用六個(gè)屬性來(lái)衡量：健康狀況、業(yè)務(wù)知識(shí)、寫(xiě)作水平、口才、政策水平、工作作風(fēng)，分別用p1、p2、p3、p4、p5、p6表示。判斷矩陣如下