微積分函數(shù)極限連續(xù)

微積分函數(shù)極限連續(xù)第一頁，共一百二十頁，2022年，8月28日1哪些主要的科學(xué)問題呢?有四種主要類型的問題.Archimedes第二頁，共一百二十頁，2022年，8月28日2

第一類問題

已知物體移動的距離表為時間的函數(shù)的公式，求物體在任意時刻的速度和加速度；反過來，已知物體的加速度表為時間的函數(shù)的公式，求速度和距離。第三頁，共一百二十頁，2022年，8月28日3

困難在于：十七世紀(jì)所涉及的速度和加速度每時每刻都在變化。例如，計算瞬時速度，就不能象計算平均速度那樣，用運動的時間去除移動的距離，因為在給定的瞬刻，移動的距離和所用的時間都是0，而0/0是無意義的。但根據(jù)物理學(xué)，每個運動的物體在它運動的每一時刻必有速度，是不容懷疑的。

第一類問題第四頁，共一百二十頁，2022年，8月28日4

求曲線的切線。這個問題的重要性來源于好幾個方面：純幾何問題、光學(xué)中研究光線通過透鏡的通道問題、運動物體在它的軌跡上任意一點處的運動方向問題等。

第二類問題第五頁，共一百二十頁，2022年，8月28日5

第二類問題

困難在于：曲線的“切線”的定義本身就是一個沒有解決的問題。古希臘人把圓錐曲線的切線定義為“與曲線只接觸于一點而且位于曲線的一邊的直線”。這個定義對于十七世紀(jì)所用的較復(fù)雜的曲線已經(jīng)不適應(yīng)了。第六頁，共一百二十頁，2022年，8月28日6

第三類問題

求函數(shù)的最大最小值問題。十七世紀(jì)初期，伽利略斷定，在真空中以角發(fā)射炮彈時，射程最大。研究行星運動也涉及最大最小值問題。第七頁，共一百二十頁，2022年，8月28日7

困難在于：原有的初等計算方法已不適于解決研究中出現(xiàn)的問題。但新的方法尚無眉目。

第三類問題第八頁，共一百二十頁，2022年，8月28日8

第四類問題

求曲線的長度、曲線所圍成的面積、曲面所圍成的體積、物體的重心、一個體積相當(dāng)大的物體作用于另一個物體上的引力。第九頁，共一百二十頁，2022年，8月28日9

困難在于：古希臘人用窮竭法求出了一些面積和體積，盡管他們只是對于比較簡單的面積和體積應(yīng)用了這個方法，但也必須添加許多技巧，因為這個方法缺乏一般性，而且經(jīng)常得不到數(shù)值的解答。窮竭法先是被逐步修改，后來由微積分的創(chuàng)立而被根本修改了。

第四類問題第十頁，共一百二十頁，2022年，8月28日101.分析基礎(chǔ):函數(shù),極限,連續(xù)

2.微積分學(xué):一元微積分3.向量代數(shù)與空間解析幾何4.無窮級數(shù)5.常微分方程主要內(nèi)容多元微積分第十一頁，共一百二十頁，2022年，8月28日11二、如何學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)?1.認(rèn)識高等數(shù)學(xué)的重要性,培養(yǎng)濃厚的學(xué)習(xí)興趣.2.學(xué)數(shù)學(xué)最好的方式是做數(shù)學(xué).聰明在于學(xué)習(xí),天才在于積累.學(xué)而優(yōu)則用,學(xué)而優(yōu)則創(chuàng).由薄到厚,由厚到薄.馬克思恩格斯要辨證而又唯物地了解自然,就必須熟悉數(shù)學(xué).一門科學(xué),只有當(dāng)它成功地運用數(shù)學(xué)時,才能達(dá)到真正完善的地步.華羅庚第十二頁，共一百二十頁，2022年，8月28日121

函數(shù)、極限與連續(xù)1.1函數(shù)1.2初等函數(shù)1.3極限概念1.4極限的計算1.5無窮小量與無窮大量1.6函數(shù)的連續(xù)性第十三頁，共一百二十頁，2022年，8月28日1.1函數(shù)1.1.1區(qū)間及鄰域1.1.2函數(shù)的定義1.1.3醫(yī)學(xué)中常用的函數(shù)表示法1.1.4函數(shù)的性質(zhì)第十四頁，共一百二十頁，2022年，8月28日1.1.1區(qū)間及鄰域區(qū)間(interval)開區(qū)間ab閉區(qū)間ab半開半閉區(qū)間

(a,b]、[a,b)以上區(qū)間統(tǒng)稱為有限區(qū)間無限區(qū)間

(P.1自學(xué))第十五頁，共一百二十頁，2022年，8月28日鄰域(neighborhood)

鄰域是一種特殊的區(qū)間。點a的δ鄰域aa-δa+δδδ點a的空心鄰域aa-δa+δδδ右鄰域(a,a+δ)，左鄰域(a-δ,a)第十六頁，共一百二十頁，2022年，8月28日1.1.2函數(shù)的定義(function)

設(shè)在某變化過程中有兩個變量x、y，如果對于x在某個范圍D內(nèi)的每一個確定的值,按照某個對應(yīng)法則f，y都有（唯一）確定的值與它對應(yīng)，則稱變量y是確定在D上的x的函數(shù)。定義1.1x：自變量

x的取值范圍D：定義域

y：因變量(函數(shù)變量)

函數(shù)值

y的取值范圍：值域，記為f(D)(function)記為：y=f(x)，x∈D第十七頁，共一百二十頁，2022年，8月28日1.決定一個函數(shù)的因素有哪些？2.如何確定函數(shù)的定義域？第十八頁，共一百二十頁，2022年，8月28日1.1.3醫(yī)學(xué)中常用的函數(shù)表示法列表法用表格列示出x與y的對應(yīng)關(guān)系。圖像法以數(shù)對(x,y)為點的坐標(biāo)描繪出能反映x解析法用等式表示出x與y的關(guān)系。

優(yōu)點：便于查出函數(shù)值。

與y的對應(yīng)關(guān)系的曲線。

優(yōu)點：容易觀察函數(shù)的變化趨勢。

優(yōu)點：便于從理論上對函數(shù)進行定性

研究與定量分析。第十九頁，共一百二十頁，2022年，8月28日醫(yī)學(xué)和物理學(xué)中常用的分段函數(shù)：例符號函數(shù)xyo-11例脈沖函數(shù)xoy例xyo第二十頁，共一百二十頁，2022年，8月28日1.1.4函數(shù)的性質(zhì)奇偶性

設(shè)函數(shù)y=f(x)，x∈D，D是對稱于原點的數(shù)集。若對D上任何x

，如果f(－x)=f(x)，則稱y=f(x)為偶函數(shù)；如果f(－x)=－f(x)，則稱y=f(x)為奇函數(shù)。偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱。第二十一頁，共一百二十頁，2022年，8月28日單調(diào)性

設(shè)函數(shù)y=f(x)，x∈D。若對于D內(nèi)任意兩個x1，x2，當(dāng)x1<x2時，總有f(x1)≤f(x2)，則稱函數(shù)y=f(x)是D上的單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)x1<x2時，總有f(x1)≥f(x2)，則稱函數(shù)y=f(x)是D上的單調(diào)遞減函數(shù)。

遞增函數(shù)的圖像一般是上升的，遞減函數(shù)的圖像一般是下降的。第二十二頁，共一百二十頁，2022年，8月28日周期性

設(shè)函數(shù)y=f(x)，x∈D。若存在常數(shù)T，使對D上任何x

，都有

f(x+T)=f(x)則稱y=f(x)為周期函數(shù)。并稱T為y=f(x)的一個周期。若在周期函數(shù)的所有周期中有一個最小正常數(shù)，則稱其為基本周期。第二十三頁，共一百二十頁，2022年，8月28日有界性

設(shè)函數(shù)y=f(x)，x∈D。若存在正數(shù)M，使對D上任何x

，都有

︱f(x)︱≤M則稱f(x)在D上有界，并稱f(x)是D上的有界函數(shù)。否則，稱函數(shù)f(x)在D上無界。

有界函數(shù)的圖像必落在直線y=M

與y=-M之間的帶形區(qū)域內(nèi)。第二十四頁，共一百二十頁，2022年，8月28日1.結(jié)論“函數(shù)y=3x+5是無界函數(shù)”正確否?

2.結(jié)論“函數(shù)y=cosx不是單調(diào)函數(shù)”正確否？3.考察函數(shù)y=1/x

在[1,+∞)的單調(diào)性和有界性。第二十五頁，共一百二十頁，2022年，8月28日且證明證:

令則由消去得時其中a,b,c

為常數(shù),且為奇函數(shù).為奇函數(shù).1.

設(shè)第二十六頁，共一百二十頁，2022年，8月28日262.

設(shè)函數(shù)的圖形與均對稱,求證是周期函數(shù).證:由的對稱性知于是故是周期函數(shù),周期為第二十七頁，共一百二十頁，2022年，8月28日271.2初等函數(shù)1.2.1基本初等函數(shù)1.2.2復(fù)合函數(shù)1.2.3反函數(shù)1.2.4隱函數(shù)1.2.5初等函數(shù)第二十八頁，共一百二十頁，2022年，8月28日1.2.1基本初等函數(shù)(basicelementaryfunction)P.6表1.2第二十九頁，共一百二十頁，2022年，8月28日1.2.2復(fù)合函數(shù)

設(shè)y=lnu，u=1-x2。問：能否通過變量u，將y表示成以x為自變量的函數(shù)？

當(dāng)x∈(-1,1)，能通過變量u

將y表示成x的函數(shù)：y=ln(1-x2),x∈(-1,1)

當(dāng)x∈(-∞,-1]∪[1,+∞)時，不能通過變量u

將y表示成x的函數(shù)。D*第三十頁，共一百二十頁，2022年，8月28日定義1.2(復(fù)合函數(shù))

設(shè)y是u的函數(shù)y=f(u)，u是x的函數(shù)u=φ(x)。D*表示u=φ(x)的定義域中使得函數(shù)y=f(u)有意義的全體x的非空集合。則當(dāng)x∈D*

時，函數(shù)u=φ(x)所對應(yīng)的u值使得函數(shù)y=f(u)有確定的值與x相對應(yīng)，從而得到一個以x為自變量，y為因變量的函數(shù)，記為

y=f[φ(x)]，x∈D*

這時，稱y為x

的復(fù)合函數(shù)。其中，稱y=f(u)為外函數(shù)，u=φ(x)為內(nèi)函數(shù)，u

為中間變量。第三十一頁，共一百二十頁，2022年，8月28日復(fù)合函數(shù)的映射示意圖yuxy=f(u)u=φ(x)y=f[φ(x)]第三十二頁，共一百二十頁，2022年，8月28日說明：復(fù)合函數(shù)還可以由多個（三個及其以上）基本初等函數(shù)經(jīng)多次復(fù)合構(gòu)成。并不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合成有意義的復(fù)合函數(shù)。如y=ln(u-8)與u=sinx

構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)y=ln(sinx-8)就沒有意義。第三十三頁，共一百二十頁，2022年，8月28日

寫出由y=eu，u=-2x

復(fù)合而成的函數(shù)。復(fù)合函數(shù)為

y=

e

-2x，x∈(-∞,+∞)。例解：例分解復(fù)合函數(shù)y=lntanx。解：y=lnu

，u=tanx。例分解復(fù)合函數(shù)y=sin8(8x+sinx)。解：y=u8

，u=sinv

，v=8x+sinx。第三十四頁，共一百二十頁，2022年，8月28日1.2.3反函數(shù)(自學(xué))1.2.4隱函數(shù)顯函數(shù)由形式

y=f(x)表示的函數(shù)。隱函數(shù)由方程F(x,y)=0表示的函數(shù)。如x2+y2=R2yx+ln(xy)+sin(xy)+8=0第三十五頁，共一百二十頁，2022年，8月28日1.2.5初等函數(shù)(Elementaryfunction)

由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算或有限次的復(fù)合步驟所構(gòu)成的，能用一個解析式子表示的函數(shù)稱為初等函數(shù)。

初等函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的主要研究對象。

在高等數(shù)學(xué)中，把不是初等函數(shù)的函數(shù)統(tǒng)稱為非初等函數(shù)。如：有些分段函數(shù)就不是初等函數(shù)。第三十六頁，共一百二十頁，2022年，8月28日非初等函數(shù)舉例:符號函數(shù)當(dāng)x>0當(dāng)x=0當(dāng)x<0取整函數(shù)當(dāng)?shù)谌唔摚惨话俣摚?022年，8月28日37內(nèi)容小結(jié)1.集合區(qū)間、鄰域定義域?qū)?yīng)規(guī)律3.函數(shù)的特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性4.初等函數(shù)的結(jié)構(gòu)2.函數(shù)的定義及函數(shù)的二要素第三十八頁，共一百二十頁，2022年，8月28日381.3極限概念1.3.1數(shù)列極限1.3.2函數(shù)極限1.3.3單側(cè)極限

極限是一種非初等運算極限以發(fā)展的眼光分析事物(變量)的變化規(guī)律極限是高等數(shù)學(xué)中一種重要的研究方法

第三十九頁，共一百二十頁，2022年，8月28日劉徽(約225–295年)我國古代魏末晉初的杰出數(shù)學(xué)家.他撰寫的《重差》對《九章算術(shù)》中的方法和公式作了全面的評注,指出并糾正了其中的錯誤,在數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)理論上作出了杰出的貢獻.他的“割圓術(shù)”求圓周率“割之彌細(xì),所失彌小,割之又割,以至于不可割,則與圓合體而無所失矣”它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精確”的重要極限思想.

的方法:第四十頁，共一百二十頁，2022年，8月28日401.3.1數(shù)列極限(limitofsequence)

數(shù)列極限的實質(zhì)：考察當(dāng)n→+∞時，數(shù)列{an}的通項an的變化趨勢。引例考察數(shù)列{an}的變化趨勢：Ox-11a1a2a3a4……Ox2

1a1a2a4an…3n…Ox-1a2n-1a2n1a3第四十一頁，共一百二十頁，2022年，8月28日定義1.3

已知數(shù)列{xn}，A是某確定常數(shù)。若當(dāng)數(shù)列的項數(shù)n無限增大時，數(shù)列的項xn與常數(shù)A的距離|xn-A|任意小，則稱數(shù)列{xn}以常數(shù)A為極限，記為或如果一個數(shù)列的極限存在，則稱該數(shù)列是收斂(converge)的；如果一個數(shù)列的極限不存在，則稱該數(shù)列是發(fā)散(diverge)的。第四十二頁，共一百二十頁，2022年，8月28日定義:自變量取正整數(shù)的函數(shù)稱為數(shù)列,記作或稱為通項(一般項).若數(shù)列及常數(shù)a有下列關(guān)系:當(dāng)n>

N

時,總有記作此時也稱數(shù)列收斂

,否則稱數(shù)列發(fā)散

.幾何解釋:即或則稱該數(shù)列的極限為a,第四十三頁，共一百二十頁，2022年，8月28日43例1.已知證明數(shù)列的極限為1.

證:欲使即只要因此,取則當(dāng)時,就有故第四十四頁，共一百二十頁，2022年，8月28日例2.已知證明證:欲使只要即取則當(dāng)時,就有故故也可取也可由N

與有關(guān),但不唯一.不一定取最小的N.說明:

取第四十五頁，共一百二十頁，2022年，8月28日45收斂性質(zhì)證:

用反證法.及且取因故存在N1,從而同理,因故存在N2,使當(dāng)n>N2時,有1.收斂數(shù)列的極限唯一.使當(dāng)n>N1時,假設(shè)從而矛盾.因此收斂數(shù)列的極限必唯一.則當(dāng)n>N

時,故假設(shè)不真!滿足的不等式第四十六頁，共一百二十頁，2022年，8月28日462.收斂數(shù)列一定有界.說明:

此性質(zhì)反過來不一定成立.例如,雖有界但不收斂.數(shù)列第四十七頁，共一百二十頁，2022年，8月28日471.3.2函數(shù)極限(limitoffunction)

數(shù)列{xn}可表示成函數(shù)的形式：y=f(n),n∈Ny=f(x),x∈N這時，自變量的變化趨勢只有一種：x→+∞

而對一般的函數(shù)而言，y=f(x),x∈D自變量的變化趨勢有兩種情形：x→+∞、x→-∞、x→∞;x→x0第四十八頁，共一百二十頁，2022年，8月28日定義1.4(x趨于無窮大時函數(shù)f(x)的極限)

設(shè)函數(shù)f(x)

在區(qū)間(a,+∞)內(nèi)有定義，A是某確定常數(shù)。若當(dāng)x→+∞時，f(x)與A的距離|f(x)-A|任意小，則稱函數(shù)f(x)

在x→+∞時以常數(shù)A為極限，記為或并稱x→+∞時f(x)收斂(converge)；否則，稱x→+∞時f(x)發(fā)散(diverge)。同理，可定義函數(shù)f(x)

在x→-∞時以常數(shù)A為極限：第四十九頁，共一百二十頁，2022年，8月28日定義

.設(shè)函數(shù)大于某一正數(shù)時有定義,若則稱常數(shù)時的極限,幾何解釋:記作直線y=A

為曲線的水平漸近線A

為函數(shù)第五十頁，共一百二十頁，2022年，8月28日50直線y=A仍是曲線

y=f(x)

的漸近線.兩種特殊情況:當(dāng)時,有當(dāng)時,有幾何意義:例如，都有水平漸近線都有水平漸近線又如，第五十一頁，共一百二十頁，2022年，8月28日51定義1.5(x趨于x0時函數(shù)f(x)的極限)

設(shè)函數(shù)f(x)

在點

x0附近有定義，A是某確定常數(shù)。若當(dāng)自變量x趨于x0時，f(x)與A的距離|f(x)-A|任意小，則稱函數(shù)f(x)在x趨于x0時以常數(shù)A為極限，記為或并稱x趨于x0時f(x)收斂；否則，稱x趨于x0時f(x)發(fā)散。第五十二頁，共一百二十頁，2022年，8月28日定義1.

設(shè)函數(shù)在點的某去心鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)時,有則稱常數(shù)

A

為函數(shù)當(dāng)時的極限,或即當(dāng)時,有若記作幾何解釋:極限存在函數(shù)局部有界這表明:第五十三頁，共一百二十頁，2022年，8月28日53說明：函數(shù)極限的實質(zhì)：考察當(dāng)x→x0時，函數(shù)f(x)的變化趨勢：若x→x0時函數(shù)f(x)收斂，則x→x0時f(x)必定趨向于某一個確定的數(shù)；若x→x0時函數(shù)f(x)發(fā)散，則x→x0時f(x)不趨向于任何確定的數(shù)。“x→x0”表示x從x0的兩側(cè)任意接近x0

。但有時也需考慮x從x0的某一側(cè)任意接近x0時，函數(shù)f(x)的極限情況。第五十四頁，共一百二十頁，2022年，8月28日例.

證明證:故取當(dāng)時,必有因此第五十五頁，共一百二十頁，2022年，8月28日55例不存在不存在不存在不存在第五十六頁，共一百二十頁，2022年，8月28日x→0

時，在–1和1之間無限震蕩。第五十七頁，共一百二十頁，2022年，8月28日1.3.3單側(cè)極限(one-sidedlimit)定義1.6(單側(cè)極限)

設(shè)函數(shù)f(x)

在區(qū)間(x0,x0+δ)

內(nèi)有定義，A是某確定常數(shù)。若x從x0的右側(cè)趨于x0時，f(x)與A的距離|f(x)-A|任意小，則稱函數(shù)f(x)

在x趨于x0時以常數(shù)A為右極限(right-sidedlimit)，記為或同理，左極限：(left-sidedlimit)第五十八頁，共一百二十頁，2022年，8月28日例考察符號函數(shù)sgnx在x=0處的單側(cè)極限。解：sgnx的圖像如右圖：oxy1-1則右極限左極限x→0時，sgnx的變化趨勢如何？是否有極限？可得出什么結(jié)論？第五十九頁，共一百二十頁，2022年，8月28日定理1.1(單側(cè)極限與一般極限的關(guān)系)

當(dāng)x→x0時，函數(shù)f(x)極限存在的充要條件是左、右極限存在且相等，即or第六十頁，共一百二十頁，2022年，8月28日例.

設(shè)函數(shù)討論時的極限是否存在.解:

利用定理3.因為顯然所以不存在.第六十一頁，共一百二十頁，2022年，8月28日61

問a為何值時，所給函數(shù)在x=2處極限存在?例解：左極限右極限欲使函數(shù)在x=2處有極限，必有4+2a=20,a=8.第六十二頁，共一百二十頁，2022年，8月28日研究函數(shù)在x→x0極限時，是否要考慮f(x)在x=x0時的性態(tài)？為什么？若f(x0+0)和f(x0-0)都存在，當(dāng)x趨于x0時，

f(x)的極限一定存在嗎？如何利用f(x0+0)和f(x0-0)來判斷當(dāng)x趨于x0時，f(x)的極限不存在？

第六十三頁，共一百二十頁，2022年，8月28日1.4極限的計算1.4.1極限的四則運算法則1.4.2兩個重要極限第六十四頁，共一百二十頁，2022年，8月28日1.4.1極限的四則運算法則

具體的運算法則見P.18定理。以下面幾個例子來說明極限的運算法則:定理1.2(極限的四則運算法則)則有定理.

若定理

.若則有定理.若且B≠0,則有第六十五頁，共一百二十頁，2022年，8月28日例.

求解:

x=1時分母=0,分子≠0,但因第六十六頁，共一百二十頁，2022年，8月28日66例6

.

求解:時,分子分子分母同除以則分母“抓大頭”原式第六十七頁，共一百二十頁，2022年，8月28日67一般有如下結(jié)果：為非負(fù)常數(shù))第六十八頁，共一百二十頁，2022年，8月28日68例例=-1例第六十九頁，共一百二十頁，2022年，8月28日思考及練習(xí)1.是否存在?為什么?答:

不存在.否則由利用極限四則運算法則可知存在,與已知條件矛盾.解:原式2.問第七十頁，共一百二十頁，2022年，8月28日703.

求解法1原式=解法2令則原式=第七十一頁，共一百二十頁，2022年，8月28日714.

試確定常數(shù)a

使解:令則故因此第七十二頁，共一百二十頁，2022年，8月28日721.4.2兩個重要極限

兩個重要極限是極限的證明及計算中的重要內(nèi)容。重要極限及其變形也是各類考試的考點。第七十三頁，共一百二十頁，2022年，8月28日圓扇形AOB的面積證:當(dāng)即亦即時，顯然有△AOB

的面積＜＜△AOD的面積故有注第七十四頁，共一百二十頁，2022年，8月28日74當(dāng)時注第七十五頁，共一百二十頁，2022年，8月28日75例=-1例=1例=3第七十六頁，共一百二十頁，2022年，8月28日例.

求解:例.

求解:

令則因此原式第七十七頁，共一百二十頁，2022年，8月28日77例第七十八頁，共一百二十頁，2022年，8月28日例.

求解:

原式=例.

已知圓內(nèi)接正n

邊形面積為證明:證:說明:計算中注意利用第七十九頁，共一百二十頁，2022年，8月28日79第八十頁，共一百二十頁，2022年，8月28日2.證:當(dāng)時,設(shè)則第八十一頁，共一百二十頁，2022年，8月28日81當(dāng)則從而有故說明:

此極限也可寫為時,令第八十二頁，共一百二十頁，2022年，8月28日82例例例第八十三頁，共一百二十頁，2022年，8月28日例.求解:

原式=第八十四頁，共一百二十頁，2022年，8月28日84例.

求解:

令則因此原式且第八十五頁，共一百二十頁，2022年，8月28日85例.求解:

原式=第八十六頁，共一百二十頁，2022年，8月28日861.5無窮小量與無窮大量1.5.1無窮小量1.5.2無窮小量階的比較1.5.3無窮大量第八十七頁，共一百二十頁，2022年，8月28日1.5.1無窮小量

如果定義1.7(無窮小量)則稱f(x)是x→x0時的無窮小量(infinitesimal).說明：

類似地，可定義在自變量的其它變化情形下的無窮小量：

x→∞，x→x0+

，x→x0-，…

稱以0為極限的數(shù)列為無窮小數(shù)列。第八十八頁，共一百二十頁，2022年，8月28日例因為所以當(dāng)x→1時函數(shù)x-1為無窮小量。因為所以當(dāng)x→∞

時函數(shù)1/x為無窮小量。無窮小量是很小的數(shù)嗎？數(shù)零是不是無窮小量？第八十九頁，共一百二十頁，2022年，8月28日無窮小的性質(zhì)

當(dāng)x→x0時，如果f(x)、g(x)均為無窮小，則當(dāng)x→x0時，有:

f(x)±g(x)為無窮小。推廣：有限個無窮小的代數(shù)和是無窮小。有界變量(常量、無窮小量)與無窮小的積是無窮小。

兩個無窮小的和、差與積仍是無窮小。兩個無窮小的商呢？如：x→0時，3x、x2、sinx

都是無窮小，但第九十頁，共一百二十頁，2022年，8月28日其中為時的無窮小量.定理.(無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系)證:當(dāng)時,有對自變量的其它變化過程類似可證.第九十一頁，共一百二十頁，2022年，8月28日911.5.2無窮小量階的比較

對無窮小量進行階的比較是為了考察兩個無窮小量趨于0的速度。

設(shè)f(x)、g(x)為x→x0時的無窮小，如果則稱x→x0時，f(x)是比g(x)高階的無窮?。粍t稱x→x0時，f(x)是比g(x)低階的無窮小；記為：f(x)=o(g(x))(x→x0)第九十二頁，共一百二十頁，2022年，8月28日則稱x→x0時，f(x)與g(x)是同階的無窮小。特別地，當(dāng)k=1時，稱f(x)與g(x)是等價無窮小。記為：f(x)=O(g(x))(x→x0)

記為：f(x)~g(x)(x→x0)

第九十三頁，共一百二十頁，2022年，8月28日例如

,

當(dāng)～時～～又如

，故時是關(guān)于x的二階無窮小,～且第九十四頁，共一百二十頁，2022年，8月28日94例因為所以，當(dāng)x→0時，x2

是比3x

高階的無窮小量,即x2=o(3x)(x→0)又則當(dāng)x→3時,x2-9是與x-3同階的無窮小量，x2-9=O(x-3)(x→3)第九十五頁，共一百二十頁，2022年，8月28日例當(dāng)x→0時，a

取何值使得解：要使必須a=2第九十六頁，共一百二十頁，2022年，8月28日擴展：定理設(shè)且存在，則在求極限中的應(yīng)用：例求解：當(dāng)時，sinx~x,故P.24例3第九十七頁，共一百二十頁，2022年，8月28日例1.求解:原式例2.求解:第九十八頁，共一百二十頁，2022年，8月28日981.5.2無窮大量定義1.8(無窮大量)如果則稱函數(shù)變量f(x)是x→x0時的無窮大量(infinitelygreat)

。說明：

不可將無窮大(∞)與很大的數(shù)混為一談；

無窮大數(shù)列；

無窮大與無窮小的關(guān)系。第九十九頁，共一百二十頁，2022年，8月28日1.6函數(shù)的連續(xù)性1.6.1連續(xù)的概念1.6.2函數(shù)的間斷點1.6.3連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)與初等函數(shù)的連續(xù)性第一百頁，共一百二十頁，2022年，8月28日1.6.1連續(xù)的概念變量的增量(increment)函數(shù)的連續(xù)性定義1.9(函數(shù)的連續(xù)性定義1)

設(shè)y=f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義。自變量的增量Δx=x-x0,函數(shù)的增量

Δy=f(x0+Δx)-f(x0)。則稱函數(shù)y=f(x)在x0處連續(xù)。(continuityoffunction)x0f(x0)x0+△xf(x0+△x)△yf(x)若第一百零一頁，共一百二十頁，2022年，8月28日例證明

y=sinx在點x∈(-∞,+∞)

連續(xù)。證明：由定義1.9知,y=sinx在任意點x∈(-∞,+∞)連續(xù)，稱sinx在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)是連續(xù)的。

類似地,y=cosx

在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)是連續(xù)的。第一百零二頁，共一百二十頁，2022年，8月28日定義1.10(函數(shù)的連續(xù)性定義2)說明：(1)函數(shù)y=f(x)在點x0及附近有定義；幾何意義：定義要點：函數(shù)曲線在x=x0處是“連”著的。在求極限中的應(yīng)用：(2)函數(shù)y=f(x)在點x0處極限存在；(3)函數(shù)y=f(x)在點x0處極限值等于函數(shù)值

f(x0),即：

求連續(xù)函數(shù)的極限時,極限符號與連續(xù)函數(shù)符號可以交換順序。因此，只要求出函數(shù)值即可。第一百零三頁，共一百二十頁，2022年，8月28日定義1.11(函數(shù)的左、右連續(xù)性)

設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(x0-δ,x0]內(nèi)有定義，如果f(x0)=f(x0-0)，則稱函數(shù)在點x0左連續(xù)。同理，可定義右連續(xù)。xyx0xyx0定理1.3(連續(xù)的充分必要條件)左連續(xù)右連續(xù)第一百零四頁，共一百二十頁，2022年，8月28日定義1.12(函數(shù)在區(qū)間內(nèi)(上)連續(xù))

如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一點都連續(xù)，則稱y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)。如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)，且在區(qū)間左端點a右連續(xù)，在區(qū)間右端點b左連續(xù)，則稱y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)。說明：

區(qū)間內(nèi)(上)的連續(xù)函數(shù)的圖像是一條沒有間斷的曲線。第一百零五頁，共一百二十頁，2022年，8月28日1.6.2函數(shù)的間斷點函數(shù)的間斷點：

如果函數(shù)y=f(x)在點x0不連續(xù)，則稱點x0為函數(shù)y=f(x)的間斷點(pointofdiscontinuity)。怎樣判斷點x0為函數(shù)y=f(x)的間斷點：(1)函數(shù)在點x0是否有定義；(2)函數(shù)在點x0處的左、右極限均是否存在并相等；(3)函數(shù)在點x0處的極限值是否等于該點的函數(shù)值。函數(shù)間斷點的分類：

間斷點分為兩類。第一百零六頁，共一百二十頁，2022年，8月28日第一類間斷點：

設(shè)x0為函數(shù)y=f(x)的間斷點，如果f(x)在間斷點x0處的左、右極限都存在(不論f(x)在x0處是否有定義)，則稱x0是f(x)的第一類間斷點．xyx0xyx0第一類間斷點包括可去間斷點和跳躍間斷點可去間斷點跳躍間斷點xyx0第一百零七頁，共一百二十頁，2022年，8月28日顯然為其可去間斷點.為其跳躍間