層次分析法課件

醫(yī)藥信息分析與決策第六章層次分析法

例某人擬從相同配置的金長城電腦、聯(lián)想電腦和托普電腦中購買一臺，你會如何決策？

假定有n個物體,它們的重量分別為W1、W2、……，Wn，并且假定它們的重量和為1個單位，即。兩兩比較它們之間的重量很容易得出判斷矩陣：從上式不難看出，以ｎ個物體重量為分量的向量Ｗ是判斷矩陣的特征向量。根據(jù)矩陣?yán)碚?，ｎ為上述矩陣A的唯一非零的，同時也是最大的特征值，而W是該特征值所對應(yīng)的特征向量。上面的例子顯示，如果有一組物體需要估算它們的相對重量，而又沒有稱重儀器，那么可以通過兩兩比較這組物體相對重量的方法，得出每對物體的重量比值，從而形成判斷矩陣，通過求解判斷矩陣的最大特征值和所對應(yīng)的特征向量，就可以計算出這組物體的相對重量。同樣，對于復(fù)雜的社會的、經(jīng)濟的以及管理科學(xué)等領(lǐng)域的問題，通過建立層次分析模型,構(gòu)造兩兩因素判斷矩陣，就可應(yīng)用求解最大特征值和特征向量的方法，來確定出相應(yīng)的各種方案、措施、政策等相對于總目標(biāo)的重要性排序權(quán)值，以供決策使用。應(yīng)用這種分析法保持判斷思維的一致性是非常重要的，所謂判斷一致性，即判斷矩陣A有如下關(guān)系：

aij＝aik/ajk;i,j,k=1,2,…,n判斷矩陣在滿足上述完全一致性的條件下，具有唯一非零的、

同時也是最大的特征值λmax＝n(n為判斷矩陣的階數(shù))。

但是，

在一般決策問題中，

決策者不可能給出精確的Wi/Wj度量,

只能對它們進(jìn)行判斷估計。這樣,

實際給出的aij判斷與理想的Wi/Wj

有偏差，不能保證判斷矩陣具有完全的一致性。因此,

為了保證應(yīng)用該分析法得到的結(jié)論基本合理，還需要對構(gòu)造的判斷矩陣進(jìn)行一致性檢驗。

層次結(jié)構(gòu)示意圖方法特點

在對問題充分研究后首先分析問題內(nèi)在因素間的聯(lián)系，并把它劃分為若干層次，如措施層、準(zhǔn)則層（含子準(zhǔn)則）、目的層等。把定性方法與定量方法有機地結(jié)合起來，使復(fù)雜的系統(tǒng)分解，把多目標(biāo)、多準(zhǔn)則又難以全部量化處理的決策問題化為多層次單目標(biāo)問題，通過兩兩比較確定同一層次元素相對上一層次元素的數(shù)量關(guān)系后，最后進(jìn)行簡單的數(shù)學(xué)運算。

二、層次分析法的基本原理

復(fù)雜的決策問題往往設(shè)計到許多因素，如社會、政治、經(jīng)濟、科技乃至自然環(huán)境等，因此要認(rèn)識一個復(fù)雜系統(tǒng)就比較困難。層次分析法正是處理此類問題的有效方法。層次分析法的基本原理可歸納為層次的數(shù)學(xué)原理—特征向量方法、遞階層次結(jié)構(gòu)原理、兩兩比較標(biāo)度與判斷原理、層次排序原理。

2、遞階層次結(jié)構(gòu)原理

一個復(fù)雜的無結(jié)構(gòu)問題可分解為它的若干組成部分或因素。例如，目標(biāo)、約束、準(zhǔn)則、子準(zhǔn)則、方案等,按照屬性的不同把這些因素分組形成互不相交的層次，上一層次的因素對相鄰的下一層次的全部或某些因素起著支配作用，形成按層次自上而下的逐層支配關(guān)系,具有這種性質(zhì)的層次稱為遞階層次。

例某人擬從相同配置的金長城電腦、聯(lián)想電腦和托普電腦中購買一臺，其決策的層次結(jié)構(gòu)模型如下：

3、兩兩比較的標(biāo)度與判斷原理

判斷矩陣的構(gòu)成是，先給出遞階層次中的某一層因素，比如第i層，以及相鄰上一層(i-1層)

次中的一個因素Ak,兩兩比較第i層的所有因素對Ak因素的影響程度，將比較的結(jié)果以數(shù)字的形式寫入一個矩陣表，即構(gòu)成判斷矩陣。

標(biāo)度 含義

1 表示兩個因素相比，具有同樣重要性。

3表示兩個因素相比，一個因素比另一個因素稍微重要。

5 表示兩個因素相比，一個因素比另一個因素明顯重要。

7表示兩個因素相比，一個因素比另一個因素顯得很重要。9 表示兩個因素相比，一個因素比另一個因素顯得極其重要。2，4，6，8上述兩相鄰判斷的中值倒數(shù)因素i與j比較得判斷bij，則因素j與i比較的判斷bji=1/bij。

4、層次排序原理

層次排序原理包括層次單排序、層次總排序和一致性檢驗理論。

（1）層次單排序原理

確定各層次中因素對相鄰上一層次的各因素的優(yōu)先次序稱為層次單排序。層次單排序可歸結(jié)為計算判斷矩陣的特征根和特征向量問題，即對判斷矩陣B，計算滿足的特征根與特征向量，式中為B的最大特征根，W為對應(yīng)于的正規(guī)化特征向量，W的分量,即相應(yīng)因素單排序的權(quán)值。其最常見的計算方法有和積法和方根法

（2）一致性檢驗原理

按照各因素重要程度、優(yōu)先次序?qū)Ρ鹊膬?nèi)在規(guī)律，判斷矩陣應(yīng)該滿足以下三個條件（稱為“完全一致性條件”）。

①對角線元素為1②右上三角和左下三角對應(yīng)元素互為倒數(shù)

③因素優(yōu)先次序的傳遞關(guān)系

由于客觀事物的復(fù)雜性，人們在分析問題時，認(rèn)識具有片面性，要達(dá)到完全一致性是非常困難的。一致性檢驗是根據(jù)矩陣?yán)碚搧磉M(jìn)行的，根據(jù)矩陣?yán)碚撚泄?/p>

當(dāng)判斷矩陣具有完全一致性時，

為判斷矩陣階數(shù)。

何為滿意一致性呢？為此，將CI與平均隨機一致性指標(biāo)RI進(jìn)行比較，各階RI值分別為

當(dāng)階數(shù)大于2時，判斷矩陣的一致性指標(biāo)CI與同階平均隨機一致性指標(biāo)RI之比稱為隨機一致性比率，記為CR。當(dāng)判斷矩陣具有滿意的一致性，即否則就需要對判斷矩陣進(jìn)行調(diào)整。

（3）層次總排序及其一致性檢驗

計算同一層次上不同因素對總目標(biāo)的優(yōu)先次序稱為層次總排序

層次分析法的優(yōu)缺點分析1.系統(tǒng)性的分析方法2.簡潔實用的決策方法3.所需定量數(shù)據(jù)信息較少優(yōu)點層次分析法的優(yōu)缺點分析1.不能為決策提供新方案2.定量數(shù)據(jù)較少，定性成分多，不易令人信服3.指標(biāo)過多時數(shù)據(jù)統(tǒng)計量大，且權(quán)重難以確定4.特征值和特征向量的精確求法比較復(fù)雜缺點判斷矩陣中

特征值與特征向量的近似算法：1.和法2.根法3.冪法1.和法簡要步驟：1.列歸一2.行求和3.列歸一4.求出特征值例：A=列向量歸一化行求和列向量歸一化2.根法根法與和法計算步驟基本相同，只是第二步中和法是“按行求和”，而在根法中是

“按行求積并開n次方”公式變?yōu)?.根法簡要步驟：1.列歸一2.按行求積并開n次方3.列歸一4.求出特征值例：A=列向量歸一化列向量歸一化3.冪法步驟：（1）任取一個與判斷矩陣同階正規(guī)化的初值向量，例如取3.冪法（2）計算（k=1，2，…，n）（3）歸一化，即令（k=1，2，…，n）3.冪法（4）對于預(yù)先給定的精確度ε，如果則為所求特征向量，轉(zhuǎn)入（5）；否則，返回（2）。3.冪法（5）計算最大特征值3.冪法例：A=現(xiàn)假設(shè)初始向量為預(yù)先給定的精確度ε=0.053.冪法（2）（3）列向量歸一化（4）0.566–0.333>0.05，需返回第二步作進(jìn)一步計算。3.冪法（22）（32）列向量歸一化（42）各項差別均小于0.05，可進(jìn)入第五步計算特征值。3.冪法(5)WTλ精確(0.588,0.322,0.090)3.010和法(0.587,0.324,0.089)3.009根法(0.587,0.324,0.089)3.009冪法(0.588,0.323,0.089)3.034各種方法結(jié)果比較：層次分析法的Excel計算方法操作步驟：1.作基本框架2.輸入數(shù)據(jù)3.輸入計算公式4.得到并分析結(jié)果層次分析法的Excel計算方法例：購置一臺新設(shè)備的層次分析考慮購置新設(shè)備功能價格維護(hù)設(shè)備P1設(shè)備P2設(shè)備P3目標(biāo)層準(zhǔn)則層方案層Excel算法公式舉例（1）列和計算公式

B10=SUM（B7:B9）（2）歸一化矩陣計算公式

H7=B7/B$10（3）層次單排序權(quán)重向量計算公式L7=AVERAGE（H7:J7）Excel算法公式舉例（4）加權(quán)向量計算公式N7=B7*$L$7+C7*$L$8+D7*$L$9（5）一致性計算公式O7=N7/L7（6）CR計算公式O10=((AVERAGE(O7:O9)-3)/2)/0.58Excel算法公式舉例（7）層次總排序公式B39=L7，C39=L8，D39=L9B40=L15，C40=L16，D40=L17（8）層次總排序權(quán)重計算公式H40=SUMPRODUCT(B39:D39,B40:D40)MATLAB求解eig(A) 求特征值及特征向量inv(A)求方陣的逆矩陣rref(X) 求矩陣X階梯形的行最簡形式應(yīng)用案例

案例一：某廠有一筆企業(yè)留成利潤要決定如何使用，根據(jù)各方意見提出的決策方案有：發(fā)獎金；擴建集體福利設(shè)施；辦技校；建圖書館；購買新設(shè)備。在決策時要考慮調(diào)動職工勞動積極性、提高職工技術(shù)文化水平、改善職工物質(zhì)文化生活三方面，請對各種方法做出評價。（1）層次結(jié)構(gòu)圖準(zhǔn)則層C方案層D目標(biāo)層A合理使用企業(yè)留利××萬元調(diào)動職工勞動積極性提高企業(yè)技術(shù)水平改善職工物質(zhì)文化生活狀況發(fā)獎金擴建集體福利設(shè)施辦技校建圖書館購買新設(shè)施AC1C2C3d1d2d3d4d5（2）計算單一準(zhǔn)則下元素的相對重要性i.第二層相對于第一層的判斷矩陣通過計算得判斷矩陣的特征向量和特征值分別為：W=(0.105,0.637,0.258)λmax=3.039對判斷矩陣進(jìn)行一致性檢驗，即計算C.I.和C.R.C.I.=0.019C.R.=0.033<0.1說明判斷矩陣的一致性可以接受。A-CC1C2C3C111/51/3C2513C331/31C1C2C3w1=0.105W2=0.637W3=0.258Aii.第三層元素相對于第二層元素判斷矩陣W=(0.491,0.232,0.092,0.138,0.046)126.5max=lC.I=0.032C.R.=0.028<0.1C1-Dd1d2d3d4d5d112347d21/21325d31/31/311/21d41/41/2213d51/71/511/31w11W12W13C1C2C3d1d2d3d4d5w14w15w21W22W23C1C2C3d1d2d3d4d5w24w25w31W32W33C1C2C3d1d2d3d4d5w34w35（3）計算各元素的總權(quán)重（4）結(jié)論發(fā)獎金，福利設(shè)施，辦技校，建圖書館，新設(shè)備W=(0.157,0.164,0.393,0.113,0.172)C.I.=0.028R.I.=0.923CR=0.03<0.10計算結(jié)果表明，對于合理使用企業(yè)留成利潤來說，辦技校是首選的方案。案例二：運用AHP方法選擇世界杯上場隊員案例，本案例運用AHP方法，對中國男子足球隊在世界杯比賽中應(yīng)該首發(fā)出場的中后衛(wèi)人選進(jìn)行決策目標(biāo)A ——在世界杯比賽中取得好成績；準(zhǔn)則C有四個 ——技術(shù)、心理、經(jīng)驗、傷??；方案D（可供選擇的球員） ——范志毅、杜威、李偉峰、張恩華和徐云龍五位可踢中后衛(wèi)的球員。據(jù)此建立模型的遞階層次結(jié)構(gòu)如下圖模型D1范志毅A：比賽中取得好成績C1：技術(shù)C2：心理C3：經(jīng)驗C4：傷病D2杜威D3李偉峰D4張恩華D5徐云龍構(gòu)造第二層相對第一層的判斷矩陣：W=(0.398,0.236,0.167,0.199)λmax=4.060C.I.=0.020C.R.=0.022<0.1判斷矩陣的一致性可以接受

1C4:傷病11C3:經(jīng)驗121C2:心理2221C1:技術(shù)C4:傷病C3:經(jīng)驗C2:心理C1:技術(shù)A——CAC1:技術(shù)C2:心理C3:經(jīng)驗C4:傷病第三層各因素對于第二層元素的判斷矩陣：

W=(0.217,0.151,0.395,0.160,0.077)λmax=5.015C.I.=0.017C.R.=0.015<0.1

一致性檢驗通過C1:技術(shù)C2:心理C3:經(jīng)驗C4:傷病D1:范D3:李D2:杜D4:張D5:徐1D5:徐云龍21D4:張恩華531D3:李偉峰211/21D2:杜威311/221D1:范志毅D5:徐云龍D4:張恩華D3:李偉峰D2:1杜威D1:范志毅C1:技術(shù)

W=(0.370,0.069,0.169,0.326,0.066)λmax=5.018C.I.=0.012C.R.=0.011<0.1

一致性檢驗通過1D5:徐云龍51D4:張恩華31/21D3:李偉峰11/41/31D2:杜威51351D1:范志毅D5:徐云龍D4:張恩華D3:李偉峰D2:杜威D1:范志毅C2:心理C1:技術(shù)C2:心理C3:經(jīng)驗C4:傷病D1:范D3:李D2:杜D4:張D5:徐第三層各因素對于第二層元素的判斷矩陣：

W=(0.439,0.044,0.161,0.271,0.085)λmax=5.186C.I.=0.047C.R.=0.042<0.1

一致性檢驗通過1D5:徐云龍1/21D4:張恩華31/31D3:李偉峰1/31/51/41D2:杜威62471D1:范志毅D5:徐云龍D4:張恩華D3:李偉峰D2:杜威D1:范志毅C3:經(jīng)驗C1:技術(shù)C2:心理C3:經(jīng)驗C4:傷病D1:范D3:李D2:杜D4:張D5:徐第三層各因素對于第二層元素的判斷矩陣：

W=(0.082,0.260,0.138,0.260,0.260)λmax=5.010C.I.=0.002C.R.=0.002<0.1

一致性檢驗通過1D5:徐云龍11D4:張恩華1/21/21D3:李偉峰1121D2:杜威1/31/31/21/31D1:范志毅D5:徐云龍D4:張恩華D3:李偉峰D2:杜威D1:范志毅C4:傷病C1:技術(shù)C2:心理C3:經(jīng)驗C4:傷病D1:范D3:李D2:杜D4:張D5:徐第三層各因素對于第二層元素的判斷矩陣：最后計算出層次總排序的權(quán)重向量為：

W=(0.263,0.136,0.251,0.238,0.112)C.I.=0.049R.I.=1.120C.R.=0.044<0.1層次總排序一致性檢驗通過計算結(jié)果表明，中國國家足球隊在世界杯比賽中，首發(fā)的中后衛(wèi)應(yīng)該是范志毅和李偉峰，替補的順序應(yīng)該依次為張恩華、杜威和徐云龍。步驟小結(jié)（1）明確問題（2）建立層次結(jié)構(gòu)（3）構(gòu)造判斷矩陣（4）層次單排序及其一致性檢驗（5）層次總排序及一致性檢驗（6）作出相應(yīng)決策AHP的計算主要通過軟件實現(xiàn)，簡單方便，使AHP法在現(xiàn)實中已得到了廣泛應(yīng)用。案例三：

AHP在風(fēng)險投資項目決策中的應(yīng)用

風(fēng)險投資：風(fēng)險投資是指通過一定的機構(gòu)和方式向各類機構(gòu)或個人籌集風(fēng)險資本，然后將其投入具有高度不確定性的企業(yè)或項目，并以一定的方式參與所投資風(fēng)險企業(yè)或項目的管理，期望通過實現(xiàn)項目的高成長率并最終通過出售股權(quán)等方式獲得高額中長期收益的一種投資體系。其一般多以投資基金方式運作，運作的程序包括項目估價、項目決策、談判和簽訂協(xié)議、輔導(dǎo)管理及退出四個階段，其中以項目的評估與決策最為關(guān)鍵，因為它是整個風(fēng)險投資程序的至關(guān)重要的第一階段，也是提高風(fēng)險資金利用效率和決定風(fēng)險投資項目成功與否的關(guān)鍵。風(fēng)險投資項目的不確定性主要表現(xiàn)在以下幾個方面：如項目的技術(shù)是否具有超前意識？是否可以實現(xiàn)？投資產(chǎn)品是否具有廣闊的市場前景？市場占有率會有多大？產(chǎn)品的市場競爭能力如何等。風(fēng)險投資公司在對項目進(jìn)行評估時，需要從創(chuàng)業(yè)者素質(zhì)、市場潛力、產(chǎn)品技術(shù)、公司管理、財務(wù)、國家政策環(huán)境等方面對投資項目進(jìn)行綜合評價，即項目目標(biāo)的選擇是一個多目標(biāo)、多層次、結(jié)構(gòu)復(fù)雜、因素眾多的大系統(tǒng)，需要一種可將決策者的經(jīng)驗予以量化，將定性和定量相結(jié)合，并對決策對象進(jìn)行優(yōu)劣排序、篩選的多目標(biāo)決策分析方法。用AHP法解決這一問題。根據(jù)對風(fēng)險投資因素的分析，各個備選項目的評價主要包括以下幾個方面：（1）技術(shù)[Ｆ1]：指的是技術(shù)開發(fā)方面的各種不確定因素，如技術(shù)難度、技術(shù)適用性、技術(shù)成熟性、技術(shù)配套性、技術(shù)生命周期等。（2）市場潛力[Ｆ2]：指難以確定的市場需求、產(chǎn)品競爭力、上市時機、市場擴展速度、潛在競爭者影響、產(chǎn)品替代性等。（3）管理[Ｆ3]：即人員素質(zhì)與經(jīng)驗、領(lǐng)導(dǎo)判斷與決策的科學(xué)化、企業(yè)組織合理性、項目管理機制等。（4）領(lǐng)導(dǎo)者素質(zhì)[Ｆ4]：指創(chuàng)業(yè)者的專業(yè)知識水平、領(lǐng)導(dǎo)水平、能力、性格等。確定了這些影響項目選擇的評價準(zhǔn)則，也就構(gòu)造出如圖2-2所示的層次結(jié)構(gòu)分析模型：風(fēng)險投資層次結(jié)構(gòu)圖建立判斷矩陣及其一致性檢驗

表2-12準(zhǔn)則層判斷矩陣風(fēng)險項目綜合評價F1F2F3F4重要性排序值技術(shù)F11

1/53

1/90.0774市場潛力F2516

1/40.2518管理F3

1/3

1/61

1/80.0439創(chuàng)業(yè)者素質(zhì)F494810.6269建立判斷矩陣及其一致性檢驗表2-13技術(shù)（