不等式證明的常用方法

不等式證明的常用方法

均值不等式的證明方法一.比較法1.作差比較法：原理：常用到的輔助方法：⑴配方法；⑵二次函數(shù)法：即時(shí)，恒大于0；⑶在直接比差有困難時(shí)，可采用取倒數(shù)、乘方、取對(duì)數(shù)后求差來替代；⑷作差后分解因式。2.作商比較法：原理：欲證，需分三種情況由此可見，比較法是把兩個(gè)數(shù)的大小比較問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)數(shù)與零或1作大小比較，是一種簡(jiǎn)化的思想，常要進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮愕茸冃巍６C合法利用某些已經(jīng)證明過的不等式作為基礎(chǔ)，再運(yùn)用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要求證的不等式。這種證明方法叫綜合法。用綜合法證明不等式的關(guān)鍵是適當(dāng)選擇一個(gè)已知的不等式，從此出發(fā)推出所證結(jié)果，怎樣選擇已知的不等式就適當(dāng)呢？一般有兩條途徑。⑴從分析法找思路，⑵從“重要不等式”，特別是平均值不等式找思路。⑴常用定理及推論：①若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）②若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）③若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）④若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）⑤⑵常用重要結(jié)論：①若，，則，②若，，則，③若，則④若，則⑤若，則⑥若，則⑶常用重要不等式：①，②③④⑤；三.分析法證明不等式時(shí)，有時(shí)可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法通常叫做分析法.用分析法證明不等式，就是不斷尋找并簡(jiǎn)化欲證不等式成立的充分條件，到一個(gè)明顯或易證其成立的充分條件為止。它是證明包含根式的不等關(guān)系成立的有效方法，也是一種普通適用的方法，這種方法的實(shí)質(zhì)是“充分條件”的化簡(jiǎn)。分析法的書寫格式：要證明命題為真，只需要證明命題為真，從而有……這只需要證明命題為真，從而又有…………這只需要證明命題為真而已知為真，故命題必為真。四．放縮法常用的放縮公式：⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻五.反證法從否定結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，推出矛盾。該方法適用于“至少”“至多”“唯一”等字句的命題。七.換元法在代數(shù)式的恒等變形和解方程時(shí)，我們使用過變量代換。而在不等式的證明中若能引進(jìn)適當(dāng)?shù)拇鷵Q，不僅能使證明簡(jiǎn)化，而且比較容易找到證題思路。換元法是將一些較為復(fù)雜的不等式利用等價(jià)轉(zhuǎn)換的思想換成易于證明的不等式的證明方法。1.三角換元有些量采用三角函數(shù)代換后，可以充分利用三角函數(shù)之間特有的關(guān)系（相等的或不等的），把一個(gè)較難的問題簡(jiǎn)單化或者一般化，使不等式得到證明。若，則可令（）或（）若，則可令，（）若，則可令，（）若，則可令（）若，則可令（）2.代數(shù)換元“整體換元”,“均值換元”,“設(shè)差換元”的方法.循環(huán)對(duì)稱式可采用整體換元。3.增量代換在不等式中，若知，則令（其中，稱為增量），將不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為相等關(guān)系，巧作變