第三章非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)

上章回顧導(dǎo)熱問題的數(shù)學(xué)描寫定解條件導(dǎo)熱微分方程傅里葉定律能量守恒定律求解得到溫度場求解得到熱流密度矢量典型一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱具有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱通過肋片的導(dǎo)熱多維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱1第三章非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)主講人：郭智群2引題鋼制工件的熱處理是一個(gè)典型的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程，掌握工件中溫度變化的速率是控制工件熱處理質(zhì)量的重要因素。金屬在加熱爐中加熱時(shí)需要確定其停留時(shí)間，以保證達(dá)到規(guī)定的溫度。3引題本章內(nèi)容基本概念零維一維本章重點(diǎn)：掌握基本概念；確定物體瞬時(shí)溫度場的方法；在一段時(shí)間間隔內(nèi)物體所傳導(dǎo)熱量的計(jì)算方法。4目錄3.1非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念3.2零維問題的分析方法——集中參數(shù)法3.3典型一維物體非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分析解5非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念3.1.1非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程的特點(diǎn)及類型一、定義：物體的溫度隨時(shí)間而變化的導(dǎo)熱過程稱為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱（unsteadyheatconduction）非周期性：物體溫度隨時(shí)間趨近于恒值（動(dòng)力機(jī)械啟動(dòng)、停止）周期性：物體溫度隨時(shí)間做周期性變化（地球表面溫度隨四季更替周期變化）6非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念幾種典型非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程的溫度變化率7非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念二、特點(diǎn)：物體中各點(diǎn)的溫度隨時(shí)間發(fā)生變化；物體中各點(diǎn)的熱流密度隨時(shí)間發(fā)生變化；

不宜用熱阻法定量分析非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱；其中：8非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念如圖所示，已知一復(fù)合平壁初始溫度為t0，左側(cè)為金屬壁面，右側(cè)為保溫層，層間接觸良好。令其左側(cè)表面的溫度突然升高到t1，右側(cè)與溫度為t0的空氣接觸，分析溫度變化過程。保溫層金屬壁t0t1xB

P

L

保溫層金屬壁t0t1xC

P

L

不同時(shí)刻平壁溫度場示意圖（一）保溫層金屬壁t0xA

L

金屬壁xt9非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念不同時(shí)刻平壁溫度場示意圖（二）保溫層金屬壁t0t1xD

A

P

I

保溫層金屬壁t0t1xE

A

P

J

保溫層金屬壁t0t1xF

A

P

K

10非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念加熱或冷卻過程的兩個(gè)重要階段非正規(guī)狀況階段：這一階段中溫度分布主要受初始溫度分布的控制。正規(guī)狀況階段：不同時(shí)刻的溫度分布主要受熱邊界條件的影響。正規(guī)狀況階段的溫度分布計(jì)算比非正規(guī)狀況階段簡單得多。非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念加熱或冷卻過程的兩個(gè)重要階段保溫層金屬壁t0t1xF

A

P

K

E

JDICBL11非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念對于上述復(fù)合壁情形，不同時(shí)刻左右表面的導(dǎo)熱量隨時(shí)間的變化定性用右圖表示。0Φ1Φ2τΦΦ1為從左側(cè)導(dǎo)入金屬壁的熱流量Φ2為從右側(cè)導(dǎo)出保溫層的熱流量導(dǎo)熱過程中兩者不相等，且隨著過程的進(jìn)行，其差別逐漸減小，直到進(jìn)入穩(wěn)態(tài)階段兩者平衡。陰影部分代表了復(fù)合壁在升溫過程中積蓄的能量。12非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念3.1.2導(dǎo)熱微分方程解的唯一性定律非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的求解初始條件邊界條件導(dǎo)熱微分方程假定物體的熱物理特性參數(shù)均為常數(shù)式中div(gradt)是溫度的拉普拉斯（Laplace）算子（3-1a）13非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念引入熱擴(kuò)散率，于是有：初始條件的一般形式是：一個(gè)實(shí)用上經(jīng)常遇到的簡單特例是初始溫度均勻，即（3-1b）（3-2a）（3-2b）14非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念第三類邊界條件較為常見，本章將著重討論物體處于恒溫介質(zhì)中的第三類邊界條件的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，即：數(shù)學(xué)上可以證明，如果某一函數(shù)t（x,y,z,τ）滿足方程（3-1a）或（3-1b）以及一定的初始條件和邊界條件。則此函數(shù)就是這一特定導(dǎo)熱問題的唯一解。換言之，不可能同時(shí)存在兩個(gè)都滿足導(dǎo)熱微分方程及同一定解條件的不同的解。（3-3）15討論如左圖所示的一塊厚度為2δ的金屬平板，初始溫度為，突然將它置于溫度為的流體中進(jìn)行冷卻，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h，平板的導(dǎo)熱系數(shù)為λ。根據(jù)平板的導(dǎo)熱熱阻δ/λ與對流傳熱熱阻1/h的相對大小的不同，平板中溫度場的變化會(huì)出現(xiàn)以下三種情形。非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念3.1.3第三類邊界條件下Bi數(shù)對平板中溫度分布的影響16非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念1、首先討論畢渥數(shù)Bi趨近于無窮，即導(dǎo)熱熱阻遠(yuǎn)大于對流傳熱熱阻（請同學(xué)舉例）。過程一開始，平板表面溫度就立即被冷卻到。隨著時(shí)間的推移，平板內(nèi)部各店的溫度逐漸下降，最后趨近周圍流體溫度。17非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念2、討論畢渥數(shù)Bi趨近于0，即對流傳熱熱阻遠(yuǎn)大于導(dǎo)熱熱阻（請同學(xué)舉例）。由于平板內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻δ/λ

幾乎可以忽略，所以在整個(gè)過程中，平板中各點(diǎn)的溫度基本一致。并隨著時(shí)間的推移整體地下降，最后趨近周圍流體溫度。183、討論Bi為有限大小畢渥數(shù)Bi為有限大小，即導(dǎo)熱熱阻δ/λ與對流傳熱熱阻1/h數(shù)值比較接近（請同學(xué)舉例）。該情況下，平板中不同時(shí)刻的溫度分布介于上述兩種極端情況之間。非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念19非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念xxxttt

特征數(shù)：表征某一類物理現(xiàn)象或物理過程特征的無量綱數(shù)。又稱為準(zhǔn)則數(shù)。出現(xiàn)在特征數(shù)定義式中的幾何尺度稱為特征長度，用l

表示。20目錄3.1非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念3.2零維問題的分析方法——集中參數(shù)法3.3典型一維物體非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分析解21零維問題的分析法——集中參數(shù)法當(dāng)固體內(nèi)部的導(dǎo)熱熱阻遠(yuǎn)小于其表面的換熱熱阻時(shí)，任何時(shí)刻固體內(nèi)部的溫度夠趨于一致，以致可以認(rèn)為整個(gè)固體在同一瞬間均處于同一溫度下。即，固體的質(zhì)量和熱容量都匯總到一點(diǎn)上。這種忽略物體內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻的簡化分析方法稱為集中參數(shù)法。（lumpedparametermethod）條件：物體的導(dǎo)熱系數(shù)相當(dāng)大，或幾何尺寸很小，或表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)極低。22零維問題的分析法——集中參數(shù)法3.2.1集中參數(shù)法溫度場的分析解設(shè)有任意形狀的固體，其體積為V，表面積為A，初始溫度t0，突然將其置于溫度恒為t∞的流體中，設(shè)t0>t∞，固體與流體間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h及固體的物性參數(shù)均保持常數(shù)，求解物體溫度隨時(shí)間的依變關(guān)系。此問題可應(yīng)用集中參數(shù)法分析。t∞23零維問題的分析法——集中參數(shù)法非穩(wěn)態(tài)、有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱問題式中：是廣義熱源。界面上交換的熱量應(yīng)折算成整個(gè)物體的體積熱源。24零維問題的分析法——集中參數(shù)法引入過余溫度，則有：兩式合并有：初始條件：導(dǎo)熱微分方程25零維問題的分析法——集中參數(shù)法將導(dǎo)熱微分方程分離變量注意到V/A具有長度的量綱，并定義：兩邊積分得：26Bi是以lc為特征長度的畢渥數(shù)，F(xiàn)O稱為傅里葉數(shù)，也是以lc為其特征長度。故上式可簡化為：零維問題的分析法——集中參數(shù)法27零維問題的分析法——集中參數(shù)法3.2.2導(dǎo)熱量計(jì)算式、時(shí)間常數(shù)與傅里葉數(shù)1、導(dǎo)熱量計(jì)算式導(dǎo)熱物體與流體間所交換的熱量可由瞬時(shí)熱流量對時(shí)間積分得到。導(dǎo)熱物體的瞬時(shí)熱流量為：28零維問題的分析法——集中參數(shù)法從τ=0到τ時(shí)刻之間所交換的總熱量為換熱量是恒為正的，因此對物體被加熱的場合應(yīng)將式中的t0-t∞改為t∞-t0。物體內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻可以忽略時(shí)的加熱或冷卻，有時(shí)又稱牛頓加熱或牛頓冷卻。29零維問題的分析法——集中參數(shù)法2、時(shí)間常數(shù)采用集中參數(shù)法分析時(shí)，物體中過余溫度隨時(shí)間成指數(shù)曲線關(guān)系變化，在開始階段溫度變化得很快，隨后逐漸減慢。30零維問題的分析法——集中參數(shù)法在指數(shù)函數(shù)中具有與相同的量綱。如果則有：稱為時(shí)間常數(shù)（timeconstant）,記為τc

。31零維問題的分析法——集中參數(shù)法當(dāng)時(shí)間τ=τc時(shí)，物體的過余溫度已經(jīng)降到了初始過余溫度的36.8%。時(shí)間常數(shù)不僅取決于幾何參數(shù)V/A，物理性質(zhì)ρ、c，還與換熱條件h有關(guān)。時(shí)間常數(shù)越小，物體的溫度變化就越快。物體就越迅速地接近流體溫度。

32零維問題的分析法——集中參數(shù)法以熱電偶為例，時(shí)間常數(shù)越小，熱電偶越能迅速地反映流體的溫度變化，故熱電偶端部的接點(diǎn)總是做得很小。當(dāng)τ=4.6τc

時(shí)，

工程上認(rèn)為τ=4.6τc時(shí)導(dǎo)熱物體已經(jīng)達(dá)到熱平衡狀態(tài)。33擴(kuò)展·熱電偶熱電偶（thermocouple）是常用的測溫元件，它直接測量溫度，并把溫度信號(hào)轉(zhuǎn)換成熱電動(dòng)勢信號(hào)，通過電氣儀表（二次儀表）轉(zhuǎn)換成被測介質(zhì)的溫度。測溫原理：兩種不同成份的導(dǎo)體兩端接合組成回路，當(dāng)兩個(gè)接合點(diǎn)的溫度不同時(shí)，在回路中就會(huì)產(chǎn)生電動(dòng)勢，這種現(xiàn)象稱為熱電效應(yīng)。34擴(kuò)展·熱電偶熱電偶分度號(hào)

熱電極材料正極負(fù)極S鉑銠10純鉑R鉑銠13純鉑B鉑銠30鉑銠6K鎳鉻鎳硅T純銅銅鎳J鐵銅鎳N鎳鉻硅鎳硅E鎳鉻銅鎳35零維問題的分析法——集中參數(shù)法3、傅里葉數(shù)的物理意義傅里葉數(shù)可以理解為兩個(gè)時(shí)間間隔相除所得的無量綱時(shí)間。故Fo可以看成是表征非穩(wěn)態(tài)過程進(jìn)行深度的無量綱時(shí)間。從邊界上開始發(fā)生熱擾動(dòng)的時(shí)刻起到所計(jì)算時(shí)刻為止的時(shí)間間隔邊界上發(fā)生的有限大小的熱擾動(dòng)穿過一定厚度的固體層擴(kuò)散到lc2的面積上所需的時(shí)間36零維問題的分析法——集中參數(shù)法

在非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程中，這一無量綱時(shí)間越大，熱擾動(dòng)就越深入地傳播到物體內(nèi)部，因而物體內(nèi)各點(diǎn)的問題就越接近周圍介質(zhì)的溫度。37零維問題的分析法——集中參數(shù)法3.2.3集中參數(shù)法的實(shí)用范圍及應(yīng)用舉例對于平板、圓柱和球中的一維非穩(wěn)態(tài)第三類邊界條件下的導(dǎo)熱問題，當(dāng)按特征長度l=δ，厚度為2δl=R，圓柱l=R，球定義Bi數(shù)≤0.138典型一維物體非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分析解由于lc=V/A，對圓柱和球分別是R的1/2和1/3。因此如果以lc作為畢渥數(shù)的特征長度，則該Bi數(shù)對平板、圓柱和球應(yīng)分別小于0.1、0.05和0.033。（如例題3-1、3-2、3-3）39目錄3.1非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念3.2零維問題的分析方法——集中參數(shù)法3.3典型一維物體非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分析解40典型一維物體非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分析解所謂一維是指：對平板，溫度僅沿著厚度方向變化；對圓柱和球，溫度僅沿著半徑方向變化。

以平板為例，厚為2δ的無限大平板，初始溫度為t0。將其置于溫度為t∞的流體中，設(shè)平板兩邊對稱受熱，板內(nèi)溫度必然以其中心截面為對稱面。研究厚為δ的半塊平板情況即可，將x軸遠(yuǎn)點(diǎn)置于板的中心截面上t0h,t∞h,t∞0-δ

δ

41典型一維物體非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分析解對于x≥0的半塊平板，導(dǎo)熱微分方程及定解條件為：邊界條件初始條件定解條件42典型一維物體非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分析解引入過余溫度經(jīng)分離變量后可得分析解如下：t0h,t∞h,t∞0-δ

δ

式中，F(xiàn)O為傅里葉數(shù)，F(xiàn)O=a

τ

/δ

2,η

=x/δ43典型一維物體非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分析解系數(shù)Cn應(yīng)該使上述無窮級(jí)數(shù)在初始時(shí)刻（τ=0時(shí)）滿足初始條件，由傅里葉級(jí)數(shù)理論可得：μn是下列超越方程的根，稱為特征值：44典型一維物體非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分析解非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的正規(guī)狀況（溫度分布取決于邊界條件）分析解：45典型一維物體非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分析解3.3.3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱正規(guī)狀況階段的工程計(jì)算方法

1、圖線法簡潔、方便。但計(jì)算的準(zhǔn)確度收到圖線分辨率的限制。2、近似擬合公式法便于計(jì)算機(jī)求解，同時(shí)免去圖線法所需迭代。46典型一維物體非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分析解3.3.4Fo、Bi對