2018全國(guó)3卷第21題的命題背景及解法探究

2018全國(guó)3卷第21題的命題背景及解法探究例.（2018全國(guó)3卷第21題）已知函數(shù)fx2xax2lnx12x（1）若a0，證明：當(dāng)1x0時(shí)，fx0；當(dāng)x0時(shí)，fx0；（2）若x0的極大值點(diǎn)，求a是fx【解析】（1）若a0，則fx2xlnx12xx2lnx12xx2令gxlnx12x，則g'x14x20x2x1x22x1x22所以gx在0,單增，又因?yàn)間00故當(dāng)1x0時(shí)，gxg00，即fx0；當(dāng)x0時(shí)，gxg00，即fx0；（2）嘗試一：（極大值點(diǎn)的第二充要條件：已知函數(shù)yfx在xx0處各階導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù)，xx0是函數(shù)的極大值點(diǎn)的一個(gè)充要條件為前2n1階導(dǎo)數(shù)等于0，第2n階導(dǎo)數(shù)小于0。）f'x12axlnx12xax20x12，f'0f''x12axlnx12xax22alnx1x3ax4a100x12x12，f''f'''x2ax26axx6a10得a1x13，由f'''x6下證：當(dāng)a10是fx的極大值點(diǎn)，時(shí)，x61xx6f'''x313，所以f''x在1,0單增，在0,單減x進(jìn)而有f''xf''00，從而f'x在1,單減，當(dāng)x1,0時(shí)，f'xf'00，當(dāng)x0,時(shí)，f'xf'00從而fx在 1,0單增，在 0, 單減，所以 x 0是fx的極大值點(diǎn)。（點(diǎn)評(píng)：計(jì)算量很大，但不失為一種基本方法，激勵(lì)熱愛數(shù)學(xué)的學(xué)生不拘泥于老師所教，就著自己的興趣，不斷學(xué)習(xí)，學(xué)而致知?；诖?，還可以從大學(xué)的角度給出一種解法。通過12xylnx1在1,2階的帕德逼近可得lnx1126xx2，且兩個(gè)函數(shù)在x0處兩個(gè)函數(shù)可以無限制逼近，估計(jì)這也是考試中心構(gòu)造這個(gè)函數(shù)的方法。由此可以迅速得到1，我們也可以根據(jù)帕德逼近把此題的對(duì)數(shù)函數(shù)改為指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)，構(gòu)造出相6應(yīng)的題目。嘗試一難點(diǎn)在于 fx的各階導(dǎo)數(shù)太復(fù)雜，由帕德逼近優(yōu)化其解法。引理1：若yfx與gxpx在xx0處函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值都相同，則qxhxqxfxpx在xx0處導(dǎo)數(shù)為0.證明：h'xq'xfxqxf'xp'x，g'xp'xqxpxq'xq2x因?yàn)閒'x0g'x0，且fx0gx0，代入化簡(jiǎn)即證：h'x00引理2：已知函數(shù)yfx在xx0處各階導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù)，xx0是函數(shù)的極大值點(diǎn)的一個(gè)充要條件為前2n1階導(dǎo)數(shù)等于0，第2n階導(dǎo)數(shù)小于0。f'x12axlnx12xax2x12，令mx12axlnx1，ux2xax22x1則易得m0u0，m'0u'0，m''0u''0，由引理1知，m'''0u'''0等價(jià)于f'''x0，從而迅速求得a1。16當(dāng)a時(shí)，f4006嘗試二：若x0是fx的極大值點(diǎn)，注意到f'00，則存在充分接近于0的，使得當(dāng)x,0時(shí)，f'x0，當(dāng)x0,時(shí)，f'x0*得到一個(gè)恒成立問題，其基本方法之一有分離參數(shù)法。f'xx2alnx1x2xlnx11x1x對(duì)任意的x1,，都有2xlnx10，進(jìn)而有2xlnx1x2x01xlnx1①當(dāng)x0,時(shí)，ax1x2，2xlnx1x1xlnx1xlnx1'0時(shí)，alimx1x1當(dāng)x2limx2x02xlnx1x0x12xlnx1x'1limxlim114x6x02x12lnx13x2x04x1lnx12x16x4xlnx1②當(dāng)x,0時(shí)，ax1x2，2xlnx1x1xlnx1xlnx1'0時(shí)，alimx1x1當(dāng)x2limx2x02xlnx1x0x1'x