第五章 有限元法-5-時(shí)諧場(chǎng)波導(dǎo)本征值問(wèn)題

5.6有限元的應(yīng)用問(wèn)題

——確定性問(wèn)題與本征模問(wèn)題簡(jiǎn)而言之，有限元方法就是離散泛函數(shù)變分?jǐn)?shù)學(xué)表達(dá)形式的離散化方法。有限元法在電磁學(xué)的演進(jìn)主要圍繞兩條主線：一是如何求解本征模問(wèn)題；(粗略地說(shuō)，就是諧振問(wèn)題）一條是如何求解確定性問(wèn)題。(前面提到的都是確定性問(wèn)題，主要是傳輸傳播問(wèn)題）本征模問(wèn)題可細(xì)分為波導(dǎo)本征模和諧振腔本征模。這兩類(lèi)進(jìn)而又可細(xì)分為空、介質(zhì)填充、介質(zhì)三種。確定性問(wèn)題可分為閉域傳輸問(wèn)題和開(kāi)域散射、輻射問(wèn)題。確定性問(wèn)題中，控制微分方程和邊界條件其中之一、或它們兩者，都是非齊次的。不同于確定性問(wèn)題，本征值問(wèn)題的控制微分方程和邊界條件均是齊次的。從物理學(xué)的觀點(diǎn)看，在本征值問(wèn)題中不存在任何形式的源或激勵(lì)。有源，由激勵(lì)產(chǎn)生無(wú)源，是固有的本征值問(wèn)題用有限元方法處理導(dǎo)出的方程組具有下列廣義本征值方程的形式在電磁學(xué)中，經(jīng)常出現(xiàn)的本征值問(wèn)題包括腔體諧振問(wèn)題以及波在封閉和開(kāi)放結(jié)構(gòu)(波導(dǎo))中的傳播模式問(wèn)題。封閉和開(kāi)放結(jié)構(gòu)(波導(dǎo))包括金屬波導(dǎo)、開(kāi)放和屏蔽微帶傳輸線、光波導(dǎo)以及光纖等。在這些問(wèn)題中，須確定對(duì)應(yīng)于本征值的諧振頻率或傳播常數(shù)，和確定對(duì)應(yīng)于本征向量的有關(guān)諧振模式或傳輸模式?？上瓤紤]填充均勻各向同性媒質(zhì)的金屬波導(dǎo)，再考慮填充不均勻媒質(zhì)的金屬波導(dǎo)。然后考慮填充單軸各向異性媒質(zhì)和雙軸各向異性媒質(zhì)的波導(dǎo)問(wèn)題。之后，再考慮能夠處理一般各向異性波導(dǎo)的矢量場(chǎng)公式，并討論開(kāi)放導(dǎo)波結(jié)構(gòu)的分析。介質(zhì)填充波導(dǎo)本征模廣義上說(shuō)，波導(dǎo)是指一切用來(lái)引導(dǎo)電磁波的傳輸線。對(duì)于規(guī)則波導(dǎo)，由波導(dǎo)理論可知，其內(nèi)存在一系列可單獨(dú)存在的模式，這些模式在橫截面上的場(chǎng)分布和縱向上的傳播常數(shù)都不同，如何確定它們就是本征值問(wèn)題。由于有限元方法能將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)上標(biāo)準(zhǔn)的矩陣本征值或廣義本征值問(wèn)題，因而有限元法比矩量法或時(shí)域有限差分法更適于解決本征值問(wèn)題。它們屬于時(shí)諧場(chǎng)問(wèn)題。5.6.1時(shí)諧電磁場(chǎng)中的有限元法對(duì)于任一時(shí)諧電磁場(chǎng)，可應(yīng)用不同的物理量進(jìn)行研究。例如，既可采用場(chǎng)量，也可采用時(shí)變場(chǎng)中的位函數(shù)，即動(dòng)態(tài)來(lái)著手分析。關(guān)于分析對(duì)象的選擇，完全取決于實(shí)際問(wèn)題的性質(zhì)，取決于能否簡(jiǎn)明地給出問(wèn)題的定解條件。在時(shí)諧電磁場(chǎng)問(wèn)題的研究中，為了簡(jiǎn)化分析，通常引入以下假設(shè)：媒質(zhì)系線性且各向同性，并忽略時(shí)變場(chǎng)角頻率w對(duì)于媒質(zhì)的影響；忽略鐵磁材料的磁滯效應(yīng)與導(dǎo)體電阻率的溫度效應(yīng)；實(shí)際三維場(chǎng)問(wèn)題被理想化為二維平行平面場(chǎng)或軸對(duì)稱場(chǎng)。5.6.2波導(dǎo)場(chǎng)問(wèn)題的有限元方程當(dāng)分析波導(dǎo)中電磁波傳播問(wèn)題時(shí)，常進(jìn)一步假設(shè)：波導(dǎo)壁由完純導(dǎo)體（g∞）構(gòu)成；波導(dǎo)中無(wú)自由電荷和傳導(dǎo)電流（r=0，J=0），也就是說(shuō)，波導(dǎo)是遠(yuǎn)離激勵(lì)源的；波導(dǎo)工作在匹配狀態(tài)，具有均勻的截面。因此，在分析中只考慮向前傳播的入射波，無(wú)反射波。這樣，由于激勵(lì)源激發(fā)的不同狀況，波導(dǎo)中傳播的電磁波可分為橫電波（TE波）或橫磁波（TM波）兩種類(lèi)型。電磁場(chǎng)理論中有關(guān)波導(dǎo)問(wèn)題的分析表明，波導(dǎo)中場(chǎng)量在隨時(shí)間作正弦變化的同時(shí)，也在波導(dǎo)空間中沿波導(dǎo)方向（設(shè)為z方向）呈行波特征的變化，而一旦得知場(chǎng)量的縱向分量，便可求出相應(yīng)的橫向分量。因此，對(duì)于TE波，應(yīng)取為著手分析的對(duì)象，根據(jù)向量波動(dòng)方程，可知應(yīng)滿足如下的標(biāo)量波動(dòng)方程（令k2=w2me）：同理，TM波則歸結(jié)為求解其縱向分量所對(duì)應(yīng)的波動(dòng)方程因此，若以f標(biāo)記相應(yīng)的縱向分量Hz或Ez，則波導(dǎo)場(chǎng)的分析可歸結(jié)為如下定義于波導(dǎo)橫截面（x，y）平面內(nèi)的二維標(biāo)量波動(dòng)方程（亥姆霍茲方程）的解答，即式中l(wèi)2=k2–kz2；kz描述場(chǎng)量沿z方向每單位長(zhǎng)度中相位的變化，被稱為相位系數(shù)（亦稱波數(shù)）。應(yīng)注意，上式中f（Hz或Ez）以及相應(yīng)的各橫向分量均僅是x，y的函數(shù)。

亥姆霍茲方程是橢圓型方程對(duì)于TE波，應(yīng)令f=Hz。由于前述假設(shè)(1)，故導(dǎo)壁內(nèi)部磁場(chǎng)為零，此時(shí)在導(dǎo)壁表面將呈現(xiàn)面電流JS，所以作為定解條件，即有；對(duì)于TM波，f=Ez。同理，因?qū)П趦?nèi)沒(méi)有電場(chǎng)，故電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量應(yīng)等于零，即有定解條件f=0。由此可知，描述波導(dǎo)場(chǎng)的定解問(wèn)題為式中，邊界L即為波導(dǎo)壁。根據(jù)變分原理，容易證明，與上述邊值問(wèn)題的泛定方程（亥姆霍茲方程）對(duì)應(yīng)的泛函為因此，與TE波的波導(dǎo)場(chǎng)定解問(wèn)題（5-135a）、（5-135b）等價(jià)的無(wú)條件變分問(wèn)題為而與TM波的波導(dǎo)場(chǎng)定解問(wèn)題（5-135a）、（5-135c）等價(jià)的則為條件變分問(wèn)題[（5-137）、（5-135c）]。

式中，對(duì)應(yīng)于所選取的有限單元e，其各個(gè)單元矩陣的元素分別為對(duì)泛函（5-137）取極值，并經(jīng)有限元的離散化處理，可以導(dǎo)得如下的有限元方程和式（5-138）即是所謂廣義代數(shù)特征值問(wèn)題.

廣義代數(shù)特征值問(wèn)題（5-138）將給出波導(dǎo)場(chǎng)定解問(wèn)題（即亥姆霍茲方程的特征值問(wèn)題）式（5-135a）、（5-135b）或式（5-135a）、（5-135c）的特征值l2和特征向量f的解答，然后，由此可得給定波導(dǎo)中截止頻率：截止波長(zhǎng)：及各種可能波型的場(chǎng)分布圖等。

5.6.3、有限元的三個(gè)方面有限元法的演進(jìn)，主要在三個(gè)方面：一是泛函變分表達(dá)式各種形式的研究；二是基函數(shù)的恰當(dāng)構(gòu)造（形狀和插值參量選?。?；三是廣義本征值方程的快速求解。（1）泛函變分表達(dá)式一般說(shuō)來(lái)，泛函變分表達(dá)式是由描述問(wèn)題的偏微分方程推導(dǎo)而來(lái)。而描述問(wèn)題的偏微分方程通常有多種形式，這樣描述問(wèn)題的泛函變分表達(dá)式一般也就多種多樣。這些泛函數(shù)變分表達(dá)式往往有適用范圍窄寬之分，效率高低之別。就介質(zhì)填充波導(dǎo)本征模問(wèn)題而論，就有縱向電場(chǎng)和磁場(chǎng)共同構(gòu)建的，有橫向電場(chǎng)和磁場(chǎng)共同構(gòu)建的，還有矢量位和標(biāo)量位共同構(gòu)建的等多種泛函數(shù)變分表達(dá)式。就適用范圍和效率綜合而論，從矢量波動(dòng)方程導(dǎo)出的全電場(chǎng)或磁場(chǎng)泛函變分表達(dá)式較為恰當(dāng)。這種泛函變分表達(dá)式適用于任意填充介質(zhì)，泛函中的未知量只有電場(chǎng)或磁場(chǎng)。（2）基函數(shù)的選取與矩量法一樣，離散泛函，首先要選取基函數(shù)，將未知變量用基函數(shù)線性組合的方式表達(dá)出來(lái)?；瘮?shù)的選取有如矩量法，關(guān)鍵在兩點(diǎn)：形狀和插值參量。當(dāng)求解域?yàn)槊?，很明顯基函數(shù)的形狀要以三角形最為靈活方便。（3）插值參量的選取至于插值參量的選取如何方為恰當(dāng)，并非那么明顯。如用三角形三個(gè)頂點(diǎn)的矢量電場(chǎng)作為插值參量，則求解結(jié)果中可能含有很多偽解（spurioussolutions)。其原因是以三角形三個(gè)頂點(diǎn)的矢量電場(chǎng)作為插值參量，得到的基函數(shù)不僅保證了相鄰單元切向電場(chǎng)連續(xù)，同時(shí)也額外強(qiáng)加了法向電場(chǎng)連續(xù)，這是不符合物理意義的。解決的辦法是：除了縱向電場(chǎng)Ez仍選用三頂點(diǎn)處值作為插值參量，橫向電場(chǎng)分量Et改用三角形各邊中點(diǎn)處的切向電場(chǎng)Eti用為插值參量。這樣構(gòu)建的基函數(shù)稱之為邊緣元（edge-element)基函數(shù)。三角形三頂點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蚍謩e標(biāo)為1、2、3，面積有棱邊元5.6.4、三維波導(dǎo)不連續(xù)性問(wèn)題很多微波器件如濾波器、定向耦合器、環(huán)行器等的理論分析都可歸結(jié)為波導(dǎo)不連續(xù)性問(wèn)題的分析。波導(dǎo)不連續(xù)性問(wèn)題可細(xì)分為開(kāi)波導(dǎo)不連續(xù)性和閉波導(dǎo)不連續(xù)性兩類(lèi)，像光纖中的不連續(xù)性就屬于開(kāi)波導(dǎo)不連續(xù)性問(wèn)題，而金屬波導(dǎo)中不連續(xù)性就屬于閉波導(dǎo)的不連續(xù)性問(wèn)題。這兩類(lèi)問(wèn)題的分析有本質(zhì)不同，因?yàn)殚_(kāi)波導(dǎo)不連續(xù)性產(chǎn)生的散射場(chǎng)會(huì)向無(wú)限大空間輻射，其求解域外為無(wú)限大；而閉波導(dǎo)不連續(xù)性產(chǎn)生的散射場(chǎng)將被波導(dǎo)壁封在波導(dǎo)內(nèi)，其解域只限在波導(dǎo)之內(nèi)。對(duì)于開(kāi)波導(dǎo)不連續(xù)性問(wèn)題，如輻射現(xiàn)象較弱，可以忽略，則其分析過(guò)程與閉波導(dǎo)不連續(xù)性分析并無(wú)二致；如果輻射現(xiàn)象嚴(yán)重，有限元分析就較為困難，實(shí)際中一般也就不用，轉(zhuǎn)而采用矩量法分析或合元極技術(shù)?？梢?jiàn)，就三維波導(dǎo)不連續(xù)性問(wèn)題的有限元求解而言，閉波導(dǎo)不連續(xù)性問(wèn)題的求解更典型。5.6.5、本征模解法對(duì)比本征模的成熟方法可分頻域法和時(shí)域法兩大類(lèi)。頻域法的基本思想是通過(guò)尋找頻率域的本征模和本征值獲得特定邊值問(wèn)題的解；頻域法包括：矩量法、有限元法、有限差分法。而時(shí)域法則與電磁波的瞬態(tài)特性相聯(lián)系，通過(guò)模擬電磁波與目標(biāo)作用的瞬態(tài)特性，得到時(shí)間相關(guān)的四維數(shù)值解。矩量法，也常稱為“表面積分技術(shù)”。這個(gè)方法通常在分析無(wú)邊界輻射問(wèn)題時(shí)可得到很好結(jié)果。它也擅長(zhǎng)于分析純導(dǎo)體結(jié)構(gòu)和單一介質(zhì)材料結(jié)構(gòu)的電磁場(chǎng)問(wèn)題。但這個(gè)方法不太適用于多種材料的復(fù)合結(jié)構(gòu)分析和復(fù)雜結(jié)構(gòu)的計(jì)算分析。有限元法要求將整個(gè)被分析區(qū)進(jìn)行網(wǎng)格化，而不像矩量法只網(wǎng)格化物體表面。每個(gè)網(wǎng)格可以是不同的材料，因此可以用于多種材料的復(fù)合結(jié)構(gòu)分析。但它在分析無(wú)邊界輻射問(wèn)題時(shí)不如矩量法。5.6.7新方法有限元法的主要特點(diǎn)是可以用任意形狀的小單元來(lái)描述問(wèn)題的復(fù)雜的幾何形狀和復(fù)雜的媒質(zhì)分布。除頻域應(yīng)用，還有時(shí)域有限元法（TDFEM）和諧波平衡有限元法（BH（harmonicbalance)-FEM）。諧波平衡有限元法以解決姆霍茲方程為重點(diǎn)，因時(shí)諧波動(dòng)方程出現(xiàn)在開(kāi)放空間的電磁輻射問(wèn)題中。時(shí)域有限元的矩陣方程可由最常用的Newmark-b法來(lái)解。時(shí)域有限差分法中的吸收邊界條件和理想匹配層（PML）條件同樣被用于有限元的分析中。1、時(shí)域有限元法和諧波平衡有限元法2、節(jié)點(diǎn)元法和棱邊元法早期有限元方法，用插值節(jié)點(diǎn)數(shù)值而獲得的節(jié)點(diǎn)基單元來(lái)表示矢量電場(chǎng)或磁場(chǎng)，但會(huì)遇到幾個(gè)嚴(yán)重問(wèn)題。首先，可能會(huì)有非物理的贗解出現(xiàn)，這通常是由于未強(qiáng)加散度條件引起的；其次，在材料界面和導(dǎo)體表面強(qiáng)加邊界條件不方便；再次，存在處理導(dǎo)體和介質(zhì)邊緣及解的困難性，這是由于與這些結(jié)構(gòu)相關(guān)的場(chǎng)的奇異性造成的。因此產(chǎn)生了矢量有限元法，它將自由度賦予單元棱邊而不是單元節(jié)點(diǎn)，因此又叫棱邊元（edgeelement)。棱邊元沒(méi)有前面提到的所有缺點(diǎn)。因此，有限元法可分為節(jié)點(diǎn)元法和棱邊元法。主要區(qū)別在于未知量的定義和形狀函數(shù)（基函數(shù)）的規(guī)定，在規(guī)范條件方面也存在區(qū)別。將未知函數(shù)定義在單元的節(jié)點(diǎn)上，這