第八章理論力學(xué)

第八章剛體的平面運(yùn)動一、剛體的簡單運(yùn)動：1、剛體的平行移動；2、剛體的定軸轉(zhuǎn)動．二、剛體的復(fù)雜運(yùn)動：除了簡單運(yùn)動的剛體運(yùn)動都屬于剛體的復(fù)雜運(yùn)動；其中包括平面運(yùn)動．三、本章研究的主要問題：1、平面運(yùn)動剛體的整體運(yùn)動；2、平面運(yùn)動剛體上各點(diǎn)的運(yùn)動．§8-1剛體平面運(yùn)動的概述和運(yùn)動分解一、平面運(yùn)動：剛體的運(yùn)動位于同一個平面內(nèi)、且既不是平動也不是定軸轉(zhuǎn)動的一般運(yùn)動稱為平面運(yùn)動．動畫庫\定塊機(jī)構(gòu).SWF

二、平面運(yùn)動剛體的整體運(yùn)動：1、在定坐標(biāo)系中研究平面運(yùn)動剛體的整體運(yùn)動：

在平面定坐標(biāo)系中，平面運(yùn)動剛體的整體空間位置可以由剛體上任一點(diǎn)的坐標(biāo)、（此時剛體只能作繞該點(diǎn)的定軸轉(zhuǎn)動）及剛體上另一點(diǎn)與點(diǎn)的連線（因?yàn)閯傮w上任意兩點(diǎn)間的距離不會發(fā)生變化）相對點(diǎn)的轉(zhuǎn)角即可加以確定．1）平面運(yùn)動剛體的運(yùn)動方程：該點(diǎn)稱為平面運(yùn)動剛體的基點(diǎn)，則剛體的平面運(yùn)動可以由基點(diǎn)的運(yùn)動和相對基點(diǎn)的運(yùn)動確定．故：2）速度（略）：3）加速度（略）

：2、引入動坐標(biāo)系后研究平面運(yùn)動剛體的整體運(yùn)動：

1）在定坐標(biāo)系的基礎(chǔ)之上，引入動坐標(biāo)系：（1）在平面運(yùn)動剛體上選擇一點(diǎn)（通常最好是運(yùn)動已知的點(diǎn)）作為基點(diǎn)；（2）以基點(diǎn)為坐標(biāo)系的原點(diǎn)建立動坐標(biāo)系；（3）動坐標(biāo)系的運(yùn)動狀態(tài)選擇為平動狀態(tài)；故：動坐標(biāo)系是一個建立在基點(diǎn)上的平動坐標(biāo)系；則其運(yùn)動完全等同于基點(diǎn)的運(yùn)動．

2）平面運(yùn)動剛體整體運(yùn)動的分解：絕對運(yùn)動：剛體相對于定坐標(biāo)系的平面運(yùn)動；牽連運(yùn)動：動系相對于定系所作的完全等同于基點(diǎn)的平動運(yùn)動．相對運(yùn)動：剛體相對動系的運(yùn)動（即剛體相對基點(diǎn)的定軸轉(zhuǎn)動）．

∵

絕對運(yùn)動的運(yùn)動方程為：

牽連運(yùn)動的運(yùn)動方程為：完全等同于基點(diǎn)的運(yùn)動．

相對運(yùn)動的運(yùn)動方程為：相對于基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動．∴

平面運(yùn)動可以分解為平動和定軸轉(zhuǎn)動．3）選擇不同基點(diǎn)對平面運(yùn)動分解結(jié)果產(chǎn)生的影響：在平面運(yùn)動分解過程中（1）若選擇A點(diǎn)為基點(diǎn)：則此時平面運(yùn)動可分解為隨A點(diǎn)的平動和相對A點(diǎn)的轉(zhuǎn)動．=+（2）若選擇B點(diǎn)為基點(diǎn)則此時平面運(yùn)動分解為隨B點(diǎn)的平動和相對B點(diǎn)的轉(zhuǎn)動．=+由此可見：，；則得結(jié)論：剛體平面運(yùn)動的整體運(yùn)動進(jìn)行分解時，其中隨基點(diǎn)的平動運(yùn)動會隨基點(diǎn)的選擇不同而發(fā)生變化；而相對基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動運(yùn)動不會隨基點(diǎn)的選擇不同而發(fā)生變化；同時，剛體的整體運(yùn)動描述（即其運(yùn)動方程）會隨基點(diǎn)的選擇不同而不同．§8-2求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的基點(diǎn)法1、平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的速度：即平面運(yùn)動剛體上各點(diǎn)的速度．2、基點(diǎn)法：在平面運(yùn)動剛體整體運(yùn)動引入建立在基點(diǎn)上的平動坐標(biāo)系進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，對平面運(yùn)動剛體上各點(diǎn)的運(yùn)動進(jìn)行分析的方法．3、求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的基點(diǎn)法：1）定坐標(biāo)系：．2）動坐標(biāo)系：選擇剛體上運(yùn)動已知的點(diǎn)為基點(diǎn)建立平動坐標(biāo)系．平面運(yùn)動剛體的整體運(yùn)動可分解為隨著基點(diǎn)的平動運(yùn)動和相對基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動運(yùn)動；設(shè)基點(diǎn)的速度為，設(shè)剛體的角速度為．3）選剛體上的任一點(diǎn)為動點(diǎn)．4）分析動點(diǎn)的速度：絕對速度：相對定系運(yùn)動的速度相對速度：相對動系運(yùn)動的速度；由于動點(diǎn)是剛體上的一點(diǎn)，而在動系中剛體的整體運(yùn)動是相對基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動，其角速度為，所以動點(diǎn)的相對速度與剛體的整體運(yùn)動量有一定的關(guān)系：

（大?。海较颍?，指向：與轉(zhuǎn)向一致）牽連速度：動系上與動點(diǎn)重合的牽連點(diǎn)的絕對速度;而動系為平動運(yùn)動，其整體運(yùn)動等同于基點(diǎn)的運(yùn)動，因此動點(diǎn)的牽連速度就等于基點(diǎn)的速度:則由點(diǎn)的速度合成定理得：即：平面圖形內(nèi)任一點(diǎn)的速度等于基點(diǎn)的速度與該點(diǎn)隨圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動的速度的矢量和。這種以建立在基點(diǎn)上的平動坐標(biāo)系為基礎(chǔ)、對平面運(yùn)動剛體的速度進(jìn)行分析的方法稱為基點(diǎn)法．注意：（1）盡管平面運(yùn)動整體運(yùn)動的平動部分總是與基點(diǎn)的選擇有關(guān)，但剛體上任一點(diǎn)的運(yùn)動卻與基點(diǎn)的選擇無關(guān)；這是因?yàn)闊o論整體運(yùn)動的平動部分由哪個基點(diǎn)決定，剛體上各點(diǎn)的運(yùn)動都可通過與基點(diǎn)的距離進(jìn)行調(diào)整．（3）若將基點(diǎn)法用于兩種特殊情況，則可得求解平面運(yùn)動的另外兩種方法：速度投影定理和速度瞬心法．（2）由于基點(diǎn)法既可求解平面運(yùn)動剛體的整體運(yùn)動又可求解剛體上各點(diǎn)的運(yùn)動，因此它是求解平面運(yùn)動的基本方法．此表達(dá)式中共包括六個因素，未知量可能是動點(diǎn)（即剛體上任一點(diǎn)）的速度大小和速度方向，以及剛體整體的轉(zhuǎn)動角速度；若已知四個因素，則可求解另外兩個因素．4、求平面運(yùn)動剛體上各點(diǎn)速度的速度投影定理：若將基點(diǎn)法的速度合成關(guān)系向動點(diǎn)和基點(diǎn)的連線進(jìn)行投影，則得基點(diǎn)法的特殊形式---速度投影定理：即該兩點(diǎn)的絕對速度在其連線上的投影應(yīng)保持相等；此關(guān)系說明了剛體上任意兩點(diǎn)間的距離是不會發(fā)生變化的．例8-1已知：橢圓規(guī)尺的A端以速度vA沿x

軸的負(fù)向運(yùn)動，如圖所示，AB=l。求：B端的速度以及尺AB

的角速度。1、運(yùn)動分析：

AB桿在平面內(nèi)運(yùn)動，但既不是平動也不是定軸轉(zhuǎn)動，因此是一般的運(yùn)動---即平面運(yùn)動．解：2、速度分析：以基點(diǎn)法研究平面運(yùn)動剛體的運(yùn)動：選擇其上運(yùn)動已知的點(diǎn)A為基點(diǎn)，則：

已知：如圖所示平面機(jī)構(gòu)中，AB=BD=DE=

l=300mm。在圖示位置時，BD∥AE，桿AB的角速度為

ω=5rad/s。動畫庫\雙搖桿機(jī)構(gòu).SWF求：此瞬時桿DE的角速度和桿BD中點(diǎn)C的速度。例8-21、運(yùn)動分析：

AB、DE桿為定軸轉(zhuǎn)動剛體，BD桿為平面運(yùn)動剛體．解：2、速度分析：從主動件入手逐步分析各桿的速度，其中對平面運(yùn)動剛體采用基點(diǎn)法進(jìn)行研究．若選擇BD桿上與主動件AB的連接點(diǎn)B為基點(diǎn)，則：

已知：如圖所示的平面機(jī)構(gòu)中，曲柄OA長100mm，

以角速度ω=2rad/s

轉(zhuǎn)動，連桿AB帶動搖桿CD，并拖動輪

E沿水平面純滾動，

CD=3CB，圖示位置時A，B，E三點(diǎn)恰在一水平線上，且CD⊥ED。求：此瞬時點(diǎn)E的速度。例8-31、運(yùn)動分析：

OA、CD桿為定軸轉(zhuǎn)動剛體，AB、DE及圓輪為平面運(yùn)動剛體．解：2、速度分析：從主動件入手逐步分析各桿的速度，其中對平面運(yùn)動剛體采用速度投影定理進(jìn)行研究．則：

即且對于DE桿§8-3求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的瞬心法1、瞬心：平面運(yùn)動剛體上或其擴(kuò)展部分，絕對速度為零的點(diǎn)稱為平面運(yùn)動剛體的瞬心．2、定理：一般情況下,在每一瞬時,平面運(yùn)動剛體上或其擴(kuò)展部分都唯一地存在一個絕對速度為零的點(diǎn)，該點(diǎn)稱為平面運(yùn)動剛體在該瞬時的瞬時速度中心，簡稱速度瞬心（或瞬心）．證明：若已知平面運(yùn)動剛體上基點(diǎn)的速度和剛體的角速度；則由基點(diǎn)法可知，其上任一點(diǎn)的速度為：

其中隨的變化呈線性變化規(guī)律，而剛體及其擴(kuò)展部分上的所有點(diǎn)是連續(xù)分布的，因此由圖可見，當(dāng)點(diǎn)在的垂線上時，總有一點(diǎn)，其，即：于是點(diǎn)的絕對速度應(yīng)為：則：任一瞬時剛體上總有一個點(diǎn)的絕對速度等于零，即有一個瞬心．證畢．3、求平面運(yùn)動剛體內(nèi)各點(diǎn)速度的瞬心法：將基點(diǎn)法中的基點(diǎn)選在瞬心上，則由得：其中，則：即：平面運(yùn)動剛體內(nèi)任意點(diǎn)的速度大小等于該點(diǎn)隨剛體相對瞬心做瞬時轉(zhuǎn)動時的回轉(zhuǎn)半徑與剛體的角速度的乘積，方向與垂直，指向與轉(zhuǎn)向一致----求平面運(yùn)動剛體上一點(diǎn)速度的瞬心法．因此，平面運(yùn)動可以看成為由一系列連續(xù)繞速度瞬心作瞬時轉(zhuǎn)動的運(yùn)動形成的一種運(yùn)動。4、瞬心位置的確定方法：1）當(dāng)平面運(yùn)動剛體沿一固定面做只滾不滑運(yùn)動時，平面運(yùn)動剛體的瞬心為其與固定面的接觸點(diǎn)．2）當(dāng)已知剛體上兩點(diǎn)的絕對速度的方向，且∥，則平面運(yùn)動剛體的瞬心在兩個速度垂線的交點(diǎn)上．3）當(dāng)已知剛體上兩點(diǎn)的絕對速度的大小和方向，且∥，則平面運(yùn)動剛體的瞬心必在連線與速度矢和的端點(diǎn)連線的交點(diǎn)上，且：4）當(dāng)已知剛體上兩點(diǎn)的絕對速度的方向，且∥，則平面運(yùn)動剛體的瞬心在兩點(diǎn)速度垂線的交點(diǎn)上，即無窮遠(yuǎn)處；因此此時剛體做瞬時平動，且有：5、平面運(yùn)動剛體速度分析的三種方法---速度基點(diǎn)法、速度投影定理和速度瞬心法的比較：1）基點(diǎn)法：優(yōu)越性：可以求解平面運(yùn)動剛體的整體運(yùn)動角速度、也可以求解平面運(yùn)動剛體上各個點(diǎn)的速度，因此是平面運(yùn)動剛體速度分析比較全面的一種方法．不足之處：關(guān)系較復(fù)雜；2）速度投影定理優(yōu)越性：關(guān)系比較簡單．不足之處：只能求一個未知量，不是分析平面運(yùn)動剛體速度的一種全面的方法．3）速度瞬心法優(yōu)越性：全面、關(guān)系比較簡單．不足之處：需建立在瞬心能夠找到的基礎(chǔ)上．因此：三種方法中，相對而言，速度瞬心法是最理想的方法，但當(dāng)速度瞬心找不到時，仍需使用最基本的方法---基點(diǎn)法．已知：橢圓規(guī)尺的A端以速度vA沿x軸的負(fù)向運(yùn)動，如圖所示，AB=l。求：用瞬心法求端的速度以及尺的角速度．例8-4解：1、運(yùn)動分析：

AB為平面運(yùn)動剛體;2、速度分析：使用速度瞬心法：由平面運(yùn)動剛體瞬心位置的確定方法可知，速度瞬心為點(diǎn)C；因?yàn)橐阎虼丝梢源_定剛體的角速度轉(zhuǎn)向應(yīng)如圖所示，且的方向亦應(yīng)如圖所示；則由瞬心法得知：已知：礦石軋碎機(jī)的活動夾板長600mm，由曲柄OE借連桿組帶動，使它繞A軸擺動，如圖所示．曲柄長

，

角速度為

．連桿組由桿，和

組成，桿BG和GD各長500mm．求：當(dāng)機(jī)構(gòu)在圖示位置時，夾板AB的角速度．例8-5解:

1、運(yùn)動分析：

AB、OE、GD為定軸轉(zhuǎn)動剛體；BG、GE

為平面運(yùn)動剛體；2、速度分析：由主動件開始逐步向從動件過渡進(jìn)行運(yùn)動分析，且得各平面運(yùn)動剛體的速度瞬心位置、各桿的角速度轉(zhuǎn)向及相應(yīng)各點(diǎn)的速度方向如圖所示；并且由主動件已知的運(yùn)動量可求得從動件及相應(yīng)各點(diǎn)的運(yùn)動量：§8-4用基點(diǎn)法求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的加速度由于加速度不易使用加速度投影定理及加速度瞬心法進(jìn)行分析，因此加速度一般是采用加速度基點(diǎn)法進(jìn)行分析：1、求平面運(yùn)動剛體內(nèi)各點(diǎn)加速度的基點(diǎn)法：1）定坐標(biāo)系：．2）動坐標(biāo)系：選擇剛體上運(yùn)動已知的點(diǎn)為基點(diǎn)建立平動坐標(biāo)系．平面運(yùn)動剛體的整體運(yùn)動可分解為隨著基點(diǎn)的平動運(yùn)動和相對基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動運(yùn)動；設(shè)基點(diǎn)的加速度為，設(shè)剛體的角速度為、角加速度為．3）選剛體上的任一點(diǎn)為動點(diǎn)．4）分析動點(diǎn)的加速度：絕對加速度：相對定系運(yùn)動的加速度．相對加速度：相對動系運(yùn)動的加速度；由于動點(diǎn)是剛體上的一點(diǎn)，而在動系中剛體的整體運(yùn)動是相對基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動，其角速度為、角加速度為，所以動點(diǎn)的相對加速度與剛體的整體運(yùn)動量、有一定的關(guān)系：

牽連加速度：動系上與動點(diǎn)重合的牽連點(diǎn)的絕對加速度;而動系為平動運(yùn)動，其整體運(yùn)動等同于基點(diǎn)的運(yùn)動，因此動點(diǎn)的牽連加速度就等于基點(diǎn)的加速度:則由牽連運(yùn)動為平移時點(diǎn)的加速度合成定理：得：此表達(dá)式可能出現(xiàn)的未知量有動點(diǎn)（即剛體上任一點(diǎn)）的加速度大小和方向，以及剛體整體的轉(zhuǎn)動角加速度；由于加速度涉及到的分量比較多，因此加速度求解一般采用解析法．√√√√因此，求平面運(yùn)動剛體內(nèi)各點(diǎn)加速度的基點(diǎn)法為：平面圖形內(nèi)任一點(diǎn)的加速度等于基點(diǎn)的加速度與該點(diǎn)隨圖形繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動的切向加速度和法向加速度的矢量和。已知：如圖所示，在外嚙合行星齒輪機(jī)構(gòu)中，曲柄O1O=l，以勻角速度繞轉(zhuǎn)動。大齒輪固定，行星輪半徑為，在大輪上只滾不滑。設(shè)A和

是行星輪緣上的兩點(diǎn)，求：點(diǎn)A和