第六章 IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)1

第六章IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)2數(shù)字濾波：

對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算，讓輸入信號(hào)中的有用頻率成分以較高的保真度通過，濾除（阻止）某些無用的頻率成分，實(shí)現(xiàn)對(duì)輸入信號(hào)的選頻處理。分類：無限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器IIR（本章介紹）有限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器FIR優(yōu)點(diǎn)：

處理精度高，穩(wěn)定性好，體積小，實(shí)現(xiàn)方法靈活，不存在阻抗匹配問題，可以實(shí)現(xiàn)模擬濾波器無法實(shí)現(xiàn)的特殊濾波功能。3理想濾波器的特點(diǎn)：

在濾波器的通帶內(nèi)幅度為常數(shù)（非零），在阻帶中 幅度為零；具有線性相位；單位脈沖響應(yīng)是非因果無限長(zhǎng)序列。理想濾波器的傳輸函數(shù)：理想數(shù)字濾波器的特點(diǎn)(5.2.1

)4幅度放大了C倍時(shí)間延遲 幅頻特性為： 相頻特性為： 群時(shí)延為：則信號(hào)通過濾波器輸出的頻率響應(yīng)為：其時(shí)域表達(dá)式：輸入信號(hào)輸出信號(hào)，

表示輸出信號(hào)相對(duì)輸入信號(hào)沒有發(fā)生失真。5假設(shè)低通濾波器的頻率響應(yīng)為式中，是一個(gè)正整數(shù)，稱為通帶截止頻率。其幅頻特性和相頻特性圖形如下：cw-cwOw)(jwH1Owcwcw-()wj6濾波器的單位脈沖響應(yīng)為：舉例：假設(shè)由此圖看出此理想低通物理不可實(shí)現(xiàn)7IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法間接設(shè)計(jì)法根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)設(shè)計(jì)相應(yīng)的過渡模擬濾波器將過渡模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。直接設(shè)計(jì)法

在時(shí)域或頻域直接設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器。8間接設(shè)計(jì)法得到廣泛應(yīng)用模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有若干典型的模擬濾波器供選擇。這些濾波器都有嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計(jì)人員使用。典型濾波器巴特沃斯（Butterworth）濾波切比雪夫（Chebyshev）濾波器貝塞爾（Bessel）濾波器橢圓（Ellipse）濾波器96.1模擬濾波器設(shè)計(jì)模擬濾波器（AF）的一般設(shè)計(jì)過程：（1）根據(jù)信號(hào)處理要求確定設(shè)計(jì)指標(biāo)（選頻）（2）選擇濾波器類型（3）計(jì)算濾波器階數(shù)（4）通過查表或計(jì)算確定濾波器系統(tǒng)函數(shù)（5）綜合實(shí)現(xiàn)并調(diào)試幅頻特性體現(xiàn)了各頻率成分幅度的衰減,而相頻特性體現(xiàn)的是不同成分在時(shí)間的的延時(shí)。選頻濾波器一般只考慮幅頻特性，對(duì)相頻特性不作要求。對(duì)輸出波形有要求時(shí)，則需考慮線性相位問題。106.1.1模擬濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)

圖6.1.1典型模擬低通濾波器幅頻特性及其指標(biāo)描述ε：通帶波紋幅度參數(shù)A：阻帶波紋幅度參數(shù)11

系統(tǒng)通帶的誤差要求

阻帶[s,∞]幅度以最大誤差1/A逼近于零，即要求

12損耗函數(shù)（或稱為衰減函數(shù)）()來描述濾波器的幅頻響應(yīng)特性。即當(dāng)時(shí)的邊界頻率稱為3dB截止頻率，通常用c表示13用

表示通帶最大衰減用

表示阻帶最小衰減以上兩式求解14濾波器技術(shù)指標(biāo)特點(diǎn)15兩個(gè)附加參數(shù)：

a.過渡比或選擇性參數(shù),通常用k表示反應(yīng)過渡帶的性能，過渡帶越窄，k值趨近于1低通濾波器

b.偏離參數(shù)，用k1表示

越小，通帶、阻帶的紋波越小166.1.2巴特沃思模擬低通濾波器設(shè)計(jì)N階巴特沃思模擬低通濾波器的幅度平方函數(shù)為N為濾波器的階次，為3dB截頻。17特點(diǎn)：在點(diǎn)，的n(n<2N)階導(dǎo)數(shù)等于零，因此濾波器在點(diǎn)具有最大平坦幅度濾波器幅頻響應(yīng)隨的增大而單調(diào)下降，因?yàn)榉绕椒胶瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)小于零階數(shù)N越大，濾波器幅頻響應(yīng)特性越逼近理想低通特性。損耗函數(shù)21|)(|WjHacWWN=80N=4N=2118濾波器的特性由3dB截止頻率和階數(shù)N確定21|)(|WjHacWWN=80N=4N=2119截止頻率與階數(shù)如何確定？濾波器幅頻響應(yīng)隨頻率的增大而單調(diào)下降于是滿足通帶指標(biāo)，阻帶指標(biāo)有富裕滿足阻帶指標(biāo)，通帶指標(biāo)有富裕階數(shù)截止頻率20濾波器的給定指標(biāo)為通帶最大衰減阻帶最小衰減先求確定截止頻率與階數(shù)21巴特沃思模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：

（由3dB截止頻率和階數(shù)N確定）式中，分母稱為N階巴特沃思多項(xiàng)式。三種形式:22歸一化討論：對(duì)于得：由于N較大時(shí)，計(jì)算量太大，為了方便，歸一化的N階巴特沃思多項(xiàng)式系數(shù)已制成表格供查閱：23242526

低通巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)步驟：由，求濾波器階次N由N查表，求出歸一化極點(diǎn)和歸一化系統(tǒng)函數(shù)G(p)令代入G(p)，得實(shí)際濾波器傳輸函數(shù)Ha(s)。（去歸一）27

例6.1.1：

設(shè)計(jì)模擬低通濾波器。要求幅頻特性單調(diào)下降，通帶邊界頻率fp=1kHz，通帶最大衰減p=1dB，阻帶邊界頻率fs=5kHz，阻帶最小衰減s=40dB。解:（1）根據(jù)幅頻特性單調(diào)下降要求，應(yīng)選擇巴特沃思濾波器。（2）計(jì)算階數(shù)N和3dB截止頻率c。首先求出波紋幅度參數(shù)為

再求出過渡比和偏離參數(shù)從而得到

取整數(shù)N=4

滿足阻帶指標(biāo)，通帶指標(biāo)有富裕28（3）求系統(tǒng)函數(shù)。查表6.1.1得到歸一化4階巴特沃思多項(xiàng)式為將和c代入，得到系統(tǒng)函數(shù)296.1.3切比雪夫?yàn)V波器設(shè)計(jì)兩種類型的區(qū)別：

切比雪夫Ⅰ型濾波器的幅頻特性在通帶為等波紋，在阻帶為單調(diào)下降。

切比雪夫Ⅱ型的幅頻特性在阻帶為等波紋，在通帶為單調(diào)下降。301.切比雪夫Ⅰ型濾波器N階切比雪夫Ⅰ型模擬低通濾波器Ha(s)的幅度平方函數(shù)為為小于1的正數(shù)，表示通帶波紋幅度參數(shù)。CN()是N階切比雪夫多項(xiàng)式31圖6.1.4典型切比雪夫Ⅰ型低通濾波器的幅頻響應(yīng)特性曲線

322．切比雪夫Ⅱ型逼近切比雪夫Ⅱ型模擬低通濾波器的幅頻響應(yīng)在通帶呈現(xiàn)單調(diào)下降特性，而且在

=0點(diǎn)具有最大平坦響應(yīng)，在阻帶呈現(xiàn)等波紋特性。其幅度平方函數(shù)為33圖6.1.5典型切比雪夫Ⅱ型低通濾波器的幅頻響應(yīng)特性曲線346.1.4橢圓濾波器(a)p=1dB,s=20dB,N=3,4,6(b)N=4,p=1,0.1,0.05dB,s=10,20,40dB圖6.1.6橢圓濾波器幅頻響應(yīng)特性曲線35橢圓濾波器特點(diǎn)：

幅值響應(yīng)在通帶和阻帶內(nèi)都是等波紋的。對(duì)于給定的階數(shù)和給定的波紋要求，橢圓濾波器能獲得較其它濾波器更窄的過渡帶寬，就這點(diǎn)而言，橢圓濾波器是最優(yōu)的。通帶和阻帶內(nèi)波紋固定時(shí)，階數(shù)越高，過渡帶越窄；階數(shù)固定，通帶和阻帶紋波越小，過渡帶越寬；366.1.5貝塞爾（Bessel）濾波器設(shè)計(jì)

(a)幅頻響應(yīng)特性(b)相頻響應(yīng)特性圖6.1.7典型貝塞爾低通濾波器的頻響特性曲線37貝塞爾低通濾波器特點(diǎn)

貝塞爾濾波器在通帶內(nèi)逼近線性相位特性。是巴特沃茲濾波器、切比雪夫?yàn)V波器、橢圓濾波器濾波器所沒有的。

貝塞爾濾波器的過渡帶較寬，在階數(shù)N相同時(shí)選擇性比巴特沃茲濾波器、切比雪夫?yàn)V波器、橢圓濾波器差。386.1.7五種類型模擬濾波器的比較

在相同階數(shù)N，相同通帶最大衰減、阻帶最小衰減要求下，巴特沃思濾波器具有單調(diào)下降的幅頻特性，過渡帶比兩種切比雪夫?yàn)V波器、橢圓濾波器寬。兩種類型的切比雪夫?yàn)V波器的過渡帶寬度相等，介于巴特沃思濾波器和橢圓濾波器之間。切比雪夫Ⅰ濾波器通帶內(nèi)等波紋幅頻特性，過渡帶、阻帶單調(diào)下降。切比雪夫Ⅱ?yàn)V波器阻帶內(nèi)是等波紋幅頻特性，通帶幅頻響應(yīng)幾乎與巴特沃思濾波器相同。橢圓濾波器過渡帶最窄，通