內蒙古阿拉善盟2022-2023學年高三上學期期末考試數學（理科）試題（含答案）

阿拉善盟2022-2023學年高三上學期期末考試數學（理科）考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時間120分鐘。2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚。3.考生作答時，請將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。4.本卷命題范圍：高考范圍。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.記集合，，則（）A. B.或C. D.2.已知復數（i是虛數單位），則（）A. B. C. D.3.命題“，x是奇函數”的否定是（）A.，是偶函數 B.，不是奇函數C.，是偶函數 D.，不是奇函數4.若，則（）A. B. C. D.5.若雙曲線（）的漸近線與圓相切，則（）A. B. C. D.6.端午節(jié)為每年農歷五月初五，又稱端陽節(jié)、午日節(jié)、五月節(jié)等.端午節(jié)是中國漢族人民紀念屈原的傳統(tǒng)節(jié)日，以圍繞才華橫溢、遺世獨立的楚國大夫屈原而展開，傳播至華夏各地，民俗文化共享，屈原之名人盡皆知，追懷華夏民族的高潔情懷.小華的媽媽為小華煮了8個粽子，其中5個甜茶粽和3個艾香粽，小華隨機取出兩個，事件A“取到的兩個為同一種餡”，事件B“取到的兩個都是艾香粽”，則（）A. B. C. D.7.正方體中，E為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.8.某地錳礦石原有儲量為a萬噸，計劃每年的開采量為本年年初儲量的m（，且m為常數）倍，第n（）年開采后剩余儲量為，按該計劃使用10年時間開采到剩余儲量為原有儲量的一半.若開采到剩余儲量為原有儲量的70%，則需開采約（參考數據：）（）A.3年 B.4年 C.5年 D.6年9.在平行四邊形中，，，，，且，則平行四邊形的面積為（）A. B. C. D.10.更相減損術是出自中國古代數學專著《九章算術》的一種算法，其內容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之數，以少減多，更相減損，求其等也，以等數約之”，如圖是該算法的程序框圖，如果輸入，，則輸出的a是（）A.23 B.33 C.37 D.4211.已知函數（，，）的部分圖象如圖所示，下列說法中錯誤的是（）A.函數的圖象關于點對稱B.函數的圖象關于直線對稱C.函數在上單調遞增D.函數的圖象向右平移個單位可得函數的圖象12.若e是自然對數的底數，，則整數m的最大值為（）A.0 B.1 C.2 D.3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.我國關于人工智能領域的研究十分密集，發(fā)文量激增，在視覺、語音、自然語言處理等基礎智能任務實現全球領先，并且擁有一批追求算法技術極致優(yōu)化的人工智能企業(yè)，如圖是過去十年人工智能領域高水平論文發(fā)表量前十國家及發(fā)表的論文數.現有如下說法：①這十個國家的論文發(fā)表數量平均值為0.87；②這十個國家的論文發(fā)表數量的中位數為0.4；③這十個國家的論文發(fā)表數量的眾數為0.4；④德國發(fā)表論文數量約占美國的32%.其中正確的是___________.（填序號）14.如圖，中華中學某班級課外學習興趣小組為了測量某座山峰的高氣度，先在山腳A處測得山頂C處的仰角為60°，又利用無人機在離地面高400m的M處（即），觀測到山頂C處的仰角為15°，山腳A處的俯角為45°，則山高___________m.15.在三棱錐中，是等邊三角形，平面平面，，，且三棱錐的所有頂點都在半徑為4的球O的球面上，則三棱錐的體積為___________.16.已知橢圓C：（）的左、右焦點分別為，，C的下頂點為A，離心率為，過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的周長為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。（一）必考題：共60分。17.（本小題滿分12分）已知數列的前n項和.（1）求；（2）令，若對于任意，數列的前n項和恒成立，求實數m的取值范圍.18.（本小題滿分12分）盲盒里面通常裝的是動漫、影視作品的周邊，或者設計師單獨設計出來的玩偶.由于盒子上沒有標注，購買者只有打開后才會知道自己買到了什么，因此這種驚喜吸引了眾多年輕人，形成了“盲盒經濟”.某款盲盒內裝有正版海賊王手辦，且每個盲盒只裝一個.某銷售網點為調查該款盲盒的受歡迎程度，隨機抽取了400人進行問卷調查，并全部收回.經統(tǒng)計，有30%的人購買了該款盲盒，在這些購買者當中，男生占一；而在未購買者當中，男生、女生各占50%.（1）完成下面的列聯表，并判斷是否有99.5%的把握認為是否購買該款盲盒與性別有關？女生男生總計購買未購買總計（2）從購買該款盲盒的人中按性別用分層抽樣的方法隨機抽取6人，再從這6人中隨機抽取3人發(fā)放優(yōu)惠券，記X為抽到的3人中女生的人數，求X的分布列和數學期望.參考公式：，其中.參考數據：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82819.（本小題滿分12分）如圖，在直四棱柱中，四邊形是菱形，，，，點E是棱上的一點（與B，不重合）.（1）求證：；（2）若二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值.20.（本小題滿分12分）已知拋物線C：（）的焦點為F，過點的直線l與C相交于A，B兩點.當直線l經過點Ｆ時，點A恰好為線段的中點.（1）求C的方程；（2）是否存在定點T，使得為常數？若存在，求出點T的坐標及該常數；若不存在，說明理由.21.（本小題滿分12分）設向量，，，（）.（1）討論函數的單調性；（2）設函數，若存在兩個極值點，（），證明：.（二）選考題：共10分。請考生在第22、23兩題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。22.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數方程在直角坐標系中，曲線C的參數方程為（t為參數），以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為.（1）求l的直角坐標方程；（2）若l與C有公共點，求m的取值范圍.23.（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講已知，，，且.證明：（1）；（2）.阿拉善盟2022-2023學年高三上學期期末考試數學（理科）參考答案、提示及評分細則1.B集合或，或，所以或.故選B.2.A由題意知，故選A.3.B命題“，是奇函數”的否定是：，不是奇函數.故選B.4.C由，得，所以.故選C.5.D雙曲線（）的漸近線為，即.不妨取，圓，即，所以圓心為，半徑，依題意圓心到漸近線的距離，解得或（舍去）.故選D.6.B由題意，，，所以.故選B.7.A平移到，再連接，則或其補角為異面直線與所成的角，設正方體的棱長為2，易得，，，由余弦定理得.故選A.8.C設第n年開采后剩余儲量為y，則，當時，，所以，，故，進而，設第n年時，，故，故.故選C.9.A因為，，所以，解得，則，所以.故選A.10.B根據程序框圖，輸入的，，因為，且，所以；第二次循環(huán)，；第三次循環(huán)，；第四次循環(huán)，，此時，輸出.故選B.11.D易得，即，所以，將代入得，所以.對于A選項，令，，解得，，對稱中心為，，當時，對稱中心為，故A正確；對于B選項，根據，，解得，，當時，，故B正確；對于C選項，由，得的單調遞增區(qū)間為，，又，，故C正確；對于D選項，函數圖象上所有的點向右平移個單位，得到函數，故D錯誤.故選D.12.C令，則等價于，即，從而.設，則.易知在上單調遞增，且，.所以存在唯一的，使得，即，則.當時，，在上單調遞減；當時，，在上單調遞增.從而，而在上是減函數，所以.因此的最小值，從而整數的最大值是2.故選C.13.①②結合圖表易得該組數據的眾數為0.3，德國發(fā)表論文數量約占美國的18%，故只有①②正確.14.600由題意知，則，又由，所以，，在中，由正弦定理得，即，解得，則.15.24因為，所以為所在截面圓的直徑，又平面平面，為等邊三角形，所以O在上，如圖所示.設（），則，，所以，解得，所以，，又，，所以，所以.16.因為C的離心率，所以，，所以C的方程為，即.在中，，，所以為正三角形.過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，所以為線段的垂直平分線，直線的斜率為，所以直線的方程為.設，，由得，所以，，所以，解得，所以.因為為線段的垂直平分線，所以，，所以的周長為.17.解：（1）當時，； 2分當時，.∵不滿足上式，∴ 5分（2）由（1）可得， .6分當時，， 8分∴， 10分又恒成立，∴，即實數m的取值范圍為. 12分18.解：（1）女生男生總計購買8040120未購買140140280總計220180400 2分根據列聯表中的數據，可得， 4分因為，所以有99.5%的把握認為是否購買該款盲盒與性別有關. 6分（2）抽取6人中，女生有：（人），男生有：（人）.X的所有可能取值為1，2，3， 7分，，，所以X的分布列為：X123P 10分所以. 12分19.（1）證明：連接，，如圖所示.因為四邊形是菱形，所以， 1分因為直四棱柱，所以平面，又平面，所以， 2分又，，平面，所以平面， 4分又平面，所以. 5分（2）解：記與的交點為O，連接交于點.以O為坐標原點，分別以，，所在的直線為x軸，y軸，x軸建立空間直角坐標系，如圖所示，所以，，，，設（），故，所以，，，.設平面的一個法向量，所以令，解得，，所以平面的一個法向量. 6分設平面的一個法向量，所以令，解得，，所以平面的一個法向量， 7分所以， 9分解得， 10分所以平面的一個法向量為.設直線與平面所成的角為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為. 12分20.解：（1）因為，，且點A恰好為線段中點，所以， 1分又因為A在C上，所以，即， 3分解得，所以C的方程為. 4分（2）設，由題意可知直線l斜率存在，設直線l的方程為，，，由得，所以，， 6分所以. 9分令 10分解得即， 11分此時. 12分21.（1）解：根據已知得，，則， 1分若，當時，；當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增. .2分若，由，得或；由，得，所以在，上單調遞增，在上單調遞減. 3分若，恒成立，所以在上單調遞增. 4分若，由，得或；由，得，所以在，上單調遞增，在上單調遞減.. 5分（2）證明：由已知得，從而，. 6分當時，恒成立，函數不可能有兩個極值點；當時，有兩個根，，因為，與，都是正數相矛盾，不合題意； 7分當時，有兩個根，，因為，且，所以兩根，均為正數，故有兩個極值點， 8分因為，由知，，因為，所以等價于