二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)　課件

二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)溫故知新y=ax2(a≠0)a>0a<0圖象開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸增減性極值xyOyxO向上向下(0,0)(0,0)y軸y軸當(dāng)x<0時(shí)，y隨著x的增大而減小。當(dāng)x>0時(shí)，y隨著x的增大而增大。

當(dāng)x<0時(shí),y隨著x的增大而增大。當(dāng)x>0時(shí)，y隨著x的增大而減小。

x=0時(shí),y最小=0x=0時(shí),y最大=0拋物線y=ax2(a≠0)的形狀是由|a|來(lái)確定的,一般說(shuō)來(lái),|a|越大,拋物線的開(kāi)口就越小.x…..-2-1012……y=x2……41014y=x2-2…………y=x2y=x2-22-1-2-12函數(shù)y=x2-2的圖象可由y=x2的圖象沿y軸向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到.函數(shù)y=x2-2的圖象與y=x2的圖象的位置有什么關(guān)系?操作與函數(shù)y=x2+1的圖象與y=x2的圖象的形狀相同嗎?相同函數(shù)y=ax2(a≠0)和函數(shù)y=ax2+c(a≠0)的圖象形狀

，只是位置不同；當(dāng)c>0時(shí)，函數(shù)y=ax2+c的圖象可由y=ax2的圖象向

平移

個(gè)單位得到，當(dāng)c〈0時(shí)，函數(shù)y=ax2+c的圖象可由y=ax2的圖象向

平移

個(gè)單位得到。y=-x2-2y=-x2+3y=-x2函數(shù)y=-x2-2的圖象可由y=-x2的圖象沿y軸向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到.函數(shù)y=-x2+3的圖象可由y=-x2的圖象沿y軸向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到.圖象向上移還是向下移,移多少個(gè)單位長(zhǎng)度,有什么規(guī)律嗎?上加下減相同上c下|c|(1)函數(shù)y=4x2+5的圖象可由y=4x2的圖象向

平移

個(gè)單位得到；y=4x2-11的圖象可由y=4x2的圖象向

平移

個(gè)單位得到。（3）將拋物線y=4x2向上平移3個(gè)單位，所得的拋物線的函數(shù)式是

。將拋物線y=-5x2+1向下平移5個(gè)單位,所得的拋物線的函數(shù)式是

。(2)將函數(shù)y=-3x2+4的圖象向

平移

個(gè)單位可得y=-3x2的圖象；將y=2x2-7的圖象向

平移

個(gè)單位得到可由y=2x2的圖象。將y=x2-7的圖象向

平移

個(gè)單位可得到y(tǒng)=x2+2的圖象。上5下11下4上7上9y=4x2+3y=-5x2-4小試牛刀及時(shí)小結(jié)y=ax2+c(a≠0)a>0a<0開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸增減性極值向上向下(0,c)(0,c)y軸y軸當(dāng)x<0時(shí)，y隨著x的增大而減小。當(dāng)x>0時(shí)，y隨著x的增大而增大。

當(dāng)x<0時(shí),y隨著x的增大而增大。當(dāng)x>0時(shí)，y隨著x的增大而減小。

x=0時(shí),y最小=0x=0時(shí),y最大=0拋物線y=ax2+c(a≠0)的圖象可由y=ax2的圖象通過(guò)上下平移得到.大顯身手(1)已知二次函數(shù)y=3x2+4,點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)在其圖象上,且x2<x4<0,0<x3<x1,|x2|>|x1|,|x3|>|x4|,則()x1x2x3x4y1y4y3y2A.y1>y2>y3>y4B.y2>y1>y3>y4C.y3>y2>y4>y1D.y4>y2>y3>y1B（2）已知二次函數(shù)y=ax2+c，當(dāng)x取x1,x2(x1≠x2,x1,x2分別是A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo))時(shí)，函數(shù)值相等，則當(dāng)x取x1+x2時(shí)，函數(shù)值為（）A.a+cB.a-cC.–cD.cD大顯身手大顯身手(4)一位籃球運(yùn)動(dòng)員跳起投籃，球沿拋物線運(yùn)行，然后準(zhǔn)確落入藍(lán)筐內(nèi)，已知藍(lán)筐的中心離地面的距離為3.05m。1、球在空中運(yùn)行的最大高度是多少米？2、如果運(yùn)動(dòng)員跳投時(shí)，球出手離地面的高度為2.25m，則他離籃筐中心的水平距離AB是多少？實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)水柱形成形狀跳運(yùn)時(shí)人在空中經(jīng)過(guò)的路徑籃球在空中經(jīng)過(guò)的路徑跳水運(yùn)動(dòng)員在空中經(jīng)過(guò)的路徑何時(shí)獲得最大利潤(rùn)？何時(shí)橙子總產(chǎn)量最大？養(yǎng)雞場(chǎng)面積何時(shí)最大？同學(xué)們，今天就讓我們一起去體會(huì)生活中的數(shù)學(xué)給我們帶來(lái)的樂(lè)趣吧！某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星期可賣出300件，市場(chǎng)調(diào)查反映：每漲價(jià)1元，每星期少賣出10件；每降價(jià)1元，每星期可多賣出18件，已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，如何定價(jià)才能使利潤(rùn)最大？來(lái)到商場(chǎng)請(qǐng)大家?guī)е韵聨讉€(gè)問(wèn)題讀題（1）題目中有幾種調(diào)整價(jià)格的方法？

（2）題目涉及到哪些變量？哪一個(gè)量是自變量？哪些量隨之發(fā)生了變化？某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星期可賣出300件，市場(chǎng)調(diào)查反映：每漲價(jià)1元，每星期少賣出10件；每降價(jià)1元，每星期可多賣出18件，已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，如何定價(jià)才能使利潤(rùn)最大？來(lái)到商場(chǎng)分析:調(diào)整價(jià)格包括漲價(jià)和降價(jià)兩種情況先來(lái)看漲價(jià)的情況：⑴設(shè)每件漲價(jià)x元，則每星期售出商品的利潤(rùn)y也隨之變化，我們先來(lái)確定y與x的函數(shù)關(guān)系式。漲價(jià)x元時(shí)則每星期少賣

件，實(shí)際賣出

件,銷額為

元，買進(jìn)商品需付

元因此，所得利潤(rùn)為

元10x(300-10x)(60+x)(300-10x)40(300-10x)y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x)即(0≤X≤30)(0≤X≤30)可以看出，這個(gè)函數(shù)的圖像是一條拋物線的一部分，這條拋物線的頂點(diǎn)是函數(shù)圖像的最高點(diǎn)，也就是說(shuō)當(dāng)x取頂點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)時(shí)，這個(gè)函數(shù)有最大值。由公式可以求出頂點(diǎn)的橫坐標(biāo).所以，當(dāng)定價(jià)為65元時(shí)，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為6250元（1）列出二次函數(shù)的解析式，并根據(jù)自變量的實(shí)際意義，確定自變量的取值范圍；（2）在自變量的取值范圍內(nèi)，運(yùn)用公式法或通過(guò)配方求出二次函數(shù)的最大值或最小值。解這類題目的一般步驟1.在2006年青島嶗山北宅櫻桃節(jié)前夕，某果品批發(fā)公司為指導(dǎo)今年的櫻桃銷售，對(duì)往年的市場(chǎng)銷售情況進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)據(jù)：銷售價(jià)x（元/千克）…25242322…銷售量y（千克）…2000250030003500…（1）在如圖的直角坐標(biāo)系內(nèi)，作出各組有序數(shù)對(duì)（x，y）所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)．連接各點(diǎn)并觀察所得的圖形，判斷y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若櫻桃進(jìn)價(jià)為13元/千克，試求銷售利潤(rùn)P（元）與銷售價(jià)x(元/千克)之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)x取何值時(shí)，P的值最大？解：（1）正確描點(diǎn)、連線．由圖象可知，y是x的一次函數(shù)．設(shè)y＝kx＋b，∵點(diǎn)（25，2000），（24，2500）在圖象上，解之得：∴y＝－500x＋14500（2）P＝（x－13）·y＝（x－13）·（－500x＋14500）＝－500x2＋21000x－188500＝－500（x－21）2＋32000．∴P與x的函數(shù)關(guān)系式為P＝－500x2＋21000x－188500，當(dāng)銷售價(jià)為21元/千克時(shí)，能獲得最大利潤(rùn)．解：（1）依題意知，當(dāng)銷售單價(jià)定為x元時(shí)，年銷售量減少(x-100)萬(wàn)件.∴y=20-(x-100)=-x+30.即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是:y=-x+30.（2）由題意，得：z=(30-)(x-40)-500-1500=-x2+34x-3200.即z與x之間的函數(shù)關(guān)系式是:z=-x2+34x-3200.(3)∵當(dāng)x取160時(shí)，z=-×1602+34×160-3200=-320.∴-320=-x2+34x-3200.整理，得x2-340+28800=0.由根與系數(shù)的關(guān)系，得160+x=340.∴x=180.即同樣的年獲利，銷售單價(jià)還可以定為180元.當(dāng)x=160時(shí)，y=-×160+30=14;當(dāng)x=180時(shí)，y=-×180+30=12.即相應(yīng)的年銷售量分別為14萬(wàn)件和12萬(wàn)件.110110110110110110110110110110110（4）∵z=-x2+34x-3200=-(x-170)2-310.∴當(dāng)x=170時(shí)，z取最大值，最大值為-310.也就是說(shuō)：當(dāng)銷售單價(jià)定為170元時(shí)，年獲利最大，并且到第一年底公司還差310萬(wàn)元就可以收回全部投資.第二年的銷售單價(jià)定為x元時(shí)，則年獲利為：z=(30-x)(x-40)-310=-x2+34x-1510.當(dāng)z=1130時(shí)，即1130=-x2+34x-1510.整理，得x2-340x+26400=0.解得x1=120,x2=220.函數(shù)z=-x2+34x-1510的圖象大致如圖所示：由圖象可以看出：當(dāng)120≤x≤220時(shí)，z≥1130.所以第二年的銷售單價(jià)應(yīng)確定在不低于120元且不高于220元的范圍內(nèi).110110110110110110OO120170220x(元)z(萬(wàn)元)13801130例：（07河北）某超市銷售某種品牌的純牛奶，已知進(jìn)價(jià)為每箱40元，生產(chǎn)廠家要求每箱的售價(jià)在40元~70元之間．市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：若每箱50元銷售，平均每天可銷售90箱，價(jià)格每降低1元，平均每天多銷售3箱；價(jià)格每升高1元，平均每天少銷售3箱．（1）寫(xiě)出平均每天的銷售量y（箱）與每箱售價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式（注明自變量x的取值范圍）；（2）求出超市平均每天銷售這種牛奶的利潤(rùn)W（元）與每箱牛奶的售價(jià)x（元）之間的二次函數(shù)關(guān)系式（每箱的利潤(rùn)=售價(jià)－進(jìn)價(jià)）；（3）請(qǐng)把（2）中所求出的二次函數(shù)配方成的形式，并指出當(dāng)x=40、70時(shí)，W的值．（4）在坐標(biāo)系中畫(huà)出（2）中二次函數(shù)的圖象，請(qǐng)你觀察圖象說(shuō)明：當(dāng)牛奶售價(jià)為多少時(shí)，平均每天的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？解：（1）y=240－3x；（2）W=－3x2+360x－9600（40≤x≤70）；（3）W=－3（x－60）2+1200．當(dāng)x=40時(shí)，W=0；當(dāng)x=70時(shí)，W=900．（4）圖象略．由圖象可知：當(dāng)售價(jià)為60元時(shí)，最大銷售利潤(rùn)為1200元．來(lái)到操場(chǎng)題型二：運(yùn)動(dòng)問(wèn)題一場(chǎng)籃球賽中，小明跳起投籃，已知球出手時(shí)離地面高米，與籃圈中心的水平距離為8米，當(dāng)球出手后水平距離為4米時(shí)到達(dá)最大高度4米，設(shè)籃球運(yùn)行的軌跡為拋物線，籃圈中心距離地面3米。問(wèn)此球能否投中？3米8米4米4米8（4，4）如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)（4，4）是圖中這段拋物線的頂點(diǎn)，因此可設(shè)這段拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)為：(0≤x≤8)(0≤x≤8)∵籃圈中心距離地面3米∴此球不能投中若假設(shè)出手的角度和力度都不變,則如何才能使此球命中?探究（1）跳得高一點(diǎn)（2）向前平移一點(diǎn)yx（4，4）（8，3）在出手角度和力度都不變的情況下,小明的出手高度為多少時(shí)能將籃球投入籃圈?0123456789yX（8，3）（5，4）（4，4）0123456789在出手角度、力度及高度都不變的情況下，則小明朝著籃球架再向前平移多少米后跳起投籃也能將籃球投入籃圈？(７，３）●例：某跳水運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行10米跳臺(tái)訓(xùn)練時(shí)，身體（看成一點(diǎn)）在空中的運(yùn)動(dòng)路線是一條拋物線如圖所示（圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)為已知條件），在跳某個(gè)規(guī)范動(dòng)作時(shí)，通常情況下，該運(yùn)動(dòng)員在空中的最高處距水面10m,入水處距池邊的距離為4m，運(yùn)動(dòng)員在距水面高度為5m以前，必須完成規(guī)范的翻騰動(dòng)作，并調(diào)整好入水姿勢(shì)，否則就會(huì)出現(xiàn)失誤。23（1）求這條拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)解析式（2)在某次試跳時(shí)，測(cè)得運(yùn)動(dòng)員在空中的運(yùn)動(dòng)路線是（1）中的拋物線且運(yùn)動(dòng)員在空中調(diào)整好入水姿勢(shì)時(shí)，距池邊的水平距離為3m，問(wèn)此次跳水會(huì)不會(huì)失誤，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由。253m10m1m跳臺(tái)支柱水面池邊ByAx解：（1）在給定的直角坐標(biāo)系下，設(shè)最高點(diǎn)為A，入水點(diǎn)位B，拋物線的關(guān)系式為：y=ax2+bx+c由題意知，O、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)依次為（0，0），（2，-10）且頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為23∴c=04a4ac-b2=234a+2b+c=-10解得：a=-256b=103c=0或a=-32b=-2c=0∵拋物線對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，∴-＞0b2a又∵拋物線開(kāi)口向下，∴a＜0,b＞0∴a=-b=c=0256103∴拋物線關(guān)系式為y=-x2+x256103(2)當(dāng)運(yùn)動(dòng)員在空中距池邊的水平距離為3m,即3-2=時(shí)，y=(-)×()2+×=-5353852568510385316∴此時(shí)運(yùn)動(dòng)員距水面的高為10-=316143因此此次跳水會(huì)出現(xiàn)失誤題型三：市場(chǎng)營(yíng)銷問(wèn)題例：（05河北）某食品零售店為儀器廠代銷一種面包，未售出的面包可退回廠家，以統(tǒng)計(jì)銷售情況發(fā)現(xiàn)，當(dāng)這種面包的單價(jià)定為7角時(shí)，每天賣出160個(gè)。在此基礎(chǔ)上，這種面包的單價(jià)每提高1角時(shí)，該零售店每天就會(huì)少賣出20個(gè)。考慮了所有因素后該零售店每個(gè)面包的成本是5角。設(shè)這種面包的單價(jià)為x（角），零售店每天銷售這種面包所獲得的利潤(rùn)為y（角）。⑴用含x的代數(shù)式分別表示出每個(gè)面包的利潤(rùn)與賣出的面包個(gè)數(shù)；⑵求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；⑶當(dāng)面包單價(jià)定為多少時(shí)，該零售店每天銷售這種面包獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？解：⑴每個(gè)面包的利潤(rùn)為(x－5)角，賣出的面包個(gè)數(shù)為（300－20x）（或[160－（x－7）×20]）（2）即：（3）∴當(dāng)x=10時(shí)，y的最大值為500?！喈?dāng)每個(gè)面包單價(jià)定為10角時(shí)，該零售店每天獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為500角例：（06河北）利達(dá)經(jīng)銷店為某工廠代銷一種建筑材料（這里的代銷是指廠家先免費(fèi)提供貨源，待貨物售出后再進(jìn)行結(jié)算，未售出的由廠家負(fù)責(zé)處理）．當(dāng)每噸售價(jià)為260元時(shí)，月銷售量為45噸．該經(jīng)銷店為提高經(jīng)營(yíng)利潤(rùn)，準(zhǔn)備采取降價(jià)的方式進(jìn)行促銷．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)每噸售價(jià)每下降10元時(shí)，月銷售量就會(huì)增加7.

5噸．綜合考慮各種因素，每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費(fèi)用100元．設(shè)每噸材料售價(jià)為x（元），該經(jīng)銷店的月利潤(rùn)為y（元）．（1）當(dāng)每噸售價(jià)是240元時(shí)，計(jì)算此時(shí)的月銷售量；（2）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)出x的取值范圍）；（3）該經(jīng)銷店要獲得最大月利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為每噸多少元？（4）小靜說(shuō)：“當(dāng)月利潤(rùn)最大時(shí)，月銷售額也最大．”你認(rèn)為對(duì)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）=60（噸）．（2）化簡(jiǎn)得：

（3）利達(dá)經(jīng)銷店要獲得最大月利潤(rùn)，材料的售價(jià)應(yīng)定為每噸21元．（4）我認(rèn)為，小靜說(shuō)的不對(duì)．理由：方法一：當(dāng)月利潤(rùn)最大時(shí)，x為210元，而對(duì)于月銷售額來(lái)說(shuō)，當(dāng)x為160元時(shí)，月銷售額W最大．∴當(dāng)x為210元時(shí)，月銷售額W不是最大．∴小靜說(shuō)的不對(duì)．方法二：當(dāng)月利潤(rùn)最大時(shí)，x為210元，此時(shí)，月銷售額為17325元；而當(dāng)x為200元時(shí)，月銷售額為18000元．∵17325＜18000，∴當(dāng)月利潤(rùn)最大時(shí)，月銷售額W不是最大．∴小靜說(shuō)的不對(duì)．題型四：二次函數(shù)建模問(wèn)題例：圖14－1是某段河床橫斷面的示意圖．查閱該河段的水文資料，得到下表中的數(shù)據(jù)：

（1）請(qǐng)你以上表中的各對(duì)數(shù)據(jù)（x，y）作為點(diǎn)的坐標(biāo)，嘗試在圖14－2所示的坐標(biāo)系中畫(huà)出y關(guān)于x的函數(shù)圖象；

（2）①

填寫(xiě)下表：

60x/m圖14—2y/m2046101214103040O5028

②

根據(jù)所填表中數(shù)據(jù)呈現(xiàn)的規(guī)律，猜想出用x表示y的二次函數(shù)表達(dá)式：

．（3）當(dāng)水面寬度為36m時(shí)，一艘吃水深度（船底部到水面的距離）為1.8m的貨船能否在這個(gè)河段安全通過(guò)？為什么？

解：（1）圖象如下圖所示.O102030405060x/m2141210864y/m（2）x51020304050200200200200200200（3）當(dāng)水面寬度為36m時(shí)，相應(yīng)的x=18，則此時(shí)該河段的最大水深為1.62m因?yàn)樨洿运顬?.8m，而1.62<1.8,所以當(dāng)水面寬度為36m時(shí)，該貨船不能通過(guò)這個(gè)河段.題型五：方案優(yōu)化問(wèn)題例（08河北）研究所