南京市2020-2021學(xué)年第一學(xué)期期中調(diào)研測(cè)試高二數(shù)學(xué)

南京市2020-2021學(xué)年第一學(xué)期期中調(diào)研測(cè)試高二數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題:本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知拋物線x2=2y的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為，則點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為（）A. B.1 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，即可求解.【詳解】因?yàn)閽佄锞€x2=2y，所以，即，所以焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為1，故選：B2.已知向量，，且，其中、，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由列等式可求出、的值，進(jìn)而可求得的值.【詳解】向量，，且，，解得，因此，.故選：B.3.若sinθ=2cos(π-θ)，則的值為（）A.3 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可求出，利用兩角和的正切公式求值即可.【詳解】由誘導(dǎo)公式可知，，則，所以，故選：D4.在平面直角坐標(biāo)系中，若橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題首先可根據(jù)雙曲線解析式得出焦點(diǎn)在軸上，然后令焦距為，根據(jù)橢圓與雙曲線的、、三者之間的關(guān)系解得，最后根據(jù)雙曲線方程即可求出漸近線方程.【詳解】因?yàn)闄E圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，所以它們的焦點(diǎn)在軸上，令焦距為，則，解得，雙曲線，故雙曲線的漸近線方程為，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)求雙曲線的漸近線方程，在橢圓中有，在雙曲線中有，且雙曲線的漸近線方程為，要注意焦點(diǎn)在軸還是在軸上，考查計(jì)算能力，是中檔題.5.在平面直角坐標(biāo)系中，直線與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)、，圓經(jīng)過、，且圓心在軸上，則圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，設(shè)圓心坐標(biāo)為，由可求出圓心的坐標(biāo)，并求出圓的半徑，由此可求得圓的方程.【詳解】易知，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，由可得，解得，所以，圓的半徑為，因此，圓的方程為，即為.故選：A.【點(diǎn)睛】求圓的方程，主要有兩種方法：（1）幾何法：具體過程中要用到初中有關(guān)圓的一些常用性質(zhì)和定理．如：①圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上；②圓心在任意弦的中垂線上；③兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓心三點(diǎn)共線；（2）待定系數(shù)法：根據(jù)條件設(shè)出圓的方程，再由題目給出的條件，列出等式，求出相關(guān)量．一般地，與圓心和半徑有關(guān)，選擇標(biāo)準(zhǔn)式，否則，選擇一般式．不論是哪種形式，都要確定三個(gè)獨(dú)立參數(shù)，所以應(yīng)該有三個(gè)獨(dú)立等式．6.如圖，已知圓柱的底面半徑為2，與圓柱底面成角的平面截這個(gè)圓柱得到一個(gè)橢圓，則該橢圓的焦距為（）

A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】如圖所示，設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸為AB，短軸為CD，中心為點(diǎn)、圓柱的底面中心為O，則，可得，b，求出c，然后求解結(jié)果．【詳解】如圖所示，

設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸為AB，短軸為CD，中心為點(diǎn)，圓柱的底面中心為O，則，可得，，橢圓的焦距為:故選：D7.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1與B1C相交于點(diǎn)O，∠A1AB=∠A1AC=，∠BAC=，A1A=3，AB=AC=2，則線段AO的長(zhǎng)度為（）

A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】用表示出，計(jì)算，開方得出AO的長(zhǎng)度.【詳解】因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅危?,,,，即.故選：A8.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M，N在雙曲線C上，若四邊形OFMN為菱形，則雙曲線C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用四邊形OFMN(O為坐標(biāo)原點(diǎn))為菱形，結(jié)合雙曲線的對(duì)稱性，求出M的坐標(biāo)，代入雙曲線方程然后求解離心率.【詳解】由題意可知，由四邊形OFMN為菱形，可得，設(shè)點(diǎn)M在F的上方，可知M、N關(guān)于y軸對(duì)稱，可設(shè)，代入雙曲線方程可得:，又由，化簡(jiǎn)可得兩邊同除以，可得，解得，因?yàn)?，解得，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)四邊形OFMN(O為坐標(biāo)原點(diǎn))為菱形，，能寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)，是建立方程的關(guān)鍵，結(jié)合雙曲線的對(duì)稱性，發(fā)現(xiàn)M點(diǎn)橫坐標(biāo)為是突破口.二、多項(xiàng)選擇題:本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，不選或有選錯(cuò)的得0分.9.已知兩個(gè)不重合的平面α，β及直線m，下列說法正確的是（）A.若α⊥β，m⊥α，則m//β B.若α/β，m⊥α，則m⊥βC.若m//α，m⊥β，則α⊥β D.若m//α，m//β，則α//β【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)線面和面面的位置關(guān)系依次判斷選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，若，，則或，故A錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B，若，，則，故B正確；對(duì)選項(xiàng)C，若，則平面內(nèi)存在直線，使得，又，所以，故，故C正確；對(duì)選項(xiàng)D，若，，則或與相交，故D錯(cuò)誤.故選：BC10.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A在橢圓上.若△AF1F2為直角三角形，則AF1的長(zhǎng)度可以為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】ABC【解析】【分析】利用已知條件判斷三角形的直角頂點(diǎn)的位置，轉(zhuǎn)化求解AF1的長(zhǎng)，判斷選項(xiàng)即可.【詳解】由橢圓可知，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，通徑為，因?yàn)椤鰽F1F2為直角三角形，所以A為直角頂點(diǎn)時(shí)，A在短軸端點(diǎn)，此時(shí)AF1的長(zhǎng)為2；為直角頂點(diǎn)時(shí)，A在y軸左側(cè)，此時(shí)AF1的長(zhǎng)為1;為直角頂點(diǎn)時(shí)，A在y軸右側(cè)，此時(shí)AF1的長(zhǎng)為3;故選：ABC.11.如圖，直線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，若x，y分別表示點(diǎn)P到的距離，則稱（x，y）為點(diǎn)P的“距離坐標(biāo)”.下列說法正確的是（）

A.距離坐標(biāo)為（0，0）的點(diǎn)有1個(gè) B.距離坐標(biāo)為（0，1）的點(diǎn)有2個(gè)C.距離坐標(biāo)為（1，2）的點(diǎn)有4個(gè) D.距離坐標(biāo)為（x，x）的點(diǎn)在一條直線上【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)是否正確，綜合即可得答案．【詳解】對(duì)于A，若距離坐標(biāo)為（0，0)，即P到兩條直線的距離都為0，P為兩直線的交點(diǎn)，即距離坐標(biāo)為（0，0)的點(diǎn)只有1個(gè)，A正確，對(duì)于B，若距離坐標(biāo)為(0，1)，即P到直線的距離為0，到直線的距離為1，P在直線上，到直線的距離為1，符合條件的點(diǎn)有2個(gè)，B正確，對(duì)于C，若距離坐標(biāo)為（1，2)，即P到直線的距離為1，到直線的距離為2，有4個(gè)符合條件的點(diǎn)，即四個(gè)交點(diǎn)為與直線相距為2的兩條平行線和與直線相距為1的兩條平行線的交點(diǎn)，C正確，對(duì)于D，若距離坐標(biāo)為（x，x)，即P到兩條直線的距離相等，則距離坐標(biāo)為(x，x)的點(diǎn)在2條相互垂直的直線上，D錯(cuò)誤，故選：ABC12.世紀(jì)年代，人們發(fā)現(xiàn)利用靜態(tài)超高壓和高溫技術(shù)，通過石墨等碳質(zhì)原料和某些金屬反應(yīng)可以人工合成金剛石，人工合成金剛石的典型晶態(tài)為立方體（六面體）、八面體和立方八面體以及他們的過渡形態(tài).其中立方八面體（如圖所示）有條棱、個(gè)頂點(diǎn)，個(gè)面（個(gè)正方形、個(gè)正三角形），它是將立方體“切”去個(gè)“角”后得到的幾何體.已知一個(gè)立方八面體的棱長(zhǎng)為，則（）A.它的所有頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，且該球的直徑為B.它的任意兩條不共面的棱所在的直線都互相垂直C.它的體積為D.它的任意兩個(gè)共棱的面所成的二面角都相等【答案】ACD【解析】【分析】利用立方八面體與正方體之間的關(guān)系計(jì)算出正方體的棱長(zhǎng)，可判斷A、C選項(xiàng)的正誤；計(jì)算出不共面的棱所成角的大小可判斷B選項(xiàng)的正誤，計(jì)算相鄰的兩個(gè)面所成二面角的大小可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】如下圖所示，由題意可知，立方八面體的頂點(diǎn)為正方體各棱的中點(diǎn)，故立方八面體的棱為正方體相鄰兩條棱的中點(diǎn)的連線，故正方體棱長(zhǎng)為，由對(duì)稱性可知，立方八面體的外接球球心為正方體的中心，外接球的直徑為正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)，該球的半徑為，A選項(xiàng)正確；設(shè)、為立方八面體的兩條不共面的棱，如下圖所示，則，在正方體中，且，則四邊形為平行四邊形，，，由于，易知為等邊三角形，則，所以，與所成角為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；立方八面體的體積為，C選項(xiàng)正確；設(shè)正方體底面的中心為點(diǎn)，連接交立方八面體的棱于點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn)，且為等邊三角形，所以，，，為的中點(diǎn)，，、分別為、的中點(diǎn)，則，，所以，為立方八面體的底面與由平面所成二面角的平面角，立方八面體的棱長(zhǎng)為，，，，平面，平面，，在中，，所以，，同理可知，立方八面體的相鄰兩個(gè)面所成二面角的余弦值為，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】作二面角的平面角可以通過垂線法進(jìn)行，在一個(gè)半平面內(nèi)找一點(diǎn)作另一個(gè)半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線和直線，，若與平行，則與之間的距離為_________.【答案】【解析】【分析】利用兩直線平行求出參數(shù)的值，然后利用平行線間的距離公式可求得直線與之間的距離.【詳解】由于直線與平行，則，解得，所以，直線的方程為，直線的方程為，因此，直線與之間的距離為.故答案為：.14.在空間直角坐標(biāo)系中，若三點(diǎn)A（1，-1，a），B(2，a，0)，C(1，a，-2)滿足：，則實(shí)數(shù)a的值為_________.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)得到，的坐標(biāo)表示，再根據(jù)向量垂直對(duì)應(yīng)的數(shù)量積為零計(jì)算出的值即可.【詳解】由題意，所以，解得.故答案為：15.詞語“塹堵”、“陽馬”、“鱉臑”等出現(xiàn)自中國(guó)數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)?商功》，是古代人對(duì)一些特殊錐體的稱呼.在《九章算術(shù)?商功》中，把四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，現(xiàn)有如圖所示的“鱉臑”四面體PABC，其中PA⊥平面ABC，PA=AC=1，BC=，則四面體PABC的外接球的表面積為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)“鱉臑”四面體PABC的特征，可確定外接球球心為的中點(diǎn)，即可求解.【詳解】如圖，由題意,則取的中點(diǎn)為點(diǎn)，可得，即為球心，則其半徑，則其表面積為，故答案為：16.早在一千多年之前，我國(guó)已經(jīng)把溢流孔技術(shù)用于造橋，以減輕橋身重量和水流對(duì)橋身的沖擊，現(xiàn)設(shè)橋拱上有如圖所示的4個(gè)溢流孔，橋拱和溢流孔輪廓線均為拋物線的一部分，且四個(gè)溢流孔輪廓線相同，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xoy，根據(jù)圖上尺寸，溢流孔ABC所在拋物線的方程為_________，溢流孔與橋拱交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為___________.

【答案】(1).(2).【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)橋拱所在拋物線的方程為，溢流孔ABC所在方程為，運(yùn)用待定系數(shù)法，求得，，可得右邊第二個(gè)溢流孔所在方程，聯(lián)立拋物線方程，可得所求.【詳解】設(shè)橋拱所在拋物線方程，由圖可知，曲線經(jīng)過，代入方程，解得：，所以橋拱所在拋物線方程；四個(gè)溢流孔輪廓線相同，所以從右往左看，設(shè)第一個(gè)拋物線，由圖拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則，解得，所以，點(diǎn)即橋拱所在拋物線與的交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)由，解得：所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為.故答案：；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查根據(jù)實(shí)際意義求拋物線方程和交點(diǎn)坐標(biāo)，關(guān)鍵在于合理建立模型正確求解，根據(jù)待定系數(shù)法，及平移拋物線后方程的形式即可.四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算驟.17.在①sin(A-B)=sinB+sinC；②2acosC=2b+c；③△ABC面積（a2-b2-c2）三個(gè)條件中任選一個(gè)（填序號(hào)），補(bǔ)充在下面的問題中，并解答該問題.已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，，D是邊BC上的一點(diǎn)，∠BAD=，且b=4，c=2，求線段AD的長(zhǎng).注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分【答案】選擇條件①②③，.【解析】【分析】首先選擇條件②，利用正弦定理，結(jié)合三角形內(nèi)角和以及誘導(dǎo)公式求得，得到，利用余弦定理求得，再利用余弦定理求得，之后在直角三角形中，求得結(jié)果.【詳解】若選①，因?yàn)閟in(A-B)=sinB+sinC，所以，即，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，由余弦定理可得，所以，，所以在中，，所以有，所?選擇條件②；因?yàn)?acosC=2b+c，所以有，在三角形中，所以有，整理得，因?yàn)?，所以，由余弦定理可得，所以，，所以在中，，所以有，所?若選③，因?yàn)椋╝2-b2-c2），所以，由正弦定理可得，整理得，因?yàn)?，所以，由余弦定理可得，所以，，所以在中，，所以有，所?【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：關(guān)于此類問題的解題方法有：（1）根據(jù)自己對(duì)題中條件的理解，選擇好條件；（2）利用正余弦定理對(duì)式子進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，結(jié)合三角形的內(nèi)角和以及誘導(dǎo)公式求得角的大?。唬?）從余弦定理入手求邊長(zhǎng)；（4）觀察圖形的特征，解三角形即可得結(jié)果.18.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓F：（x-2）2+y2=1，動(dòng)圓M與直線：x=-1相切且與圓F外切.(1)記圓心M的軌跡為曲線C，求曲線C的方程；(2)已知A（-2，0），曲線C上一點(diǎn)P滿足PA=PF，求∠PAF的大小.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義即可求出曲線的方程；（2）求出的坐標(biāo)，利用的斜率即可求出∠PAF的大小.【詳解】(1）設(shè)M(x，y)，圓M的半徑為r.點(diǎn)M到點(diǎn)F(2，0)的距離等于M到定直線的距離，根據(jù)拋物線的定義知，曲線C是以F(2，0)為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線.故曲線C的方程為（2）設(shè),由，得，又，解得，故，所以，故19.如圖，在直三棱柱中，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，，且，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）連接交于點(diǎn)，再連接，利用中位線的性質(zhì)可得出，利用線面平行的判定定理可得出平面；（2）取的中點(diǎn)，連接，證明出平面，求出的長(zhǎng)以及的面積，利用錐體的體積公式可求得三棱錐的體積.【詳解】（1）如下圖所示，連接交于點(diǎn)，再連接，則為的中點(diǎn)，、分別為、的中點(diǎn)，則，平面，平面，因此，平面；（2）取的中點(diǎn)，連接，在直三棱柱中，平面，平面，，，，平面，、分別為、的中點(diǎn)，則且，平面，平面，平面，，且，，所以，三棱錐的體積為.【點(diǎn)睛】若所給幾何體體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解，利用等體積法要結(jié)合線面垂直的條件或結(jié)論來確定的底面與高來求解.20.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓O：x2+y2=1，點(diǎn)A，B是直線x-y+m=0(m∈R)與圓O的兩個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)C在圓O上.（1）若△ABC為正三角形，求直線AB的方程；（2）若直線x-y-=0上存在點(diǎn)P滿足，求實(shí)數(shù)m取值范圍.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)圓心到直線的距離列方程計(jì)算的值，得出直線的方程；（2）求出以為直徑的圓的方程，令直線與圓有公共點(diǎn)列出不等式，解出的范圍．【詳解】（1）圓的半徑為1，若是正三角形，則到的距離為，，，直線的方程為或．（2）直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，，即，，的中垂線方程為，聯(lián)立方程組可得，即的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，以為直徑的圓的方程為，直線上存在點(diǎn)滿足，直線與圓有公共點(diǎn)，，解得．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，解題關(guān)鍵是利用圓心到直線的距離判定直線與圓的位置關(guān)系．本題中根據(jù)條件為直徑的圓的方程，然后直線上存在點(diǎn)滿足，轉(zhuǎn)化為直線與圓有公共點(diǎn)．考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力．屬于中檔題．21.如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，.（1）若，求直線與平面所成角的正弦值；（2）設(shè)二面角的大小為，若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）推導(dǎo)出平面，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值；（2）求出平面和平面的法向量，利用空間向量法可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的方程，結(jié)合可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】（1）平面平面，平面平面，，平面，平面，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則、、、、，當(dāng)時(shí)，，則，設(shè)平面的法向量為，，，由，可得，得，取，則，，所以，平面的一個(gè)法向量為，，因此，直線與平面所成角的正弦值為；（2）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，由，得，可得，令，則，，所以，平面一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)