初中數(shù)學(xué)湘教版八年級(jí)下冊(cè)第1章直角三角形1．2直角三角形的性質(zhì)和判定（II）(h)

2023—2023學(xué)年湘教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第1章《直角三角形》—同步練習(xí)與解析一．選擇題（共8小題）1．如圖，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D為垂足，∠C=55°，則∠ABC的度數(shù)是（）A．35° B．55° C．60° D．70°2．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，將其折疊，使點(diǎn)A落在邊CB上A′處，折痕為CD，則∠A′DB=（）A．40° B．30° C．20° D．10°3．如圖，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．圖中有三個(gè)直角三角形 B．∠1=∠2C．∠1和∠B都是∠A的余角 D．∠2=∠A4．如圖，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，則BC=（）A．6 B．6 C．6 D．125．如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn)，BD=6cm，則AC的長為（）A．3 B．6 C． D．126．如圖，△ABC中，AB=AC=10，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，連接DE，則DE的長為（）A．10 B．6 C．8 D．57．一直角三角形的兩直角邊長為12和16，則斜邊上中線長為（）A．20 B．10 C．18 D．258．如圖，每個(gè)小正方形的邊長都相等，A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，則∠ABC的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．90°二．填空題（共8小題）9．如圖，直線m∥n，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，則∠1=度．10．如圖，CD是Rt△ABC斜邊AB上的高，將△BCD沿CD折疊，B點(diǎn)恰好落在AB的中點(diǎn)E處，則∠A等于度．11．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，將邊BC沿斜邊上的中線CD折疊到CB′，若∠B=50°，則∠ACB′=．12．如圖，一棵樹在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中于離地面4米處折斷倒下，倒下部分與地面成30°夾角，這棵樹在折斷前的高度為米．13．若一直角三角形的兩個(gè)銳角的差是20°，則其較大銳角的度數(shù)是．14．直角三角形ABC中有一個(gè)角是另一角的2倍小60°，則直角三角形中最小的角的度數(shù)為．15．若直角三角形斜邊上的高和中線分別是5cm和6cm，則斜邊長為，面積為．16．如圖，已知∠AOB=60°，點(diǎn)P在OA上，OP=8，點(diǎn)M、N在邊OB上，PM=PN，若MN=2，則OM=．三．解答題（共5小題）17．如圖，在△ABC中，CE，BF是兩條高，若∠A=70°，∠BCE=30°，求∠EBF與∠FBC的度數(shù)．18．如圖，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．（1）求證：∠ACD=∠B；（2）若AF平分∠CAB分別交CD、BC于E、F，求證：∠CEF=∠CFE．19．如圖，樹AB垂直于地面，為測樹高，小明在C處，測得∠ACB=15°，他沿CB方向走了20米，到達(dá)D處，測得∠ADB=30°，你能幫助小明計(jì)算出樹的高度嗎？20．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB邊上的中線，DE⊥AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E．（1）若BC=3，AC=4，求CD的長；（2）求證：∠1=∠2．21．在△ABC中，CE，BD分別是邊AB，AC上的高，F(xiàn)是BC邊上的中點(diǎn)．（1）指出圖中的一個(gè)等腰三角形，并說明理由．（2）若∠A=x°，求∠EFD的度數(shù)（用含x的代數(shù)式表達(dá)）．四．回顧與思考（1小題）22．在等邊△ABC中，（1）如圖1，P，Q是BC邊上的兩點(diǎn)，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度數(shù)；（2）點(diǎn)P，Q是BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)，且AP=AQ，點(diǎn)Q關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為M，連接AM，PM．①依題意將圖2補(bǔ)全；②小茹通過觀察、實(shí)驗(yàn)提出猜想：在點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的過程中，始終有PA=PM，小茹把這個(gè)猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流，通過討論，形成了證明該猜想的幾種想法：想法1：要證明PA=PM，只需證△APM是等邊三角形；想法2：在BA上取一點(diǎn)N，使得BN=BP，要證明PA=PM，只需證△ANP≌△PCM；想法3：將線段BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段BK，要證PA=PM，只需證PA=CK，PM=CK…請(qǐng)你參考上面的想法，幫助小茹證明PA=PM（一種方法即可）．

2023—2023學(xué)年湘教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第1章《直角三角形》—同步練習(xí)解析一．選擇題（共8小題）1．如圖，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D為垂足，∠C=55°，則∠ABC的度數(shù)是（）A．35° B．55° C．60° D．70°【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠CBD，再根據(jù)角平分線的定義解答．【解答】解：∵CD⊥BD，∠C=55°，∴∠CBD=90°﹣55°=35°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠CBD=2×35°=70°．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，將其折疊，使點(diǎn)A落在邊CB上A′處，折痕為CD，則∠A′DB=（）A．40° B．30° C．20° D．10°【分析】在直角三角形ABC中，由∠ACB與∠A的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠B的度數(shù)，再由折疊的性質(zhì)得到∠CA′D=∠A，而∠CA′D為三角形A′BD的外角，利用三角形的外角性質(zhì)即可求出∠A′DB的度數(shù)．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，∴∠B=180°﹣90°﹣55°=35°，由折疊可得：∠CA′D=∠A=55°，又∵∠CA′D為△A′BD的外角，∴∠CA′D=∠B+∠A′DB，則∠A′DB=55°﹣35°=20°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，以及折疊的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．3．如圖，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．圖中有三個(gè)直角三角形 B．∠1=∠2C．∠1和∠B都是∠A的余角 D．∠2=∠A【分析】在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，因而△ACD∽△CBD∽△ABC，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，就可以證明各個(gè)選項(xiàng)．【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，∴△ACD∽△CBD∽△ABC．A、∵圖中有三個(gè)直角三角形Rt△ACD、Rt△CBD、Rt△ABC；故本選項(xiàng)正確；B、應(yīng)為∠1=∠B、∠2=∠A；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、∵∠1=∠B、∠2=∠A，而∠B是∠A的余角，∴∠1和∠B都是∠A的余角；故本選項(xiàng)正確；D、∵∠2=∠A；故本選項(xiàng)正確．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的高，把這個(gè)三角形分成的兩個(gè)三角形與原三角形相似．4．（2023?百色）如圖，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，則BC=（）A．6 B．6 C．6 D．12【分析】根據(jù)30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求解．【解答】解：∵∠C=90°，∠A=30°，AB=12，∴BC=AB=12×=6，故答選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是正確的利用合適的邊角關(guān)系．5．如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn)，BD=6cm，則AC的長為（）A．3 B．6 C． D．12【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AC=2BD，進(jìn)而可得答案．【解答】解：∵∠ABC=90°，點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn)，∴AC=2BD，∵BD=6cm，∴AC=12cm，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．6．如圖，△ABC中，AB=AC=10，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，連接DE，則DE的長為（）A．10 B．6 C．8 D．5【分析】由等腰三角形的性質(zhì)證得BD=DC，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)即可求得結(jié)論．【解答】解：∵AB=AC=10，AD平分∠BAC，∴BD=DC，∵E為AC的中點(diǎn)，∴DE=AB=×10=5，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的中位線，熟練掌握三角形的中位線是解決問題的關(guān)鍵．7．一直角三角形的兩直角邊長為12和16，則斜邊上中線長為（）A．20 B．10 C．18 D．25【分析】根據(jù)勾股定理求出斜邊長，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出答案．【解答】解：∵兩直角邊分別為12和16，∴斜邊==20，∴斜邊上的中線的長為10，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．8．如圖，每個(gè)小正方形的邊長都相等，A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，則∠ABC的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．90°【分析】根據(jù)勾股定理即可得到AB，BC，AC的長度，進(jìn)行判斷即可．【解答】解：連接AC，設(shè)每個(gè)小正方形的邊長都是a，根據(jù)勾股定理可以得到：AC=BC=a，AB=a，∵（a）2+（a）2=（a）2，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理，利用勾股定理判斷△ABC是等腰直角三角形是解決本題的關(guān)鍵．二．填空題（共8小題）9．（2023?安順）如圖，直線m∥n，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，則∠1=45度．【分析】先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠ABC的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：∵△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵m∥n，∴∠1=45°；故答案為：45．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰直角三角形和平行線的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)是：兩直線平行，同位角相和等腰直角三角形的性質(zhì)；關(guān)鍵是求出∠ABC的度數(shù)．10．如圖，CD是Rt△ABC斜邊AB上的高，將△BCD沿CD折疊，B點(diǎn)恰好落在AB的中點(diǎn)E處，則∠A等于30度．【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得到EC=AE，從而得到∠A=∠ACE，再由折疊的性質(zhì)及三角形的外角性質(zhì)得到∠B=2∠A，從而不難求得∠A的度數(shù)．【解答】解：∵在Rt△ABC中，CE是斜邊AB的中線，∴AE=CE，∴∠A=∠ACE，∵△CED是由△CBD折疊而成，∴∠B=∠CED，∵∠CEB=∠A+∠ACE=2∠A，∴∠B=2∠A，∵∠A+∠B=90°，∴∠A=30°．故答案為：30．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查：（1）在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半；（2）三角形的外角性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．11．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，將邊BC沿斜邊上的中線CD折疊到CB′，若∠B=50°，則∠ACB′=10°．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)分別求出∠BCD、∠DCA的度數(shù)，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)求出∠B′CD的度數(shù)，計(jì)算即可．【解答】解：∵∠ACB=90°，∠B=50°，∴∠A=40°，∵∠ACB=90°，CD是斜邊上的中線，∴CD=BD，CD=AD，∴∠BCD=∠B=50°，∠DCA=∠A=40°，由翻折變換的性質(zhì)可知，∠B′CD=∠BCD=50°，∴∠ACB′=∠B′CD﹣∠DCA=10°，故答案為：10°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．12．如圖，一棵樹在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中于離地面4米處折斷倒下，倒下部分與地面成30°夾角，這棵樹在折斷前的高度為12米．【分析】如圖，由于倒下部分與地面成30°夾角，所以∠BAC=30°，由此得到AB=2CB，而離地面米處折斷倒下，即BC=4米，所以得到AB=8米，然后即可求出這棵大樹在折斷前的高度．【解答】解：如圖，∵∠BAC=30°，∠BCA=90°，∴AB=2CB，而BC=4米，∴AB=8米，∴這棵大樹在折斷前的高度為AB+BC=12米．故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】此題主要利用了直角三角形中30°的角所對(duì)的邊是斜邊的一半解決問題，然后解題時(shí)要正確理解題意，把握題目的數(shù)量關(guān)系．13．若一直角三角形的兩個(gè)銳角的差是20°，則其較大銳角的度數(shù)是55°．【分析】設(shè)較大的銳角度數(shù)是x°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余表示出較小的銳角，然后列出方程求解即可．【解答】解：設(shè)較大的銳角度數(shù)是x°，則較小的銳角為（90﹣x）°，由題意得，x﹣（90﹣x）=20，解得x=55，即較大銳角的度數(shù)是55°．故答案為：55°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并列出方程是解題的關(guān)鍵．14．直角三角形ABC中有一個(gè)角是另一角的2倍小60°，則直角三角形中最小的角的度數(shù)為40°．【分析】設(shè)直角三角形中一個(gè)銳角為x，另一個(gè)銳角為2x﹣60°，根據(jù)兩個(gè)銳角之和為90度即可求出答案．【解答】解：設(shè)直角三角形中一個(gè)銳角為x，另一個(gè)銳角為2x﹣60°，根據(jù)兩個(gè)銳角之和為90°可得，x+2x﹣60°=90°，解的x=50°，較小角為90°﹣50°=40°，故答案為40°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形中兩個(gè)銳角之和為90°，此題基礎(chǔ)題．15．若直角三角形斜邊上的高和中線分別是5cm和6cm，則斜邊長為12cm，面積為30cm2．【分析】根據(jù)直角三角形的斜邊上中線性質(zhì)求出AB，根據(jù)三角形的面積公式求出即可．【解答】解：∵CD是Rt△ACB斜邊AB上的中線，∴AB=2CD=2×6cm=12cm，∴Rt△ACB的面積S=AB×CE=12cm×5cm=30cm2，故答案為：12cm，30cm2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上中線性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)性質(zhì)求出AB的長，注意：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．16．如圖，已知∠AOB=60°，點(diǎn)P在OA上，OP=8，點(diǎn)M、N在邊OB上，PM=PN，若MN=2，則OM=3．【分析】過P作PC垂直于MN，由等腰三角形三線合一性質(zhì)得到MC=CN，求出MC的長，在直角三角形OPC中，利用30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出OC的長，由OC﹣MC求出OM的長即可．【解答】解：過P作PC⊥MN，∵PM=PN，∴C為MN中點(diǎn)，即MC=NC=MN=1，在Rt△OPC中，∠AOB=60°，∴∠OPC=30°，∴OC=OP=4，則OM=OC﹣MC=4﹣1=3，故答案為：3【點(diǎn)評(píng)】此題考查了含30度角的直角三角形，以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）17．如圖，在△ABC中，CE，BF是兩條高，若∠A=70°，∠BCE=30°，求∠EBF與∠FBC的度數(shù)．【分析】在Rt△ABF中，∠A=70，CE，BF是兩條高，求得∠EBF的度數(shù)，在Rt△BCF中∠FBC=40°求得∠FBC的度數(shù)．【解答】解：在Rt△ABF中，∠A=70，CE，BF是兩條高，∴∠EBF=20°，∠ECA=20°，又∵∠BCE=30°，∴∠ACB=50°，∴在Rt△BCF中∠FBC=40°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．如圖，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．（1）求證：∠ACD=∠B；（2）若AF平分∠CAB分別交CD、BC于E、F，求證：∠CEF=∠CFE．【分析】（1）由于∠ACD與∠B都是∠BCD的余角，根據(jù)同角的余角相等即可得證；（2）根據(jù)直角三角形兩銳角互余得出∠CFA=90°﹣∠CAF，∠AED=90°﹣∠DAE，再根據(jù)角平分線的定義得出∠CAF=∠DAE，然后由對(duì)頂角相等的性質(zhì)，等量代換即可證明∠CEF=∠CFE．【解答】證明：（1）∵∠ACB=90゜，CD⊥AB于D，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠B；（2）在Rt△AFC中，∠CFA=90°﹣∠CAF，同理在Rt△AED中，∠AED=90°﹣∠DAE．又∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠DAE，∴∠AED=∠CFE，又∵∠CEF=∠AED，∴∠CEF=∠CFE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形角平分線的定義，對(duì)頂角的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，難度適中．19．如圖，樹AB垂直于地面，為測樹高，小明在C處，測得∠ACB=15°，他沿CB方向走了20米，到達(dá)D處，測得∠ADB=30°，你能幫助小明計(jì)算出樹的高度嗎？【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠CAD=∠ADB﹣∠ACB=15°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AD=CD=20，由直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵∠ADB=30°，∠ACB=15°，∴∠CAD=∠ADB﹣∠ACB=15°，∴∠ACB=∠CAD，∴AD=CD=20，又∵∠ABD=90°，∴AB=AD=10，∴樹的高度為10米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB邊上的中線，DE⊥AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E．（1）若BC=3，AC=4，求CD的長；（2）求證：∠1=∠2．【分析】（1）由勾股定理求出AB，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可；（2）由直角三角形的銳角關(guān)系和等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】（1）解：∵∠ACB=90°，BC=3，AC=4，∴AB==5，∵CD是AB邊上的中線，∴CD=AB=；（2）證明：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵DE⊥AB，∴∠A+∠1=90°，∴∠B=∠1，∵CD是AB邊上的中線，∴BD=CD，∴∠B=∠2，∴∠1=∠2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)；熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．在△ABC中，CE，BD分別是邊AB，AC上的高，F(xiàn)是BC邊上的中點(diǎn)．（1）指出圖中的一個(gè)等腰三角形，并說明理由．（2）若∠A=x°，求∠EFD的度數(shù)（用含x的代數(shù)式表達(dá)）．【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到EF=BC，DF=BC，等量代換即可；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算；【解答】解：（1）△DEF是等腰三角形．∵CE，BD分別是邊AB，AC上的高，F(xiàn)是BC邊上的中點(diǎn)，∴EF=BC，DF=BC，∴EF=DF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵FE=FB，F(xiàn)D=FC，∴∠FEB=∠FBE，∠FDC=∠FCD，∴∠FEB+∠FDC=∠FBE+∠FCD=180°﹣∠A=180°﹣x°，∠AED+∠ADE=180°﹣∠A=180°﹣x°，∴∠FED+∠FDE=360°﹣（180°﹣x°）﹣（180°﹣x°）=2x°，∴∠EFD=180°﹣2x°；【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的判定，掌握直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．四．回顧與思考（1小題）22．（2023?北京）在等邊△ABC中，（1）如圖1，